К расчету на прочность элементов конструкций, нагруженных пространственной системой сил
ART 970698
Авторы:
А.
Н. Потемкин, Д.
С. Карягин
А.
Н. Потемкин, Д.
С. Карягин Библиографическое описание статьи для цитирования:
Потемкин
А.
Н.,
Карягин
Д.
С. К расчету на прочность элементов конструкций, нагруженных пространственной системой сил // Научно-методический электронный журнал «Концепт». –
2017. – Т. 39. – С.
1856–1860. – URL:
http://e-koncept.ru/2017/970698.htm.
Аннотация. В статье рассмотрены особенности прочностного расчета балок сложного составного поперечного сечения, испытывающих пространственный косой изгиб. Определены опасные сечения по длине балки, найдены опасные точки поперечных сечений. Сделаны выводы о рациональном проектировании сложных составных поперечных сечений балок.
Текст статьи
Потемкин Алексей Николаевич,доцент ФГБОУ ВО "Пензенский государственныйтехнологический университет", ПензГТУpan580@yandex.ru
Карягин Дмитрий Сергеевич,студент факультета Промышленных технологий ФГБОУ ВО "Пензенский государственный технологический университет", ПензГТУ, Пензаpan058@yandex.ru
К расчету на прочность элементов конструкций,нагруженных пространственной системой сил
Аннотация.В статье рассмотрены особенностипрочностного расчета балок сложного составного поперечного сечения испытывающих пространственный косой изгиб. Определены опасные сечения по длине балки, найдены опасные точки поперечных сечений.Сделаны выводыо рациональномпроектированиисложных составныхпоперечныхсеченийбалок.Ключевые слова:пространственный косой изгиб, поперечное сечение, расчет на прочность.
Детали и элементыконструкции современных машин, механизмов и иного технологического оборудованияво время эксплуатации подвергаются интенсивному механическому воздействию,вызванномуразличнымикомбинациямипростых нагружений (растяжение, сжатие, кручение, изгиб) в самом разнообразном их сочетании. Совместное действиенескольких силовых факторовопределяетвид напряженнодеформированногосостоянияматериалаи, как следствие,особенности деформирования, а, при определенных условиях, разрушения,как отдельных деталей,таки более сложных конструктивных элементов.В этой связи проектныеи проверочныерасчетына прочность,жесткость,устойчивостьне теряют своей актуальности какдля вновь проектируемых деталей и элементов конструкций, таки для уже существующих, но работающих приизменившихсявеличинахили способеприложения внешних сил[1, 2].
Остановимся на условиях возникновения косого изгиба и некоторых особенностях деформированиябруса (балки) притаком виде нагружения.Напомним [1, 2], что плоский косой изгиб возникает в случае,когда внешние силылежатв одной силовой плоскости. Вэтом случае изогнутая ось брусапредставляет собой плоскую кривую, не лежащую в силовой плоскости.В случае, когдапри косом изгибе действующие на балкунагрузки не лежат в одной плоскости, брус будет испытывать пространственный косой изгиб. В этом случае изогнутая ось бруса имеет формупространственнойкривой.Плоский косой изгиббруса произвольного поперечного сеченияможно рассматриватькаксочетание двух прямых поперечных изгибов во взаимно перпендикулярных плоскостях. Он подробнорассмотрен в специальной литературе [1, 2]. Случай пространственного изгиба бруса сплошного круглого и кольцевого (трубчатого) поперечного сечения также имеет подробное описаниетехнической литературеи особого интереса для нас не представляет.Заметим только, что как бы ни проходила силовая плоскость, брус круглого сечения испытывать косого изгиба не может, так как любая плоскость, проходящая через ось бруса, будет главной и, следовательно, действующие в ней силы фактически вызовут прямой изгиб.Вслучае нагружения круглого бруса силами, лежащимив разных силовых плоскостях, онбудетиспытывать пространственный изгиб, деформируясь одновременно в двух и более плоскостях. В отличие от плоского изгиба упругая линия бруса, в этом случае, будет представлять пространственнуюкривую, но,в то же время,брус будет деформироваться так, что в каждом его сечении силовая и нулевая линии будут перпендикулярны, как при обычном прямом изгибе. Характерным примером пространственного нагружения могут служить валы зубчатых передач, испытывающие изгиб в двух плоскостях.Рассмотримобщийслучайпространственного косого изгиба брусаимеющегосложную (составную) формупоперечного сеченияинагруженного силами,лежащимив разных силовых плоскостяхв соответствии с расчетнойсхемой, представленнойна рисунке 1.Подобные конструкции и похожий вид нагружения встречаются в машиностроении, ноособенно распространены в строительстве, а, следовательно, ихрассмотрение имеет не только теоретическийинтерес.Расчет балок на прочность, в первую очередь, выполняется по нормальным напряжениям, максимальные величины которыхвозникают в точках наиболее удаленных от нулевой линии (нейтральной оси)поперечного сечения и распределены по линейному закону, увеличиваясь с увеличением расстоянияот этой линии[1]. Заметим, что вслучае сложной (составной)формы поперечного сечения, как это имеет место в нашем случае,эпюра нормальных напряжений будет иметь скачки в местах касания образующих форму сечения профилей [1].Ниже рассмотримдва вариантаконструктивного исполнениябруса, а именно: –по всей длине двутавров, над их верхней ипод нежней полками, установлены металлические полосы, равные по ширине двойной ширине полки двутавра(рисунок 1, а);–двутавры имеют закреплениетолько наторцах, без дополнительных металлических полос расположенных вдоль полок двутавров (рисунок 1, б).Заметим, что второй вариантконструктивного исполнения бруса рассматривается сцелью возможности уменьшитьрасходматериала и массыданного элемента конструкции.Выполняя расчет в общем виде,примем, что балка нагружена силами, и так, как это показано на рисунке 1,где , м –длина участка балки, равная 1 м,, Н/м –погонная нагрузка. В нашем расчете допустимо принять ее как коэффициент.Примем, что силы, и связанны соотношениями и .Обычно для того, чтобы найти опасное сечение, строят эпюры изгибающих моментов в плоскостях действующих нагрузок,причем большую наглядность имеют эпюры вперспективном изображении (рисунок 2).Сила
раскладывается напроекции по координатным осям и
и (рисунок 2, а).
Расчетные схемы бруса с нагрузкой в вертикальной и горизонтальной плоскостях изображены на рисунке 2, б и на рисунке 2, в.Главные центральные моменты инерции сложного (составного) сечения могут быть определены в соответствии с общепринятыми правилами[1].
а)
б)
Рис.1.Консольная балкасложного (составного)поперечного сечения, нагруженная пространственной системой сил;а –первый вариант конструктивного исполнения поперечного сечения балки,б –второй вариант конструктивного исполнения поперечного сечения балки.
Для первого вариантаконструктивного исполнения поперечного сечения балки, металлическиеполосы, расположенныенадверхней и под нежней полкамидвутавров,по ширине равны двойной ширине полки двутавра(рисунок 3, а).Момент инерции сложного (составного)сеченияотносительно горизонтальной оси определяется по формуле:,.Момент инерции сложного составного сеченияотносительно вертикальной оси определяется по формуле:,.
Для второго вариантаконструктивного исполнения поперечного сечения балки, двутавры имеют закрепление только на концахбалки, без дополнительных металлических полос расположенных вдоль полок двутавров(рисунок 3, б).Момент инерции сложного (составного)сечения относительно горизонтальной оси определяется по формуле:
Момент инерции сложного (составного)сечения относительно вертикальной оси определяется по формуле:.
Эпюры и от действия нагрузок в вертикальной и горизонтальной плоскостях представлены на рисунке 2, б и на рисунке 2, в.Из анализа эпюр и следует, что расчет на прочность следует выполнить для двух сечений балки. Это сечения находящиеся на середине длины балки (сечение ) и в жесткой заделке (сечение ).В каждом из них расчет выполняетсядля двух предположительно опасных точек и (или равноопасных им точек и ), как наиболее удаленных от нулевой линии (нейтральной оси)сечения.Положение нулевой линии сечения может быть определено из отношения[1]:,где –угол наклона силы к оси ,
–угол наклона нулевой линиик оси .В нашем случае, так как , углы и так же не будут равны друг другу, а, следовательно, нулевая линия (нейтральная ось), в сечениях и , не будет перпендикулярна силовой плоскости.Поперечное сечение балки с указанием положения опасных точек показано на рисунке 3.В тех случаях, когда деформации подчиняются закону Гука, при расчете на прочность в условиях сложного сопротивления,можно воспользоваться принципом суперпозиции (принципом независимости действия сил) [1]. Тогда напряжение в опасном сечении элемента конструкции можно получить, суммируя напряжения,вызванные заданной системой сил по каждому виду нагружения в отдельности. Напомним, что нами рассматривается общий случай, когда сечение балки не имеет точек, которые одновременно были бы максимально удалены от обеих главных центральных осей инерции. Нормальные напряжения в опасных точках сечения определятся по формулам, используемым для плоского косого изгиба[1, 2].
а)
б)
в)
Рис. 2.Расчетныесхемы балки;а –расчетная схема балкив перспективном изображении,б –силовые факторы,действующиена балку в вертикальной плоскости,в –силовые факторы, действующие на балку в горизонтальной плоскости.
Для первого вариантаконструктивного исполнения поперечного сечения балки(рисунок 3, а).Сечение .
где –расстояние отточки дооси , м,
–расстояние от точки до оси , м. Сечение .
Для второго вариантаконструктивного исполнения поперечного сечения балки(рисунок 3, б).Сечение .
где –расстояние от точки до оси , м,
–расстояние от точки дооси , м. Сечение .
а)
б)
Рис. 3. Поперечное сечение балки с указанием положения опасных точек;а –первый вариант конструктивного исполнения поперечного сечения балки,б –второй вариант конструктивного исполнения поперечного сечения балки.
Выводы.Реализациямероприятий по получению минимальной массы детали или какоголибо элемента конструкции, при сохранении прочности и жесткости, для современного машиностроенияи строительствавесьма актуальна, а практическая ценность исследований в данном направлениине вызывает сомнений.Предварительныерасчеты, проведенныедля каждого из рассмотренных вариантовисполнения сложного (составного)профиля поперечного сечения балки(рисунок 1), позволяют сделать вывод о том, чтоиспользованиевторогоиз предложенных вариантов, хотя и позволяет значительно уменьшитьмассу балки, не целесообразно, так какнегативно отражается на прочностных характеристиках рассматриваемого элемента конструкции. Напряжения в опасных точкахсложного (составного)профиля поперечного сечения балки(точки и , а также равноопасные им точки и ) в этом случае увеличиваются вдвое. Заметимтакже, что этоимеет местов обоих опасных сеченияхбалки (сечения
и )и несет опасность исчерпания запаса статической прочности материалаи последующего разрушения конструкции.Еще более опасным это представляется при изменении режима нагруженияпри переходе от действия статических нагрузок к динамическим (ударным или повторнопериодическим)[1, 3].С целью получения минимальной массы конструкции,без уменьшения еепрочности и жесткости, целесообразно подойти к рассмотрениювопросаболее широко –за счет оптимального выбора толщин и относительного расположения профилей, используемых в сложном (составном)поперечном сечении, а также за счет возможности внесения в конструкцию дополнительных сварных элементов и добавления местных ребер жесткости. Дальнейшая детальная проработка этоговопроса предполагает математическоемоделированиесиспользованиемсовременных систем автоматизированного проектирования, при учетеразнообразных конструкторских, технологических и эксплуатационных факторов.
Ссылки на источники1.Схиртладзе, А.Г.Сопротивлениематериалов: учебник для студентов высших учебных заведений/ А.Г. Схиртладзе, Б.В. Романовский, В.В. Волков, А.Н. Потемкин. –М: Изд. центр Академия.–2012.–412 с.2.Потемкин, А.Н. Красчету на прочность несущих элементов конструкции загрузочной тележки мясоперерабатывающего цеха /А.Н.Потемкин // XXI век: итоги прошлого и проблемы настоящего плюс. –2016.–№ 1 (29). –С. 6670.3.Потемкин А.Н., Викулов А.С., Никитин Д.Е. Усталостное разрушение материалов с позиции различных теорий // Научнометодический электронный журнал Концепт. –2015. –Т. 13. –С. 3311–3315. –URL: http://ekoncept.ru/2015/85663.htm.[дата обращения 27.03.2016].
Карягин Дмитрий Сергеевич,студент факультета Промышленных технологий ФГБОУ ВО "Пензенский государственный технологический университет", ПензГТУ, Пензаpan058@yandex.ru
К расчету на прочность элементов конструкций,нагруженных пространственной системой сил
Аннотация.В статье рассмотрены особенностипрочностного расчета балок сложного составного поперечного сечения испытывающих пространственный косой изгиб. Определены опасные сечения по длине балки, найдены опасные точки поперечных сечений.Сделаны выводыо рациональномпроектированиисложных составныхпоперечныхсеченийбалок.Ключевые слова:пространственный косой изгиб, поперечное сечение, расчет на прочность.
Детали и элементыконструкции современных машин, механизмов и иного технологического оборудованияво время эксплуатации подвергаются интенсивному механическому воздействию,вызванномуразличнымикомбинациямипростых нагружений (растяжение, сжатие, кручение, изгиб) в самом разнообразном их сочетании. Совместное действиенескольких силовых факторовопределяетвид напряженнодеформированногосостоянияматериалаи, как следствие,особенности деформирования, а, при определенных условиях, разрушения,как отдельных деталей,таки более сложных конструктивных элементов.В этой связи проектныеи проверочныерасчетына прочность,жесткость,устойчивостьне теряют своей актуальности какдля вновь проектируемых деталей и элементов конструкций, таки для уже существующих, но работающих приизменившихсявеличинахили способеприложения внешних сил[1, 2].
Остановимся на условиях возникновения косого изгиба и некоторых особенностях деформированиябруса (балки) притаком виде нагружения.Напомним [1, 2], что плоский косой изгиб возникает в случае,когда внешние силылежатв одной силовой плоскости. Вэтом случае изогнутая ось брусапредставляет собой плоскую кривую, не лежащую в силовой плоскости.В случае, когдапри косом изгибе действующие на балкунагрузки не лежат в одной плоскости, брус будет испытывать пространственный косой изгиб. В этом случае изогнутая ось бруса имеет формупространственнойкривой.Плоский косой изгиббруса произвольного поперечного сеченияможно рассматриватькаксочетание двух прямых поперечных изгибов во взаимно перпендикулярных плоскостях. Он подробнорассмотрен в специальной литературе [1, 2]. Случай пространственного изгиба бруса сплошного круглого и кольцевого (трубчатого) поперечного сечения также имеет подробное описаниетехнической литературеи особого интереса для нас не представляет.Заметим только, что как бы ни проходила силовая плоскость, брус круглого сечения испытывать косого изгиба не может, так как любая плоскость, проходящая через ось бруса, будет главной и, следовательно, действующие в ней силы фактически вызовут прямой изгиб.Вслучае нагружения круглого бруса силами, лежащимив разных силовых плоскостях, онбудетиспытывать пространственный изгиб, деформируясь одновременно в двух и более плоскостях. В отличие от плоского изгиба упругая линия бруса, в этом случае, будет представлять пространственнуюкривую, но,в то же время,брус будет деформироваться так, что в каждом его сечении силовая и нулевая линии будут перпендикулярны, как при обычном прямом изгибе. Характерным примером пространственного нагружения могут служить валы зубчатых передач, испытывающие изгиб в двух плоскостях.Рассмотримобщийслучайпространственного косого изгиба брусаимеющегосложную (составную) формупоперечного сеченияинагруженного силами,лежащимив разных силовых плоскостяхв соответствии с расчетнойсхемой, представленнойна рисунке 1.Подобные конструкции и похожий вид нагружения встречаются в машиностроении, ноособенно распространены в строительстве, а, следовательно, ихрассмотрение имеет не только теоретическийинтерес.Расчет балок на прочность, в первую очередь, выполняется по нормальным напряжениям, максимальные величины которыхвозникают в точках наиболее удаленных от нулевой линии (нейтральной оси)поперечного сечения и распределены по линейному закону, увеличиваясь с увеличением расстоянияот этой линии[1]. Заметим, что вслучае сложной (составной)формы поперечного сечения, как это имеет место в нашем случае,эпюра нормальных напряжений будет иметь скачки в местах касания образующих форму сечения профилей [1].Ниже рассмотримдва вариантаконструктивного исполнениябруса, а именно: –по всей длине двутавров, над их верхней ипод нежней полками, установлены металлические полосы, равные по ширине двойной ширине полки двутавра(рисунок 1, а);–двутавры имеют закреплениетолько наторцах, без дополнительных металлических полос расположенных вдоль полок двутавров (рисунок 1, б).Заметим, что второй вариантконструктивного исполнения бруса рассматривается сцелью возможности уменьшитьрасходматериала и массыданного элемента конструкции.Выполняя расчет в общем виде,примем, что балка нагружена силами, и так, как это показано на рисунке 1,где , м –длина участка балки, равная 1 м,, Н/м –погонная нагрузка. В нашем расчете допустимо принять ее как коэффициент.Примем, что силы, и связанны соотношениями и .Обычно для того, чтобы найти опасное сечение, строят эпюры изгибающих моментов в плоскостях действующих нагрузок,причем большую наглядность имеют эпюры вперспективном изображении (рисунок 2).Сила
раскладывается напроекции по координатным осям и
и (рисунок 2, а).
Расчетные схемы бруса с нагрузкой в вертикальной и горизонтальной плоскостях изображены на рисунке 2, б и на рисунке 2, в.Главные центральные моменты инерции сложного (составного) сечения могут быть определены в соответствии с общепринятыми правилами[1].
а)
б)
Рис.1.Консольная балкасложного (составного)поперечного сечения, нагруженная пространственной системой сил;а –первый вариант конструктивного исполнения поперечного сечения балки,б –второй вариант конструктивного исполнения поперечного сечения балки.
Для первого вариантаконструктивного исполнения поперечного сечения балки, металлическиеполосы, расположенныенадверхней и под нежней полкамидвутавров,по ширине равны двойной ширине полки двутавра(рисунок 3, а).Момент инерции сложного (составного)сеченияотносительно горизонтальной оси определяется по формуле:,.Момент инерции сложного составного сеченияотносительно вертикальной оси определяется по формуле:,.
Для второго вариантаконструктивного исполнения поперечного сечения балки, двутавры имеют закрепление только на концахбалки, без дополнительных металлических полос расположенных вдоль полок двутавров(рисунок 3, б).Момент инерции сложного (составного)сечения относительно горизонтальной оси определяется по формуле:
Момент инерции сложного (составного)сечения относительно вертикальной оси определяется по формуле:.
Эпюры и от действия нагрузок в вертикальной и горизонтальной плоскостях представлены на рисунке 2, б и на рисунке 2, в.Из анализа эпюр и следует, что расчет на прочность следует выполнить для двух сечений балки. Это сечения находящиеся на середине длины балки (сечение ) и в жесткой заделке (сечение ).В каждом из них расчет выполняетсядля двух предположительно опасных точек и (или равноопасных им точек и ), как наиболее удаленных от нулевой линии (нейтральной оси)сечения.Положение нулевой линии сечения может быть определено из отношения[1]:,где –угол наклона силы к оси ,
–угол наклона нулевой линиик оси .В нашем случае, так как , углы и так же не будут равны друг другу, а, следовательно, нулевая линия (нейтральная ось), в сечениях и , не будет перпендикулярна силовой плоскости.Поперечное сечение балки с указанием положения опасных точек показано на рисунке 3.В тех случаях, когда деформации подчиняются закону Гука, при расчете на прочность в условиях сложного сопротивления,можно воспользоваться принципом суперпозиции (принципом независимости действия сил) [1]. Тогда напряжение в опасном сечении элемента конструкции можно получить, суммируя напряжения,вызванные заданной системой сил по каждому виду нагружения в отдельности. Напомним, что нами рассматривается общий случай, когда сечение балки не имеет точек, которые одновременно были бы максимально удалены от обеих главных центральных осей инерции. Нормальные напряжения в опасных точках сечения определятся по формулам, используемым для плоского косого изгиба[1, 2].
а)
б)
в)
Рис. 2.Расчетныесхемы балки;а –расчетная схема балкив перспективном изображении,б –силовые факторы,действующиена балку в вертикальной плоскости,в –силовые факторы, действующие на балку в горизонтальной плоскости.
Для первого вариантаконструктивного исполнения поперечного сечения балки(рисунок 3, а).Сечение .
где –расстояние отточки дооси , м,
–расстояние от точки до оси , м. Сечение .
Для второго вариантаконструктивного исполнения поперечного сечения балки(рисунок 3, б).Сечение .
где –расстояние от точки до оси , м,
–расстояние от точки дооси , м. Сечение .
а)
б)
Рис. 3. Поперечное сечение балки с указанием положения опасных точек;а –первый вариант конструктивного исполнения поперечного сечения балки,б –второй вариант конструктивного исполнения поперечного сечения балки.
Выводы.Реализациямероприятий по получению минимальной массы детали или какоголибо элемента конструкции, при сохранении прочности и жесткости, для современного машиностроенияи строительствавесьма актуальна, а практическая ценность исследований в данном направлениине вызывает сомнений.Предварительныерасчеты, проведенныедля каждого из рассмотренных вариантовисполнения сложного (составного)профиля поперечного сечения балки(рисунок 1), позволяют сделать вывод о том, чтоиспользованиевторогоиз предложенных вариантов, хотя и позволяет значительно уменьшитьмассу балки, не целесообразно, так какнегативно отражается на прочностных характеристиках рассматриваемого элемента конструкции. Напряжения в опасных точкахсложного (составного)профиля поперечного сечения балки(точки и , а также равноопасные им точки и ) в этом случае увеличиваются вдвое. Заметимтакже, что этоимеет местов обоих опасных сеченияхбалки (сечения
и )и несет опасность исчерпания запаса статической прочности материалаи последующего разрушения конструкции.Еще более опасным это представляется при изменении режима нагруженияпри переходе от действия статических нагрузок к динамическим (ударным или повторнопериодическим)[1, 3].С целью получения минимальной массы конструкции,без уменьшения еепрочности и жесткости, целесообразно подойти к рассмотрениювопросаболее широко –за счет оптимального выбора толщин и относительного расположения профилей, используемых в сложном (составном)поперечном сечении, а также за счет возможности внесения в конструкцию дополнительных сварных элементов и добавления местных ребер жесткости. Дальнейшая детальная проработка этоговопроса предполагает математическоемоделированиесиспользованиемсовременных систем автоматизированного проектирования, при учетеразнообразных конструкторских, технологических и эксплуатационных факторов.
Ссылки на источники1.Схиртладзе, А.Г.Сопротивлениематериалов: учебник для студентов высших учебных заведений/ А.Г. Схиртладзе, Б.В. Романовский, В.В. Волков, А.Н. Потемкин. –М: Изд. центр Академия.–2012.–412 с.2.Потемкин, А.Н. Красчету на прочность несущих элементов конструкции загрузочной тележки мясоперерабатывающего цеха /А.Н.Потемкин // XXI век: итоги прошлого и проблемы настоящего плюс. –2016.–№ 1 (29). –С. 6670.3.Потемкин А.Н., Викулов А.С., Никитин Д.Е. Усталостное разрушение материалов с позиции различных теорий // Научнометодический электронный журнал Концепт. –2015. –Т. 13. –С. 3311–3315. –URL: http://ekoncept.ru/2015/85663.htm.[дата обращения 27.03.2016].
