Methods of theme presentation "The Fourier transform of impulse functions"

Теория интегральных преобразований играет важную роль при решении различных прикладных задач. Одним из таких приложений является теория приема и преобразования сигналов оптико-электронной системой, математическую основу которой составляют ряды Фурье и преобразование Фурье. Поэтому при подготовке студентов оптико-электронных специальностей ставится методическая задача изложения темы «Преобразование Фурье» в такой форме, которая позволила бы им не только овладеть математическим аппаратом, но и научиться применять его при решении практических задач.

1. 1.     Экспоненциальное (комплексное) преобразование Фурье

Если функция  определена и абсолютно интегрируема на , т. е.

и, кроме того, на любом отрезке  удовлетворяет условиям Дирихле (кусочно непрерывна и кусочно монотонна), то ее называют оригиналом экспоненциального преобразования Фурье.

Прямое экспоненциальное преобразование Фурье задается формулой

.

При этом функцию  называют образом Фурье оригинала .

Теорема. Пусть функция  является оригиналом экспоненциального преобразования Фурье и во всех точках разрыва удовлетворяет условию

.

Тогда справедлива формула обращения

.

Замечание. Символы «V.p.» означают «главное значение» несобственного интеграла. Напомним, что если для функции , интегрируемой на любом конечном отрезке числовой прямой, существует конечный предел

,

то этот предел называют главным значением несобственного интеграла.

Формула обращения позволяет восстанавливать функцию-оригинал по ее образу Фурье. При этом интегральное преобразование

называют обратным экспоненциальным преобразованием Фурье.

1. 2.     Свойства преобразования Фурье

Если не оговорено иное, полагаем, что функции  и  являются оригиналами экспоненциального преобразования Фурье, а  и  – образы Фурье этих функций. Сформулируем основные свойства преобразования Фурье.

1. 1.     Линейность преобразования Фурье:

.

1. 2.     Теорема запаздывания:

.

1. 3.     Теорема подобия:

.

1. 4.     Теорема смещения:

.

1. 5.     Преобразование Фурье производной: если функция  и ее производные до -го порядка включительно существуют, непрерывны и абсолютно интегрируемы на , то

.

1. 6.     Дифференцирование преобразования Фурье: если функция  непрерывна и функции  абсолютно интегрируемы на , то функция  имеет производные до n-го порядка включительно и

.

1. 7.     Преобразование Фурье свертки.

Сверткой функций  и , абсолютно интегрируемых на , называют функцию

,

при условии, что несобственный интеграл сходится при всех .

Замечание. В случае двух одинаковых функций говорят об автосвертке.

Свертка обладает свойствами коммутативности и ассоциативности:

1. ;
2. .

Теорема (о свертке):

.

1. 3.     Преобразование Фурье элементарных импульсных функций

Далее рассмотрим примеры нахождения преобразования Фурье элементарных импульсных функций.

Пример 1. Найти образ Фурье «прямоугольного единичного импульса» (рис. 1):

Рис. 1. График функции «прямоугольный единичный импульс»

Решение. Применим экспоненциальное преобразование Фурье.

Отдельно рассмотрим случай, когда :

.

При  приходим к следующему результату:

.

Следует отметить, что функция  непрерывна в точке , так как

.

Таким образом,

,

где

График образа Фурье функции  представлен на рис. 2.

Рис. 2. График функции

Пример 2. Найти автосвертку функции .

Решение. Напомним, что

.

Здесь

В зависимости от того, какие значения принимает переменная , можно выделить четыре случая (рис. 3).

Рис. 3. Графическая иллюстрация нахождения промежутков интегрирования

1. : .
2. : .
3. : .
4. : .

Таким образом,

График функции  изображен на рис. 4.

Рис. 4. График функции автосвертки

Пример 3. Найти образ Фурье «треугольного импульса»:

Решение. Из примера 2 следует, что  представляет собой автосвертку функции , т. е.

.

Применим теорему о свертке:

.

График образа Фурье функции  представлен на рис. 5.

Рис. 5. График функции

1. 4.     Примеры решения задач

Выше были рассмотрены элементарные импульсные функции. Далее введем функции, графики которых получаются в результате линейных преобразований над графиками функций  и .

В таблице приведены аналитические выражения для смещенных импульсных функций и записаны их образы Фурье.

Смещенные стандартные импульсные функции и их образы Фурье

Разберем подробно эту таблицу. На рис. 6(а) изображен смещенный «прямоугольный» импульс шириной  и амплитудой , а на рис. 6(б) - смещенный «треугольный» импульс. Графики этих функций получаются из графиков функций  и  в результате следующих преобразований:

1)     растяжение (сжатие) вдоль оси абсцисс в раз;

2)     растяжение (сжатие) вдоль оси ординат в  раз;

3)     сдвиг вдоль оси абсцисс на  единиц, где  - середина отрезка .

Рекомендуем обратить внимание студентов на следующее.

Пусть  - элементарная импульсная функция, образ Фурье  которой известен. Тогда для нахождения образа Фурье функции вида  необходимо применить свойства преобразования Фурье: линейность, теорему запаздывания и теорему подобия. Поэтому при решении практических задач полезной является компактная форма записи перечисленных выше свойств:

.

Пример 4. Найти образ Фурье функции , график которой представлен на рис. 7.

Рис. 7. График функции, явно представленной стандартными импульсными функциями

Решение. Представим функцию  в виде суммы «треугольного»  и «прямоугольного»  импульсов.

График функцииможет быть получен из графика функции  при последовательном выполнении следующих преобразований (см. таблицу):

1)     растяжение вдоль оси абсцисс в 2 раза ( );

2)     растяжение вдоль оси ординат в 2 раза, а затем – отражение относительно оси абсцисс ( );

3)     сдвиг вдоль оси абсцисс на 1 единицу вправо ( );

4)     смещение вдоль оси ординат на 1 единицу вверх.

5)     В результате применения преобразований в п. 1-3 получаем функцию

,

а после преобразования в п. 4 находим:

.

Таким образом, функция  представляет собой сумму «треугольного» и двух «прямоугольных» импульсов (см. рис. 8):

.

«Складывая» функции  и , получаем «прямоугольный» импульс:

.

В результате функция  примет вид

.

Для отыскания образа Фурье этой функции воспользуемся результатами, приведенными в таблице:

.

Следующий пример демонстрирует метод нахождения образа Фурье функции, которая явно не представлена в виде суммы стандартных импульсных функций.

Рис. 8. Графическая иллюстрация разложения функции  

на сумму смещенных стандартных импульсных функций

Пример 5. Найти образ Фурье функции , график которой изображен на рис. 9.

Рис. 9. График функции, не представленной явно стандартными импульсными функциями

Решение. Представим функцию  в виде суперпозиции «треугольных» и «прямоугольных» импульсов. Для этого выполним дополнительные построения: продлим боковые стороны трапеции до пересечения с осью ординат (рис. 10), в результате получим «треугольный» импульс - функцию .

Рис. 10. Графическая иллюстрация представления функции  

в виде суперпозиции стандартных «треугольных» импульсов

График функции  получается в результате смещения графика функции  вдоль оси ординат на 2 единицы вверх, т. е.

.

Следовательно, функция  представляет собой разность двух «треугольных» импульсов:

.

Используя результаты, приведенные в таблице, находим образ Фурье функции :

.

1. 5.     Преобразование Фурье – Бесселя

Если функция  определена на , абсолютно интегрируема с весовой функцией  и удовлетворяет условиям Дирихле на любом конечном отрезке полуоси , то ее называют оригиналом интегрального преобразования Фурье – Бесселя.

Это преобразование задается формулой

,

где  – функция Бесселя нулевого порядка.

Формула обращения для этого преобразования имеет вид

.

Функцию  называют образом Фурье – Бесселя оригинала .

Пример 6. Найти образ Фурье – Бесселя осесимметрической функции

Решение. При  получим

, так как .

При  вычислим интеграл

.

Можно показать, что функция  непрерывна в точке .

В результате имеем

,

где

Работа основана на личном опыте авторов преподавания данной дисциплины и ориентирована на студентов оптико-электронных специальностей. В связи с этим особое внимание уделено таким вопросам, как преобразование Фурье импульсных функций, вычисление свертки двух функций и ее образа Фурье, а также интегральное преобразование Фурье – Бесселя. Специально подобранные примеры достаточно наглядно иллюстрируют теоретический материал, а подробно разобранные задачи позволят сформировать у студентов необходимые навыки. Такая структурированная форма представления материала будет способствовать легкому запоминанию и успешному освоению студентами данной темы.