Faniya AhmetovaПонятия однозначной и многозначной функций
Ранее в статьях [1, 2] была изложена методика построения графиков линейных однозначных функций, содержащих знак модуля. Детально были разобраны графики функций, заданных в виде линейной комбинации (суммы или разности модулей функций). В этих работах нами были рассмотрены общие методы построения графиков некоторых лишь однозначных функциональных зависимостей. Напомним, что функциональная зависимость называется однозначной, если каждому значению аргумента соответствует единственное значение зависимой переменной .
Тем не менее на практике часто приходится сталкиваться с такими зависимостями, в которых каждому значению независимой переменной может соответствовать несколько значений переменной . Напомним определение неоднозначной (многозначной) функции, введённое ранее в [3, 4].
Определение. Многозначной функцией называется закон (соответствие или правило) , по которому хотя бы одному элементу из множества ставится в соответствие более одного значения из множества .
Геометрическое место точек (ГМТ), удовлетворяющих аналитическому заданию многозначной функциональной зависимости, называется её графиком.
Определение. ГМТ, удовлетворяющих какому-либо свойству, называется множество, в которое входят все те и только те точки, которые удовлетворяют этому свойству.
Под свойством, указанным в определении, может подразумеваться какое-либо уравнение или неравенство. Например, все прекрасно помнят определение окружности.
Определение. Окружность – это ГМТ, равноудаленных от одной данной точки, называемой центром окружности. Расстояние, на которое удалены все точки окружности от ее центра, называется радиусом этой окружности.
Как известно, уравнение окружности в общем виде выглядит следующим образом: , где – координаты центра окружности, а – это радиус окружности. Другими словами, ГМТ, удовлетворяющее уравнению , определяет или задает на плоскости окружность с центром в точке и радиусом . Аналогичным образом можно определить ГМТ, удовлетворяющих не уравнению, а неравенству.
Хорошо известно, что круг – это внутренность окружности либо вместе с самой окружностью, либо без нее. Круг с центром в точке и радиусом определяется следующим неравенством: – внутренность круга без окружности, – внутренность круга вместе с окружностью.
Построение графиков многозначных линейных функций
Для построения графика функции воспользуемся определением модуля.
Определение. Модулем числа называется выражение:
Как видно из определения, раскрывая модуль, стоящий в левой части уравнения , получаем, что данное уравнение может быть представлено в виде:
Из последнего аналитического представления видно, что для того, чтобы построить график данной функции, нужно:
1-й шаг: построить график функции при ;
2-й шаг: отразить построенный график относительно оси абсцисс.
Рассмотрим теперь данный алгоритм на конкретном примере.
Пример 1. Построить ГМТ функции .
По определению модуля уравнение можно представить в виде:
1-й шаг: строим график функции .
2-й шаг: отражаем график, построенный на первом шаге относительно оси абсцисс (см. рис. 1).
В итоге получаем, что ГМТ, удовлетворяющих уравнению , являются две параллельные прямые и .
Рис. 1. ГМТ функции
Алгоритмы построения графиков многозначных линейных функций,
содержащих знак модуля
Выражение можно представить в виде Отсюда можно сделать вывод, что методика построения графиков функций вида следующая:
1-й шаг: построить график функции .
2-й шаг: отразить построенный график относительно оси абсцисс.
Перейдем к рассмотрению конкретных примеров.
Пример 2. Построить ГМТ, удовлетворяющих уравнению.
Согласно определению модуля, уравнение может быть представлено в виде:
1-й шаг: строим график функции .
2-й шаг: отражаем построенный на первом шаге график относительно оси абсцисс (рис. 2).
Рис. 2. ГМТ функции
В итоге получаем, что ГМТ, удовлетворяющих уравнению , являются биссектрисы всех координатных углов.
При построении графиков линейных функций, содержащих знак модуля, очень часто бывает удобно преобразовать прямоугольную декартову систему координат , а именно с помощью параллельного переноса сдвинуть всю систему координат на некоторый вектор (в зависимости от конкретного примера). Проделав такое преобразование, получим новую систему координат с центром в точке , которая имеет определённые координаты относительно старой системы координат. И уже в этой новой системе координат будем строить графики. Рассмотрим теперь данный процесс на конкретных примерах.
Пример 3. Построить ГМТ, удовлетворяющих уравнению .
По определению модуля уравнение может быть представлено в виде:
1-й шаг: построение ГМТ функции .
Преобразуем прямоугольную декартовую систему координат. Перейдем от системы координат к , перенеся ось абсцисс на три единицы вниз, а ось ординат на одну единицу вправо. Начало новой системы координат имеет координаты относительно старой системы координат. В этой новой системе координат строим график функции .
2-й шаг: отражение построенного на первом шаге графика функции относительно оси абсцисс (рис. 3).
Рис. 3. ГМТ, удовлетворяющих уравнению
В итоге получаем, что ГМТ, удовлетворяющих уравнению , является совокупность двух пересекающихся в точке прямых.
Замечание. Графики многозначных функций вида обладают свойством симметричности относительно оси (так как точки и одновременно удовлетворяют аналитическому заданию данной многозначной функции).
Следовательно, для построения графика такой многозначной функции достаточно построить ее график лишь в верхней полуплоскости, т. е. при а затем симметрично отразить построенный график на нижнюю полуплоскость , как было показано в примерах.
Работа основана на личном опыте авторов преподавания данной дисциплины и ориентирована на студентов первого курса. Особое внимание уделено методике построения графиков многозначных линейных функций, содержащих знак модуля; методам параллельного переноса и отражения графиков относительно оси симметрии. Овладение навыками построения графиков будет полезным при выполнении целого спектра задач. Структурированная форма представления материала позволит сформировать у студента необходимые компетенции. Содержание статьи будет полезным преподавателям и студентам при подготовке к занятиям.