Full text

 В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления.

В. П. Ермаков

Формирование мышления и развитие интеллектуальных способностей обучающихся – одна из принципиальных целей всякого образования. Теоретическими предпосылками этого является теория человеческой деятельности и общения, рассматриваемого в качестве одного из видов деятельности человека, и теория управления и управленческой деятельности. Согласно утверждению А. Н. Леонтьева, сущность человека, его свойства и качества проявляются в различных видах деятельности. Деятельность предметна, сознательна и целенаправленна. Как система она управляема и направляема на целедостижение. Согласно теории Л. С. Выготского о единстве субъекта, объекта и процесса деятельности, человек как объект общественных воздействий становится субъектом этих воздействий в результате собственной деятельности [1–3].

В обучении активизация мыслительной деятельности, усвоение знаний и формирование адекватной системы учебных действий протекает как единый процесс. Поэтому необходимо учитывать основные приёмы мыслительной деятельности, разрабатывая которые можно достичь максимальной эффективности процесса усвоения знаний посредством формирования, классификации и систематизации приёмов учебной математической деятельности. Для этого необходимо выработать у обучающихся умение искать, фиксировать, понимать, преобразовывать, применять, представлять и оценивать достоверность получаемой информации [4].

Учебная деятельность относится к ведущим видам мыслительной деятельности, в процессе которой происходит контролируемое присвоение основ социального и когнитивного опыта в виде ключевых компетенций. Процесс обучения в значительной мере зависит от изыскания дидактических и психологических возможностей, которые сделают доступным для обучающихся глубокое усвоение учебного материала при минимальных затратах времени [5, 6]. При этом следует учитывать такие функции мыслительной деятельности, как индукция, дедукция и аналогия. В упрощённом варианте эти функции применительно к учебной математической деятельности можно рассматривать следующим образом: индукция – способ упрощения задачи, дедукция – достоверный вывод из одного или нескольких утверждений, аналогия – сходство нетождественных объектов в некоторых качествах. Одним из путей активизации учебной деятельности является путь формирования обобщённых методов анализа и синтеза учебного материала как метода эффективного, сознательного усвоения знаний.

Обучающиеся, сознательно усваивающие учебный материал, активно открывают для себя всё новые и новые свойства. Включая объект в новые связи, обучающийся осознаёт его в новых качествах и тем самым получает новые знания об объекте. Особую роль в эффективности усвоения математических знаний играет поэтапное формирование мыслительных действий на ориентировочной основе. А основное средство активизации мыслительной деятельности – постановка учебных задач.

Особенности ориентировочной основы определяют время и качество обучения. Н. Ф. Талызина выделяет в составе ориентировочной основы три типа [7, 8]:

1)     неполный состав; ориентиры выделяются самим субъектом путём слепых проб;

2)     состав содержит все условия для выполнения действия; условия даются субъекту в готовом виде и в конкретной форме, пригодной для ориентировки лишь в одном частном случае;

3)     состав содержит полный набор ориентиров в обобщённом виде, характерном для целого класса задач.

При этом следует учитывать, что поэтапное формирование часто требуется не для всего действия, а лишь для некоторых его элементов, остальные могут быть выполнены сразу в умственной форме.

По нашему мнению, наиболее эффективным средством активизации мыслительной деятельности являются задачи с параметрами. Именно при решении таких задач одновременно происходит знакомство с новым математическим аппаратом и повторение ранее пройденного материала. Они способствуют формированию обобщённости знаний в целях наиболее их эффективного усвоения. Задачи с параметрами призваны запускать сложную аналитико-синтетическую работу мышления обучающегося, направленную на вычленение существенных признаков нового материала, отчленение их от несущественных и объединение в единое целое (индукция, дедукция, аналогия). Такие задачи, на наш взгляд, являются средством активизации мыслительных приёмов – анализа и синтеза. Приведём примеры задач, иллюстрирующих выделенные типы ориентировочной основы, и некоторые особенности учебной деятельности по их решению.

В одном из вариантов подготовки к ЕГЭ в 2016 г. была предложена следующая задача под номером 18 (позднее такая задача встретилась в вариантах репетиционного ЕГЭ, правда, немного в другой формулировке).

Задача [9]. Найти все значения параметра a, для каждого из которых уравнение

 

 

имеет более трёх различных решений.

Условие может вызвать первоначальное затруднение, так как в данном случае его ориентировочная основа имеет первый тип. Если же задача будет предложена ученикам при изучении темы «Решение уравнений высших степеней методом замены переменной» (можно продемонстрировать с её помощью упрощение алгебраических выражений – индукция), то она может быть решена по известному алгоритму для подобных задач. Подготовленный ученик способен с ней справиться, следовательно, необходимо обеспечить непрерывную подготовку к решению подобных задач. Приведём один из возможных методов решения.

Внимательно посмотрим на выражение и применим к первым двум слагаемым формулу суммы кубов (формула известна с 7-го класса) (анализ):

 

;

.

 

Вынесем общий множитель (синтез):

 

.

 

Рассмотрев распадающееся уравнение, определим две возможности (дедукция):

 

 и 2) .

 

Преобразуем второе уравнение, выделяя полный квадрат (анализ):

 

 

 

 

 

 

 

Оценим левую часть:

 

 

Из этого следует отсутствие действительных корней у второго уравнения. Таким образом, только первое уравнение может иметь более трёх различных решений (дедукция).

Рассмотрим: 1) .

Эту часть задачи в качестве укрупнения дидактической единицы «квадратный трёхчлен» можно предлагать детям с высоким потенциалом развития на факультативных занятиях уже в 8-м классе, если рассмотреть её без «оболочки». Например, определите количество корней квадратного уравнения в зависимости от значений параметра.

Уравнение, используя свойства модуля и замену переменной, приводим к квадратному уравнению с параметром и условием неотрицательности корней:

 

 

 

 

 

3)

 

В курсе 9-го класса такую задачу можно предложить с условием: «При каких значениях параметра оба корня уравнения положительны, отрицательны, разного знака, и др.?»

Уравнение 1) будет иметь более трёх различных решений, а именно четыре, если уравнение 3) будет иметь два различных положительных корня.

Задача сводится к распределению корней квадратного трёхчлена. Возможные случаи распределения корней квадратного трёхчлена представлены на рис. 1, где x1и x2 – корни многочлена f(x) = ax2 + bx + c, D = b2 – 4ac > 0, a ≠ 0.

 

 

 

Рис. 1. Условия для основных случаев распределения корней квадратного трехчлена

 

Обобщённые и упрощённые условия для основных случаев распределения корней, отмеченных на рис. 1 под пунктами 1, 2, 3, 4, 5, приведены под соответствующими номерами.

  1. Оба корня будут строго меньше числа А, тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

 

  1. Число А лежит между корнями уравнения, т. е. тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

 

  1. Оба корня будут больше числа А, тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

 

  1. Оба корня лежат на интервале  тогда и только тогда, когда выполнены условия:

 

  1. Отрезок  целиком лежит в интервале  тогда и только тогда, когда выполнены условия:

 

 

Вернемся к нашей задаче. Возможные случаи представлены на рис. 1 под пунктом 3, обобщённые и упрощенные условия для которого имеют следующий вид: оба корня будут больше числа  тогда и только тогда, когда выполняются следующие неравенства:

 

 

 

Рис. 2. Геометрическая иллюстрация условий неотрицательности корней квадратного трёхчлена

 

Составляем систему неравенств  из которой получаем .

 

Конечно, такие задачи целесообразно решать с детьми высокомотивированными или обладающими высоким потенциалом развития. При этом ориентировочная основа задач должна иметь второй или третий тип.

Модуль, алгебраические преобразования и формулы сокращённого умножения изучаются в курсе 8-го класса и не вызывают особых затруднений у успевающих учеников, а установление связей с конечным результатом – итоговой аттестацией – всегда способствует повышению интереса к обучению у детей с высоким потенциалом развития. Впоследствии для учеников 11-го класса такая задача станет простым повторением ранее пройденного, что способствует формированию когнитивных компетенций.

Приведённый пример основан на одной из задач программы усвоения Н. Ф. Талызиной [10], согласно которой на протяжении всего обучения осуществляется подбор системы заданий, необходимых для формирования универсальных учебных действий. Каждое задание выступает как порция материала, а шаг формирования УУД неравномерен и изменяется по мере накопления запаса познавательных действий.

По мнению психологов, уровень усвоения знаний определяется педагогическими условиями, в которых они формируются, т. е. степенью самостоятельности и активности обучающихся, которая зависит от характера управления процессом обучения [11]. Многолетний опыт позволяет утверждать, что базовый уровень знаний эффективно достигается только в рамках концепции программированного обучения. Однако следует отметить, что по достижении этого уровня навязывание усреднённого принудительного темпа овладения знаниями, усреднённой методики объяснения, инструктажа и контроля не может инициировать познавательную активность учащихся. Компетентность и творческая самостоятельность возникают в результате заинтересованной и активной, осознанной и целенаправленной самостоятельной учебной деятельности, которая начинается с возникновения желания проявить свою активность и продолжается при наличии достаточно сильных внутренних побуждений. Первоочередная задача учителя состоит в формировании стойких познавательных потребностей на основе возбуждения разнообразной положительной мотивации. Это требует индивидуального подхода к управлению работой каждого учащегося и выбора соответствующих средств и методов [12–14]. Мы в своей деятельности в качестве такого средства используем задачи с параметром.

Мастерство учителя заключается в том, чтобы укреплять и развивать математические способности учащихся, помочь ребенку поверить в себя, в свои способности, в умении сделать содержание своего предмета богатым, глубоким, разнообразным, а способы познавательной деятельности детей – творческими, продуктивными. Опыт нашей работы в данном направлении с использованием задач с параметром был обобщен в рамках методологических семинаров. Проведение семинаров наряду с другими направлениями повышения квалификации способствует освоению новых профессиональных компетенций посредством изучения как нового содержания, так и новых способов профессиональной деятельности, необходимых для эффективного достижения качества образования [15].