Нестандартные задачи теории вероятностей

Аннотация. В статье рассмотрены нестандартные задачи теории вероятностей.
Ключевые слова: числа Бернулли, парадокс Монти Хола, парадокс двух конвертов, парадокс Бертрана парадокс второго ребенка.

Случай, случайность — с ними мы встречаемся повседневно: случайная встреча, случайная поломка, случайная находка, случайная ошибка. Этот ряд можно продолжать бесконечно. Казалось бы, тут нет места для математики, но и здесь наука обнаружила интересные закономерности — они позволяют грамотному человеку достаточно уверенно чувствовать себя при многократной встрече со случайными событиями. 

Изучением этих событий занимается теория вероятностей. Как наука, она зародилась в середине ХVII века.

Математика соприкасается с обыденной жизнью гораздо теснее, чем этому традиционно учат в школе. У. Уивер пишет «Теория вероятностей и статистика две важные области, неразрывно связанные с нашей - повседневной деятельностью. Мир промышленности, страховые компании в большой степени являются должниками вероятностных законов. Сама физика имеет вероятностную природу; такова же в основе своей и биология. Между тем, несмотря на эту важность, универсальный характер теории вероятностей и статистики все еще не стал общепринятым среди деятелей образования».

Идея вероятности — одна из основополагающих и интригующих идей, лежащих в фундаменте современной науки. Лаплас называл теорию вероятностей «здравым смыслом, сведенным к исчислению» и говорил, что «нет науки более достойной наших размышлений и «было бы полезно ввести ее в систему народного просвещения». Этот призыв наконец-то услышан в нашем обществе и в «Концепции структуры и содержания общего среднего образования» провозглашено, что «обновление содержания математики связано, прежде всего, с введением в школьный курс вероятностно-статистического материала, необходимого дня жизни в современном обществе. 

Что изучает эта наука? Многим в голову наверняка пришли мысли вроде «вероятность дождя велика», «вероятность выигрыша в лотерею мала», «орёл и решка выпадают с вероятностью 50 на 50» и т.п. Но тогда сразу возникает вопрос, при чём здесь наука?

 И действительно, обывательское понимание вероятности больше смахивает на некое предсказание, часто с изрядной долей мистицизма и суеверий. Теория же вероятностей изучает вероятностные закономерности массовых однородных случайных событий. То есть, у неё нет цели что-либо угадать.

Парадоксы в теории вероятностей

Парадоксы в теории вероятностей — различного рода парадоксы, возникающие в теории вероятностей из-за несовершенства аксиоматики, в частности из-за определения вероятности через вероятность, неопределённости понятия «равновероятные события» и иных пробелов в основаниях данного раздела математики.

Основания возникновения парадоксов

В теории вероятности парадоксы бывают двух типов: первый — когда существует строгое решение в рамках аксиоматики, просто оно не очевидно, и условия задачи таковы, что ведут интуитивное понимание условий в ошибочном ключе, примерами таких парадоксов являются — Санкт-Петербургский парадокс,Парадокс закона больших чисел Бернулли, Парадокс дней рождения; второй тип — парадоксы, которые основываются на неоднозначной интерпретации аксиоматики теории вероятности, её недоопределённости, которую отмечал еще Пуанкаре^[1], их и можно назвать истинными парадоксами. Примеры истинных парадоксов: Проблема Монти Холла, Парадокс двух конвертов, Парадокс Хемпеля, Парадокс Бертрана. Ценность обоих типов парадоксов в том, что они помогают лучше понять суть теории, область её ограничения, глубже понять основания теории, и иногда исследование парадоксов вело к созданию отдельныхразделов математики.

Санкт-Петербургский парадокс

Парадокс получил известность после публикации Даниилом Бернулли в заметках Академии наук Санкт-Петербурга в 1738 году, однако впервые парадокс упоминается двоюродным братом Даниила, — Николаем Бернулли в 1713 году в письме к математику Монмору.  Иногда, ошибочно, парадокс приписывают Эйлеру. Суть парадокса: игроком бросается правильная монета до момента выпадения решки, игрок при выпадении получает 2r рублей, где r — это номер бросания, при котором выпала решка, — при каждом последующем бросании потенциальный выигрыш увеличивается вдвое. Сколько необходимо выплатить игроку за участие в игре с такими условиями, чтобы его средний выигрыш перекрыл выплату за игру. Ответ парадоксален, — математическое ожидание банковских выплат бесконечное. Выигрыш может выпасть при любом из r бросаний, тогда математическое ожидание равняется:

122+144+188...=1+1+1... Этот бесконечный ряд расходится, то есть имеет бесконечную сумму.

Парадокс пытались исследовать Бюффон, Крамер, однако приемлемого решения задачи в общем виде до сих пор нет, есть некоторые частные решения. например, если число бросаний ограничено 1 миллионом, банк начинает выигрывать, когда средняя ставка игрока составляет 21 рубль. Хотя Петербургский парадокс как модель используется в оценке финансовых рисков при инвестициях, она больше говорит о неопределённости финансовых рисков.

Сам факт, что петербургская Проблема не получила уникального и вообще приемлемого решения более, чем за 200 лет попыток крупнейшими умами мира, предполагает, что проблема роста акций не оставляет никаких надежд на удовлетворительное решение.

Парадокс закона больших чисел Бернулли

Так как по Закону больших чисел, при достаточно большом числе подбрасываний правильной монеты, частота выпадения орла и решки стремится к 12, то игроки считают, что чем чаще выпадает орёл, тем больше вероятность выпасть решке на каждом последующем броске и наоборот. Парадокс основан на интуитивном понимании Закона больших чисел, при котором монете приписывается «память», то есть результат последующих бросаний должен зависеть от предыдущих, что, естественно, невозможно, каждое отдельное бросание независимо от предыдущих и последующих, и вероятность выпадения последовательностей ОООООООООООООР и РОРОРОРОРОРОРО (Р — решка, О — орёл) одинаковы и составляют 1214, для правильной монеты.

Парадокс Монти Холла

Следующая версия проблемы была изложена в журнале Parade Magazine в 1990 году, сам парадокс основан на телешоу «Let’s Make a Deal», и назван по имени ведущего этой передачи. Условие задачи следующее:

Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трех дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор? Обычно интуитивно даётся ответ 12, который не верен, так как при смене выбора вероятность выигрыша автомобиля увеличивается до двух третей, так как своим первоначальным выбором участник делит двери на выбранную — A и две другие — B и C, и вероятность того, что автомобиль находится за выбранной дверью = 1/3, того, что за двумя другими = 2/3, поэтому всегда выгоднее сменить выбор вопреки интуитивному пониманию.

В данном виде задача изложена не полно, существует стратегия «адский Монти», когда ведущий предлагает сменить выбор только тогда, когда первым ходом выбран автомобиль. Обычно задача рассматривается при следующих дополнительных условиях: автомобиль равновероятно находится за любой из дверей, ведущий в любом случае открывает одну дверь за которой находится коза и предлагает изменить выбор, если игрок выбрал автомобиль изначально, то ведущий выбирает любую из дверей за которой коза с одинаковой вероятностью.

Парадокс двух конвертов

В различных формулировках парадокс известен с 1930 года, вариант с двумя конвертами, который и получил большую популярность, описан в конце 1980-х. Условия парадокса следующие — существует два конверта с деньгами, сумма в одном конверте в два раза больше суммы в другом, предлагается выбранный конверт открыть, и в случае желания выбрать другой конверт. Если в первом (открытом) конверте была сумма А, во втором может находиться 0,5•(2•А) + 0,5•(0,5•А) = 1,25•А, что больше А. При таких условиях целесообразнее отказаться от первого конверта и выбрать второй, однако, все те же рассуждения справедливы при выборе второго конверта — большую привлекательность приобретает первый, и наоборот, до бесконечности. Различные варианты разрешения парадокса предлагаются до сих пор.

В случае, если будет найдено приемлемое решение, разрешающее парадокс, это поможет найти решения в различных теоретических и прикладных областях: наглядное понимание некоторых парадоксов термодинамики, оптимизация работы технических систем, улучшение электронных схем, составление выигрышной стратегии игры на фондовом рынке.

Ключом к пониманию парадокса служит рассмотрение двух задач, где задача А - количество денег в конверте никогда не может превышать Х единиц. В данном случае, открыв конверт с деньгами и получив чек на более чем Х/2 единиц денег, игрок заведомо осведомлен, что его конверт больший. Задача В - количество денег в большем конверте равно от 2 единиц до бесконечности, так же сводится к задачам С и D. С - когда игрок получает 1 единицу денег и знает, что его конверт меньший. В случае задачи D мы имеем ситуацию, в которой математическое ожидание количества денег, лежащих в конверте полученных игроком, равно ∞/2 и при обмене конверта математическое ожидание его выигрыша равно 1,25•∞/2. Учитывая равенство ∞/2 и 1,25•∞/2, можно прийти к выводу, что с вероятностью 1 - 1/∞ наступит ситуация, когда обмен безразличен. Таким образом, если не рассматривать ситуации С и D, то нужно сделать замечание, что в области действительных чисел возможна экспертная оценка возможности выигрыша и проигрыша.

Парадокс Бертрана

Парадокс был описан в работе Ж. Бертрана «Исчисление вероятностей» (Calcul des probabilites) 1898 года. Суть парадокса: для произвольной окружности произвольно выбирается хорда, какова вероятность того, что она длиннее стороны равностороннего треугольника. Изначально было предложено три метода:

1. Случайным образом в круге выбирается точка, она определяет единственную хорду, серединой которой является (за исключением центра, но в этом случае все хорды эквивалентны), в этом случае хорда длиннее стороны треугольника, когда эта точка лежит во вписанном круге с радиусом в половину первого круга и с тем же центром. Вероятность попадания произвольной точки в этот круг — отношение площадей меньшего и большего кругов и составляет 14.
2. Если случайным образом на окружности выбирается точка, служащая одним концом хорды, и одновременно является углом треугольника, то хорда будет длиннее стороны треугольника только в случае если она пересекает противоположную углу сторону. Вероятность этого определяется длинами дуг отсекаемых каждой стороной, их три и они равны между собой — то есть вероятность события 13.
3. В случае, если на радиусе произвольно выбирается точка, и хорда проводится перпендикулярно радиусу в этой точке, то так как сторона треугольника делит перпендикулярный ей радиус пополам, то вероятность события — 12.

При разных изначальных предположениях об исходных равновероятных событиях, можно получить любой желаемый результат, от единицы до 12 — например, в случае если радиус произвольной окружности изменяется от бесконечной длинны до конечной, соответственно, а хорда получается сечением окружности произвольной прямой на бесконечной плоскости. Данный парадокс дал начало новому разделу математики — интегральной геометрии, которая позволяет реконструировать исходные объекты по их сечениям или проекциям, что находит применение в минералогии, металлургии, биологии и медицины — при реконструкции данных томографии.

Парадокс второго ребёнка (парадокс мальчика и девочки)

Парадокс сформулирован в 1959-ом году Мартином Гарднером в статье «The Two Children Problem» опубликованной в журнале Scientific American. Первая формулировка была следующей:

У мистера Джонса двое детей. При этом старший ребенок - девочка. Какова вероятность того, что оба ребенка девочки? У мистера Смита двое детей. При этом хотя бы один ребенок – мальчик. Какова вероятность того, что оба ребенка мальчики?

Интуитивный вариант на второй вопрос это что вероятность равна 12, хотя на самом деле поле равновероятных событий в этом случае состоит из трёх вариантов — ММ, МД, ДМ (если дети не близнецы), и вариант ММ только один из них, следовательно, искомая вероятность равна 13. Сам Гарднер впоследствии понял, что в третьем варианте ситуация неоднозначна, и зависит от дополнительных условий - в зависимости от того, при каких условиях выясняется, что второй ребёнок мальчик

Занимательные задачи теории вероятностей

Легкомысленный член жюри

В жюри из трех человек два члена независимо друг от друга принимают правильное решение с вероятностью p, а третий для вынесения решения бросает монету (окончательное решение выносится большинством голосов). Жюри из одного человека выносит справедливое решение с вероятностью р. Какое из этих жюри выносит справедливое решение с большей вероятностью?

Решение

Оба типа жюри имеют одинаковую вероятность вынести правильное решение. В самом деле, два серьезных члена жюри будут голосовать за справедливое решение с вероятностью p×p=p², при этом результат голосования третьего члена жюри не существен. Если же эти судьи расходятся во мнениях, вероятность чего равна p(1-p)+(1-p)p=2p(1-p), то для нахождения вероятности правильного решения это число надо умножить на 1/2. Таким образом, полная вероятность вынесения справедливого решения жюри из трех человек равна p²+p(1-p)=p, что совпадает с соответствующей вероятностью для жюри из одного человека.

Эксперимент по психологии азартных игроков

(а). Урна содержит 10 черных и 10 белых    шаров, отличающихся   лишь цветом. Один шар вытаскивается наружу, и если его цвет совпадает с выбранным   вами, то вы получаете 10 долларов, в противном случае — ничего. Сообщите максимальный взнос, который вы готовы сделать для участия в игре. Игра проводится лишь один раз. 

(б). У вашего друга имеется много белых и черных шаров, и он заполняет ими урну по своему усмотрению. Вы выбираете «черное» или «белое», после чего из урны наудачу вытягиваете шар. Какую максимальную сумму вы готовы заплатить за участие в игре? Игра проводится только один раз.

Решение

Трудно сказать, какой предварительный взнос вы сочтете подходящим для себя. Хотя математическое ожидание выигрыша в первой игре равно пяти долларам, вы можете не захотеть платить взнос, близкий к 5 долларам, за право игры. Потеря 3 или 4 долларов может весьма много значить для игроков. Вы можете, например, предложить взнос, в 75 центов. Кажется естественным, однако, что взнос для участия во второй игре должен быть по крайней мере таким же, как и для их первой игры. Цвет всегда может быть выбран случайным бросанием монеты, что дает 50% шансов правильного решения и математическое ожидание выигрыша, равное 5 долларам. Кроме того, если вы располагаете информацией о склонностях вашего друга, то она может быть использована для увеличения вероятности выигрыша. Большинство людей склонно скорее к первой игре, так как условия второй представляются им менее определенными. Автор обязан этой задачей Г. Райфа; последний сообщил ему, что идея задачи принадлежит Д. Элсбергу.

Молчаливый союз

Двум незнакомым людям предлагается загадать произвольное натуральное число, причем если они оба называют одно и то же число, то получают премию. Какое бы число загадали вы?

Решение

Автор не встречал еще ни одного человека, который загадал бы многозначное число, при этом, как правило, называют числа 1, 3 и 7. В большинстве случаев была выбрана единица, но встречались также З и 7. 

Странное метро

Мэрвин кончает работу в случайное время между 15 и 17 часами. Его мать и его невеста живут в противоположных частях города. Мэрвин садится в первый подошедший к платформе поезд, идущий в любом направлении, и обедает с той из дам, к которой приедет. Мать Мэрвина жалуется на то, что он редко у нее бывает, но юноша утверждает, что его шансы обедать с ней и с невестой равны. Мэрвин обедал с матерью дважды в течение 20 рабочих дней. Объясните это явление.

Решение

Поезда в направлении к невесте останавливаются у перрона, куда приходит Мэрвин, скажем, в З⁰⁰, З¹⁰, З²⁰ и т. д., поезда в противоположном направлении в З⁰¹, 3¹¹, З²¹ и т. д. Чтобы поехать к матери, Мэрвин должен попасть в одноминутный интервал между поездами указанных типов.

Неуклюжий химик

В лаборатории имеется несколько стеклянных трубок, каждая длиной в 9 см, помеченных с одного конца красной меткой, а с другого — синей. Споткнувшийся лаборант роняет эти трубки на пол, в результате чего многие из них разбиваются на три части. Какова для таких трубок средняя длина куска с синей меткой?

Решение

В предположении того, что трубка разбивается случайно, из принципа симметрии выводим, что распределение длины каждой части с красной меткой, средней и с синей меткой одинаково и, значит, равны и их математические ожидания. Так как сумма этих величин постоянна и равна 9 см, то средняя длина куска трубки с красной меткой равна 3 см.

 Теория вероятностей, подобно другим разделам математики, развилась из потребностей практики: в абстрактной форме она отражает закономерности, присущие случайным событиям массового характера. Эти закономерности играют исключительно важную роль в физике и других областях естествознания, разнообразнейших технических дисциплинах, экономике, социологии, биологии. В связи с широким развитием предприятий, производящих массовую продукцию, результаты теории вероятностей стали использоваться не только для браковки уже изготовленной продукции, но и для организации самого процесса производства (статистический контроль в производстве).

Ссылки на источники

1. В. В. Афанасьев, М. А. Суворова; худож. В. Н. Куров – Ярославль: Академия развития, 2006.-192с.: ил. – (Старшекласснику, выпускнику, абитуриенту)
2. Я. С. Бродский. – М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2008. – 544с.: ил. – (Школьный курс математики)
3. http://www.mathprofi.ru/teorija_verojatnostei.html
4. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. Ф. Мостеллер, перев, с англ., издание второе. Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1975 г.