Линейная аппроксимация коэффициентов теплопроводности многослойных теплозащитных покрытий для лопаток газотурбинного двигателя
ART 85504
Автор:
И.
К. Андрианов
И.
К. Андрианов Библиографическое описание статьи для цитирования:
Андрианов
И.
К. Линейная аппроксимация коэффициентов теплопроводности многослойных теплозащитных покрытий для лопаток газотурбинного двигателя // Научно-методический электронный журнал «Концепт». –
2015. – Т. 13. – С.
2516–2520. – URL:
http://e-koncept.ru/2015/85504.htm.
Аннотация. Предложена аппроксимирующая функция переменного коэффициента теплопроводности для многослойных теплозащитных покрытий, определены условия и область применения полученной математической модели, проведено сравнение действительной и приближенной функций коэффициента теплопроводности на примере металлокерамических теплозащитных покрытий.
Ключевые слова:
аппроксимация, температурное поле, теплозащитное покрытие, коэффициент теплопроводности
Текст статьи
Андрианов Иван Константинович,аспирант КомсомольскогонаАмуре государственного технического университета, г. КомсомольскнаАмуре.ivan_andrianov_90@mail.ru
Линейнаяаппроксимация коэффициентовтеплопроводности многослойных теплозащитных покрытий
для лопатокгазотурбинного двигателя
Аннотация.Предложена аппроксимирующая функцияпеременного коэффициента теплопроводности для многослойныхтеплозащитных покрытий, определены условия и область применения полученной математической модели, проведено сравнение действительной и приближенной функций коэффициента теплопроводностина примереметаллокерамическихтеплозащитных покрытий.Ключевые слова: теплозащитное покрытие, коэффициент теплопроводности, температурное поле, аппроксимация.
На сегодняшний день лопатки практически всех ступеней газотурбинного двигателя имеют теплозащитных покрытия. Безусловно, разработка систем внутреннего охлаждения лопаток [2] позволила решить ряд важных проблем: за счет уменьшения температуры лопаток, уменьшились температурные напряжения, зоны перегреваи,как следствие,возросли долговечность и работоспособность лопаток.Однако наличие систем охлаждения позволяет выравнивать тепловое состояние лопаток, ноне защищает от высокотемпературного окисления наружной поверхности лопатки. Врезультате, весьма актуальными являются теплозащитные покрытия на многокомпонентной основе.В частности, широко применяются керметные многослойные покрытия, где внутреннийслой,прилегающий к поверхности лопатки, посвоей основе является исключительно металлическим и отвечает за жаростойкость, а внешний слой, подвергающийся агрессивному воздействую газовой среды,является керамическим, обеспечивая тепловую защиту и изоляцию от температурного нагружения.Промежуточные слои всвоем составе содержат и металл, и керамику. Чем ближе слой к наружной поверхности покрытия, тем выше содержаниекерамической составляющейв слое, в свою очередьметаллическая составляющая возрастает в направлении к внутреннейповерхности покрытия.
Актуальность данного исследования обусловлена тем, что сегодня проводятся многочисленные исследования, связанные с разработкой новых многослойных покрытий, имеющих переменныетеплофизические свойства. С каждым годом число таких разработок становится все больше, соответственно необходимым является исследованиеоптимальных методов расчета таких покрытий, ихтеплофизических характеристик.Цель данного исследования заключается в том, чтобы с помощью линейной аппроксимацииисключающей сингулярность точек разрыва, обеспечить дифференцируемость функции теплопроводности.Определяющие соотношения теплообменного процесса, протекающего в лопатках и теплозащитныхпокрытиях, включают в себядифференциальные уравнения теплопроводности Фурье и краевые условия теплопроводности. Поскольку и лопатки, и покрытияработают при высоких температурах, необходимо рассматривать задачу теплообмена в нелинейной постановке, т.е. полагая, чтокоэффициент теплопроводностизависит не только от координат, но иоттемпературы.Безусловно, вопроспеременности коэффициента теплопроводности покрытияшироко изучался в различных исследованиях [15], рассматривающих особенности теплообменного процесса, протекающего в лопатках с покрытием. Сегодня наиболее востребованными являютсякерметные теплозащитные покрытия, которые являются многослойными, при чем каждый наносимый слой может обладать различными теплофизическими свойствами. Одним из исследователей, занимающимся данной проблемой является Трушин В.А.,которымв работе [1]былапредложенаформула для расчетакоэффициента теплопроводности многослойных покрытий: (1)где
–теплопроводность защитного покрытия для kго слоя,k–номер слоя,–температура покрытия, –массовые доли металла в kм слое,–массовые доли керамикив kм слое, –константыматериала на металлической основе,–константы материаланакерамической основе.Сложность в применении данной формулы возникает при дифференцировании коэффициента теплопроводности. Соотношение (1)записываетсядля каждого kслоя отдельно, поскольку коэффициенты, отражающие теплофизические свойства материала, будут различаться для рассматриваемого слоя. Очевидно, что в процессе расчета теплообменного процесса, математическая модель которого строится на основании дифференциальных уравнений теплопроводности,одна из важных проблем связана с вычислением дифференциалов , отражающих изменение коэффициента теплопроводности по толщине покрытия.Это чрезвычайно важно, поскольку для оценки температурных градиентовиисследования теплового состояниянеобходимо знать, как изменяется коэффициент теплопроводности по толщине покрытия, по контуру и высоте лопатки.Поскольку единаяформуладля вычисления коэффициента теплопроводности во всем покрытие не получена, вычисление производных в области перехода от одного слоя к другому затруднительно, поскольку появляются точки разрываисследуемой функции.Математическоепредставлениекоэффициентатеплопроводностидает возможность рассмотретьего как функциюпо толщинепокрытия. Вследствие разрывности функции мы не можем использовать условие непрерывности при исследовании изменения теплопроводности по радиусу кривизны. Поскольку каждый из слоев является частьютеплообменного процесса, тепловое состояние слоя однозначно определяетсятемпературнымиусловиямии условиямитеплообмена на поверхностях, а именно:
тепловое состояниена наружнойи внутреннейповерхностислоев,
условие равенства плотностей тепловых потокови температурных полей в зоне контакта.
условие теплоотдачи для наружного слоя, омываемого газовой средой.В результате, для каждого покрытия количество краевых условийтеплопроводностиN,описывающих теплообменный процесс, протекающий в каждом отдельном слое, определяется соотношением N= 3n+1, где n–количество слоев.Например, для пятислойных покрытий,которые сегодня широко применяются для защиты лопаток от температурного воздействиягазовой средынеобходимо 16 уравнений описывающих процесс теплопередачи.Очевидная нелинейность условий теплопроводности накладывает определенную сложность на вычислительный процесс, поскольку необходимо применениеприближенных методов расчета, добавляющих громоздкость вычислениям.Таким образом, для решения данной проблемы построим интерполяционную функцию, аппроксимирующую коэффициент теплопроводности многослойного теплозащитного покрытия и обуславливающую гладкое изменение коэффициента по толщине покрытия. Представим функцию коэффициента теплопроводности следующим соотношениемв виде функций двух переменных:
где r–радиускривизны, направленный по нормали к поверхности покрытия.Аппроксимируем коэффициенты
и линейной зависимостью по радиусукривизны, тогда
(2) (3)В случае линейной аппроксимации неизвестными являются коэффициенты , Для их нахождения определим значения параметров
и на границах теплозащитного покрытия. На поверхности покрытия, подвергающегося высокотемпературномувоздействиюпри (
радиускривизны на внутренней поверхности покрытия, прилегающей к лопатке,
толщина теплозащитного покрытия, наружный слой является чисто керамическим, соответственно параметры, , зависящие от свойств материала, считаемизвестными, .Используя соотношения(2) и (3)получим следующие условия: (4)
(5)На внутренней поверхности теплозащитного покрытияпри , составляющая слоявыполненаполностью на металлической основе, соответственно, параметры, определим через константы материала,, в результатеполучим соотношения: (6)
(7)Решая линейные системы уравнений (4)и (6), (5)и (7),можем найти неизвестные константы , ,
, (8), . (9)Подставляя выражения (8)и (9)в уравнения (2)и (3), получим линейную аппроксимацию параметров , : (10)
(11)Таким образом, каждая из констант , определяется свойствами металлической и керамической составляющейпокрытия.Параметры , отвечают за способность материала покрытия «передаватьтеплоот слоя к слою, соответственно, являются функциями только координатырадиусакривизны.
Рис. 1. Линейная аппроксимация
Рис. 2.Линейная аппроксимация
параметра .
параметра
На рисунках 1,2 представленаграфическаяаппроксимацияпараметров , , где ступенчатой кривой показанореальное изменение параметров , послойно, в узлах которыхсосредоточенысингулярные точки.Аппроксимация представляется в виде непрерывных линейныхфункций , , позволяющихинтерполировать значения в любой точке исследуемой области, обеспечивая непрерывную производную.С учетом изменения параметров, , представленных в виде функций(10)и (11),изменяющихся линейным образом от радиусакривизны, получимопределяющее соотношениедля коэффициента теплопроводности: (12)Аппроксимация коэффициента теплопроводности позволяет интерполировать значения функции (11)для любой точки по толщине покрытия.Данное соотношение связывает теплофизические свойства основных компонентов покрытия: металлической и керамической основ, а также изменяющихся параметров: радиусакривизны и температуры. На рисунках 3, 4 построены действительная и приближенная функциикоэффициента теплопроводности для металлокерамическоготеплозащитного покрытия в диапазоне изменения температур
и радиусакривизны при толщине теплозащитного покрытия .Теплофизические свойства покрытия определяютсяконстантами,,,
[1, с.174].
Рис. 3.График изменения функции Рис.4. Линейная аппроксимация теплопроводности . коэффициента теплопроводности
Безусловно, проводя аппроксимацию функциитеплопроводности, один из важных вопросов заключается в оценке погрешности интерполяции в конкретной точке контура.Для удобства расчета рассмотрим kслой теплозащитного покрытия, полагая, что, где –толщина слояпри целом .Соответственно, толщина теплозащитного покрытия будет определяться как.Используя принятые обозначения, представим функцию теплопроводности 11)в следующем виде: (13)где –интерполяционная функция теплопроводности, k–номер слоя покрытия, n–общее количество слоевв покрытии.Аналогично преобразуем соотношение (1)с учетомпредставлений массовых долей в следующем виде:, . Смыслданных выраженийзаключается в том, что при керамическая составляющая в каждом последующем слое увеличивается. При k= nнаружный слой является полностью керамическим,. При
металлическаясоставляющая увеличивается, а содержание керамики в слоях уменьшается, соответственно для внутреннего слоя, контактирующего с лопаткой, при k= 1массовые доли будут
определяться как ,.Несложно проверить, что для среднего слоя при в случаенечетного количества слоев в теплозащитном покрытии, количество металлической и керамической составляющих будет одинаковым, соответственно,массовые доли будут равны:. Таким образом, можем представить уравнение (1)в следующем виде: (14)Приведя выражения (13)и (14)к удобному для сравнения виду,отметим, что множители
и , отвечающие за теплофизические свойства материала, не могут совпадать в силу переменности состава покрытия,следовательно, можно провести раздельную оценку погрешности,где ε–задаваемая величина относительной погрешности.Проводя оценку множителей при в соотношениях (13) и (14), отражающих изменение теплопроводности керамической составляющей в направлении радиуса кривизны, получим следующее соотношение: (15)
Втораяоценка касается изменения теплопроводностиметаллической составляющей по толщине покрытия.Сравним множители при
в уравнениях(13)и (14): (16)Преобразовывая неравенство(15),представим условие применимости гладкой аппроксимациикоэффициента теплопроводности(13),удовлетворяющее требуемой точности,в следующем виде: (17)Очевидно, что при увеличении количества слоев теплозащитного покрытия, возрастает и точность линейной аппроксимации. Соответственно, соотношение (13)при заданных условиях (15) и(17) позволит обеспечить необходимую точность расчета.Таким образом, в данном исследовании получена линейная аппроксимация коэффициента теплопроводности с переменными теплофизическими свойствами по толщине теплозащитногопокрытияза счет интерполяции сингулярных точек перехода от одного слоя к другомус помощью аппроксимирующей функциии. Необходимостьпредложенноймодели (13)обусловлена простотой дальнейшего расчета теплообменного процесса, который связан с вычислениемтемпературных градиентов. Данное предложение особенно важнов случае нелинейной постановки задачи, когда теплофизические свойства материала зависят от изменения температурного состояния.
Ссылки на источники1.Трушин В.А. Теплопроводность многослойных металлокерамических покрытий деталей ГТД. Вестник УГАТУ № 13. 2001. C. 174180. 2.Haгoгa, Г.П. Эффективные способы охлаждения лопаток высокотемпературных газовых турбин: Учебное пособие. М.: Изво МАИ, 1996. 100 с.:3. Лыков,А.В. Теория теплопроводности. –М.: Высшая школа, 1967. –600 с.4. Новиков, И. И., Воскресенский К. Д. Прикладная термодинамика и теплопередача. Изд. 2е. М., Атомиздат, 1977, 352с.5.Карташов, Э. М. К 27 Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел: Учеб. пособие. — 3е изд., перераб. и доп. — М.: Высш. шк., 2001. — 550 с.
Линейнаяаппроксимация коэффициентовтеплопроводности многослойных теплозащитных покрытий
для лопатокгазотурбинного двигателя
Аннотация.Предложена аппроксимирующая функцияпеременного коэффициента теплопроводности для многослойныхтеплозащитных покрытий, определены условия и область применения полученной математической модели, проведено сравнение действительной и приближенной функций коэффициента теплопроводностина примереметаллокерамическихтеплозащитных покрытий.Ключевые слова: теплозащитное покрытие, коэффициент теплопроводности, температурное поле, аппроксимация.
На сегодняшний день лопатки практически всех ступеней газотурбинного двигателя имеют теплозащитных покрытия. Безусловно, разработка систем внутреннего охлаждения лопаток [2] позволила решить ряд важных проблем: за счет уменьшения температуры лопаток, уменьшились температурные напряжения, зоны перегреваи,как следствие,возросли долговечность и работоспособность лопаток.Однако наличие систем охлаждения позволяет выравнивать тепловое состояние лопаток, ноне защищает от высокотемпературного окисления наружной поверхности лопатки. Врезультате, весьма актуальными являются теплозащитные покрытия на многокомпонентной основе.В частности, широко применяются керметные многослойные покрытия, где внутреннийслой,прилегающий к поверхности лопатки, посвоей основе является исключительно металлическим и отвечает за жаростойкость, а внешний слой, подвергающийся агрессивному воздействую газовой среды,является керамическим, обеспечивая тепловую защиту и изоляцию от температурного нагружения.Промежуточные слои всвоем составе содержат и металл, и керамику. Чем ближе слой к наружной поверхности покрытия, тем выше содержаниекерамической составляющейв слое, в свою очередьметаллическая составляющая возрастает в направлении к внутреннейповерхности покрытия.
Актуальность данного исследования обусловлена тем, что сегодня проводятся многочисленные исследования, связанные с разработкой новых многослойных покрытий, имеющих переменныетеплофизические свойства. С каждым годом число таких разработок становится все больше, соответственно необходимым является исследованиеоптимальных методов расчета таких покрытий, ихтеплофизических характеристик.Цель данного исследования заключается в том, чтобы с помощью линейной аппроксимацииисключающей сингулярность точек разрыва, обеспечить дифференцируемость функции теплопроводности.Определяющие соотношения теплообменного процесса, протекающего в лопатках и теплозащитныхпокрытиях, включают в себядифференциальные уравнения теплопроводности Фурье и краевые условия теплопроводности. Поскольку и лопатки, и покрытияработают при высоких температурах, необходимо рассматривать задачу теплообмена в нелинейной постановке, т.е. полагая, чтокоэффициент теплопроводностизависит не только от координат, но иоттемпературы.Безусловно, вопроспеременности коэффициента теплопроводности покрытияшироко изучался в различных исследованиях [15], рассматривающих особенности теплообменного процесса, протекающего в лопатках с покрытием. Сегодня наиболее востребованными являютсякерметные теплозащитные покрытия, которые являются многослойными, при чем каждый наносимый слой может обладать различными теплофизическими свойствами. Одним из исследователей, занимающимся данной проблемой является Трушин В.А.,которымв работе [1]былапредложенаформула для расчетакоэффициента теплопроводности многослойных покрытий: (1)где
–теплопроводность защитного покрытия для kго слоя,k–номер слоя,–температура покрытия, –массовые доли металла в kм слое,–массовые доли керамикив kм слое, –константыматериала на металлической основе,–константы материаланакерамической основе.Сложность в применении данной формулы возникает при дифференцировании коэффициента теплопроводности. Соотношение (1)записываетсядля каждого kслоя отдельно, поскольку коэффициенты, отражающие теплофизические свойства материала, будут различаться для рассматриваемого слоя. Очевидно, что в процессе расчета теплообменного процесса, математическая модель которого строится на основании дифференциальных уравнений теплопроводности,одна из важных проблем связана с вычислением дифференциалов , отражающих изменение коэффициента теплопроводности по толщине покрытия.Это чрезвычайно важно, поскольку для оценки температурных градиентовиисследования теплового состояниянеобходимо знать, как изменяется коэффициент теплопроводности по толщине покрытия, по контуру и высоте лопатки.Поскольку единаяформуладля вычисления коэффициента теплопроводности во всем покрытие не получена, вычисление производных в области перехода от одного слоя к другому затруднительно, поскольку появляются точки разрываисследуемой функции.Математическоепредставлениекоэффициентатеплопроводностидает возможность рассмотретьего как функциюпо толщинепокрытия. Вследствие разрывности функции мы не можем использовать условие непрерывности при исследовании изменения теплопроводности по радиусу кривизны. Поскольку каждый из слоев является частьютеплообменного процесса, тепловое состояние слоя однозначно определяетсятемпературнымиусловиямии условиямитеплообмена на поверхностях, а именно:
тепловое состояниена наружнойи внутреннейповерхностислоев,
условие равенства плотностей тепловых потокови температурных полей в зоне контакта.
условие теплоотдачи для наружного слоя, омываемого газовой средой.В результате, для каждого покрытия количество краевых условийтеплопроводностиN,описывающих теплообменный процесс, протекающий в каждом отдельном слое, определяется соотношением N= 3n+1, где n–количество слоев.Например, для пятислойных покрытий,которые сегодня широко применяются для защиты лопаток от температурного воздействиягазовой средынеобходимо 16 уравнений описывающих процесс теплопередачи.Очевидная нелинейность условий теплопроводности накладывает определенную сложность на вычислительный процесс, поскольку необходимо применениеприближенных методов расчета, добавляющих громоздкость вычислениям.Таким образом, для решения данной проблемы построим интерполяционную функцию, аппроксимирующую коэффициент теплопроводности многослойного теплозащитного покрытия и обуславливающую гладкое изменение коэффициента по толщине покрытия. Представим функцию коэффициента теплопроводности следующим соотношениемв виде функций двух переменных:
где r–радиускривизны, направленный по нормали к поверхности покрытия.Аппроксимируем коэффициенты
и линейной зависимостью по радиусукривизны, тогда
(2) (3)В случае линейной аппроксимации неизвестными являются коэффициенты , Для их нахождения определим значения параметров
и на границах теплозащитного покрытия. На поверхности покрытия, подвергающегося высокотемпературномувоздействиюпри (
радиускривизны на внутренней поверхности покрытия, прилегающей к лопатке,
толщина теплозащитного покрытия, наружный слой является чисто керамическим, соответственно параметры, , зависящие от свойств материала, считаемизвестными, .Используя соотношения(2) и (3)получим следующие условия: (4)
(5)На внутренней поверхности теплозащитного покрытияпри , составляющая слоявыполненаполностью на металлической основе, соответственно, параметры, определим через константы материала,, в результатеполучим соотношения: (6)
(7)Решая линейные системы уравнений (4)и (6), (5)и (7),можем найти неизвестные константы , ,
, (8), . (9)Подставляя выражения (8)и (9)в уравнения (2)и (3), получим линейную аппроксимацию параметров , : (10)
(11)Таким образом, каждая из констант , определяется свойствами металлической и керамической составляющейпокрытия.Параметры , отвечают за способность материала покрытия «передаватьтеплоот слоя к слою, соответственно, являются функциями только координатырадиусакривизны.
Рис. 1. Линейная аппроксимация
Рис. 2.Линейная аппроксимация
параметра .
параметра
На рисунках 1,2 представленаграфическаяаппроксимацияпараметров , , где ступенчатой кривой показанореальное изменение параметров , послойно, в узлах которыхсосредоточенысингулярные точки.Аппроксимация представляется в виде непрерывных линейныхфункций , , позволяющихинтерполировать значения в любой точке исследуемой области, обеспечивая непрерывную производную.С учетом изменения параметров, , представленных в виде функций(10)и (11),изменяющихся линейным образом от радиусакривизны, получимопределяющее соотношениедля коэффициента теплопроводности: (12)Аппроксимация коэффициента теплопроводности позволяет интерполировать значения функции (11)для любой точки по толщине покрытия.Данное соотношение связывает теплофизические свойства основных компонентов покрытия: металлической и керамической основ, а также изменяющихся параметров: радиусакривизны и температуры. На рисунках 3, 4 построены действительная и приближенная функциикоэффициента теплопроводности для металлокерамическоготеплозащитного покрытия в диапазоне изменения температур
и радиусакривизны при толщине теплозащитного покрытия .Теплофизические свойства покрытия определяютсяконстантами,,,
[1, с.174].
Рис. 3.График изменения функции Рис.4. Линейная аппроксимация теплопроводности . коэффициента теплопроводности
Безусловно, проводя аппроксимацию функциитеплопроводности, один из важных вопросов заключается в оценке погрешности интерполяции в конкретной точке контура.Для удобства расчета рассмотрим kслой теплозащитного покрытия, полагая, что, где –толщина слояпри целом .Соответственно, толщина теплозащитного покрытия будет определяться как.Используя принятые обозначения, представим функцию теплопроводности 11)в следующем виде: (13)где –интерполяционная функция теплопроводности, k–номер слоя покрытия, n–общее количество слоевв покрытии.Аналогично преобразуем соотношение (1)с учетомпредставлений массовых долей в следующем виде:, . Смыслданных выраженийзаключается в том, что при керамическая составляющая в каждом последующем слое увеличивается. При k= nнаружный слой является полностью керамическим,. При
металлическаясоставляющая увеличивается, а содержание керамики в слоях уменьшается, соответственно для внутреннего слоя, контактирующего с лопаткой, при k= 1массовые доли будут
определяться как ,.Несложно проверить, что для среднего слоя при в случаенечетного количества слоев в теплозащитном покрытии, количество металлической и керамической составляющих будет одинаковым, соответственно,массовые доли будут равны:. Таким образом, можем представить уравнение (1)в следующем виде: (14)Приведя выражения (13)и (14)к удобному для сравнения виду,отметим, что множители
и , отвечающие за теплофизические свойства материала, не могут совпадать в силу переменности состава покрытия,следовательно, можно провести раздельную оценку погрешности,где ε–задаваемая величина относительной погрешности.Проводя оценку множителей при в соотношениях (13) и (14), отражающих изменение теплопроводности керамической составляющей в направлении радиуса кривизны, получим следующее соотношение: (15)
Втораяоценка касается изменения теплопроводностиметаллической составляющей по толщине покрытия.Сравним множители при
в уравнениях(13)и (14): (16)Преобразовывая неравенство(15),представим условие применимости гладкой аппроксимациикоэффициента теплопроводности(13),удовлетворяющее требуемой точности,в следующем виде: (17)Очевидно, что при увеличении количества слоев теплозащитного покрытия, возрастает и точность линейной аппроксимации. Соответственно, соотношение (13)при заданных условиях (15) и(17) позволит обеспечить необходимую точность расчета.Таким образом, в данном исследовании получена линейная аппроксимация коэффициента теплопроводности с переменными теплофизическими свойствами по толщине теплозащитногопокрытияза счет интерполяции сингулярных точек перехода от одного слоя к другомус помощью аппроксимирующей функциии. Необходимостьпредложенноймодели (13)обусловлена простотой дальнейшего расчета теплообменного процесса, который связан с вычислениемтемпературных градиентов. Данное предложение особенно важнов случае нелинейной постановки задачи, когда теплофизические свойства материала зависят от изменения температурного состояния.
Ссылки на источники1.Трушин В.А. Теплопроводность многослойных металлокерамических покрытий деталей ГТД. Вестник УГАТУ № 13. 2001. C. 174180. 2.Haгoгa, Г.П. Эффективные способы охлаждения лопаток высокотемпературных газовых турбин: Учебное пособие. М.: Изво МАИ, 1996. 100 с.:3. Лыков,А.В. Теория теплопроводности. –М.: Высшая школа, 1967. –600 с.4. Новиков, И. И., Воскресенский К. Д. Прикладная термодинамика и теплопередача. Изд. 2е. М., Атомиздат, 1977, 352с.5.Карташов, Э. М. К 27 Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел: Учеб. пособие. — 3е изд., перераб. и доп. — М.: Высш. шк., 2001. — 550 с.
