Параметрическая оптимизация стальных канатов при действии поперечных статических нагрузок
ART 85733
Авторы:
В.
В. Коновалов, Д.
А. Тарасов
В.
В. Коновалов, Д.
А. Тарасов Библиографическое описание статьи для цитирования:
Коновалов
В.
В.,
Тарасов
Д.
А. Параметрическая оптимизация стальных канатов при действии поперечных статических нагрузок // Научно-методический электронный журнал «Концепт». –
2015. – Т. 13. – С.
3661–3665. – URL:
http://e-koncept.ru/2015/85733.htm.
Аннотация. Разработан алгоритм оптимизации физических и геометрических параметров стальных канатов с учетом геометрической нелинейности при действии поперечных статических нагрузок. Позволяет определять напряженно-деформированное состояние стальных канатов по заданным физическим и геометрическим характеристикам, внешнему воздействию, условиям по прочности и жесткости, при этом оптимизируя решение по минимальной затрате материала.
Ключевые слова:
гибкая нить, стальной канат, поперечная нагрузка; оптимизация, площадь поперечного сечения, усилия, перемещения
Текст статьи
Тарасов Денис Александрович,Аспирант, ФГБОУ ВПО Пензенский государственный технологический университет», г.Пенза
Коновалов Владимир Викторович,др техн. наук, профессор, ФГБОУ ВПО Пензенский государственный технологический университет», г.Пенза
Параметрическая оптимизациястальных канатов
при действиипоперечных статических нагрузок
Аннотация.Разработан алгоритм оптимизации физических и геометрических параметров стальных канатов с учетом геометрической нелинейности при действии поперечных статических нагрузок. Позволяет определять напряженнодеформированное состояниестальных канатов по заданным физическим и геометрическим характеристикам, внешнему воздействию, условиям по прочности и жесткости, при этом оптимизируя решение по минимальной затрате материала.Ключевые слова:стальной канат; гибкая нить; поперечная нагрузка; оптимизация; площадь поперечного сечения; усилия; перемещения
Расчет стальных канатов, как любой статически неопределимой системы, начинается с назначения жесткостных характеристиксечений элементов. Однако сразу правильно назначить жесткостные характеристики сеченийне удается и поэтому возникающие напряжения в элементах либо больше расчетного сопротивления материала или заданного допустимого напряжения, либо значительно меньше. Значения деформаций также могут быть далеки от допустимых величин в ту или другую сторону. Как правило, в подобном случае расчет превращается в ряд последовательных попыток определения напряжений и деформаций, в результате которых достигаются желаемые значения этих двух показателей. Однако такой подход не гарантирует получения наилучшего результата[1].Поэтому возникает необходимость, используя методы математического моделирования, ставить и решать задачи, в которых наилучшее (оптимальное) решение по какомулибо выбранному критерию (площадь сечения, вес, стоимость и др.) можно получить сразу, не прибегая к мало управляемому поиску и затрачивая меньшие усилия. Преимущества такого подхода очевидны. Решения таких задач при помощи методов математического моделирования имеют большое прикладное значение для проектирования конструкций современных машин и инженерных сооружений [1].Оптимальной системой с главными несущими элементами, выполненными из стальных канатов, назовем систему, удовлетворяющую заданным непротиворечивым требованиям к конфигурации, прочности, жесткости и оптимизирующую при этом качество решения по выбранному критерию[1].Поставленная задача формулируется следующим образом: по заданному внешнему воздействию, расстоянию между опорами (пролету) и физическим характеристикам материала каната определить его оптимальные физические и геометрические параметры так, чтобы канат обладал достаточной прочностью и жесткостью при минимальной затрате материала. Условно примем, что минимальной затрате материала соответствует наименьшая теоретическая площадь поперечного сечения каната. Цель достигается при удовлетворении заданных ограничений по начальным усилиям, стреле провеса, допустимым прогибам в заданном сечении и максимальным напряжениям.Параметры, характеризующие стальные канаты можно разделить на две группы:1. Физические параметры –площадь поперечного сечения, расчетное сопротивление материала и т.д.2. Геометрические параметры –пролет; стрела провеса и т.д.
В общем, задача параметрической оптимизации заключается в нахождении вектора значений аргументов, при которых целевая функция достигает минимума. В качестве целевой функции будем использовать продольное усилие. Площадь поперечного сечения и распор являются аргументами, по которым производится минимизация. Предварительно аргументам целевой функции, присваиваются некоторые значения, являющиеся начальным приближением.Рассмотрим стальной канат, расчетная схема которого представлена на рисунке 1.При обозначении вертикальных опорных реакций RAи RBпримем реакцию RAна более высокой опоре.Условимся все параметры, относящиеся к начальному очертанию, обозначать с индексом 0», а к конечной линии равновесия с индексом 1».
Рис. 1.Расчетная схема стального каната:–начальное состояние линии равновесия;–конечное состояниелинии равновесия от внешнего воздействия
Целевая функция имеет вид[2]:,(1)где Т1(A,H1) –функцияпродольного усилия, Н; А–площадь поперечного сечения, м2; Н1–распор, Н; –допустимое напряжение материала, Па.При этом накладывается ограничение по жесткости[2]:,(2)где w(H1,x1), [w] –значение и предельно допустимое значение прогиба в заданном сечении с абсциссой x1, м.Кроме того, в соответствии с физическим смыслом задачи накладываются ограничения:;(3).(4)Поскольку распор, как и площадь поперечного сечения не известен до момента его определения, а он входит в уравнения для расчета продольного усилия и прогиба, то все последующие выражения запишем в виде функций от площади поперечного сечения и распора.Функция продольного усилия равна[3]:,(5)где Q1(R1А,R1В,0) –значение функции поперечной силы в шарнирно опертой балке пролетом lв сечении с абсциссой x0 от совместного действия нагрузки, вызывающей начальное очертание и дополнительной нагрузки, Н; β–угол наклона хорды AB, град.Из формулы (5) видно, что расчет продольного усилия сводится к определению распора в точках крепления, так как определение поперечной силы в шарнирно опертой однопролетной балке не вызывает трудностей.При определении внутренних усилий в однопролетной балке пролетом l, поперечная сила равна сумме сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения; изгибающий момент равен сумме моментов всех сил расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения относительно центра тяжести сечения. Математически внутренние усилия при изгибе можно записать следующим образом:при действии нагрузки, вызывающей начальное очертание:;(6);(7)при совместном действии начальной и дополнительной нагрузки:;(8),(9)где R0A, R0B, R1A, R1B–опорные реакции при действии начальной нагрузки и совместном действии начальной и дополнительной нагрузки, Н; х–текущая абсцисса (), м; F0i, F1i–сосредоточенные начальные и дополнительные нагрузки, Н; xF0i, xF1i–абсциссы точек приложения сосредоточенных начальных и дополнительных нагрузок, м; q0(x), q1(x) –функция распределенной начальной и дополнительной нагрузки, Н/м; q(x) –функцияравномернораспределенной нагрузки от собственного веса, Н/м.Функция равномернораспределенной нагрузки от собственного веса постоянна при всех значениях абсцисс и равна: ,(10)где ρ–объемный вес материала, Н/м3.Распределенная нагрузка задается массивом точек контура, для последующей линейной интерполяции функции. Предполагается, что координаты функции нагрузки от деформации стального каната не зависят.В уравнения для поперечных сил и изгибающих моментов включены слагаемые от опорных реакций. Поскольку они не известны до момента определения внутренних усилий, то их следует включать в параметры функций.Определяются опорные реакции из условия равновесия балки:при действии нагрузки, вызывающей начальное очертание:;(11);(12)при совместном действии начальной и дополнительной нагрузки:;(13),(14)гдеl–пролет, м.Для определения распора в точках крепления воспользуемся уравнением неразрывности деформаций:,(15)гдеL0–начальная длина, м; ΔL(A,H1) –упругая деформация, м; ΔLt–температурная деформация, м; L1(H1) –конечная длина, м.Для нахождения начальной и конечной длины необходимо построить линию равновесия начального и деформированного состояния.При построении линии равновесия используются правила построения эпюры изгибающих моментов для балки. Линия равновесия под действием вертикальной нагрузки совпадает с эпюрой изгибающих моментов шарнирно опертой балки тем же пролетом, находящейся под действием той же нагрузки; при этом ординаты эпюры моментов уменьшены делением на величину распора и отложены от хорды AB, соединяющей точки крепления. Математически это записывается так:;(16).(17)Взяв производные от левой и правой части формул (3.16) и (3.17), получим выражения, которые необходимы для дальнейшего определения начальной и конечной длины:;(18).(19)Длина дуги кривой между точками крепления равна длине стального каната и вычисляется по формуле:,(20)где ds–длина отрезка стального каната, имеющая проекции на оси dxи dy, м.Поочередно подставив формулы (18) и (19) ввыражение (20), получим длину стального каната при действии нагрузки, вызывающей начальное очертание и при совместном действии начальной и дополнительной нагрузки, т. е. длину в деформированном состоянии:;(21),(22)гдеН0–распор от начальной нагрузки, Н; u–горизонтальное смещение опор, м.Распор от начальной нагрузки равен [4]:,(23)где M0(R0А,R0В,x0) –значение функции изгибающего момента в шарнирно опертой балке пролетом lв сечении со значением абсциссы х0, нагруженной начальной нагрузкой, Нм; f0–стрела провеса от начальной нагрузки для координаты х0, м.Рассмотрим случай если нагрузка, вызывающая начальное очертание отсутствует. В формуле (21) при определении начальной длины получается неопределенность типа . Для раскрытия этой неопределенности предварительно определим уравнение кривой провисания от действия равномернораспределенной нагрузки равной погонному весу. Криваяможет быть аппроксимирована цепной линией. В этом случае стальной канат примет очертание по уравнению [5]:.(24)При этом распор, относящийся к первоначальному очертанию, определяется из граничного условия[3]:.(25)Тогда начальнаядлина будет равна[5]:.(26)Рассмотрим другой случай. Если первоначальная длина равна длине хорды АВ, соединяющей точки крепления, т. е. стрела провеса от начальной нагрузки равна нулю, то в этом случае уравнение кривой провисания будет иметь вид:,(27)а распор, относящийся к первоначальной линии равновесия, будет равен нулю.Тогда в этом случае начальная длина определяется так:.(28)Стальной канат работает только на растяжение. Материал подчиняется закону Гука. Продольное удлинение от изменения нагрузки, вызывающей начальное очертание до совместного действия начальной и дополнительной нагрузки при постоянном значении площади поперечного сечения, модуля упругости материала и распора можно записать:,(29)где из тригонометрии известно:.(30)Из рисунка 3.2 видно:;(31).(32)
Рис.2.Расчетная схема при определении продольного удлинениястального каната
Подставив выражение (32) в (31) получим:.(33)Продольное удлинение стального каната от изменения нагрузки после подстановки формулы (33) в (29) примет вид[5]:,(34)гдеЕ–модуль упругости материала, Па.Кроме этого, длина изменяется от влияния температуры на величину:,(35)где –коэффициент линейного расширения материала, ºС1; Δt–расчетный перепад температур, ºC.Прогиб, включающий упругую деформацию и кинематическое перемещение, можно представить в виде функции от абсциссы и распора, вызванного совместным действием начальной и дополнительной нагрузки:;(36);(37);(38).(39)Рассматриваемая задача оптимизации относится к классу однокритериальных многопараметрических задач условной оптимизации, так как на одну целевую функцию влияет несколько параметров, при этом на нее накладывается ряд ограничений в виде уравнений и неравенств. В этом случае зависимость между целевой функцией и оптимизационными параметрами является нелинейной и выражена не в явном виде, причем оптимизируемая функция продольного усилия вовсе неизвестна. В связи с этим, получение зависимости целевой функции от оптимизационных параметров в аналитическом виде явно затруднено. Исходя из этого, для нахождения экстремума целевой функции принят метод сопряженных градиентов.После нахождения наименьшей теоретической площади поперечного сечения и распора появляется возможность определить вертикальные составляющие опорных реакций в точках крепления[3]:;(40).(41)
Ссылки на источники1. Дмитриев Л.Г. Вантовые покрытия. Расчет и конструирование / Л.Г. Дмитриев, А.В. Касилов. –2е изд., перераб. и доп. –Киев: Будiвельник, 1974. –672 с.2. Тарасов Д.А. Математическое моделирование оптимизации параметров несущих элементов, выполненных из стальных канатов / Д.А. Тарасов, В.В. Коновалов, В.Ю. Зайцев // Интеграл. –2012. –№ 6. –С. 118–1203. Беленя Е.И. Металлические конструкции: спец. курс : учеб. пособие для вузов / Е.И. Беленя, Н.Н. Стрелецкий, Г.С. Ведеников и др.; под общ. ред. Е.И. Беленя. –3е изд., перераб. и доп.–М. : Стройиздат, 1991. –687 с.4. Коновалов В.В. Компьютерное моделирование определения реакций опор гибких барьеров / В.В. Коновалов, Д.А. Тарасов, В.Ю. Зайцев, Н.В. Байкин // Известия Самарской государственной сельскохозяйственной академии. –2012. –№ 3. –С. 72–79.5. Тарасов Д.А. Математическое моделирование напряженнодеформированного состояния стальных канатов / Д.А. Тарасов, В.В. Коновалов, В.Ю. Зайцев // Вестник Саратовского государственного технического университета.–2013. –№ 4(73). –С. 215–221.
Коновалов Владимир Викторович,др техн. наук, профессор, ФГБОУ ВПО Пензенский государственный технологический университет», г.Пенза
Параметрическая оптимизациястальных канатов
при действиипоперечных статических нагрузок
Аннотация.Разработан алгоритм оптимизации физических и геометрических параметров стальных канатов с учетом геометрической нелинейности при действии поперечных статических нагрузок. Позволяет определять напряженнодеформированное состояниестальных канатов по заданным физическим и геометрическим характеристикам, внешнему воздействию, условиям по прочности и жесткости, при этом оптимизируя решение по минимальной затрате материала.Ключевые слова:стальной канат; гибкая нить; поперечная нагрузка; оптимизация; площадь поперечного сечения; усилия; перемещения
Расчет стальных канатов, как любой статически неопределимой системы, начинается с назначения жесткостных характеристиксечений элементов. Однако сразу правильно назначить жесткостные характеристики сеченийне удается и поэтому возникающие напряжения в элементах либо больше расчетного сопротивления материала или заданного допустимого напряжения, либо значительно меньше. Значения деформаций также могут быть далеки от допустимых величин в ту или другую сторону. Как правило, в подобном случае расчет превращается в ряд последовательных попыток определения напряжений и деформаций, в результате которых достигаются желаемые значения этих двух показателей. Однако такой подход не гарантирует получения наилучшего результата[1].Поэтому возникает необходимость, используя методы математического моделирования, ставить и решать задачи, в которых наилучшее (оптимальное) решение по какомулибо выбранному критерию (площадь сечения, вес, стоимость и др.) можно получить сразу, не прибегая к мало управляемому поиску и затрачивая меньшие усилия. Преимущества такого подхода очевидны. Решения таких задач при помощи методов математического моделирования имеют большое прикладное значение для проектирования конструкций современных машин и инженерных сооружений [1].Оптимальной системой с главными несущими элементами, выполненными из стальных канатов, назовем систему, удовлетворяющую заданным непротиворечивым требованиям к конфигурации, прочности, жесткости и оптимизирующую при этом качество решения по выбранному критерию[1].Поставленная задача формулируется следующим образом: по заданному внешнему воздействию, расстоянию между опорами (пролету) и физическим характеристикам материала каната определить его оптимальные физические и геометрические параметры так, чтобы канат обладал достаточной прочностью и жесткостью при минимальной затрате материала. Условно примем, что минимальной затрате материала соответствует наименьшая теоретическая площадь поперечного сечения каната. Цель достигается при удовлетворении заданных ограничений по начальным усилиям, стреле провеса, допустимым прогибам в заданном сечении и максимальным напряжениям.Параметры, характеризующие стальные канаты можно разделить на две группы:1. Физические параметры –площадь поперечного сечения, расчетное сопротивление материала и т.д.2. Геометрические параметры –пролет; стрела провеса и т.д.
В общем, задача параметрической оптимизации заключается в нахождении вектора значений аргументов, при которых целевая функция достигает минимума. В качестве целевой функции будем использовать продольное усилие. Площадь поперечного сечения и распор являются аргументами, по которым производится минимизация. Предварительно аргументам целевой функции, присваиваются некоторые значения, являющиеся начальным приближением.Рассмотрим стальной канат, расчетная схема которого представлена на рисунке 1.При обозначении вертикальных опорных реакций RAи RBпримем реакцию RAна более высокой опоре.Условимся все параметры, относящиеся к начальному очертанию, обозначать с индексом 0», а к конечной линии равновесия с индексом 1».
Рис. 1.Расчетная схема стального каната:–начальное состояние линии равновесия;–конечное состояниелинии равновесия от внешнего воздействия
Целевая функция имеет вид[2]:,(1)где Т1(A,H1) –функцияпродольного усилия, Н; А–площадь поперечного сечения, м2; Н1–распор, Н; –допустимое напряжение материала, Па.При этом накладывается ограничение по жесткости[2]:,(2)где w(H1,x1), [w] –значение и предельно допустимое значение прогиба в заданном сечении с абсциссой x1, м.Кроме того, в соответствии с физическим смыслом задачи накладываются ограничения:;(3).(4)Поскольку распор, как и площадь поперечного сечения не известен до момента его определения, а он входит в уравнения для расчета продольного усилия и прогиба, то все последующие выражения запишем в виде функций от площади поперечного сечения и распора.Функция продольного усилия равна[3]:,(5)где Q1(R1А,R1В,0) –значение функции поперечной силы в шарнирно опертой балке пролетом lв сечении с абсциссой x0 от совместного действия нагрузки, вызывающей начальное очертание и дополнительной нагрузки, Н; β–угол наклона хорды AB, град.Из формулы (5) видно, что расчет продольного усилия сводится к определению распора в точках крепления, так как определение поперечной силы в шарнирно опертой однопролетной балке не вызывает трудностей.При определении внутренних усилий в однопролетной балке пролетом l, поперечная сила равна сумме сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения; изгибающий момент равен сумме моментов всех сил расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения относительно центра тяжести сечения. Математически внутренние усилия при изгибе можно записать следующим образом:при действии нагрузки, вызывающей начальное очертание:;(6);(7)при совместном действии начальной и дополнительной нагрузки:;(8),(9)где R0A, R0B, R1A, R1B–опорные реакции при действии начальной нагрузки и совместном действии начальной и дополнительной нагрузки, Н; х–текущая абсцисса (), м; F0i, F1i–сосредоточенные начальные и дополнительные нагрузки, Н; xF0i, xF1i–абсциссы точек приложения сосредоточенных начальных и дополнительных нагрузок, м; q0(x), q1(x) –функция распределенной начальной и дополнительной нагрузки, Н/м; q(x) –функцияравномернораспределенной нагрузки от собственного веса, Н/м.Функция равномернораспределенной нагрузки от собственного веса постоянна при всех значениях абсцисс и равна: ,(10)где ρ–объемный вес материала, Н/м3.Распределенная нагрузка задается массивом точек контура, для последующей линейной интерполяции функции. Предполагается, что координаты функции нагрузки от деформации стального каната не зависят.В уравнения для поперечных сил и изгибающих моментов включены слагаемые от опорных реакций. Поскольку они не известны до момента определения внутренних усилий, то их следует включать в параметры функций.Определяются опорные реакции из условия равновесия балки:при действии нагрузки, вызывающей начальное очертание:;(11);(12)при совместном действии начальной и дополнительной нагрузки:;(13),(14)гдеl–пролет, м.Для определения распора в точках крепления воспользуемся уравнением неразрывности деформаций:,(15)гдеL0–начальная длина, м; ΔL(A,H1) –упругая деформация, м; ΔLt–температурная деформация, м; L1(H1) –конечная длина, м.Для нахождения начальной и конечной длины необходимо построить линию равновесия начального и деформированного состояния.При построении линии равновесия используются правила построения эпюры изгибающих моментов для балки. Линия равновесия под действием вертикальной нагрузки совпадает с эпюрой изгибающих моментов шарнирно опертой балки тем же пролетом, находящейся под действием той же нагрузки; при этом ординаты эпюры моментов уменьшены делением на величину распора и отложены от хорды AB, соединяющей точки крепления. Математически это записывается так:;(16).(17)Взяв производные от левой и правой части формул (3.16) и (3.17), получим выражения, которые необходимы для дальнейшего определения начальной и конечной длины:;(18).(19)Длина дуги кривой между точками крепления равна длине стального каната и вычисляется по формуле:,(20)где ds–длина отрезка стального каната, имеющая проекции на оси dxи dy, м.Поочередно подставив формулы (18) и (19) ввыражение (20), получим длину стального каната при действии нагрузки, вызывающей начальное очертание и при совместном действии начальной и дополнительной нагрузки, т. е. длину в деформированном состоянии:;(21),(22)гдеН0–распор от начальной нагрузки, Н; u–горизонтальное смещение опор, м.Распор от начальной нагрузки равен [4]:,(23)где M0(R0А,R0В,x0) –значение функции изгибающего момента в шарнирно опертой балке пролетом lв сечении со значением абсциссы х0, нагруженной начальной нагрузкой, Нм; f0–стрела провеса от начальной нагрузки для координаты х0, м.Рассмотрим случай если нагрузка, вызывающая начальное очертание отсутствует. В формуле (21) при определении начальной длины получается неопределенность типа . Для раскрытия этой неопределенности предварительно определим уравнение кривой провисания от действия равномернораспределенной нагрузки равной погонному весу. Криваяможет быть аппроксимирована цепной линией. В этом случае стальной канат примет очертание по уравнению [5]:.(24)При этом распор, относящийся к первоначальному очертанию, определяется из граничного условия[3]:.(25)Тогда начальнаядлина будет равна[5]:.(26)Рассмотрим другой случай. Если первоначальная длина равна длине хорды АВ, соединяющей точки крепления, т. е. стрела провеса от начальной нагрузки равна нулю, то в этом случае уравнение кривой провисания будет иметь вид:,(27)а распор, относящийся к первоначальной линии равновесия, будет равен нулю.Тогда в этом случае начальная длина определяется так:.(28)Стальной канат работает только на растяжение. Материал подчиняется закону Гука. Продольное удлинение от изменения нагрузки, вызывающей начальное очертание до совместного действия начальной и дополнительной нагрузки при постоянном значении площади поперечного сечения, модуля упругости материала и распора можно записать:,(29)где из тригонометрии известно:.(30)Из рисунка 3.2 видно:;(31).(32)
Рис.2.Расчетная схема при определении продольного удлинениястального каната
Подставив выражение (32) в (31) получим:.(33)Продольное удлинение стального каната от изменения нагрузки после подстановки формулы (33) в (29) примет вид[5]:,(34)гдеЕ–модуль упругости материала, Па.Кроме этого, длина изменяется от влияния температуры на величину:,(35)где –коэффициент линейного расширения материала, ºС1; Δt–расчетный перепад температур, ºC.Прогиб, включающий упругую деформацию и кинематическое перемещение, можно представить в виде функции от абсциссы и распора, вызванного совместным действием начальной и дополнительной нагрузки:;(36);(37);(38).(39)Рассматриваемая задача оптимизации относится к классу однокритериальных многопараметрических задач условной оптимизации, так как на одну целевую функцию влияет несколько параметров, при этом на нее накладывается ряд ограничений в виде уравнений и неравенств. В этом случае зависимость между целевой функцией и оптимизационными параметрами является нелинейной и выражена не в явном виде, причем оптимизируемая функция продольного усилия вовсе неизвестна. В связи с этим, получение зависимости целевой функции от оптимизационных параметров в аналитическом виде явно затруднено. Исходя из этого, для нахождения экстремума целевой функции принят метод сопряженных градиентов.После нахождения наименьшей теоретической площади поперечного сечения и распора появляется возможность определить вертикальные составляющие опорных реакций в точках крепления[3]:;(40).(41)
Ссылки на источники1. Дмитриев Л.Г. Вантовые покрытия. Расчет и конструирование / Л.Г. Дмитриев, А.В. Касилов. –2е изд., перераб. и доп. –Киев: Будiвельник, 1974. –672 с.2. Тарасов Д.А. Математическое моделирование оптимизации параметров несущих элементов, выполненных из стальных канатов / Д.А. Тарасов, В.В. Коновалов, В.Ю. Зайцев // Интеграл. –2012. –№ 6. –С. 118–1203. Беленя Е.И. Металлические конструкции: спец. курс : учеб. пособие для вузов / Е.И. Беленя, Н.Н. Стрелецкий, Г.С. Ведеников и др.; под общ. ред. Е.И. Беленя. –3е изд., перераб. и доп.–М. : Стройиздат, 1991. –687 с.4. Коновалов В.В. Компьютерное моделирование определения реакций опор гибких барьеров / В.В. Коновалов, Д.А. Тарасов, В.Ю. Зайцев, Н.В. Байкин // Известия Самарской государственной сельскохозяйственной академии. –2012. –№ 3. –С. 72–79.5. Тарасов Д.А. Математическое моделирование напряженнодеформированного состояния стальных канатов / Д.А. Тарасов, В.В. Коновалов, В.Ю. Зайцев // Вестник Саратовского государственного технического университета.–2013. –№ 4(73). –С. 215–221.
