Методологические аспекты разработки индивидуальных комплексных заданий по математическим дисциплинам

Международная публикация
Библиографическое описание статьи для цитирования:
Колтуновский О. А. Методологические аспекты разработки индивидуальных комплексных заданий по математическим дисциплинам // Научно-методический электронный журнал «Концепт». – 2013. – № 3 (март). – С. 6–10. – URL: http://e-koncept.ru/2013/13046.htm.
Аннотация. В статье предложен один из возможных подходов к повышению содержательности индивидуальных заданий по математике для студентов экономических и инженерно-технических специальностей. Приведен авторский вариант индивидуальных комплексных заданий на примере раздела «Аналитическая геометрия в пространстве».
Раздел: Отдельные вопросы сферы образования
Комментарии
Нет комментариев
Оставить комментарий
Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы комментировать.
Текст статьи
Колтуновский Олег Александрович,кандидат физикоматематических наук, заведующий кафедрой естественнонаучных дисциплин, приватдоцент НОУ ВПО «ЮжноСахалинский институт экономики, права и информатики», г. ЮжноСахалинскkoltoleg@rambler.ru

Методологические аспекты разработки индивидуальных комплексных заданий по математическим дисциплинам

Аннотация. В статье предложен один из возможных подходов кповышению содержательности индивидуальных заданий по математике для студентов экономических и инженернотехнических специальностей. Приведен авторский вариант индивидуальных комплексных заданий на примере раздела «Аналитическая геометрия в пространстве».

Ключевые слова: индивидуальные задания по математике, раздел «Аналитическая геометрия».

Неоспоримо, что выбор методов и средств обучения определяется поставленными целями. На данный момент можно считать сложившейся систему целей обучения математикев непрофильном вузе и выделить одну из них, например, в такой формулировке: «Выработка навыков доведения решения задачи до практически приемлемого результата –числа, графика, точного количественного вывода с применением для этого соответствующих вычислительныхсредств» [1,с.211].К настоящему времени для студентов, изучающих предмет «Высшая математика» (экономические, инженернотехнические специальности), созданы комплексы типовых расчетов (ТР) и индивидуальных домашних заданий (ИДЗ), которые выдаются для самостоятельной работы в течение достаточно длительного срока: однойдвух недель и более [2]. Сложилась и достаточно устойчивая тематика контрольных работ (КР) по высшей математике для студентовзаочников указанных специальностей.Однако наш многолетний опыт работы в высшей школе говорит о том, что структура этих заданий не дает ответа ни на один из главных вопросов: каким образом студентдо проверки преподавателемможет удостовериться в правильности своего решения.Для систематического контроля могут быть использованы выдаваемые каждому преподавателю матрицы ответов и банк листов решений, которыеиспользуются при самоконтроле правильности выполнения заданий студентами, при взаимном студенческом контроле, а чаще всего при комбинированном контроле: преподаватель проверяет лишь правильность выбора метода, а студент по листу решений –свои вычисления [3, с. 6].Как нам представляется, обсуждать правильность выбора метода решения можно лишь вне значительной степени изза стандартности предлагаемых вТР, ИДЗ и КР примеров и задач, а также их повариантной однотипности. Основной целью выполнения таких заданий, по нашему мнению,является расширение и отработка технических приемов, применяемых студентом (позже –специалистом) в своей исследовательской деятельности.Поэтому студент может и должен выверять самостоятельно решения подобных примеров и задач,где надо научиться безошибочно проводить стандартные вычисления по определенным образцам, чтобы сдавать работу с уже правильными ответами.Мыпредлагаемиспользовать новый методический подход к составлению заданий по математике, который преодолевает обычную разобщенность выполнения отдельных пунктов: нахождения векторов и их длин, уравнений прямых и плоскостей, величин углов, площадей и объемов и т.п. Сущность этого подхода заключается в том, что студенты должны проверить для конкретных данных достаточно глубокие и интересные теоретические факты. Такая проверка автоматически потребует от решающего безошибочного выполнения целого комплекса стандартных вычислений.Предлагаемый подход был частично реализован при составлении практических и долгосрочных заданий для студентов КомсомольскогонаАмуре политехнического института (ныне КнАГТУ), Дальневосточной государственной академии путей сообщения (ныне ДВГУПС), технологического факультета ЮжноСахалинского государственного института коммерции (ныне филиала РГТЭУ), ЮжноСахалинского института экономики, права и информатики (ЮСИЭПиИ).Нашопыт свидетельствует о существенном повышении качества вычислений –в абсолютном большинстве заданий оно просто должно стать стопроцентным; также ускоряется процесс самостоятельного выявления и исправления ошибок, и, конечно, подобный самоконтроль по ценности значительно превышает контроль, осуществляемый по матрице ответов (листу решений).Перейдем к рассмотрению технологических и методологических аспектов предлагаемого подхода к разработке заданий по математике.Предварительно каждый студент получает свой,фиксированный на время изучения дисциплины,упорядоченный набор различных положительных чисел (k,1,m), ограниченных в сумме, например, десятью. Количество таких перестановок (42) является достаточным даже для небольших студенческих потоков.Конечно, идея индивидуализации заданий с помощью параметризации не нова и не принадлежит нам.Введение же трехпараметрической системы, как показывает наш 30летний опыт преподавания математических дисциплин в вузах, является оптимальным, т.е. достаточным и практически необходимым условием для того, чтобы при внешней похожести заданий, объективно помогающей «коллективному» студенту, отразить,при желании составителя, возможные порядковые, геометрические, вычислительные и т. д. нюансы, присущие предлагаемым заданиям. Для примера рассмотрим раздел «Аналитическая геометрия в пространстве» и приведем подобранное ниндивидуальное комплексное задание, смыслом которого является, повторим, проверка студентами для конкретных индивидуальных данных достаточно глубоких илиинтересных теоретических фактов. Вышеуказанный подходдля раздела «Матрицы и определители» реализован в [4]. Сначала оценим достаточно стандартный набор заданий по данному разделу, предлагаемый в комплексе заочникам и в виде отдельных примеров студентам очного отделения.

Даны координаты вершин пирамиды А1А2 А3А4. Найти:а)длину ребра А1А2;б)уравнения прямых А1А2, А1А4;в)уравнение плоскости А1А2А3;г)угол между ребрами А1А2, А3А4;д)площадь грани А1А2А3;е)угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3;ж)объем пирамиды;з)сделать чертеж.Верно ли найдены требуемые величиныи уравнения, как они связаны между собой и что всѐтаки можно увидеть пусть и на искаженном (объективно) чертеже –вопросы без ответа для решающих. Наконец, представимИндивидуальное комплексное заданиепо разделу «Аналитическая геометрия в пространстве».

Даны вершины тетраэдра в декартовой прямоугольной системе координат:А(k;k+1;m), B(k+1;

k; –m), С(k+l+m; k–l–m; m), D(x;y; 0).1.Найти числа xи yтак, чтобы в двух парах–по выбору решающего –противоположные ребра тетраэдра были взаимно перпендикулярны. Тогда тетраэдр ABCDбудет являться ортоцентрическимтетраэдром. Контроль: после нахождения координат xи yточки Dдва оставшихся противоположных ребра также должны быть взаимно перпендикулярны.Определение. Тетраэдр называетсяортоцентрическим, если его высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке.2.Найти уравнения высот тетраэдра ABCDкак прямых в пространстве и проверить, что они действительно пересекаются в одной точке.3.Проверить свойство ортоцентрического тетраэдра: суммы квадратов противоположных ребер равны.4.Проверить свойство ортоцентрического тетраэдра: произведение косинусов противоположных двугранных углов равны по абсолютной величине.5.С помощью смешанного произведения найти объем Vтетраэдра ABCDи проверить равенство, справедливое для произвольного тетраэдра: V= где S1и S2 –площади любых двух граней, a–длина их общего ребра, α–двухгранный угол между ними.6.Проверить равенство, справедливое для произвольного тетраэдра (при соответствующем выборе знака):

где d1, d2, d3, d4–расстояния от произвольной выбранной точки, например, М(–k; –l;m), до граней тетраэдра, h1, h2, h3, h4 –соответствующие высоты (как длины отрезков) тетраэдра. Для точки внутри тетраэдра (в т.ч. на грани) перед каждым отношением di/ hiвыбирается знак («+»).7.Сделать рисунок, указав высоты тетраэдра и точку их пересечения.

Необходимо сказать, что предложенное ИКЗ, несомненно, может быть существенно изменено и расширено по причине многообразия интересных взаимосвязанных свойств геометрических объектов в пространстве, отбираемых каждым составителем в соответствии с личными [5].Сбалансированность подобных заданий, конечно, должна в первую очередь определяться образовательными стандартами каждого направления, а также утвержденными в каждом вузе уровнями теоретических и практических компетенций по математическим дисциплинам для бакалавриата и магистратуры.Для составления ИКЗпредложенного типа полезным является привлечение некоторых технологических приемов, основанных на идее создания курса «Линейная математика» [6, с.206],которая, насколько нам известно, так и не была реализована в скольнибудь значительной мере ни в средней, ни в высшей школе.Достаточно традиционным является эскизное изображение объектов трехмерного пространства в аналоге правой системы координат, когда ось Oxнаправлена по диагоналям клеток (к себе влево), ось Oy–вправо, ось Oz–вверх. Единичными векторами

удобно считать соответствующим образомнаправленные диагонали и стороны единичных клеток.Такое плоское изображение не позволяет впрямую находить натуральные величины длин и углов, но вполне пригодно –для графического контроля параллельности векторов и прямых, а также для неполного (слабого) графического контроля аналитически определяемых координат точек и принадлежности точек прямым и плоскостям.Неполнота контроля заключается, например, в том, что изображения различных точек на таком плоском рисунке могут совпадать, например, изображения точек А(–2;1;–3) и А'(2;4;0).Заметим, что желание применить графический контроль предъявляет повышенные требования к составителюзаданий в части его умения подобрать исходные данные таким образом, чтобы решение было целочисленным для произвольного набора параметров (k;;m). Условие целочисленности конечных или промежуточных результатов обусловлено на данный момент и степенью овладения выпускниками школ действий с обычными дробями.Кстати, в приведенном вышеИКЗ по разделу «Аналитическая геометрия» координаты xи yточки D–целые!Проиллюстрируем сказанное примерами.

Пример 1. Доказать, что прямые

пересекаются. Сделать рисунок.Ответ.Точка пересечения Т(–k; –m; k+l).Пример 2.Найти точку пересечения прямой

и плоскости АВС, гдеА(2k; 2l; 2m),В(–2l; –2m; –2k), С(2m; 2k; –2l).

Ответ.Точка пересечения Т(k–l; l–m; m–k)является серединой отрезка АВ.

Для плоских фигур в пространстве можно предложить проверить следующиеинтересные свойства.Теорема Эйлера. Сумма квадратов сторон несамопересекающегося четырехугольника равна сумме квадратов диагоналей, сложенной с учетверенным квадратом расстояния между серединами диагоналей.Теорема. В трапеции сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов непараллельных сторон, сложенной с удвоенным произведением оснований.Вопрос опять же к составителю относительно подбора вершин четырехугольника в пространстве, чтобы он был плоским или трапецией.Но и студентам можно предложить создать (рассчитать) геометрические фигуры, обладающие определенными, графически проверяемыми свойствами. Один пример из нашейпрактики в заключение.

Пример 3. При каких значенияхαи βточки А(0;6;7), В(1;α;4), С(2;8;β), D(0;2;8) являются вершинами трапеций а)АСDВ; б)АСВD; в)АВСD.Сделать рисунки.Ответ: а) α, βØ; б)α= 3; β= –1;в) α= 9; β  2.

Ссылки на источники1.Генварева Ю.А. Математика в техническом вузе: проблемы и перспективы// Материалы IVМеждународной конференции «Математика, ее приложения и математическое образование». Ч.2. –УланУдэ: Издво ВСГТУ,2011. –С.209–213.2.Кузнецов В.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты). –М.: Высш. шк., 1983.–175 с.3.Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. В 3 ч./Под общ. ред. А.П. Рябушко.–Мн.: Высш.шк., 1990.4.Колтуновский О.А. Методологические аспекты разработки индивидуальных комплексных заданий по математическим дисциплинам (на примере раздела «Матрицы и определители»)// Сборник научных трудов VIIМеждународной научнопрактической конференции «Актуальные вопросы методики преподавания математики и информатики».–Биробиджан: ФГБОУ ВПО «ПГУ им. ШоломАлейхема», 2012. –С.46–50.5.Моденов П.С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики. –М.: Высшая школа, 1960.–766 с.6.Эрдниев П. М., Эрдниев Б. П. Укрупнение дидактических единиц в обучении математике.–М.: Просвещение, 1986. –255 с.

KoltunovskyOleg,Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Head of the natural sciences, assistant professor of YuzhnoSakhalinskInstitute of Economics, Law and Informatics, YuzhnoSakhalinskkoltoleg@rambler.ruMethodological aspects of the design Individual complex tasks the mathematical disciplinesAbstract. The article suggests a possible approach to improve the meaningfulnessof individual tasks in mathematics for students of economics and engineering disciplines. An author's version of individual multitasks for example the section "Analytic geometry in space".Keywords:individual tasks in mathematics, section "The analytical geometry".

Рекомендовано к публикацииГоревым П. М., кандидатом педагогических наук, главным редактором журнала «Концепт»