Узоры в вибрируемом сыпучем слое
ART 53413
Автор:
В.
А. Рекшинский
В.
А. Рекшинский Библиографическое описание статьи для цитирования:
Рекшинский
В.
А. Узоры в вибрируемом сыпучем слое // Научно-методический электронный журнал «Концепт». –
2013. – Т. 3. – С.
2051–2055. – URL:
http://e-koncept.ru/2013/53413.htm.
Аннотация. В последние два десятилетия исследование поведения гранулированных материалов стало одной из центральных проблем нелинейной динамики. Оказалось, что при различных условиях сыпучие вещества могут вести себя и как твердое тело, и как жидкость, и как газ. В результате проведенных исследований показана возможность
пространственной организации изначально хаотичных гранулированных систем с помощью их вибрации. Эффект обоснован теоретически, и для его контроля разработан комплект компьютерных программ. Результаты могут быть
использованы при прогнозировании и анализе природных катаклизмов в горных и песчаных районах, а также в промышленности, использующей различные сыпучие материалы.
Текст статьи
Рекшинский Василий Андреевич
Учитель физики муниципального бюджетного образовательного учреждения средней общеобразовательной школы № 48 г. Нижнего Новгорода
Email: school48nnov@mail.ru
Название статьи: Узоры в вибрируемом сыпучем слое
В последние два десятилетия исследование поведения гранулированных материалов стало одной из центральных проблем нелинейной динамики. Оказалось, что при различных условиях сыпучие вещества могут вести себя и как твердое тело, и как жидкость, и как газ.В результате проведенных исследований показана возможность пространственной организации изначально хаотичных гранулированных систем с помощью их вибрации. Эффект обоснован теоретически, и для его контроля разработан комплект компьютерных программ. Результаты могут быть использованы при прогнозировании и анализе природных катаклизмов в горных и песчаных районах, а также в промышленности, использующей различные сыпучие материалы.
Сыпучие (или гранулированные) материалы, вроде песка или сахара, окружают человека повсюду и в повседневной жизни, и в природе (геологические и тектонические процессы). Они широко применяются в технологии. Поэтому удивительно, что их свойства и поведение ученые начали всерьез изучать только недавно. Возможно, что долгое время физикитеоретики не обращали внимания на динамику сыпучих веществ, считая их неким "приземленным" материалом, неинтересным с точки зрения теории. И как оказывается в последнее время, совершенно напрасно. Сыпучие материалы имеют некоторые свойства как твердых тел, так и жидкостей и газов, а в некоторых условиях ведут себя совершенно особым образом. Необычные свойства сыпучих материалов как твердых тел проявляются уже в состоянии покоя. Если на достаточно толстый слой материала (песка на пляже) положить груз, то он, конечно, вызовет напряжения и дополнительное давление в толще песка. Однако, как показали эксперименты нескольких групп, проведенные в 1995 году, величина этих напряжений очень быстро уменьшается с глубиной по экспоненциальному закону. Кроме того, экспериментаторы четко видели, что области наибольших напряжений имеют ветвистую структуру. Другими словами, вес груза удерживается не всей площадью, а редкими узкими "столбами" напряжений. Другое похожее явление было отмечено еще 100 лет назад Янссеном: давление столба песка в высокой вертикальной трубе сначала растет с глубиной, а начиная с некоторого значения перестает от нее зависеть все лишнее давление передается на стенки сосуда. На самом деле, именно благодаря этому явлению скорость хода песочных часов практически не зависит от того, сколько песка еще осталось. Гранулированные вещества ведут себя при определенных условиях и как жидкости. Всем известно, что если угол наклона песчаной горы станет достаточно крутым образуется лавина, песок начинает стекать. То, что скорость течения зависит от угла наклона неудивительно, это справедливо и для жидкости. Однако, было большим удивлением обнаружить, что течет всего лишь тонкий слой песка, толщиной 34 диаметра песчинки. На больших глубинах никакого движения не происходит вообще. Если сосуд с песком начать мелко трясти, то тем самым можно заставить песчинки двигаться, сталкиваться. Движение всего песка начинает походить при этом на движение жидкости. Такие экспериментыпроводил еще Фарадей в 1831 году. Им были отмечены необычные локальные образования, иногда достаточно стабильные, которые появлялись на поверхности гранулированных материалов. Кроме таких хитрых поверхностных явлений, много занимательного происходит и в самой толще гранулированного материала, а именно конвекция. В цилиндическом сосуде она происходит вполне определенным образом: в центре сосуда идет поток вверх, а по краям, вдоль стенок, в тонком слое вниз. Интересно, что при такой конвекции уже не важна масса частиц в смеси разнородных гранулированных материалов, важен только размер частиц. Именно благодаря этому частицы гораздо большего размера всплывают на поверхность и больше не опускаются: они просто не могут последовать за тонким конвективным потоком вдоль стенок. Надо отметить, что характер конвективного движения сильно зависит от формы сосуда в коническом сосуде, к примеру, конвективное движение будет как раз противоположным. Другое необычное явление в смеси разнородных гранулированных материалов это саморазделение на фракции (сегрегация) при наличии температурного градиента в системе. Оказалось, что более крупные частицы стремятся собираться в самых холодных районах, максимально далеких от источника тепла. Если же поместить в такие условия смесь одинаковых по размеру, но разных по массе частиц, то в зависимости от конкретного положения источника тепла две фракции либо полностью разделяются, либо однородно перемешиваются. И то, и другое очень важные процессы в промышленности. Безусловно, в скором времени то, что сейчас является передним краем науки, будет массово использоваться в индустрии. В последнее время обнаружилось много общего между поведением вибрирующей массы гранулированного материала и суспензиями взвесями мелких твердых частиц в жидкости. Хотя на уровне отдельных частиц эти две системы ведут себя совершенно поразному, их поведение в целом оказалось похожим. В частности, наблюдались такие же осциллоны с очень похожим поведением. Возможно, это говорит о том, что нелинейная динамика, т.е. характер математических законов, управляющих движением обоих систем, одинаков. В последние два десятилетия исследование поведения гранулированных материалов стало одной из центральных проблем нелинейной динамики. Оказалось, что при различных условиях сыпучие вещества могут вести себя и как твердое тело, и как жидкость, и как газ. Остановимся подробнее на схожем поведении гранулированных веществ и обыкновенных жидкостей.Чем же эти вещества отличаются от обычной жидкости? Отличие одно, но важное: взаимодействия песчинок очень непохоже на взаимодействие молекул. А именно, 1.между частицами нет сил притяжения,2.столкновения частиц неупруги, 3.между частицами существует трение.Все же, поведение сыпучих веществ во многом напоминает поведение жидкостей. Таким образом, можно выдвинуть гипотезу о существовании различных волновых эффектов в гранулированных веществах, подобных таким эффектам в жидкостях, например эффекту Фарадея. В своих экспериментах Фарадей размещал слой жидкости на вертикально вибрирующей платформе и наблюдал картину формирования интерференционных структур на поверхности жидкости. В недавней работе [1] было проведено теоретическое исследование данных структур. Оказалось, что при различных параметрах вибрации могут возникать различные по форме структуры: от спиральных до ячеистых структур. Автор настоящей работы поставил перед собой задачу экспериментального наблюдения подобного многообразия структур в сыпучих веществах при их вибрации. Эти структуры в таком случае должны быть несколько отличены от тех, что наблюдались Фарадеем в жидкости. Причем, не исключено возникновение конвекционных потоков вещества, подобных тем, что возникают в жидкостях или газах при наличии температурного градиента (например, формирование так называемых “ячеек Бенара”). То есть, в данном случае в роли температурного градиента будет выступать одностороння подача энергии в виде вибрирующего сосуда. Для подтверждения данной гипотезы автором был проведен ряд экспериментальных и теоретических исследований, описанных ниже.В качестве объекта исследований автором был выбран песок. Также в ряде экспериментов использовалась зернистая крупа и шарики различных размеров и массы. Материал помещался в сосуды различных конфигураций, преимущественно использовались прямоугольные и круглые емкости.В экспериментах был использован вибростенд Brüel&Kjærс анализатором сигналов, создающий вертикальные колебания сосуда. Автор мог регулировать форму сигнала, а также амплитуду и частоту вибрации и толщину вибрируемого слоя, таким образом можно было исследовать форму структурного рельефа вещества от этих параметров. Эксперименты проводились в режимах вибрации Variablesine(Изменяемая синусоида) и RandomNoise(Случайный шум). Визуальные данные регистрировались с помощью цифровой видеокамеры. Параметры вибрации: Частотный диапазон вибрации –менее 60 герцАмплитуда вибрации –менее 10 ммТолщина вибрируемого слоя –менее 3 см1.3 Результаты экспериментов.В ходе экспериментов было обнаружено формирование множества различных структур, был проведено классифицирование визуальных данных, полученных с помощью цифровой видеокамеры. Фотографии обнаруженных структур размещены ниже:I. Эксперименты с песочным слоем толщиной 3 см
Частота –5 Гц, частота –5 мм. Ярко выраженная неоднородность в толщине слоя, происходит скопление песка у одной части сосуда.
Частота –8 Гц, амплитуда –5 мм. При увеличении частоты наблюдаются поверхностные волны в веществе, причем их движение является периодическим.
Частота –12 Гц, амплитуда –5 мм. Поверхностные волны уменьшаются, распределение слоя по площади становится однородным. Примечание: в левом нижнем углу сосуда наблюдаются резонансные всплески песка.
Частота –15 Гц, амплитуда –6 мм. Движение песка начинает становиться упорядоченным.
Частота –18 Гц, амплитуда –6 мм. Образование радиальных “звездообразных” структур.
Частота –20 Гц, амплитуда –6 мм. Образование радиальных “звездообразных” структур.
Частота –24 Гц, амплитуда –6 мм. Образование радиальных “звездообразных” структур.
Частота –27 Гц, амплитуда –6 мм. С увеличением частоты масштаб “звездообразных” структур уменьшается
Частота –30 Гц, амплитуда –6 мм. С увеличением частоты масштаб “звездообразных” структур уменьшается.
Частота –32 Гц, амплитуда –4 мм. Наблюдается формирование лабиринтной структуры
II. Эксперименты в сосудах округлой формы.Схожие структуры наблюдаются в сосудах округлой формы –как “звездообразные”, так и ячеистые и лабиринтные.
Частота –25 Гц, амплитуда –4 см. Ячеистые структуры малых масштабов.
Частота –25 Гц, амплитуда –6,5 мм. При увеличении амплитуды масштаб ячеек возрастает.
Частота –35 Гц, амплитуда –5 мм. Лабиринтные структуры в слое.
Частота –15 Гц, амплитуда –8 мм. Неравномерное распределение по площади, также в некоторых местах наблюдаются резонансные всплески песка, так называемые “осциллоны”.
Частота –18 Гц, амплитуда –8 мм. Присутствуют “осциллоны”, также образуется ярко выраженная неоднородность по толщине слояв виде движущейся границы раздела “толстый –тонкий слой”.
Почему же возникают подобные неоднородности и происходит формирование структур?Если в какойто области увеличилась концентрация частиц, то это приводит к увеличению числа столкновений, что в силу их неупругости приводит к падению скорости частиц относительно окружения. Это значит, что в этом районе нарушится баланс потоков: частиц, влетающих в этот объем, будет больше, чем вылетающих. В частности, если на систему не действует сила тяжести, то в случае очень неупругих соударений возникает так называемый "неупругий коллапс", когда когда за конечное время происходит бесконечное число столкновений, и движение частиц абсолютно замирает.
Если же жидкость находится в поле тяжести, то области с повышенной плотностью будут, раумеется, тяжелее окружающей жидкости. В результате возникнет гидродинамическая неустойчивость, начнется конвекция, спонтанно появятся вихри. Итак, явления существуют, и потому возникает закономерный вопрос: как они могут быть теоретически выведены из микроскопической динамики отдельных песчинок? Построена ли теория, описывающая и объясняющая поведение гранулированных материалов? На данный момент существует множество различных теорий, но единого мнения на этот счет не сформировано. Оказывается, что отличия гранулированных материалов от обычных веществ не только приводят к новым интересным явлениям, но и значительно усложняют их описание. Стандартный подход к теоретическому описанию гранулированных жидкостей заключается в следующем. Берутся уравнения обычной гидродинамики и адаптируются с учетом специфики гранулированных материалов. А именно, вначале выбирается такое уравнение состояния гранулированной жидкости, которое могло бы приводить к кластеризации (то есть, локальная температура должна падать при повышении плотности). Далее, вводится дополнительный член, описывающий диссипацию энергии изза неупругого столкновения частиц. Наконец, выбирается некая реологическая модель материала (модель, описывающая вязкоупругие свойства, то есть, то, как материал деформируется и течет под действием напряжений), а также фиксируется зависимость коэффициента теплопроводности от параметров гранулированной жидкости. После этого можно пытаться решить полученные уравнения и выводить из них наблюдаемые эффекты. В той или иной степени прогресс в этом направлении имеется. Например, в работе [2] на основании таких уравнений теоретически исследовалась текучесть гранулированной жидкости, заключенной между двумя вращающимися соосными цилиндрами. Несмотря на то, что уравнения базировались на упрощенной модели межчастичного взаимодействия, была обнаружена очень нетривиальная зависимость текучести материала от средней плотности и от температуры. В частности, было отмечено аномально быстрое увеличения коэффициента вязкости с ростом плотности (точнее, при приближении плотности к критическому значению, за которым материал перестает течь). Кроме того, несмотря на то, что выбранная модель чисто гидродинамическая, авторы смогли проследить, как происходит "затвердевание" гранулированной жидкости, то есть, как вязкое поведение сменяется упругим. Несколько иной подход к проблеме состоит в попытке описать поведение гранулированных жидкостей нелинейными гидродинамическими уравнениями типа уравнения Бюргерса. Идея эта берет свое начало в работах Шандарина и Зельдовича [3], где уравнение Бюргерса использовалось для описания одномерного газа с абсолютно неупругими столкновениями частиц. Оказывается, что и в случае частичноупругих столкновений эволюция гранулированной жидкости при больших временах также походит на динамику решений уравнения Бюргерса, см. работу [4]. По крайней мере было отмечено формирование фронтов ударных волн (т.е. кластеризация в одномерном случае), а это, как известно, очень характерно для уравнения Бюргерса. В настоящее время, однако, совершенно неясно, насколько такой подход справедлив в многомерном случае; этот вопрос сейчас активно изучается.
Очень интересный подход к описанию макроскопических явлений в гранулированной жидкости был использован в недавней работе [5]. В ней исследовались нелинейные гидродинамические уравнения в достаточно общем виде, без выбора конкретной модели для той или иной характеристики жидкости. Авторы показывают, что можно ввести некий параметр порядка, который определяется через поле скоростей частиц. Возникающие же уравнения можно переписать в виде уравнений на этот параметр порядка. Эти уравнения будут содержать эффективный потенциал, минимум которого и даст нам решение для параметра порядка, а значит, и решение исходной задачи об эволюции системы. В результате вся теоретическая конструкция приобретает совершенно новый смысл: теория становится разновидностью общей теории фазовых переходов второго рода (и критических явлений вообще) ГинзбургаЛандау. Обычно в таких теориях естественным образом возникает некая критическая точка в эволюции системы, пройдя которую, система "перестраивается", претерпевает некий топологический переход, связанный с нарушением симметрии в системе. Параметр порядка при этом принимает ненулевое значение.
В нашем случае такой переход со спонтанным нарушением симметрии тоже есть. Авторами показывается, что если бы эффективный потенциал имел минимум при нулевом параметре порядка, то распределение скоростей в гранулированной жидкости было бы однородно. Однако потенциал имеет вид "сомбрерро", а значит, минимум достигается при целом множестве отличных от нуля параметров порядка (Рисунок 3). В терминах поля скоростей это значит, что однородность этого поля нарушается, и в системе самопроизвольно возникаютвихри. К сожалению, авторам пришлось пренебречь локальным изменением плотности, поэтому эти разработки не могут до конца объяснить формирование исследуемых структур. Для теоретического обоснования этих эффектов автор настоящей работы использовал феноменологическую модель, основанную на параметрическом уравнении ГинзбургаЛандау для параметра порядка и законе сохранения локальной плотности.
Указанное выше уравнение выглядит следующим образом:Параметр порядка ψ(x, y, t)характеризует полную амплитуду колебаний частицы. Линейные члены этого уравнения могут быть получены из дисперсионного отношения для параметрически заданной волны в материале. Параметрbздесь определяет волновое числоk. Членγψ*отвечает за формированиестоячих волн в материале. Член |ψ|2ψотвечает за нелинейность Рис.3 Форма эффективного потенциала как функции параметра порядка; минимум достигается при целом множестве отличных от нуля параметров порядка
волновых эффектов, а именно за частично упругие столкновения частиц. Также в уравнение входит член, связывающий изменение локальной плотности с параметром порядка. Изменение плотности в свою очередь задано уравнением:
В системе присутствуют два эффекта: диффузионная релаксация и вибрационный градиент давления. Сумма этих эффектов и дает нам соответствующее уравнение.I. Диффузионная релаксация
II.Вибрационный градиент давления
Решения этой системы уравнений соответствуют наблюдаемым в экспериментах структурам.
I. Диффузионная релаксацияII.Вибрационный градиент давленияРешения уравнений, демонстрирующие возникновение границ раздела и осциллонов.Решения уравнений, демонстрирующие формирование a) радиальных и б) ячеистых структур.II.Вибрационный градиент давленияТаким образом, можно говорить о правомерности использования подобной модели в нашем случае. Проведенные моделирования показывают, что решения этих уравнений схожи со структурами, наблюдаемыми в экспериментах.
Компьютерные моделирования. В работе проведены численные моделирования различных эффектов, наблюдаемых в экспериментах. Система моделировалась как совокупность частиц с частично упругими столкновениями, размещаемых на вибрирующей платформе.
Результаты компьютерного моделирования, демонстрирующие возникновение конвекционных потоков в системе
Результаты компьютерного моделирования, демонстрирующие возникновение конвекционных потоков в системе, крупные шарики увлекаются потоками и совершают движение
Результаты моделирования, демонстрирующие возникновение неоднородности по толщине слоя (подобные эффекты наблюдались в экспериментах).Результаты компьютерного моделирования, демонстрирующие возникновение конвекционных потоков в системе
Моделирование поведения оползня. Некоторые участки материала вообще не приходят в движение.
Формированиекластеров в системе: моделирования и эксперимент. Видна схожесть, поэтому можно говорить о правомерности использования простейшей модели.В результате проведенных исследований показана возможность пространственной организации изначально хаотичных гранулированных систем с помощью их вибрации. Эффект обоснован теоретически, и для его контроля разработан комплект компьютерных программ. Результаты могут быть использованы при прогнозировании и анализе природных катаклизмов в горных и песчаных районах, а также впромышленности, использующей различные сыпучие материалы.
Список используемых источников и литературы.1.S.V. Kiayshko, L.N. Korzinov, M.I. Rabinovich, L.S. Tsimring, Phys. Rev. E 54, 5037 (1996)2. L.Bocquet et al, "Granular Shear Flow Dynamics and Forces: Experiment and Continuum Theory"3. S.F.Shandarin and Ya.B.Zeldovich, Rev.Mod.Phys.61, 185 (1989) 4. E.BenNaim et al, Phys.Rev.Lett. 83, 4069 (1999).5. J.Wakou, R.Brito, M.Ernst, "Towards a LandauGinzburgtype Theory for Granular Fluids"Литература:H. M. Jaeger, S. R. Nagel, R. P. Behringer, Rev. Mod. Phys. 64, 1259 (1996)C. Bizon, M. D. Shattuck, J. B. Swift, W. D. McCormick, H. L. Swinney, Phys. Rev. Lett. 80, 57 (1998)J. Wakou, R. Brito, M. Ernst, "Towards a LandauGinzburgtype Theory for Granular Fluids" R. Soto, M. Mareschal, M. Malek Mansour, Phys. Lev. E62, 3836 (2000)R. J. Milburn, M. A. Naylor, A. J. Smith, M. C. Leaper, K. Good, Michael R. Swift, and P. J. King, Phys. Rev. E71, 011308 (2005)Parthapratim Biswas, P. Sanchez, Michael R. Swift, and P. J. King, Phys. Rev. E68,050301 (2003)
Учитель физики муниципального бюджетного образовательного учреждения средней общеобразовательной школы № 48 г. Нижнего Новгорода
Email: school48nnov@mail.ru
Название статьи: Узоры в вибрируемом сыпучем слое
В последние два десятилетия исследование поведения гранулированных материалов стало одной из центральных проблем нелинейной динамики. Оказалось, что при различных условиях сыпучие вещества могут вести себя и как твердое тело, и как жидкость, и как газ.В результате проведенных исследований показана возможность пространственной организации изначально хаотичных гранулированных систем с помощью их вибрации. Эффект обоснован теоретически, и для его контроля разработан комплект компьютерных программ. Результаты могут быть использованы при прогнозировании и анализе природных катаклизмов в горных и песчаных районах, а также в промышленности, использующей различные сыпучие материалы.
Сыпучие (или гранулированные) материалы, вроде песка или сахара, окружают человека повсюду и в повседневной жизни, и в природе (геологические и тектонические процессы). Они широко применяются в технологии. Поэтому удивительно, что их свойства и поведение ученые начали всерьез изучать только недавно. Возможно, что долгое время физикитеоретики не обращали внимания на динамику сыпучих веществ, считая их неким "приземленным" материалом, неинтересным с точки зрения теории. И как оказывается в последнее время, совершенно напрасно. Сыпучие материалы имеют некоторые свойства как твердых тел, так и жидкостей и газов, а в некоторых условиях ведут себя совершенно особым образом. Необычные свойства сыпучих материалов как твердых тел проявляются уже в состоянии покоя. Если на достаточно толстый слой материала (песка на пляже) положить груз, то он, конечно, вызовет напряжения и дополнительное давление в толще песка. Однако, как показали эксперименты нескольких групп, проведенные в 1995 году, величина этих напряжений очень быстро уменьшается с глубиной по экспоненциальному закону. Кроме того, экспериментаторы четко видели, что области наибольших напряжений имеют ветвистую структуру. Другими словами, вес груза удерживается не всей площадью, а редкими узкими "столбами" напряжений. Другое похожее явление было отмечено еще 100 лет назад Янссеном: давление столба песка в высокой вертикальной трубе сначала растет с глубиной, а начиная с некоторого значения перестает от нее зависеть все лишнее давление передается на стенки сосуда. На самом деле, именно благодаря этому явлению скорость хода песочных часов практически не зависит от того, сколько песка еще осталось. Гранулированные вещества ведут себя при определенных условиях и как жидкости. Всем известно, что если угол наклона песчаной горы станет достаточно крутым образуется лавина, песок начинает стекать. То, что скорость течения зависит от угла наклона неудивительно, это справедливо и для жидкости. Однако, было большим удивлением обнаружить, что течет всего лишь тонкий слой песка, толщиной 34 диаметра песчинки. На больших глубинах никакого движения не происходит вообще. Если сосуд с песком начать мелко трясти, то тем самым можно заставить песчинки двигаться, сталкиваться. Движение всего песка начинает походить при этом на движение жидкости. Такие экспериментыпроводил еще Фарадей в 1831 году. Им были отмечены необычные локальные образования, иногда достаточно стабильные, которые появлялись на поверхности гранулированных материалов. Кроме таких хитрых поверхностных явлений, много занимательного происходит и в самой толще гранулированного материала, а именно конвекция. В цилиндическом сосуде она происходит вполне определенным образом: в центре сосуда идет поток вверх, а по краям, вдоль стенок, в тонком слое вниз. Интересно, что при такой конвекции уже не важна масса частиц в смеси разнородных гранулированных материалов, важен только размер частиц. Именно благодаря этому частицы гораздо большего размера всплывают на поверхность и больше не опускаются: они просто не могут последовать за тонким конвективным потоком вдоль стенок. Надо отметить, что характер конвективного движения сильно зависит от формы сосуда в коническом сосуде, к примеру, конвективное движение будет как раз противоположным. Другое необычное явление в смеси разнородных гранулированных материалов это саморазделение на фракции (сегрегация) при наличии температурного градиента в системе. Оказалось, что более крупные частицы стремятся собираться в самых холодных районах, максимально далеких от источника тепла. Если же поместить в такие условия смесь одинаковых по размеру, но разных по массе частиц, то в зависимости от конкретного положения источника тепла две фракции либо полностью разделяются, либо однородно перемешиваются. И то, и другое очень важные процессы в промышленности. Безусловно, в скором времени то, что сейчас является передним краем науки, будет массово использоваться в индустрии. В последнее время обнаружилось много общего между поведением вибрирующей массы гранулированного материала и суспензиями взвесями мелких твердых частиц в жидкости. Хотя на уровне отдельных частиц эти две системы ведут себя совершенно поразному, их поведение в целом оказалось похожим. В частности, наблюдались такие же осциллоны с очень похожим поведением. Возможно, это говорит о том, что нелинейная динамика, т.е. характер математических законов, управляющих движением обоих систем, одинаков. В последние два десятилетия исследование поведения гранулированных материалов стало одной из центральных проблем нелинейной динамики. Оказалось, что при различных условиях сыпучие вещества могут вести себя и как твердое тело, и как жидкость, и как газ. Остановимся подробнее на схожем поведении гранулированных веществ и обыкновенных жидкостей.Чем же эти вещества отличаются от обычной жидкости? Отличие одно, но важное: взаимодействия песчинок очень непохоже на взаимодействие молекул. А именно, 1.между частицами нет сил притяжения,2.столкновения частиц неупруги, 3.между частицами существует трение.Все же, поведение сыпучих веществ во многом напоминает поведение жидкостей. Таким образом, можно выдвинуть гипотезу о существовании различных волновых эффектов в гранулированных веществах, подобных таким эффектам в жидкостях, например эффекту Фарадея. В своих экспериментах Фарадей размещал слой жидкости на вертикально вибрирующей платформе и наблюдал картину формирования интерференционных структур на поверхности жидкости. В недавней работе [1] было проведено теоретическое исследование данных структур. Оказалось, что при различных параметрах вибрации могут возникать различные по форме структуры: от спиральных до ячеистых структур. Автор настоящей работы поставил перед собой задачу экспериментального наблюдения подобного многообразия структур в сыпучих веществах при их вибрации. Эти структуры в таком случае должны быть несколько отличены от тех, что наблюдались Фарадеем в жидкости. Причем, не исключено возникновение конвекционных потоков вещества, подобных тем, что возникают в жидкостях или газах при наличии температурного градиента (например, формирование так называемых “ячеек Бенара”). То есть, в данном случае в роли температурного градиента будет выступать одностороння подача энергии в виде вибрирующего сосуда. Для подтверждения данной гипотезы автором был проведен ряд экспериментальных и теоретических исследований, описанных ниже.В качестве объекта исследований автором был выбран песок. Также в ряде экспериментов использовалась зернистая крупа и шарики различных размеров и массы. Материал помещался в сосуды различных конфигураций, преимущественно использовались прямоугольные и круглые емкости.В экспериментах был использован вибростенд Brüel&Kjærс анализатором сигналов, создающий вертикальные колебания сосуда. Автор мог регулировать форму сигнала, а также амплитуду и частоту вибрации и толщину вибрируемого слоя, таким образом можно было исследовать форму структурного рельефа вещества от этих параметров. Эксперименты проводились в режимах вибрации Variablesine(Изменяемая синусоида) и RandomNoise(Случайный шум). Визуальные данные регистрировались с помощью цифровой видеокамеры. Параметры вибрации: Частотный диапазон вибрации –менее 60 герцАмплитуда вибрации –менее 10 ммТолщина вибрируемого слоя –менее 3 см1.3 Результаты экспериментов.В ходе экспериментов было обнаружено формирование множества различных структур, был проведено классифицирование визуальных данных, полученных с помощью цифровой видеокамеры. Фотографии обнаруженных структур размещены ниже:I. Эксперименты с песочным слоем толщиной 3 см
Частота –5 Гц, частота –5 мм. Ярко выраженная неоднородность в толщине слоя, происходит скопление песка у одной части сосуда.
Частота –8 Гц, амплитуда –5 мм. При увеличении частоты наблюдаются поверхностные волны в веществе, причем их движение является периодическим.
Частота –12 Гц, амплитуда –5 мм. Поверхностные волны уменьшаются, распределение слоя по площади становится однородным. Примечание: в левом нижнем углу сосуда наблюдаются резонансные всплески песка.
Частота –15 Гц, амплитуда –6 мм. Движение песка начинает становиться упорядоченным.
Частота –18 Гц, амплитуда –6 мм. Образование радиальных “звездообразных” структур.
Частота –20 Гц, амплитуда –6 мм. Образование радиальных “звездообразных” структур.
Частота –24 Гц, амплитуда –6 мм. Образование радиальных “звездообразных” структур.
Частота –27 Гц, амплитуда –6 мм. С увеличением частоты масштаб “звездообразных” структур уменьшается
Частота –30 Гц, амплитуда –6 мм. С увеличением частоты масштаб “звездообразных” структур уменьшается.
Частота –32 Гц, амплитуда –4 мм. Наблюдается формирование лабиринтной структуры
II. Эксперименты в сосудах округлой формы.Схожие структуры наблюдаются в сосудах округлой формы –как “звездообразные”, так и ячеистые и лабиринтные.
Частота –25 Гц, амплитуда –4 см. Ячеистые структуры малых масштабов.
Частота –25 Гц, амплитуда –6,5 мм. При увеличении амплитуды масштаб ячеек возрастает.
Частота –35 Гц, амплитуда –5 мм. Лабиринтные структуры в слое.
Частота –15 Гц, амплитуда –8 мм. Неравномерное распределение по площади, также в некоторых местах наблюдаются резонансные всплески песка, так называемые “осциллоны”.
Частота –18 Гц, амплитуда –8 мм. Присутствуют “осциллоны”, также образуется ярко выраженная неоднородность по толщине слояв виде движущейся границы раздела “толстый –тонкий слой”.
Почему же возникают подобные неоднородности и происходит формирование структур?Если в какойто области увеличилась концентрация частиц, то это приводит к увеличению числа столкновений, что в силу их неупругости приводит к падению скорости частиц относительно окружения. Это значит, что в этом районе нарушится баланс потоков: частиц, влетающих в этот объем, будет больше, чем вылетающих. В частности, если на систему не действует сила тяжести, то в случае очень неупругих соударений возникает так называемый "неупругий коллапс", когда когда за конечное время происходит бесконечное число столкновений, и движение частиц абсолютно замирает.
Если же жидкость находится в поле тяжести, то области с повышенной плотностью будут, раумеется, тяжелее окружающей жидкости. В результате возникнет гидродинамическая неустойчивость, начнется конвекция, спонтанно появятся вихри. Итак, явления существуют, и потому возникает закономерный вопрос: как они могут быть теоретически выведены из микроскопической динамики отдельных песчинок? Построена ли теория, описывающая и объясняющая поведение гранулированных материалов? На данный момент существует множество различных теорий, но единого мнения на этот счет не сформировано. Оказывается, что отличия гранулированных материалов от обычных веществ не только приводят к новым интересным явлениям, но и значительно усложняют их описание. Стандартный подход к теоретическому описанию гранулированных жидкостей заключается в следующем. Берутся уравнения обычной гидродинамики и адаптируются с учетом специфики гранулированных материалов. А именно, вначале выбирается такое уравнение состояния гранулированной жидкости, которое могло бы приводить к кластеризации (то есть, локальная температура должна падать при повышении плотности). Далее, вводится дополнительный член, описывающий диссипацию энергии изза неупругого столкновения частиц. Наконец, выбирается некая реологическая модель материала (модель, описывающая вязкоупругие свойства, то есть, то, как материал деформируется и течет под действием напряжений), а также фиксируется зависимость коэффициента теплопроводности от параметров гранулированной жидкости. После этого можно пытаться решить полученные уравнения и выводить из них наблюдаемые эффекты. В той или иной степени прогресс в этом направлении имеется. Например, в работе [2] на основании таких уравнений теоретически исследовалась текучесть гранулированной жидкости, заключенной между двумя вращающимися соосными цилиндрами. Несмотря на то, что уравнения базировались на упрощенной модели межчастичного взаимодействия, была обнаружена очень нетривиальная зависимость текучести материала от средней плотности и от температуры. В частности, было отмечено аномально быстрое увеличения коэффициента вязкости с ростом плотности (точнее, при приближении плотности к критическому значению, за которым материал перестает течь). Кроме того, несмотря на то, что выбранная модель чисто гидродинамическая, авторы смогли проследить, как происходит "затвердевание" гранулированной жидкости, то есть, как вязкое поведение сменяется упругим. Несколько иной подход к проблеме состоит в попытке описать поведение гранулированных жидкостей нелинейными гидродинамическими уравнениями типа уравнения Бюргерса. Идея эта берет свое начало в работах Шандарина и Зельдовича [3], где уравнение Бюргерса использовалось для описания одномерного газа с абсолютно неупругими столкновениями частиц. Оказывается, что и в случае частичноупругих столкновений эволюция гранулированной жидкости при больших временах также походит на динамику решений уравнения Бюргерса, см. работу [4]. По крайней мере было отмечено формирование фронтов ударных волн (т.е. кластеризация в одномерном случае), а это, как известно, очень характерно для уравнения Бюргерса. В настоящее время, однако, совершенно неясно, насколько такой подход справедлив в многомерном случае; этот вопрос сейчас активно изучается.
Очень интересный подход к описанию макроскопических явлений в гранулированной жидкости был использован в недавней работе [5]. В ней исследовались нелинейные гидродинамические уравнения в достаточно общем виде, без выбора конкретной модели для той или иной характеристики жидкости. Авторы показывают, что можно ввести некий параметр порядка, который определяется через поле скоростей частиц. Возникающие же уравнения можно переписать в виде уравнений на этот параметр порядка. Эти уравнения будут содержать эффективный потенциал, минимум которого и даст нам решение для параметра порядка, а значит, и решение исходной задачи об эволюции системы. В результате вся теоретическая конструкция приобретает совершенно новый смысл: теория становится разновидностью общей теории фазовых переходов второго рода (и критических явлений вообще) ГинзбургаЛандау. Обычно в таких теориях естественным образом возникает некая критическая точка в эволюции системы, пройдя которую, система "перестраивается", претерпевает некий топологический переход, связанный с нарушением симметрии в системе. Параметр порядка при этом принимает ненулевое значение.
В нашем случае такой переход со спонтанным нарушением симметрии тоже есть. Авторами показывается, что если бы эффективный потенциал имел минимум при нулевом параметре порядка, то распределение скоростей в гранулированной жидкости было бы однородно. Однако потенциал имеет вид "сомбрерро", а значит, минимум достигается при целом множестве отличных от нуля параметров порядка (Рисунок 3). В терминах поля скоростей это значит, что однородность этого поля нарушается, и в системе самопроизвольно возникаютвихри. К сожалению, авторам пришлось пренебречь локальным изменением плотности, поэтому эти разработки не могут до конца объяснить формирование исследуемых структур. Для теоретического обоснования этих эффектов автор настоящей работы использовал феноменологическую модель, основанную на параметрическом уравнении ГинзбургаЛандау для параметра порядка и законе сохранения локальной плотности.
Указанное выше уравнение выглядит следующим образом:Параметр порядка ψ(x, y, t)характеризует полную амплитуду колебаний частицы. Линейные члены этого уравнения могут быть получены из дисперсионного отношения для параметрически заданной волны в материале. Параметрbздесь определяет волновое числоk. Членγψ*отвечает за формированиестоячих волн в материале. Член |ψ|2ψотвечает за нелинейность Рис.3 Форма эффективного потенциала как функции параметра порядка; минимум достигается при целом множестве отличных от нуля параметров порядка
волновых эффектов, а именно за частично упругие столкновения частиц. Также в уравнение входит член, связывающий изменение локальной плотности с параметром порядка. Изменение плотности в свою очередь задано уравнением:
В системе присутствуют два эффекта: диффузионная релаксация и вибрационный градиент давления. Сумма этих эффектов и дает нам соответствующее уравнение.I. Диффузионная релаксация
II.Вибрационный градиент давления
Решения этой системы уравнений соответствуют наблюдаемым в экспериментах структурам.
I. Диффузионная релаксацияII.Вибрационный градиент давленияРешения уравнений, демонстрирующие возникновение границ раздела и осциллонов.Решения уравнений, демонстрирующие формирование a) радиальных и б) ячеистых структур.II.Вибрационный градиент давленияТаким образом, можно говорить о правомерности использования подобной модели в нашем случае. Проведенные моделирования показывают, что решения этих уравнений схожи со структурами, наблюдаемыми в экспериментах.
Компьютерные моделирования. В работе проведены численные моделирования различных эффектов, наблюдаемых в экспериментах. Система моделировалась как совокупность частиц с частично упругими столкновениями, размещаемых на вибрирующей платформе.
Результаты компьютерного моделирования, демонстрирующие возникновение конвекционных потоков в системе
Результаты компьютерного моделирования, демонстрирующие возникновение конвекционных потоков в системе, крупные шарики увлекаются потоками и совершают движение
Результаты моделирования, демонстрирующие возникновение неоднородности по толщине слоя (подобные эффекты наблюдались в экспериментах).Результаты компьютерного моделирования, демонстрирующие возникновение конвекционных потоков в системе
Моделирование поведения оползня. Некоторые участки материала вообще не приходят в движение.
Формированиекластеров в системе: моделирования и эксперимент. Видна схожесть, поэтому можно говорить о правомерности использования простейшей модели.В результате проведенных исследований показана возможность пространственной организации изначально хаотичных гранулированных систем с помощью их вибрации. Эффект обоснован теоретически, и для его контроля разработан комплект компьютерных программ. Результаты могут быть использованы при прогнозировании и анализе природных катаклизмов в горных и песчаных районах, а также впромышленности, использующей различные сыпучие материалы.
Список используемых источников и литературы.1.S.V. Kiayshko, L.N. Korzinov, M.I. Rabinovich, L.S. Tsimring, Phys. Rev. E 54, 5037 (1996)2. L.Bocquet et al, "Granular Shear Flow Dynamics and Forces: Experiment and Continuum Theory"3. S.F.Shandarin and Ya.B.Zeldovich, Rev.Mod.Phys.61, 185 (1989) 4. E.BenNaim et al, Phys.Rev.Lett. 83, 4069 (1999).5. J.Wakou, R.Brito, M.Ernst, "Towards a LandauGinzburgtype Theory for Granular Fluids"Литература:H. M. Jaeger, S. R. Nagel, R. P. Behringer, Rev. Mod. Phys. 64, 1259 (1996)C. Bizon, M. D. Shattuck, J. B. Swift, W. D. McCormick, H. L. Swinney, Phys. Rev. Lett. 80, 57 (1998)J. Wakou, R. Brito, M. Ernst, "Towards a LandauGinzburgtype Theory for Granular Fluids" R. Soto, M. Mareschal, M. Malek Mansour, Phys. Lev. E62, 3836 (2000)R. J. Milburn, M. A. Naylor, A. J. Smith, M. C. Leaper, K. Good, Michael R. Swift, and P. J. King, Phys. Rev. E71, 011308 (2005)Parthapratim Biswas, P. Sanchez, Michael R. Swift, and P. J. King, Phys. Rev. E68,050301 (2003)
