Знакомимся с абстрактной алгеброй: полугруппы

Библиографическое описание статьи для цитирования:
Вечтомов Е. М. Знакомимся с абстрактной алгеброй: полугруппы // Научно-методический электронный журнал «Концепт». – 2014. – № 12 (декабрь). – С. 11–15. – URL: http://e-koncept.ru/2014/14335.htm.
Аннотация. Статья написана на основе пленарного доклада, сделанного автором на Всероссийской научно-практической конференции «Математика и компьютерное моделирование в исследованиях студентов и школьников» (Киров, ВятГГУ, 14–15 мая 2013 г.). Выстраиваются акценты, и рассматривается порядок изучения эле-ментов теории полугрупп студентами-математиками младших курсов и продвинутыми старшеклассниками.
Раздел: Отдельные вопросы сферы образования
Комментарии
Нет комментариев
Оставить комментарий
Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы комментировать.
Текст статьи
ВечтомовЕвгенийМихайлович,докторфизикоматематическихнаук,профессор,заведующийкафедройфундаментальнойикомпьютернойматематикиФГБОУВПО«Вятскийгосударственныйгуманитарныйуниверситет»,г.Кировvecht@mail.ru

Знакомимсясабстрактнойалгеброй:полугруппы

Аннотация.Статьянаписананаосновепленарногодоклада,сделанногоавторомнаВсероссийскойнаучнопрактическойконференции«Математикаикомпьютерноемоделированиевисследованияхстудентовишкольников»(Киров,ВятГГУ,14‬15мая2013г.).Выстраиваютсяакценты,ирассматриваетсяпорядокизученияэлементовтеорииполугруппстудентамиматематикамимладшихкурсовипродвинутымистаршеклассниками.Ключевыеслова:ассоциативнаяалгебра,полугруппа,полугруппаслов,полугруппапреобразований,изучениетеорииполугрупп.

Раздел:(01)педагогика;историяпедагогикииобразования;теорияиметодикаобученияивоспитания(попредметнымобластям).

Яприветствуюполугруппу,гдебыяеенивстретил,австречаетсяонаповсюду.Впрочем,отдрузейяслышал,чтовматематикепопадаютсяобъекты,отличныеотполугрупп.ЭйнарХиллеВведениеРаботапродолжаетсериюнашихпубликацийпоразвитиювысшегоалгебраическогообразования[4‬11]. Каждомуначинающемуматематикуиинформатикунеобходимоознакомитьсясначаламитеорииполугрупп‬сеетерминологией,исходнымипонятиямиифактами,методамииконструкциями,подходамииприменениями.Понятиеполугруппыслужитосновойассоциативнойалгебры,проникающейвомногиеразделысовременнойматематикииееприложения[1,3,10,15‬21,23‬25,30].Теорииполугрупппосвященымонографии[16‬18,24,29,30],обзоры[12‬14, 25],научнопопулярныестатьи[26‬28],специализированныйнаучныйжурнал[31].МонографиясоветскогоукраинскогоматематикаАнтонаКаземировичаСушкевича(1889‬1961)«Теорияобобщенныхгрупп»(таксначаланазывалисьполугруппы)1937г.[22]былапервойкнигойвмировойлитературепополугруппам.ВСССРцентрамитеоретикополугрупповыхисследованийбылигородаБаку,Ленинград(СанктПетербург),Москва,Новосибирск,Саратов,Свердловск(Екатеринбург),Харьков.МеждународноепризнаниеполучилиалгебраическиешколыпрофессораЕвгенияСергеевичаЛяпина(1914‬2005)изРоссийскогогосударственногопедагогическогоуниверситета(СанктПетербург)ипрофессораЛьваНаумовичаШеврина(1935г.р.)изУральскогофедеральногоуниверситета(Екатеринбург).Отметим,чтовредколлегиюжурнала“SemigroupForum”входятЛ.Н.ШевриниегоученикпрофессорМ.В.Волков(1955г.р.),атакжеамериканскийпрофессорБ.М.Шайн(1938г.р.)‬выпускникСаратовскогогосуниверситета.ОднимизсоздателейтеорииполугруппявляетсяамериканскийалгебраистАльфредКлиффорд(1908‬1992) ‬соавторизвестногодвухтомника[16].Назовемтакжетакиеименазарубежныхматематиков,внесшихзаметныйвкладвсовременнуютеориюполугруппиееприложения,какДж.Грин,Ж.Лаллеман,Г.Престон,Д.Рис,Э.Хилле,М.Шютценберже.Определения.Примеры.СвойстваБинарнойалгебраическойоперациейнанепустоммножествеAназываетсяпроизвольноеотображение: AAA;онокаждойупорядоченнойпареэлементовa,bAставитвсоответствиевполнеопределенныйэлементabA.НепустоемножествоAснекоторойзаданнойнанембинарнойалгебраическойоперациейназываетсягруппоидом(приэтомговоряттакжеопареA,). ОперациянаAназываетсяассоциативной,если(ab)c=a(bc)длялюбыхэлементовa,b,cA.Группоидсассоциативнойоперациейназываетсяполугруппой(semigroup). Отображение: A,B,группоидовназываетсягомоморфизмом,еслионосохраняетоперацию,тоесть(xy)=(x)(y)длялюбыхx,yA.Взаимнооднозначныйгомоморфизмодногогруппоиданадругойназываетсяихизоморфизмом(нетруднопоказать,чтообратноеотображение‬1такжебудетизоморфизмом).Группоидыназываютсяизоморфными,еслимеждунимисуществуетизоморфизм.Отношениеизоморфностинаклассевсехгруппоидовявляетсяотношениемэквивалентности.Изоморфныегруппоидыимеютодниитежеабстрактныесвойства.Например,группоид,изоморфныйполугруппе,самбудетполугруппой.Дадимещенесколькоисходныхопределений.ПолугруппаAназывается:моноидом,есливAсуществуетнейтральныйэлемент,тоестьтакойэлементeA,чтонаAтождественноxe=x=ex(легковидеть,чтонейтральныйэлементединственен);коммутативной,еслиееоперациякоммутативна,тоестьвAвыполняетсятождествоxy=yx; идемпотентной(илисвязкой),еслиAудовлетворяеттождествуxx=x(такиеэлементыxназываютсяидемпотентами); полурешеткой,когдаонакоммутативнаиидемпотентна;сократимойслева(справа),когдаудовлетворяетквазитождествуxy=xzy=z(соответственно,xz=yzx=y).ДляизображениягруппоидовприменяютсятаблицыКэли,названныетакпоименианглийскогоматематикаАртураКэли(1821‬1895). Выясним,скольковсегосуществуетдвухэлементныхполугрупп.Дляэтогосначаланайдемвседвухэлементныегруппоиды.Любопытно,чтовсегосуществуют24попарнонеизоморфныетрехэлементныеполугруппы,188четырехэлементныхполугрупп,1915пятиэлементныхполугрупп,28634шестиэлементныеполугруппы[25,с.66]. ТаблицейКэлидлягруппоида{a,b},служиттаблица:

abaaaabbbabbВсеготакихтаблицбудет24=16.Изобразимих:1ab

2ab

3ab

4abaaa

aaa

aaa

aaabaa

bab

bba

bbb

5ab

6ab

7ab

8abaab

aab

aab

aabbaa

bab

bba

bbb

9ab

10ab

11ab

12ababa

aba

aba

ababaa

bab

bba

bbb

13ab

14ab

15ab

16ababb

abb

abb

abbbaa

bab

bba

bbb

Среди16представленныхгруппоидовнекоторыегруппоидыизоморфныдругдругуприотображении: ab, ba.Например,изоморфныгруппоиды,заданныетаблицами1и16.Этобудемзаписыватькак116иговоритьпростоогруппоидах1и16.Некоторыегруппоидымогутбытьизоморфнытолькосамимсебе.Найдемгруппоид(еготаблицу),изоморфныйгруппоиду2.Используеммультипликативнуюзаписьопераций.Длялюбыхэлементовx,y{a,b}должныполучитьвновомгруппоидеxy=(‬1(x)‬1(y))=(x‬1y‬1), гдеумножениевскобкахпроизводитсявгруппоиде2.Итак,имеем:aa=(a1a1)=(bb)=b=a, ab=(ba)=a=b, ba=(ab)=a=bиbb=(aa)=a=b.Врезультатемыполучаемгруппоид8.Значит,28.Аналогичнонаходим,что312, 44, 514, 66, 710, 915, 1111и1313. Всегополучаем10попарнонеизоморфныхдвухэлементныхгруппоидов1,2,3,4,5,6,7,9,11,13.См.[3,с.53‬55]. Далеемыбудемиспользоватьмультипликативнуютерминологию:полугрупповаяоперация‬умножение«»,результатab=ab‬произведение,нейтральныйэлемент‬единица1.Нарядусмультипликативнойсимволикойприменяютсяиаддитивныеобозначения:операциясложения«»,результатa+b‬сумма,нейтральныйэлемент‬нуль0.Частополугруппызадаютсяобразующимиэлементамииопределяющимисоотношениями.Например,полугруппа,определяемаядвумяобразующимиa,bитремяравенствамиab=ba, a2=aиb3=b,имеет5элементов:a,ab,ab2,b,b2‬влексикографическойзаписи.Важнейшийклассполугруппобразуютгруппы.Группойназываетсятакоймоноид,чтокаждыйегоэлементaимеетобратныйэлементa‬1: aa‬1=a‬1a=1(такойэлементa‬1единственен).Отметим,чтокольца,полукольца,решеткиявляютсяполугруппамипообеимоперациям.

Полугруппастождествомxy=x(xy=y)называетсяполугруппойлевых(правых) нулей.Такиеполугруппыидемпотентны.Многообразиемполугруппназываетсяклассвсехполугрупп,удовлетворяющихзаданномунаборутождеств.Так,идемпотентныеполугруппыобразуютмногообразие.Многообразиеполугруппназываетсятривиальным,еслионозадаетсятождествомx=y;этоклассвсеходноэлементныхполугрупп(изоморфныхдругдругу).Укажемдваинтересныхфактаобидемпотентныхполугруппах.Вопервых,существуетровнотриминимальныхнетривиальныхмногообразияидемпотентныхполугрупп:классполугрупплевыхнулей,классполугруппправыхнулей,классполурешеток[25,с.163].Вовторых,всякаяконечнопорожденнаяидемпотентнаяполугруппаконечна[17,с.352]. Множествовсехдействительных(рациональных,целых,натуральных,комплексных)чиселявляетсясократимойкоммутативнойполугруппой,какпоумножению,такипосложению.Операциявычитаниянамножествецелыхчиселнеассоциативнаинекоммутативна,такжекакиоперациявозведениявстепень(xy)намножественатуральныхчисел.Втеориипредставленийполугруппзаметноеместозанимаютмультипликативныеполугруппыквадратныхматрицскомплекснымикоэффициентами.Основнымимодельнымипримерамиполугруппвыступаютполугруппысловиполугруппыпреобразований. ВозьмемнепустоемножествоX,называемоеалфавитом.Егоэлементыназываютбуквами,аконечныепоследовательностибуквназываютсясловами(можноввестипустоеслово,атакжебесконечныеслова).ПустьA(X) ‬множествовсехсловвалфавитеX,рассматриваемоесоперациейконкатенации(приписывания)слов:кслову(a1a2…am)длиныmсправадобавляетсяслово(b1b2…bn)длиныnсрезультатомсловом(a1a2…amb1b2…bn)длиныm+n.ПолучаемтакназываемуюсвободнуюполугруппуA(X)надX:онабесконечнаисократимасобеихсторон;еекоммутативностьравносильнатому,чтоXодноэлементно.ЛюбаяполугруппаизоморфнафакторполугруппенекоторойсвободнойполугруппыA(X).Полугруппысловиграютбольшуюролькаквобщейтеорииполугрупп,такивкомбинаторныхприложениях.Словаводнобуквенномалфавите{}моделируютнатуральныечисла:,,,,….АзбукаМорзе(телеграфнаяазбука)имеетдвухбуквенныйалфавит{,‬},вкоторомкодируютсяобычныебуквыизнакипрепинания,слова,предложения,сообщения.Другойфундаментальныйтипполугруппсоставляютполугруппыпреобразований.ОбозначимчерезT(X)множествовсевозможныхотображенийXXфиксированногомножестваX,называемыхпреобразованиямиX.Относительнооперациикомпозиции(суперпозиции,последовательноговыполненияпреобразований)T(X) становитсямоноидом.Действительно,длялюбыхf,gT(X)ихкомпозицияfg=gf, определяемаясоотношениемx(fg)=(xf)gпривсехxX, задаетассоциативнуюоперациюнаT(X),таккакдлявсехf,g,hT(X)иxX: x((fg)h)=((xf)g)h=(xf)(gh)=x(f(gh)).Рольединицыиграеттождественноеотображение1X.

XXXXfghfgghВлюбойполугруппевыполняетсяОбобщенныйзаконассоциативности. Произведениеa1a2…anлюбогоконечногочислаэлементовполугруппынезависитотрасстановкискобок.

Индукциейпочислуnсомножителейдоказывается,чтоa1a2…an=(…((a1a2)a3)…an‬1)an.Заметим,чточислорасстановокскобоквпроизведенииa1a2…anестьсоответствующеечислоКаталана:приn=3имеемзначение2,приn=4получаем5,приn=5имеем14.Вобщемслучаедляn3имеемчислосочетанийиз2(n‬1)поn‬1,деленноенаn. ПредставлениеполугрупппреобразованиямиПустьданапроизвольнаяполугруппаA.ДлякаждогоееэлементаaположимTa: AA, xTa=xaдлявсехxA, этоправыйсдвигполугруппыAнаэлементa.Рассмотримотображение: AT(A), (a)=TaдлялюбогоaA.Посколькудлялюбыхa,bAиxAимеемx(ab)=xTab=x(ab)=(xa)b=(xTa)Tb=(x(a))(b)=x((a)(b)), тоестьгомоморфизмданнойполугруппыAвполугруппупреобразованийT(A).Посмотрим,являетсяли(изоморфным)вложением,тоестьинъективнымгомоморфизмом?Инъективностьозначает,чтоTaTbпринеравныхa,bA.Новслучаеполугруппылевыхнулейxa=x=xbприлюбыхa,bA.Поэтомунеобязанобытьвложением.Конечно,вомногихдругихслучаях(например,когдаполугруппаAимеетлевуюединицуилисократимаслева)будетвложением.ПринципиальноезначениеполугрупппреобразованийобосновываетОбобщеннаятеоремаКэли.ВсякаяполугруппаAизоморфновкладываетсявсоответствующуюполугруппупреобразованийT(X).

ДлядоказательстваобобщеннойтеоремыКэлидостаточнокполугруппеAприсоединить(новую)единицуeивзятьмоноидAe=A{e}.ТогдаполугруппаAизоморфновкладываетсявмоноидAe,который,всвоюочередь,припомощи,изоморфновкладываетсявполугруппупреобразованийT(Ae). ЦиклическиеполугруппыСредиабстрактныхполугруппвыделяетсякласспростейшихполугрупп‬циклические(илимоногенные)полугруппы,порожденныеоднимэлементом.Именно,полугруппаAназываетсяциклической,еслиA={am: mN}длянекоторогоэлементаaA‬ееобразующего.Любаяполугруппаестьтеоретикомножественноеобъединениеподполугрупп,являющихсяциклическимиполугруппами.Еслистепениобразующегоэлементаaсразличнымипоказателямиразличны,тополучаембесконечнуюциклическуюполугруппуA={a,a2,a3,…,am,…},изоморфнуюаддитивнойполугруппеN,+натуральныхчисел.Впротивномслучаенайдутсятакиенатуральныечислаkиn,чтоak=ak+n.Считаемkнаименьшимнатуральнымчисломстакимусловием,аn‬наименьшимнатуральнымчисломсосвойствомak=ak+nдляуказанногозначенияk.Получаемциклическуюполугруппутипа(k,n)A={a,…,ak‬1,ak,…,ak+n‬1}, содержащуюровноk+n‬1элементов.Строениеконечныхциклическихполугрупп.Конечныециклическиеполугруппысовпадают,сточностьюдоизоморфизма,сциклическимиполугруппамитипа(k,n),гдеkиn‬произвольныенатуральныечисла.Множество{a,…,ak‬1}называютхвостомA,амножество{ak,…,ak+n‬1} ‬еециклом.Приk=1получаемциклическуюгруппупорядкаn,априn=1получаемхвостсдобавленнымпоглощающимэлементомak.Любуюциклическуюполугруппуможноизобразитьввидепростогоориентированногографа,соединяястрелкойэлементamсэлементомam+1приmN. Воткаквыглядитграфциклическойполугруппытипа(4,5):

СвязьсдругимиматематическимиструктурамиПустьтеперьX‬некоторыйматематическийобъект,скажем,алгебраическаяструктура,упорядоченноемножествоилитопологическоепространство.ЧерезS(X) обозначимполугруппувсехегоэндоморфизмов,рассматриваемуюкакподполугруппавT(X). ЭндоморфизмомматематическогообъектаXназываетсяпреобразованиемножестваX,сохраняющеевсеегоструктурныеоперациииотношения.Эндоморфизмывслучаеалгебраическойструктурысутьгомоморфизмывсебя,вслучаепорядковойструктуры‬изотонныепреобразования,вслучаетопологическойструктуры‬непрерывныепреобразования.ПолугруппаэндоморфизмовS(X)математическогообъектаXнесетсущественную(иногдаисчерпывающую)информациюосамомобъектеX.Вчастности,достаточноактивноизучалисьполугруппынепрерывныхпреобразованийтопологическихпространств[2,§4]. Сформулируемодинрезультатавторанаэтутему.НаполугруппеS(X)непрерывныхпреобразованийтопологическогопространстваXвведемтопологиюпоточечнойсходимости,тоестьтопологиюподпространства,индуцированнуютопологиейпроизведениянамножествеXXвсехпреобразованийпространстваX.ВрезультатеполучимполутопологическуюполугруппуSp(X):внейоперациякомпозициинепрерывнапокаждомуизсомножителей,нонеобязанабытьнепрерывной.Имеетместоследующийрезультат:Теоремаопределяемости[2,предложение4.14].ПроизвольныетопологическиепространстваXиYгомеоморфнытогдаитолькотогда,когдамеждуполутопологическимиполугруппамиSp(X) иSp(Y) существуетполугрупповойизоморфизм,являющийсяодновременноихгомеоморфизмом.

ПримененияАбстрактнаятеорияполугруппуспешноприменяетсявдискретнойикомпьютернойматематике,втеорииформальныхязыков,втеорииконечныхавтоматов,втеориикодированияикриптографии.Большуюрольиграюталгоритмическиеикомбинаторныеаспектыиприложениятеорииполугрупп.Затронемтолькоследующиесюжеты.ПионеромвтеорииформальныхязыковпоправусчитаетсянорвежскийматематикАксельТуэ(1963‬1922).В1912гонрешилзадачисуществованияистроениябесквадратныхсловисильнобескубныхслов.СловоилибесконечноеслововалфавитеXназываетсябесквадратным(сильнобескубным),еслиононесодержитподсловвидаww(wwa),гдеa‬перваябуквасловаw.Туэпоказал,чтовдвухбуквенномалфавитесуществуетсильнобескубноебесконечноесловоинетбесквадaa2a3a4a5a6a7a8радратныхсловдлины4,атакжепостроилбесквадратноебесконечноеслововтрехбуквенномалфавите[21,с.18].См.такжеупражнениякглаве1книги[21].АнглийскийалгебраистУильямБернсайд(1852‬1927),являющийсяоднимизсоздателейабстрактнойтеориигрупп,поставилв1902г.следующийвопрос:обязаналиконечнопорожденнаяпериодическаягруппабытьконечной?РоссийскийалгебраистЕвгенийСоломоновичГолод(1935г.р.)далв1964г.отрицательныйответнаэтотвопрос.БолеесильнаяограниченнаяпроблемаБернсайдаформулируетсятак:каждаяликонечнопорожденнаягруппа,удовлетворяющаятождествуxn=1 дляфиксированногонатуральногочислаn,конечна?СоветскиематематикиПетрСергеевичНовиков(1901‬1975)иСергейИвановичАдян(1931г.р.)построилив1968г.бесконечныетакиегруппыдлявсехдостаточнобольшихнечетныхn.Аналогичныевопросыбылипоставленыидляполугрупптакназываемогобернсайдовскоготипа.Именно,черезB(k,m,n), mn,обозначаетсяполугруппасkсвободнымиобразующимивмногообразииполугруппсоднимтождествомxm=xn.Какужеотмечалось,полугруппаB(k,1,2)конечна.ПолугруппаB(2,1,3)имеет132элемента.АполугруппыB(k,m,n)приk2иm2бесконечны[17,с.352‬353]. Исследованияпополугруппамиихприложениямпродолжаются.Вчастности,остаетсяактуальнойпроблемаравенствасловвнекоторыхполугруппах,задаваемыхобразующимииопределяющимисоотношениями.Так,построенаполугруппасдвумяобразующимиa,bитремяопределяющимисоотношениями,длякоторойнесуществуеталгоритмараспознаванияравенствадвухпроизвольныхсловвалфавите{a,b}.Любаяжеконечнопорожденнаякоммутативнаяполугруппаимееталгоритмическиразрешимуюпроблемуравенстваслов.См.[25,с.167‬169]. УпражненияСтудентамполезносамостоятельнопрорешатьследующиезадачи:

1.Докажите,чтовсякаяконечнаяполугруппаимеетхотябыодинидемпотент.2.Найдитесточностьюдоизоморфизмавседвухэлементныеполугруппы.Чтозначит«описатьсточностьюдоизоморфизма»?3.Чтотакоелевая(правая)единицавполугруппе?Левый(правый)нуль?4.Покажите,чтоеслиполугруппаобладаетлевойединицейиправойединицей,тоонаявляетсямоноидом.5.Докажите,чтоконечныесократимыеслеваисправаполугруппыбудутгруппами.6.Проверьте,чтовлюбомконечноммоноидесправедливосоотношениеxy=1yx=1. 7.Еслидопуститьпустоеслово,тоA(X)будетмоноидом.Почему?8.Докажите,чтомножествовсехобратимыхэлементовпроизвольногомоноидаAобразуетгруппуA‬подполугруппувA. 9.ЧтопредставляетсобойгруппаT(X)?ЕслиX‬nэлементноемножество(nN),тогруппаT(X)изоморфнасимметрическойгруппеSn‬группевсехподстановокnйстепени.Убедитесьвэтом.10.Докажите,чтолюбаяконечнаяциклическаяполугруппаизоморфнагомоморфномуобразуполугруппыN,+. 11.Постарайтесьдоказать,чтолюбаяполугруппастождествомxyx=xизоморфнапрямомупроизведениюполугруппылевыхнулейиполугруппыправыхнулей.12.Покажите,чтоналюбойполурешеткеAможноопределитьотношениепорядкапоформуле:abab=a,причемab=inf(a,b)длявсехa,bA. 13.Постройтесвободнуюкоммутативнуюполугруппустремясвободнымиобразующими(надтрехэлементныммножествомX). 14.Найдитесвободнуюидемпотентнуюполугруппусдвумясвободнымиобразующими.15.Чтопредставляетсобойсвободнаяполурешеткасnсвободнымиобразующими?



Ссылкинаисточники1.БиркгофГ.,БартиТ.Современнаяприкладнаяалгебра/пер.сангл.‬М.:Мир,1976.‬400с.2.ВечтомовЕ.М.Вопросыопределяемоститопологическихпространствалгебраическимисистемаминепрерывныхфункций//Итогинаукиитехники.Алгебра.Топология.Геометрия.Т.28.‬М.:ВИНИТИ,1990.‬С.3‬46. 3.ВечтомовЕ.М.Основныематематическиеструктуры.‬Киров:ВятГГУ,2013.‬292с.4.ВечтомовЕ.М.Изучениеначалтеориигрупп//ТрудыМеждународнойнаучнойконференции«Образование,наукаиэкономикаввузах.Интеграциявмеждународноеобразовательноепространство».‬Плоцк(Польша),2010.‬С.91‬100. 5.ВечтомовЕ.М.Алгебраическиеаспектылогикивысказываний//МатериалыIIIВсероссийскойнаучнопрактическойконференции«Настоящееибудущеефизикоматематическогообразования:Формированиеметодологическойкультуры».‬Киров:ФМЛг.Кирова,2012.‬С.90‬96. 6.ВечтомовЕ.М.Тестовыезадачипоабстрактнойалгебре//МатериалыIVВсероссийскойнаучнопрактическойконференции«Преподаваниематематикившколахивузах:проблемысодержания,технологиииметодики».‬Глазов:ГГПИ,2012.‬С.8‬15. 7.ВечтомовЕ.М.Опреподаванииабстрактнойалгебрымагистрантамматематикам//Всероссийскаянаучнометодическаяконференциясмеждународнымучастием«Проблемысовершенствованиематематическойподготовкившколеивузе».‬М.:МПГУ,2012.‬С.243‬245. 8.ВечтомовЕ.М.Курс«Современнаяалгебра»длямагистрантовматематическихпрофилей//Сб.статейпоматериаламВсерос.науч.практ.конф.преподавателей,аспирантов,магистрантовиучителей.‬Н.Новгород:НГПУим.К.Минина,2013.‬С.47‬52. 9.ВечтомовЕ.М.АлгебраическоеобразованиеиалгебраическиеисследованиявВятГГУ//ПроблемыматематическогообразованияввузахишколахРоссиивусловияхегомодернизации:сб.материаловIVВсерос.науч.методич.конф.‬Сыктывкар:СыктГУ,2014.‬С.148‬155. 10.ВечтомовЕ.М.,СидоровВ.В.Абстрактнаяалгебра.Базовыйкурс:учеб.пособие.‬Киров:ИздвоВятГГУ,ООО«РадугаПРЕСС»,2014.‬260с.11.ВечтомовЕ.М.,ЧермныхВ.В.Изучениеалгебраическойструктуры//ВестникВятГГУ.‬2012. ‬№1(3). ‬С.41‬48. 12.ГлускинЛ.М.Полугруппы//Итогинауки.Алгебра.Топология.‬М.:ВИНИТИ,1962(1963).‬С.33‬58. 13.ГлускинЛ.М.Полугруппы//Сер.Математика.Итогинауки.Алгебра.‬М.:ВИНИТИ,1964(1966).‬С.161‬202. 14.ГлускинЛ.М.,ШайнБ.М.,ШевринЛ.Н.Полугруппы//Сер.Математика.Итогинауки.Алгебра.Топология.Геометрия.‬М.:ВИНИТИ,1966(1968).‬С.9‬56. 15.ЗамятинА.П.,ШурА.М.Языки,грамматики,распознаватели.‬Екатеринбург:ИздвоУрал.унта,2007.‬248с.16.КлиффордА.,ПрестонГ.Алгебраическаятеорияполугрупп:в2т./пер.сангл.‬М.:Мир,1972. ‬Т.1.‬286с.;Т.2.‬422с.17.ЛаллеманЖ.Полугруппыиихкомбинаторныеприложения/пер.сангл.‬М.:Мир,1985.‬440с.18.ЛяпинЕ.С.Полугруппы.‬М.:Физматгиз,1960.‬592с.19.ЛяпинЕ.С.,ЕвсеевА.Е.Частичныеалгебраическиедействия.‬СПб.:Образование,1991.‬164с.20.МарковАл.А.Теориякодирования.‬М.:Наука,1982.‬192с.21.СаломааА.Жемчужинытеорииформальныхязыков/пер.сангл.‬М.:Мир,1986.‬160с.22.СушкевичА.К.Теорияобобщенныхгрупп.‬Харьков;Киев:Гос.науч.техн.издвоУкр.,1937.‬176с.23.ФридЭ.Элементарноевведениевабстрактнуюалгебру/пер.свенг. ‬М.:Мир,1979.‬260с.24.ХиллеЕ.,ФилипсР.Функциональныйанализиполугруппы/пер.сангл.‬М.:ИЛ,1962.‬830с.25.ШевринЛ.Н.Полугруппы//Общаяалгебра.Т.2/подобщ.ред.Л.А.Скорнякова.‬М.:Наука,1991. ‬С.11‬191. 26.ШевринЛ.Н.Тождестваполугрупп//Соросовскийобразовательныйжурнал.‬1996. ‬№7.‬С.111‬118. 27.ШевринЛ.Н.Чтотакоеполугруппа//Соросовскийобразовательныйжурнал.‬1997. ‬№4.‬С.99‬104. 28.ШевринЛ.Н.Каквозникаютгруппыприизученииполугрупп//Соросовскийобразовательныйжурнал.‬1997.‬№11.‬С.114‬119. 29.ШевринЛ.Н.,ОвсянниковА.Я.Полугруппыиихподполугрупповыерешетки:в2ч.‬Свердловск:ИздвоУрал.унта,1990. ‬Ч.1.‬238с.;1991.‬Ч.2.‬246с.30.Howie J. M. Fundamentals of semigroup theory. ‬Oxford: London mathematical society, Clarendon press, 1995. ‬361 p. 31.SemigroupForum:американскийжурнализдательстваSpringer,выходитс1970г.

Evgeny Vechtomov,Doctor of PhysicMathematical Sciences, Professor, head of the chairof Fundamental and Computer Mathematics, Vyatka State University of Humanities, Kirov vecht@mail.ruAcquaintance with the abstract algebra: semigroupsAbstract.The paperis written on the basis of the plenary report,made by the author at the AllRussian ScientificPractical Conference “Mathematics and Computer Modeling in studies of students and pupils”(Kirov, 1415 May 2013). The paperplaces accents on the process ofexplainingelements of Semigroup Theory to students of junior courses,studyingMathematics,and to advancedhigh schoolpupils.Keywords:associative algebra, semigroup, semigroup of words, semigroup of transformations, study of Semigroup Theory.References1.Birkgof,G.&Barti,T. (1976) Sovremennaja prikladnaja algebra / per. s anglю, Mir, Moscow, 400 p. (in Russian).2.Vechtomov,E. M. (1990) “Voprosy opredeljaemosti topologicheskih prostranstv algebraicheskimi sistemami nepreryvnyh funkcij”, Itogi nauki i tehniki. Algebra. Topologija. Geometrija. T. 28,VINITI, Moscow,pp.3‬46(in Russian).

3.Vechtomov,E. M. (2013) Osnovnye matematicheskie struktury,VjatGGU, Kirov, 292 p.(in Russian).

4.Vechtomov,E. M. (2010) “Izuchenie nachal teorii grupp”, in Trudy Mezhdunarodnoj nauchnoj konferencii “Obrazovanie, nauka i jekonomika v vuzah. Integracija v mezhdunarodnoe obrazovatel'noe prostranstvo”, Plock (Pol'sha),pp.91‬100(in Russian).

5.Vechtomov,E. M. (2012)“Algebraicheskie aspekty logiki vyskazyvanij”, in Materialy III Vserossijskoj nauchnoprakticheskoj konferencii “Nastojashhee i budushhee fizikomatematicheskogo obrazovanija: Formirovanie metodologicheskoj kul'tury”,FML g. Kirova, Kirov, pp.90‬96(in Russian).

6.Vechtomov,E. M. (2012)“Testovyezadachi po abstraktnoj algebre”, in Materialy IV Vserossijskoj nauchnoprakticheskoj konferencii “Prepodavanie matematiki v shkolah i vuzah: problemy soderzhanija, tehnologii i metodiki”,GGPI, Glazov, pp.8‬15(in Russian).

7.Vechtomov,E. M. (2012)“O prepodavanii abstraktnoj algebry magistrantammatematikam”, Vserossijskaja nauchnometodicheskaja konferencija s mezhdunarodnym uchastiem “Problemy sovershenstvovanie matematicheskoj podgotovki v shkole i vuze”, MPGU, Moscow, pp.243‬245(in Russian).

8.Vechtomov,E. M. (2013)“Kurs ‘Sovremennaja algebra’dlja magistrantov matematicheskih profilej”,inSb. statej po materialam Vseros. nauch.prakt. konf. prepodavatelej, aspirantov, magistrantov i uchitelej,NGPU im. K. Minina, N. Novgorod,pp.47‬52(in Russian).

9.Vechtomov,E. M. (2014)“Algebraicheskoe obrazovanie i algebraicheskie issledovanija v VjatGGU”,inProblemy matematicheskogo obrazovanija v vuzah i shkolah Rossii v uslovijah ego modernizacii: sb. materialov IV Vseros. nauch.metodich. konf.,SyktGU, Syktyvkar,pp.148‬155(inRussian).

10.Vechtomov,E. M.&Sidorov,V. V. (2014) Abstraktnaja algebra. Bazovyj kurs: ucheb. posobie, Kirov,IzdvoVjatGGU, OOO “RadugaPRESS”, 260 p. (in Russian).11.Vechtomov,E. M.&Chermnyh,V. V. (2012)“Izuchenie algebraicheskoj struktury”, Vestnik VjatGGU,№1(3), pp.41‬48(in Russian).

12.Gluskin,L. M. (1962 (1963))“Polugruppy”, Itogi nauki. Algebra. Topologija,VINITI, Moscow, pp. 33‬58(in Russian).

13.Gluskin,L. M. (1964 (1966))“Polugruppy”, Ser. Matematika. Itogi nauki. Algebra,VINITI, Moscow, pp.161‬202(in Russian).

14.Gluskin,L. M.,Shajn,B. M.&Shevrin L. N. (1966 (1968))“Polugruppy”, Ser. Matematika. Itogi nauki. Algebra. Topologija. Geometrija,VINITI, Moscow, pp.9‬56(in Russian).

15.Zamjatin,A. P.&Shur,A. M. (2007) Jazyki, grammatiki, raspoznavateli, Izdvo Ural. unta, Ekaterinburg, 248 p. (in Russian).16.Klifford,A.&Preston,G. Algebraicheskaja teorija polugrupp: v 2 t. / per. s angl.,Mir, Moscow,1972, t.1, 286 p.; t. 2, 422 p. (in Russian).17.Lalleman,Zh. (1985) Polugruppy i ih kombinatornye prilozhenija / per. s angl., Mir, Moscow, 440 p. (in Russian).18.Ljapin,E. S. (1960) Polugruppy, Fizmatgiz, Moscow, 592 p. (in Russian).19.Ljapin,E. S.&Evseev,A. E. (1991) Chastichnye algebraicheskie dejstvija, Obrazovanie, St. Peterburg, 164 p. (in Russian).20.Markov,Al. A. (1982) Teorijakodirovanija, Nauka, Moscow, 192 p. (in Russian).21.Salomaa,A. (1986) Zhemchuzhiny teorii formal'nyh jazykov / per. s angl., Mir, Moscow, 160 p.(in Russian).22.Sushkevich,A. K. (1937) Teorija obobshhennyh grupp,Gop. nauch.tehn. izdvo Ukr., Har'kov; Kiev, 176 p. (in Russian).ВечтомовЕ.М.Знакомимсясабстрактнойалгеброй:полугруппы//Концепт.–2014. –№12(декабрь).–ART14335. –0,5п.л.–URL: http://ekoncept.ru/2014/14335.htm. –Гос. рег. Эл№ФС7749965.–ISSN 2304120X.

Frid,Je. (1979) Jelementarnoe vvedenie v abstraktnuju algebru / per. s veng., Mir, Moscow, 260 p. (in Russian).24.Hille,E.&Filips,R. (1962) Funkcional'nyj analiz i polugruppy / per. s angl.,IL, Moscow, 830 p. (in Russian).25.Shevrin,L. N. (1991)“Polugruppy”,inSkornjakov, L. A.(ed.)Obshhaja algebra. T. 2,Nauka, Moscow, pp.11‬191(in Russian).

26.Shevrin,L. N. (1996)“Tozhdestva polugrupp”, Sorosovskij obrazovatel'nyj zhurnal,№7,pp.111‬118(in Russian).

27.Shevrin,L. N.(1997)“Chto takoe polugruppa”, Sorosovskij obrazovatel'nyj zhurnal,№4,pp.99‬104(in Russian).

28.Shevrin,L. N. (1997)“Kak voznikajutgruppy pri izuchenii polugrupp”, Sorosovskij obrazovatel'nyj zhurnal,№11,pp.114‬119(in Russian).

29.Shevrin,L. N.&Ovsjannikov A. Ja. Polugruppy i ih podpolugruppovye reshetki: v 2 ch.,Izdvo Ural. unta, 1990, ch. 1, 238 p.; 1991, ch. 2, Sverdlovsk 246 p.(in Russian).

30.Howie,J. M. (1995) Fundamentals of semigroup theory,London mathematical society, Clarendon press, Oxford, 361 p. (in English).31.Semigroup Forum / Amerikanskij zhurnal izdatel'stva Springer, vyhodit s 1970 g.(in English).

Рекомендованокпубликации:

ЗиновкинойМ.М.,докторомпедагогическихнаук,профессором,членомредакционнойколлегиижурнала«Концепт»