Знакомимся с абстрактной алгеброй: полугруппы
Библиографическое описание статьи для цитирования:
Вечтомов
Е.
М. Знакомимся с абстрактной алгеброй: полугруппы // Научно-методический электронный журнал «Концепт». –
2014. – № 12 (декабрь). – С.
11–15. – URL:
http://e-koncept.ru/2014/14335.htm.
Аннотация. Статья написана на основе пленарного доклада, сделанного автором на Всероссийской научно-практической конференции «Математика и компьютерное моделирование в исследованиях студентов и школьников» (Киров, ВятГГУ, 14–15 мая 2013 г.). Выстраиваются акценты, и рассматривается порядок изучения эле-ментов теории полугрупп студентами-математиками младших курсов и продвинутыми старшеклассниками.
Ключевые слова:
ассоциативная алгебра, полугруппа, полугруппа слов, полугруппа преобразований, изучение теории полугрупп
Текст статьи
ВечтомовЕвгенийМихайлович,докторфизикоматематическихнаук,профессор,заведующийкафедройфундаментальнойикомпьютернойматематикиФГБОУВПО«Вятскийгосударственныйгуманитарныйуниверситет»,г.Кировvecht@mail.ru
Знакомимсясабстрактнойалгеброй:полугруппы
Аннотация.Статьянаписананаосновепленарногодоклада,сделанногоавторомнаВсероссийскойнаучнопрактическойконференции«Математикаикомпьютерноемоделированиевисследованияхстудентовишкольников»(Киров,ВятГГУ,1415мая2013г.).Выстраиваютсяакценты,ирассматриваетсяпорядокизученияэлементовтеорииполугруппстудентамиматематикамимладшихкурсовипродвинутымистаршеклассниками.Ключевыеслова:ассоциативнаяалгебра,полугруппа,полугруппаслов,полугруппапреобразований,изучениетеорииполугрупп.
Раздел:(01)педагогика;историяпедагогикииобразования;теорияиметодикаобученияивоспитания(попредметнымобластям).
Яприветствуюполугруппу,гдебыяеенивстретил,австречаетсяонаповсюду.Впрочем,отдрузейяслышал,чтовматематикепопадаютсяобъекты,отличныеотполугрупп.ЭйнарХиллеВведениеРаботапродолжаетсериюнашихпубликацийпоразвитиювысшегоалгебраическогообразования[411]. Каждомуначинающемуматематикуиинформатикунеобходимоознакомитьсясначаламитеорииполугруппсеетерминологией,исходнымипонятиямиифактами,методамииконструкциями,подходамииприменениями.Понятиеполугруппыслужитосновойассоциативнойалгебры,проникающейвомногиеразделысовременнойматематикииееприложения[1,3,10,1521,2325,30].Теорииполугрупппосвященымонографии[1618,24,29,30],обзоры[1214, 25],научнопопулярныестатьи[2628],специализированныйнаучныйжурнал[31].МонографиясоветскогоукраинскогоматематикаАнтонаКаземировичаСушкевича(18891961)«Теорияобобщенныхгрупп»(таксначаланазывалисьполугруппы)1937г.[22]былапервойкнигойвмировойлитературепополугруппам.ВСССРцентрамитеоретикополугрупповыхисследованийбылигородаБаку,Ленинград(СанктПетербург),Москва,Новосибирск,Саратов,Свердловск(Екатеринбург),Харьков.МеждународноепризнаниеполучилиалгебраическиешколыпрофессораЕвгенияСергеевичаЛяпина(19142005)изРоссийскогогосударственногопедагогическогоуниверситета(СанктПетербург)ипрофессораЛьваНаумовичаШеврина(1935г.р.)изУральскогофедеральногоуниверситета(Екатеринбург).Отметим,чтовредколлегиюжурнала“SemigroupForum”входятЛ.Н.ШевриниегоученикпрофессорМ.В.Волков(1955г.р.),атакжеамериканскийпрофессорБ.М.Шайн(1938г.р.)выпускникСаратовскогогосуниверситета.ОднимизсоздателейтеорииполугруппявляетсяамериканскийалгебраистАльфредКлиффорд(19081992) соавторизвестногодвухтомника[16].Назовемтакжетакиеименазарубежныхматематиков,внесшихзаметныйвкладвсовременнуютеориюполугруппиееприложения,какДж.Грин,Ж.Лаллеман,Г.Престон,Д.Рис,Э.Хилле,М.Шютценберже.Определения.Примеры.СвойстваБинарнойалгебраическойоперациейнанепустоммножествеAназываетсяпроизвольноеотображение: AAA;онокаждойупорядоченнойпареэлементовa,bAставитвсоответствиевполнеопределенныйэлементabA.НепустоемножествоAснекоторойзаданнойнанембинарнойалгебраическойоперациейназываетсягруппоидом(приэтомговоряттакжеопареA,). ОперациянаAназываетсяассоциативной,если(ab)c=a(bc)длялюбыхэлементовa,b,cA.Группоидсассоциативнойоперациейназываетсяполугруппой(semigroup). Отображение: A,B,группоидовназываетсягомоморфизмом,еслионосохраняетоперацию,тоесть(xy)=(x)(y)длялюбыхx,yA.Взаимнооднозначныйгомоморфизмодногогруппоиданадругойназываетсяихизоморфизмом(нетруднопоказать,чтообратноеотображение1такжебудетизоморфизмом).Группоидыназываютсяизоморфными,еслимеждунимисуществуетизоморфизм.Отношениеизоморфностинаклассевсехгруппоидовявляетсяотношениемэквивалентности.Изоморфныегруппоидыимеютодниитежеабстрактныесвойства.Например,группоид,изоморфныйполугруппе,самбудетполугруппой.Дадимещенесколькоисходныхопределений.ПолугруппаAназывается:моноидом,есливAсуществуетнейтральныйэлемент,тоестьтакойэлементeA,чтонаAтождественноxe=x=ex(легковидеть,чтонейтральныйэлементединственен);коммутативной,еслиееоперациякоммутативна,тоестьвAвыполняетсятождествоxy=yx; идемпотентной(илисвязкой),еслиAудовлетворяеттождествуxx=x(такиеэлементыxназываютсяидемпотентами); полурешеткой,когдаонакоммутативнаиидемпотентна;сократимойслева(справа),когдаудовлетворяетквазитождествуxy=xzy=z(соответственно,xz=yzx=y).ДляизображениягруппоидовприменяютсятаблицыКэли,названныетакпоименианглийскогоматематикаАртураКэли(18211895). Выясним,скольковсегосуществуетдвухэлементныхполугрупп.Дляэтогосначаланайдемвседвухэлементныегруппоиды.Любопытно,чтовсегосуществуют24попарнонеизоморфныетрехэлементныеполугруппы,188четырехэлементныхполугрупп,1915пятиэлементныхполугрупп,28634шестиэлементныеполугруппы[25,с.66]. ТаблицейКэлидлягруппоида{a,b},служиттаблица:
abaaaabbbabbВсеготакихтаблицбудет24=16.Изобразимих:1ab
2ab
3ab
4abaaa
aaa
aaa
aaabaa
bab
bba
bbb
5ab
6ab
7ab
8abaab
aab
aab
aabbaa
bab
bba
bbb
9ab
10ab
11ab
12ababa
aba
aba
ababaa
bab
bba
bbb
13ab
14ab
15ab
16ababb
abb
abb
abbbaa
bab
bba
bbb
Среди16представленныхгруппоидовнекоторыегруппоидыизоморфныдругдругуприотображении: ab, ba.Например,изоморфныгруппоиды,заданныетаблицами1и16.Этобудемзаписыватькак116иговоритьпростоогруппоидах1и16.Некоторыегруппоидымогутбытьизоморфнытолькосамимсебе.Найдемгруппоид(еготаблицу),изоморфныйгруппоиду2.Используеммультипликативнуюзаписьопераций.Длялюбыхэлементовx,y{a,b}должныполучитьвновомгруппоидеxy=(1(x)1(y))=(x1y1), гдеумножениевскобкахпроизводитсявгруппоиде2.Итак,имеем:aa=(a1a1)=(bb)=b=a, ab=(ba)=a=b, ba=(ab)=a=bиbb=(aa)=a=b.Врезультатемыполучаемгруппоид8.Значит,28.Аналогичнонаходим,что312, 44, 514, 66, 710, 915, 1111и1313. Всегополучаем10попарнонеизоморфныхдвухэлементныхгруппоидов1,2,3,4,5,6,7,9,11,13.См.[3,с.5355]. Далеемыбудемиспользоватьмультипликативнуютерминологию:полугрупповаяоперацияумножение«»,результатab=abпроизведение,нейтральныйэлементединица1.Нарядусмультипликативнойсимволикойприменяютсяиаддитивныеобозначения:операциясложения«»,результатa+bсумма,нейтральныйэлементнуль0.Частополугруппызадаютсяобразующимиэлементамииопределяющимисоотношениями.Например,полугруппа,определяемаядвумяобразующимиa,bитремяравенствамиab=ba, a2=aиb3=b,имеет5элементов:a,ab,ab2,b,b2влексикографическойзаписи.Важнейшийклассполугруппобразуютгруппы.Группойназываетсятакоймоноид,чтокаждыйегоэлементaимеетобратныйэлементa1: aa1=a1a=1(такойэлементa1единственен).Отметим,чтокольца,полукольца,решеткиявляютсяполугруппамипообеимоперациям.
Полугруппастождествомxy=x(xy=y)называетсяполугруппойлевых(правых) нулей.Такиеполугруппыидемпотентны.Многообразиемполугруппназываетсяклассвсехполугрупп,удовлетворяющихзаданномунаборутождеств.Так,идемпотентныеполугруппыобразуютмногообразие.Многообразиеполугруппназываетсятривиальным,еслионозадаетсятождествомx=y;этоклассвсеходноэлементныхполугрупп(изоморфныхдругдругу).Укажемдваинтересныхфактаобидемпотентныхполугруппах.Вопервых,существуетровнотриминимальныхнетривиальныхмногообразияидемпотентныхполугрупп:классполугрупплевыхнулей,классполугруппправыхнулей,классполурешеток[25,с.163].Вовторых,всякаяконечнопорожденнаяидемпотентнаяполугруппаконечна[17,с.352]. Множествовсехдействительных(рациональных,целых,натуральных,комплексных)чиселявляетсясократимойкоммутативнойполугруппой,какпоумножению,такипосложению.Операциявычитаниянамножествецелыхчиселнеассоциативнаинекоммутативна,такжекакиоперациявозведениявстепень(xy)намножественатуральныхчисел.Втеориипредставленийполугруппзаметноеместозанимаютмультипликативныеполугруппыквадратныхматрицскомплекснымикоэффициентами.Основнымимодельнымипримерамиполугруппвыступаютполугруппысловиполугруппыпреобразований. ВозьмемнепустоемножествоX,называемоеалфавитом.Егоэлементыназываютбуквами,аконечныепоследовательностибуквназываютсясловами(можноввестипустоеслово,атакжебесконечныеслова).ПустьA(X) множествовсехсловвалфавитеX,рассматриваемоесоперациейконкатенации(приписывания)слов:кслову(a1a2…am)длиныmсправадобавляетсяслово(b1b2…bn)длиныnсрезультатомсловом(a1a2…amb1b2…bn)длиныm+n.ПолучаемтакназываемуюсвободнуюполугруппуA(X)надX:онабесконечнаисократимасобеихсторон;еекоммутативностьравносильнатому,чтоXодноэлементно.ЛюбаяполугруппаизоморфнафакторполугруппенекоторойсвободнойполугруппыA(X).Полугруппысловиграютбольшуюролькаквобщейтеорииполугрупп,такивкомбинаторныхприложениях.Словаводнобуквенномалфавите{}моделируютнатуральныечисла:,,,,….АзбукаМорзе(телеграфнаяазбука)имеетдвухбуквенныйалфавит{,},вкоторомкодируютсяобычныебуквыизнакипрепинания,слова,предложения,сообщения.Другойфундаментальныйтипполугруппсоставляютполугруппыпреобразований.ОбозначимчерезT(X)множествовсевозможныхотображенийXXфиксированногомножестваX,называемыхпреобразованиямиX.Относительнооперациикомпозиции(суперпозиции,последовательноговыполненияпреобразований)T(X) становитсямоноидом.Действительно,длялюбыхf,gT(X)ихкомпозицияfg=gf, определяемаясоотношениемx(fg)=(xf)gпривсехxX, задаетассоциативнуюоперациюнаT(X),таккакдлявсехf,g,hT(X)иxX: x((fg)h)=((xf)g)h=(xf)(gh)=x(f(gh)).Рольединицыиграеттождественноеотображение1X.
XXXXfghfgghВлюбойполугруппевыполняетсяОбобщенныйзаконассоциативности. Произведениеa1a2…anлюбогоконечногочислаэлементовполугруппынезависитотрасстановкискобок.
Индукциейпочислуnсомножителейдоказывается,чтоa1a2…an=(…((a1a2)a3)…an1)an.Заметим,чточислорасстановокскобоквпроизведенииa1a2…anестьсоответствующеечислоКаталана:приn=3имеемзначение2,приn=4получаем5,приn=5имеем14.Вобщемслучаедляn3имеемчислосочетанийиз2(n1)поn1,деленноенаn. ПредставлениеполугрупппреобразованиямиПустьданапроизвольнаяполугруппаA.ДлякаждогоееэлементаaположимTa: AA, xTa=xaдлявсехxA, этоправыйсдвигполугруппыAнаэлементa.Рассмотримотображение: AT(A), (a)=TaдлялюбогоaA.Посколькудлялюбыхa,bAиxAимеемx(ab)=xTab=x(ab)=(xa)b=(xTa)Tb=(x(a))(b)=x((a)(b)), тоестьгомоморфизмданнойполугруппыAвполугруппупреобразованийT(A).Посмотрим,являетсяли(изоморфным)вложением,тоестьинъективнымгомоморфизмом?Инъективностьозначает,чтоTaTbпринеравныхa,bA.Новслучаеполугруппылевыхнулейxa=x=xbприлюбыхa,bA.Поэтомунеобязанобытьвложением.Конечно,вомногихдругихслучаях(например,когдаполугруппаAимеетлевуюединицуилисократимаслева)будетвложением.ПринципиальноезначениеполугрупппреобразованийобосновываетОбобщеннаятеоремаКэли.ВсякаяполугруппаAизоморфновкладываетсявсоответствующуюполугруппупреобразованийT(X).
ДлядоказательстваобобщеннойтеоремыКэлидостаточнокполугруппеAприсоединить(новую)единицуeивзятьмоноидAe=A{e}.ТогдаполугруппаAизоморфновкладываетсявмоноидAe,который,всвоюочередь,припомощи,изоморфновкладываетсявполугруппупреобразованийT(Ae). ЦиклическиеполугруппыСредиабстрактныхполугруппвыделяетсякласспростейшихполугруппциклические(илимоногенные)полугруппы,порожденныеоднимэлементом.Именно,полугруппаAназываетсяциклической,еслиA={am: mN}длянекоторогоэлементаaAееобразующего.Любаяполугруппаестьтеоретикомножественноеобъединениеподполугрупп,являющихсяциклическимиполугруппами.Еслистепениобразующегоэлементаaсразличнымипоказателямиразличны,тополучаембесконечнуюциклическуюполугруппуA={a,a2,a3,…,am,…},изоморфнуюаддитивнойполугруппеN,+натуральныхчисел.Впротивномслучаенайдутсятакиенатуральныечислаkиn,чтоak=ak+n.Считаемkнаименьшимнатуральнымчисломстакимусловием,аnнаименьшимнатуральнымчисломсосвойствомak=ak+nдляуказанногозначенияk.Получаемциклическуюполугруппутипа(k,n)A={a,…,ak1,ak,…,ak+n1}, содержащуюровноk+n1элементов.Строениеконечныхциклическихполугрупп.Конечныециклическиеполугруппысовпадают,сточностьюдоизоморфизма,сциклическимиполугруппамитипа(k,n),гдеkиnпроизвольныенатуральныечисла.Множество{a,…,ak1}называютхвостомA,амножество{ak,…,ak+n1} еециклом.Приk=1получаемциклическуюгруппупорядкаn,априn=1получаемхвостсдобавленнымпоглощающимэлементомak.Любуюциклическуюполугруппуможноизобразитьввидепростогоориентированногографа,соединяястрелкойэлементamсэлементомam+1приmN. Воткаквыглядитграфциклическойполугруппытипа(4,5):
СвязьсдругимиматематическимиструктурамиПустьтеперьXнекоторыйматематическийобъект,скажем,алгебраическаяструктура,упорядоченноемножествоилитопологическоепространство.ЧерезS(X) обозначимполугруппувсехегоэндоморфизмов,рассматриваемуюкакподполугруппавT(X). ЭндоморфизмомматематическогообъектаXназываетсяпреобразованиемножестваX,сохраняющеевсеегоструктурныеоперациииотношения.Эндоморфизмывслучаеалгебраическойструктурысутьгомоморфизмывсебя,вслучаепорядковойструктурыизотонныепреобразования,вслучаетопологическойструктурынепрерывныепреобразования.ПолугруппаэндоморфизмовS(X)математическогообъектаXнесетсущественную(иногдаисчерпывающую)информациюосамомобъектеX.Вчастности,достаточноактивноизучалисьполугруппынепрерывныхпреобразованийтопологическихпространств[2,§4]. Сформулируемодинрезультатавторанаэтутему.НаполугруппеS(X)непрерывныхпреобразованийтопологическогопространстваXвведемтопологиюпоточечнойсходимости,тоестьтопологиюподпространства,индуцированнуютопологиейпроизведениянамножествеXXвсехпреобразованийпространстваX.ВрезультатеполучимполутопологическуюполугруппуSp(X):внейоперациякомпозициинепрерывнапокаждомуизсомножителей,нонеобязанабытьнепрерывной.Имеетместоследующийрезультат:Теоремаопределяемости[2,предложение4.14].ПроизвольныетопологическиепространстваXиYгомеоморфнытогдаитолькотогда,когдамеждуполутопологическимиполугруппамиSp(X) иSp(Y) существуетполугрупповойизоморфизм,являющийсяодновременноихгомеоморфизмом.
ПримененияАбстрактнаятеорияполугруппуспешноприменяетсявдискретнойикомпьютернойматематике,втеорииформальныхязыков,втеорииконечныхавтоматов,втеориикодированияикриптографии.Большуюрольиграюталгоритмическиеикомбинаторныеаспектыиприложениятеорииполугрупп.Затронемтолькоследующиесюжеты.ПионеромвтеорииформальныхязыковпоправусчитаетсянорвежскийматематикАксельТуэ(19631922).В1912гонрешилзадачисуществованияистроениябесквадратныхсловисильнобескубныхслов.СловоилибесконечноеслововалфавитеXназываетсябесквадратным(сильнобескубным),еслиононесодержитподсловвидаww(wwa),гдеaперваябуквасловаw.Туэпоказал,чтовдвухбуквенномалфавитесуществуетсильнобескубноебесконечноесловоинетбесквадaa2a3a4a5a6a7a8радратныхсловдлины4,атакжепостроилбесквадратноебесконечноеслововтрехбуквенномалфавите[21,с.18].См.такжеупражнениякглаве1книги[21].АнглийскийалгебраистУильямБернсайд(18521927),являющийсяоднимизсоздателейабстрактнойтеориигрупп,поставилв1902г.следующийвопрос:обязаналиконечнопорожденнаяпериодическаягруппабытьконечной?РоссийскийалгебраистЕвгенийСоломоновичГолод(1935г.р.)далв1964г.отрицательныйответнаэтотвопрос.БолеесильнаяограниченнаяпроблемаБернсайдаформулируетсятак:каждаяликонечнопорожденнаягруппа,удовлетворяющаятождествуxn=1 дляфиксированногонатуральногочислаn,конечна?СоветскиематематикиПетрСергеевичНовиков(19011975)иСергейИвановичАдян(1931г.р.)построилив1968г.бесконечныетакиегруппыдлявсехдостаточнобольшихнечетныхn.Аналогичныевопросыбылипоставленыидляполугрупптакназываемогобернсайдовскоготипа.Именно,черезB(k,m,n), mn,обозначаетсяполугруппасkсвободнымиобразующимивмногообразииполугруппсоднимтождествомxm=xn.Какужеотмечалось,полугруппаB(k,1,2)конечна.ПолугруппаB(2,1,3)имеет132элемента.АполугруппыB(k,m,n)приk2иm2бесконечны[17,с.352353]. Исследованияпополугруппамиихприложениямпродолжаются.Вчастности,остаетсяактуальнойпроблемаравенствасловвнекоторыхполугруппах,задаваемыхобразующимииопределяющимисоотношениями.Так,построенаполугруппасдвумяобразующимиa,bитремяопределяющимисоотношениями,длякоторойнесуществуеталгоритмараспознаванияравенствадвухпроизвольныхсловвалфавите{a,b}.Любаяжеконечнопорожденнаякоммутативнаяполугруппаимееталгоритмическиразрешимуюпроблемуравенстваслов.См.[25,с.167169]. УпражненияСтудентамполезносамостоятельнопрорешатьследующиезадачи:
1.Докажите,чтовсякаяконечнаяполугруппаимеетхотябыодинидемпотент.2.Найдитесточностьюдоизоморфизмавседвухэлементныеполугруппы.Чтозначит«описатьсточностьюдоизоморфизма»?3.Чтотакоелевая(правая)единицавполугруппе?Левый(правый)нуль?4.Покажите,чтоеслиполугруппаобладаетлевойединицейиправойединицей,тоонаявляетсямоноидом.5.Докажите,чтоконечныесократимыеслеваисправаполугруппыбудутгруппами.6.Проверьте,чтовлюбомконечноммоноидесправедливосоотношениеxy=1yx=1. 7.Еслидопуститьпустоеслово,тоA(X)будетмоноидом.Почему?8.Докажите,чтомножествовсехобратимыхэлементовпроизвольногомоноидаAобразуетгруппуAподполугруппувA. 9.ЧтопредставляетсобойгруппаT(X)?ЕслиXnэлементноемножество(nN),тогруппаT(X)изоморфнасимметрическойгруппеSnгруппевсехподстановокnйстепени.Убедитесьвэтом.10.Докажите,чтолюбаяконечнаяциклическаяполугруппаизоморфнагомоморфномуобразуполугруппыN,+. 11.Постарайтесьдоказать,чтолюбаяполугруппастождествомxyx=xизоморфнапрямомупроизведениюполугруппылевыхнулейиполугруппыправыхнулей.12.Покажите,чтоналюбойполурешеткеAможноопределитьотношениепорядкапоформуле:abab=a,причемab=inf(a,b)длявсехa,bA. 13.Постройтесвободнуюкоммутативнуюполугруппустремясвободнымиобразующими(надтрехэлементныммножествомX). 14.Найдитесвободнуюидемпотентнуюполугруппусдвумясвободнымиобразующими.15.Чтопредставляетсобойсвободнаяполурешеткасnсвободнымиобразующими?
Ссылкинаисточники1.БиркгофГ.,БартиТ.Современнаяприкладнаяалгебра/пер.сангл.М.:Мир,1976.400с.2.ВечтомовЕ.М.Вопросыопределяемоститопологическихпространствалгебраическимисистемаминепрерывныхфункций//Итогинаукиитехники.Алгебра.Топология.Геометрия.Т.28.М.:ВИНИТИ,1990.С.346. 3.ВечтомовЕ.М.Основныематематическиеструктуры.Киров:ВятГГУ,2013.292с.4.ВечтомовЕ.М.Изучениеначалтеориигрупп//ТрудыМеждународнойнаучнойконференции«Образование,наукаиэкономикаввузах.Интеграциявмеждународноеобразовательноепространство».Плоцк(Польша),2010.С.91100. 5.ВечтомовЕ.М.Алгебраическиеаспектылогикивысказываний//МатериалыIIIВсероссийскойнаучнопрактическойконференции«Настоящееибудущеефизикоматематическогообразования:Формированиеметодологическойкультуры».Киров:ФМЛг.Кирова,2012.С.9096. 6.ВечтомовЕ.М.Тестовыезадачипоабстрактнойалгебре//МатериалыIVВсероссийскойнаучнопрактическойконференции«Преподаваниематематикившколахивузах:проблемысодержания,технологиииметодики».Глазов:ГГПИ,2012.С.815. 7.ВечтомовЕ.М.Опреподаванииабстрактнойалгебрымагистрантамматематикам//Всероссийскаянаучнометодическаяконференциясмеждународнымучастием«Проблемысовершенствованиематематическойподготовкившколеивузе».М.:МПГУ,2012.С.243245. 8.ВечтомовЕ.М.Курс«Современнаяалгебра»длямагистрантовматематическихпрофилей//Сб.статейпоматериаламВсерос.науч.практ.конф.преподавателей,аспирантов,магистрантовиучителей.Н.Новгород:НГПУим.К.Минина,2013.С.4752. 9.ВечтомовЕ.М.АлгебраическоеобразованиеиалгебраическиеисследованиявВятГГУ//ПроблемыматематическогообразованияввузахишколахРоссиивусловияхегомодернизации:сб.материаловIVВсерос.науч.методич.конф.Сыктывкар:СыктГУ,2014.С.148155. 10.ВечтомовЕ.М.,СидоровВ.В.Абстрактнаяалгебра.Базовыйкурс:учеб.пособие.Киров:ИздвоВятГГУ,ООО«РадугаПРЕСС»,2014.260с.11.ВечтомовЕ.М.,ЧермныхВ.В.Изучениеалгебраическойструктуры//ВестникВятГГУ.2012. №1(3). С.4148. 12.ГлускинЛ.М.Полугруппы//Итогинауки.Алгебра.Топология.М.:ВИНИТИ,1962(1963).С.3358. 13.ГлускинЛ.М.Полугруппы//Сер.Математика.Итогинауки.Алгебра.М.:ВИНИТИ,1964(1966).С.161202. 14.ГлускинЛ.М.,ШайнБ.М.,ШевринЛ.Н.Полугруппы//Сер.Математика.Итогинауки.Алгебра.Топология.Геометрия.М.:ВИНИТИ,1966(1968).С.956. 15.ЗамятинА.П.,ШурА.М.Языки,грамматики,распознаватели.Екатеринбург:ИздвоУрал.унта,2007.248с.16.КлиффордА.,ПрестонГ.Алгебраическаятеорияполугрупп:в2т./пер.сангл.М.:Мир,1972. Т.1.286с.;Т.2.422с.17.ЛаллеманЖ.Полугруппыиихкомбинаторныеприложения/пер.сангл.М.:Мир,1985.440с.18.ЛяпинЕ.С.Полугруппы.М.:Физматгиз,1960.592с.19.ЛяпинЕ.С.,ЕвсеевА.Е.Частичныеалгебраическиедействия.СПб.:Образование,1991.164с.20.МарковАл.А.Теориякодирования.М.:Наука,1982.192с.21.СаломааА.Жемчужинытеорииформальныхязыков/пер.сангл.М.:Мир,1986.160с.22.СушкевичА.К.Теорияобобщенныхгрупп.Харьков;Киев:Гос.науч.техн.издвоУкр.,1937.176с.23.ФридЭ.Элементарноевведениевабстрактнуюалгебру/пер.свенг. М.:Мир,1979.260с.24.ХиллеЕ.,ФилипсР.Функциональныйанализиполугруппы/пер.сангл.М.:ИЛ,1962.830с.25.ШевринЛ.Н.Полугруппы//Общаяалгебра.Т.2/подобщ.ред.Л.А.Скорнякова.М.:Наука,1991. С.11191. 26.ШевринЛ.Н.Тождестваполугрупп//Соросовскийобразовательныйжурнал.1996. №7.С.111118. 27.ШевринЛ.Н.Чтотакоеполугруппа//Соросовскийобразовательныйжурнал.1997. №4.С.99104. 28.ШевринЛ.Н.Каквозникаютгруппыприизученииполугрупп//Соросовскийобразовательныйжурнал.1997.№11.С.114119. 29.ШевринЛ.Н.,ОвсянниковА.Я.Полугруппыиихподполугрупповыерешетки:в2ч.Свердловск:ИздвоУрал.унта,1990. Ч.1.238с.;1991.Ч.2.246с.30.Howie J. M. Fundamentals of semigroup theory. Oxford: London mathematical society, Clarendon press, 1995. 361 p. 31.SemigroupForum:американскийжурнализдательстваSpringer,выходитс1970г.
Evgeny Vechtomov,Doctor of PhysicMathematical Sciences, Professor, head of the chairof Fundamental and Computer Mathematics, Vyatka State University of Humanities, Kirov vecht@mail.ruAcquaintance with the abstract algebra: semigroupsAbstract.The paperis written on the basis of the plenary report,made by the author at the AllRussian ScientificPractical Conference “Mathematics and Computer Modeling in studies of students and pupils”(Kirov, 1415 May 2013). The paperplaces accents on the process ofexplainingelements of Semigroup Theory to students of junior courses,studyingMathematics,and to advancedhigh schoolpupils.Keywords:associative algebra, semigroup, semigroup of words, semigroup of transformations, study of Semigroup Theory.References1.Birkgof,G.&Barti,T. (1976) Sovremennaja prikladnaja algebra / per. s anglю, Mir, Moscow, 400 p. (in Russian).2.Vechtomov,E. M. (1990) “Voprosy opredeljaemosti topologicheskih prostranstv algebraicheskimi sistemami nepreryvnyh funkcij”, Itogi nauki i tehniki. Algebra. Topologija. Geometrija. T. 28,VINITI, Moscow,pp.346(in Russian).
3.Vechtomov,E. M. (2013) Osnovnye matematicheskie struktury,VjatGGU, Kirov, 292 p.(in Russian).
4.Vechtomov,E. M. (2010) “Izuchenie nachal teorii grupp”, in Trudy Mezhdunarodnoj nauchnoj konferencii “Obrazovanie, nauka i jekonomika v vuzah. Integracija v mezhdunarodnoe obrazovatel'noe prostranstvo”, Plock (Pol'sha),pp.91100(in Russian).
5.Vechtomov,E. M. (2012)“Algebraicheskie aspekty logiki vyskazyvanij”, in Materialy III Vserossijskoj nauchnoprakticheskoj konferencii “Nastojashhee i budushhee fizikomatematicheskogo obrazovanija: Formirovanie metodologicheskoj kul'tury”,FML g. Kirova, Kirov, pp.9096(in Russian).
6.Vechtomov,E. M. (2012)“Testovyezadachi po abstraktnoj algebre”, in Materialy IV Vserossijskoj nauchnoprakticheskoj konferencii “Prepodavanie matematiki v shkolah i vuzah: problemy soderzhanija, tehnologii i metodiki”,GGPI, Glazov, pp.815(in Russian).
7.Vechtomov,E. M. (2012)“O prepodavanii abstraktnoj algebry magistrantammatematikam”, Vserossijskaja nauchnometodicheskaja konferencija s mezhdunarodnym uchastiem “Problemy sovershenstvovanie matematicheskoj podgotovki v shkole i vuze”, MPGU, Moscow, pp.243245(in Russian).
8.Vechtomov,E. M. (2013)“Kurs ‘Sovremennaja algebra’dlja magistrantov matematicheskih profilej”,inSb. statej po materialam Vseros. nauch.prakt. konf. prepodavatelej, aspirantov, magistrantov i uchitelej,NGPU im. K. Minina, N. Novgorod,pp.4752(in Russian).
9.Vechtomov,E. M. (2014)“Algebraicheskoe obrazovanie i algebraicheskie issledovanija v VjatGGU”,inProblemy matematicheskogo obrazovanija v vuzah i shkolah Rossii v uslovijah ego modernizacii: sb. materialov IV Vseros. nauch.metodich. konf.,SyktGU, Syktyvkar,pp.148155(inRussian).
10.Vechtomov,E. M.&Sidorov,V. V. (2014) Abstraktnaja algebra. Bazovyj kurs: ucheb. posobie, Kirov,IzdvoVjatGGU, OOO “RadugaPRESS”, 260 p. (in Russian).11.Vechtomov,E. M.&Chermnyh,V. V. (2012)“Izuchenie algebraicheskoj struktury”, Vestnik VjatGGU,№1(3), pp.4148(in Russian).
12.Gluskin,L. M. (1962 (1963))“Polugruppy”, Itogi nauki. Algebra. Topologija,VINITI, Moscow, pp. 3358(in Russian).
13.Gluskin,L. M. (1964 (1966))“Polugruppy”, Ser. Matematika. Itogi nauki. Algebra,VINITI, Moscow, pp.161202(in Russian).
14.Gluskin,L. M.,Shajn,B. M.&Shevrin L. N. (1966 (1968))“Polugruppy”, Ser. Matematika. Itogi nauki. Algebra. Topologija. Geometrija,VINITI, Moscow, pp.956(in Russian).
15.Zamjatin,A. P.&Shur,A. M. (2007) Jazyki, grammatiki, raspoznavateli, Izdvo Ural. unta, Ekaterinburg, 248 p. (in Russian).16.Klifford,A.&Preston,G. Algebraicheskaja teorija polugrupp: v 2 t. / per. s angl.,Mir, Moscow,1972, t.1, 286 p.; t. 2, 422 p. (in Russian).17.Lalleman,Zh. (1985) Polugruppy i ih kombinatornye prilozhenija / per. s angl., Mir, Moscow, 440 p. (in Russian).18.Ljapin,E. S. (1960) Polugruppy, Fizmatgiz, Moscow, 592 p. (in Russian).19.Ljapin,E. S.&Evseev,A. E. (1991) Chastichnye algebraicheskie dejstvija, Obrazovanie, St. Peterburg, 164 p. (in Russian).20.Markov,Al. A. (1982) Teorijakodirovanija, Nauka, Moscow, 192 p. (in Russian).21.Salomaa,A. (1986) Zhemchuzhiny teorii formal'nyh jazykov / per. s angl., Mir, Moscow, 160 p.(in Russian).22.Sushkevich,A. K. (1937) Teorija obobshhennyh grupp,Gop. nauch.tehn. izdvo Ukr., Har'kov; Kiev, 176 p. (in Russian).ВечтомовЕ.М.Знакомимсясабстрактнойалгеброй:полугруппы//Концепт.–2014. –№12(декабрь).–ART14335. –0,5п.л.–URL: http://ekoncept.ru/2014/14335.htm. –Гос. рег. Эл№ФС7749965.–ISSN 2304120X.
Frid,Je. (1979) Jelementarnoe vvedenie v abstraktnuju algebru / per. s veng., Mir, Moscow, 260 p. (in Russian).24.Hille,E.&Filips,R. (1962) Funkcional'nyj analiz i polugruppy / per. s angl.,IL, Moscow, 830 p. (in Russian).25.Shevrin,L. N. (1991)“Polugruppy”,inSkornjakov, L. A.(ed.)Obshhaja algebra. T. 2,Nauka, Moscow, pp.11191(in Russian).
26.Shevrin,L. N. (1996)“Tozhdestva polugrupp”, Sorosovskij obrazovatel'nyj zhurnal,№7,pp.111118(in Russian).
27.Shevrin,L. N.(1997)“Chto takoe polugruppa”, Sorosovskij obrazovatel'nyj zhurnal,№4,pp.99104(in Russian).
28.Shevrin,L. N. (1997)“Kak voznikajutgruppy pri izuchenii polugrupp”, Sorosovskij obrazovatel'nyj zhurnal,№11,pp.114119(in Russian).
29.Shevrin,L. N.&Ovsjannikov A. Ja. Polugruppy i ih podpolugruppovye reshetki: v 2 ch.,Izdvo Ural. unta, 1990, ch. 1, 238 p.; 1991, ch. 2, Sverdlovsk 246 p.(in Russian).
30.Howie,J. M. (1995) Fundamentals of semigroup theory,London mathematical society, Clarendon press, Oxford, 361 p. (in English).31.Semigroup Forum / Amerikanskij zhurnal izdatel'stva Springer, vyhodit s 1970 g.(in English).
Рекомендованокпубликации:
ЗиновкинойМ.М.,докторомпедагогическихнаук,профессором,членомредакционнойколлегиижурнала«Концепт»
Знакомимсясабстрактнойалгеброй:полугруппы
Аннотация.Статьянаписананаосновепленарногодоклада,сделанногоавторомнаВсероссийскойнаучнопрактическойконференции«Математикаикомпьютерноемоделированиевисследованияхстудентовишкольников»(Киров,ВятГГУ,1415мая2013г.).Выстраиваютсяакценты,ирассматриваетсяпорядокизученияэлементовтеорииполугруппстудентамиматематикамимладшихкурсовипродвинутымистаршеклассниками.Ключевыеслова:ассоциативнаяалгебра,полугруппа,полугруппаслов,полугруппапреобразований,изучениетеорииполугрупп.
Раздел:(01)педагогика;историяпедагогикииобразования;теорияиметодикаобученияивоспитания(попредметнымобластям).
Яприветствуюполугруппу,гдебыяеенивстретил,австречаетсяонаповсюду.Впрочем,отдрузейяслышал,чтовматематикепопадаютсяобъекты,отличныеотполугрупп.ЭйнарХиллеВведениеРаботапродолжаетсериюнашихпубликацийпоразвитиювысшегоалгебраическогообразования[411]. Каждомуначинающемуматематикуиинформатикунеобходимоознакомитьсясначаламитеорииполугруппсеетерминологией,исходнымипонятиямиифактами,методамииконструкциями,подходамииприменениями.Понятиеполугруппыслужитосновойассоциативнойалгебры,проникающейвомногиеразделысовременнойматематикииееприложения[1,3,10,1521,2325,30].Теорииполугрупппосвященымонографии[1618,24,29,30],обзоры[1214, 25],научнопопулярныестатьи[2628],специализированныйнаучныйжурнал[31].МонографиясоветскогоукраинскогоматематикаАнтонаКаземировичаСушкевича(18891961)«Теорияобобщенныхгрупп»(таксначаланазывалисьполугруппы)1937г.[22]былапервойкнигойвмировойлитературепополугруппам.ВСССРцентрамитеоретикополугрупповыхисследованийбылигородаБаку,Ленинград(СанктПетербург),Москва,Новосибирск,Саратов,Свердловск(Екатеринбург),Харьков.МеждународноепризнаниеполучилиалгебраическиешколыпрофессораЕвгенияСергеевичаЛяпина(19142005)изРоссийскогогосударственногопедагогическогоуниверситета(СанктПетербург)ипрофессораЛьваНаумовичаШеврина(1935г.р.)изУральскогофедеральногоуниверситета(Екатеринбург).Отметим,чтовредколлегиюжурнала“SemigroupForum”входятЛ.Н.ШевриниегоученикпрофессорМ.В.Волков(1955г.р.),атакжеамериканскийпрофессорБ.М.Шайн(1938г.р.)выпускникСаратовскогогосуниверситета.ОднимизсоздателейтеорииполугруппявляетсяамериканскийалгебраистАльфредКлиффорд(19081992) соавторизвестногодвухтомника[16].Назовемтакжетакиеименазарубежныхматематиков,внесшихзаметныйвкладвсовременнуютеориюполугруппиееприложения,какДж.Грин,Ж.Лаллеман,Г.Престон,Д.Рис,Э.Хилле,М.Шютценберже.Определения.Примеры.СвойстваБинарнойалгебраическойоперациейнанепустоммножествеAназываетсяпроизвольноеотображение: AAA;онокаждойупорядоченнойпареэлементовa,bAставитвсоответствиевполнеопределенныйэлементabA.НепустоемножествоAснекоторойзаданнойнанембинарнойалгебраическойоперациейназываетсягруппоидом(приэтомговоряттакжеопареA,). ОперациянаAназываетсяассоциативной,если(ab)c=a(bc)длялюбыхэлементовa,b,cA.Группоидсассоциативнойоперациейназываетсяполугруппой(semigroup). Отображение: A,B,группоидовназываетсягомоморфизмом,еслионосохраняетоперацию,тоесть(xy)=(x)(y)длялюбыхx,yA.Взаимнооднозначныйгомоморфизмодногогруппоиданадругойназываетсяихизоморфизмом(нетруднопоказать,чтообратноеотображение1такжебудетизоморфизмом).Группоидыназываютсяизоморфными,еслимеждунимисуществуетизоморфизм.Отношениеизоморфностинаклассевсехгруппоидовявляетсяотношениемэквивалентности.Изоморфныегруппоидыимеютодниитежеабстрактныесвойства.Например,группоид,изоморфныйполугруппе,самбудетполугруппой.Дадимещенесколькоисходныхопределений.ПолугруппаAназывается:моноидом,есливAсуществуетнейтральныйэлемент,тоестьтакойэлементeA,чтонаAтождественноxe=x=ex(легковидеть,чтонейтральныйэлементединственен);коммутативной,еслиееоперациякоммутативна,тоестьвAвыполняетсятождествоxy=yx; идемпотентной(илисвязкой),еслиAудовлетворяеттождествуxx=x(такиеэлементыxназываютсяидемпотентами); полурешеткой,когдаонакоммутативнаиидемпотентна;сократимойслева(справа),когдаудовлетворяетквазитождествуxy=xzy=z(соответственно,xz=yzx=y).ДляизображениягруппоидовприменяютсятаблицыКэли,названныетакпоименианглийскогоматематикаАртураКэли(18211895). Выясним,скольковсегосуществуетдвухэлементныхполугрупп.Дляэтогосначаланайдемвседвухэлементныегруппоиды.Любопытно,чтовсегосуществуют24попарнонеизоморфныетрехэлементныеполугруппы,188четырехэлементныхполугрупп,1915пятиэлементныхполугрупп,28634шестиэлементныеполугруппы[25,с.66]. ТаблицейКэлидлягруппоида{a,b},служиттаблица:
abaaaabbbabbВсеготакихтаблицбудет24=16.Изобразимих:1ab
2ab
3ab
4abaaa
aaa
aaa
aaabaa
bab
bba
bbb
5ab
6ab
7ab
8abaab
aab
aab
aabbaa
bab
bba
bbb
9ab
10ab
11ab
12ababa
aba
aba
ababaa
bab
bba
bbb
13ab
14ab
15ab
16ababb
abb
abb
abbbaa
bab
bba
bbb
Среди16представленныхгруппоидовнекоторыегруппоидыизоморфныдругдругуприотображении: ab, ba.Например,изоморфныгруппоиды,заданныетаблицами1и16.Этобудемзаписыватькак116иговоритьпростоогруппоидах1и16.Некоторыегруппоидымогутбытьизоморфнытолькосамимсебе.Найдемгруппоид(еготаблицу),изоморфныйгруппоиду2.Используеммультипликативнуюзаписьопераций.Длялюбыхэлементовx,y{a,b}должныполучитьвновомгруппоидеxy=(1(x)1(y))=(x1y1), гдеумножениевскобкахпроизводитсявгруппоиде2.Итак,имеем:aa=(a1a1)=(bb)=b=a, ab=(ba)=a=b, ba=(ab)=a=bиbb=(aa)=a=b.Врезультатемыполучаемгруппоид8.Значит,28.Аналогичнонаходим,что312, 44, 514, 66, 710, 915, 1111и1313. Всегополучаем10попарнонеизоморфныхдвухэлементныхгруппоидов1,2,3,4,5,6,7,9,11,13.См.[3,с.5355]. Далеемыбудемиспользоватьмультипликативнуютерминологию:полугрупповаяоперацияумножение«»,результатab=abпроизведение,нейтральныйэлементединица1.Нарядусмультипликативнойсимволикойприменяютсяиаддитивныеобозначения:операциясложения«»,результатa+bсумма,нейтральныйэлементнуль0.Частополугруппызадаютсяобразующимиэлементамииопределяющимисоотношениями.Например,полугруппа,определяемаядвумяобразующимиa,bитремяравенствамиab=ba, a2=aиb3=b,имеет5элементов:a,ab,ab2,b,b2влексикографическойзаписи.Важнейшийклассполугруппобразуютгруппы.Группойназываетсятакоймоноид,чтокаждыйегоэлементaимеетобратныйэлементa1: aa1=a1a=1(такойэлементa1единственен).Отметим,чтокольца,полукольца,решеткиявляютсяполугруппамипообеимоперациям.
Полугруппастождествомxy=x(xy=y)называетсяполугруппойлевых(правых) нулей.Такиеполугруппыидемпотентны.Многообразиемполугруппназываетсяклассвсехполугрупп,удовлетворяющихзаданномунаборутождеств.Так,идемпотентныеполугруппыобразуютмногообразие.Многообразиеполугруппназываетсятривиальным,еслионозадаетсятождествомx=y;этоклассвсеходноэлементныхполугрупп(изоморфныхдругдругу).Укажемдваинтересныхфактаобидемпотентныхполугруппах.Вопервых,существуетровнотриминимальныхнетривиальныхмногообразияидемпотентныхполугрупп:классполугрупплевыхнулей,классполугруппправыхнулей,классполурешеток[25,с.163].Вовторых,всякаяконечнопорожденнаяидемпотентнаяполугруппаконечна[17,с.352]. Множествовсехдействительных(рациональных,целых,натуральных,комплексных)чиселявляетсясократимойкоммутативнойполугруппой,какпоумножению,такипосложению.Операциявычитаниянамножествецелыхчиселнеассоциативнаинекоммутативна,такжекакиоперациявозведениявстепень(xy)намножественатуральныхчисел.Втеориипредставленийполугруппзаметноеместозанимаютмультипликативныеполугруппыквадратныхматрицскомплекснымикоэффициентами.Основнымимодельнымипримерамиполугруппвыступаютполугруппысловиполугруппыпреобразований. ВозьмемнепустоемножествоX,называемоеалфавитом.Егоэлементыназываютбуквами,аконечныепоследовательностибуквназываютсясловами(можноввестипустоеслово,атакжебесконечныеслова).ПустьA(X) множествовсехсловвалфавитеX,рассматриваемоесоперациейконкатенации(приписывания)слов:кслову(a1a2…am)длиныmсправадобавляетсяслово(b1b2…bn)длиныnсрезультатомсловом(a1a2…amb1b2…bn)длиныm+n.ПолучаемтакназываемуюсвободнуюполугруппуA(X)надX:онабесконечнаисократимасобеихсторон;еекоммутативностьравносильнатому,чтоXодноэлементно.ЛюбаяполугруппаизоморфнафакторполугруппенекоторойсвободнойполугруппыA(X).Полугруппысловиграютбольшуюролькаквобщейтеорииполугрупп,такивкомбинаторныхприложениях.Словаводнобуквенномалфавите{}моделируютнатуральныечисла:,,,,….АзбукаМорзе(телеграфнаяазбука)имеетдвухбуквенныйалфавит{,},вкоторомкодируютсяобычныебуквыизнакипрепинания,слова,предложения,сообщения.Другойфундаментальныйтипполугруппсоставляютполугруппыпреобразований.ОбозначимчерезT(X)множествовсевозможныхотображенийXXфиксированногомножестваX,называемыхпреобразованиямиX.Относительнооперациикомпозиции(суперпозиции,последовательноговыполненияпреобразований)T(X) становитсямоноидом.Действительно,длялюбыхf,gT(X)ихкомпозицияfg=gf, определяемаясоотношениемx(fg)=(xf)gпривсехxX, задаетассоциативнуюоперациюнаT(X),таккакдлявсехf,g,hT(X)иxX: x((fg)h)=((xf)g)h=(xf)(gh)=x(f(gh)).Рольединицыиграеттождественноеотображение1X.
XXXXfghfgghВлюбойполугруппевыполняетсяОбобщенныйзаконассоциативности. Произведениеa1a2…anлюбогоконечногочислаэлементовполугруппынезависитотрасстановкискобок.
Индукциейпочислуnсомножителейдоказывается,чтоa1a2…an=(…((a1a2)a3)…an1)an.Заметим,чточислорасстановокскобоквпроизведенииa1a2…anестьсоответствующеечислоКаталана:приn=3имеемзначение2,приn=4получаем5,приn=5имеем14.Вобщемслучаедляn3имеемчислосочетанийиз2(n1)поn1,деленноенаn. ПредставлениеполугрупппреобразованиямиПустьданапроизвольнаяполугруппаA.ДлякаждогоееэлементаaположимTa: AA, xTa=xaдлявсехxA, этоправыйсдвигполугруппыAнаэлементa.Рассмотримотображение: AT(A), (a)=TaдлялюбогоaA.Посколькудлялюбыхa,bAиxAимеемx(ab)=xTab=x(ab)=(xa)b=(xTa)Tb=(x(a))(b)=x((a)(b)), тоестьгомоморфизмданнойполугруппыAвполугруппупреобразованийT(A).Посмотрим,являетсяли(изоморфным)вложением,тоестьинъективнымгомоморфизмом?Инъективностьозначает,чтоTaTbпринеравныхa,bA.Новслучаеполугруппылевыхнулейxa=x=xbприлюбыхa,bA.Поэтомунеобязанобытьвложением.Конечно,вомногихдругихслучаях(например,когдаполугруппаAимеетлевуюединицуилисократимаслева)будетвложением.ПринципиальноезначениеполугрупппреобразованийобосновываетОбобщеннаятеоремаКэли.ВсякаяполугруппаAизоморфновкладываетсявсоответствующуюполугруппупреобразованийT(X).
ДлядоказательстваобобщеннойтеоремыКэлидостаточнокполугруппеAприсоединить(новую)единицуeивзятьмоноидAe=A{e}.ТогдаполугруппаAизоморфновкладываетсявмоноидAe,который,всвоюочередь,припомощи,изоморфновкладываетсявполугруппупреобразованийT(Ae). ЦиклическиеполугруппыСредиабстрактныхполугруппвыделяетсякласспростейшихполугруппциклические(илимоногенные)полугруппы,порожденныеоднимэлементом.Именно,полугруппаAназываетсяциклической,еслиA={am: mN}длянекоторогоэлементаaAееобразующего.Любаяполугруппаестьтеоретикомножественноеобъединениеподполугрупп,являющихсяциклическимиполугруппами.Еслистепениобразующегоэлементаaсразличнымипоказателямиразличны,тополучаембесконечнуюциклическуюполугруппуA={a,a2,a3,…,am,…},изоморфнуюаддитивнойполугруппеN,+натуральныхчисел.Впротивномслучаенайдутсятакиенатуральныечислаkиn,чтоak=ak+n.Считаемkнаименьшимнатуральнымчисломстакимусловием,аnнаименьшимнатуральнымчисломсосвойствомak=ak+nдляуказанногозначенияk.Получаемциклическуюполугруппутипа(k,n)A={a,…,ak1,ak,…,ak+n1}, содержащуюровноk+n1элементов.Строениеконечныхциклическихполугрупп.Конечныециклическиеполугруппысовпадают,сточностьюдоизоморфизма,сциклическимиполугруппамитипа(k,n),гдеkиnпроизвольныенатуральныечисла.Множество{a,…,ak1}называютхвостомA,амножество{ak,…,ak+n1} еециклом.Приk=1получаемциклическуюгруппупорядкаn,априn=1получаемхвостсдобавленнымпоглощающимэлементомak.Любуюциклическуюполугруппуможноизобразитьввидепростогоориентированногографа,соединяястрелкойэлементamсэлементомam+1приmN. Воткаквыглядитграфциклическойполугруппытипа(4,5):
СвязьсдругимиматематическимиструктурамиПустьтеперьXнекоторыйматематическийобъект,скажем,алгебраическаяструктура,упорядоченноемножествоилитопологическоепространство.ЧерезS(X) обозначимполугруппувсехегоэндоморфизмов,рассматриваемуюкакподполугруппавT(X). ЭндоморфизмомматематическогообъектаXназываетсяпреобразованиемножестваX,сохраняющеевсеегоструктурныеоперациииотношения.Эндоморфизмывслучаеалгебраическойструктурысутьгомоморфизмывсебя,вслучаепорядковойструктурыизотонныепреобразования,вслучаетопологическойструктурынепрерывныепреобразования.ПолугруппаэндоморфизмовS(X)математическогообъектаXнесетсущественную(иногдаисчерпывающую)информациюосамомобъектеX.Вчастности,достаточноактивноизучалисьполугруппынепрерывныхпреобразованийтопологическихпространств[2,§4]. Сформулируемодинрезультатавторанаэтутему.НаполугруппеS(X)непрерывныхпреобразованийтопологическогопространстваXвведемтопологиюпоточечнойсходимости,тоестьтопологиюподпространства,индуцированнуютопологиейпроизведениянамножествеXXвсехпреобразованийпространстваX.ВрезультатеполучимполутопологическуюполугруппуSp(X):внейоперациякомпозициинепрерывнапокаждомуизсомножителей,нонеобязанабытьнепрерывной.Имеетместоследующийрезультат:Теоремаопределяемости[2,предложение4.14].ПроизвольныетопологическиепространстваXиYгомеоморфнытогдаитолькотогда,когдамеждуполутопологическимиполугруппамиSp(X) иSp(Y) существуетполугрупповойизоморфизм,являющийсяодновременноихгомеоморфизмом.
ПримененияАбстрактнаятеорияполугруппуспешноприменяетсявдискретнойикомпьютернойматематике,втеорииформальныхязыков,втеорииконечныхавтоматов,втеориикодированияикриптографии.Большуюрольиграюталгоритмическиеикомбинаторныеаспектыиприложениятеорииполугрупп.Затронемтолькоследующиесюжеты.ПионеромвтеорииформальныхязыковпоправусчитаетсянорвежскийматематикАксельТуэ(19631922).В1912гонрешилзадачисуществованияистроениябесквадратныхсловисильнобескубныхслов.СловоилибесконечноеслововалфавитеXназываетсябесквадратным(сильнобескубным),еслиононесодержитподсловвидаww(wwa),гдеaперваябуквасловаw.Туэпоказал,чтовдвухбуквенномалфавитесуществуетсильнобескубноебесконечноесловоинетбесквадaa2a3a4a5a6a7a8радратныхсловдлины4,атакжепостроилбесквадратноебесконечноеслововтрехбуквенномалфавите[21,с.18].См.такжеупражнениякглаве1книги[21].АнглийскийалгебраистУильямБернсайд(18521927),являющийсяоднимизсоздателейабстрактнойтеориигрупп,поставилв1902г.следующийвопрос:обязаналиконечнопорожденнаяпериодическаягруппабытьконечной?РоссийскийалгебраистЕвгенийСоломоновичГолод(1935г.р.)далв1964г.отрицательныйответнаэтотвопрос.БолеесильнаяограниченнаяпроблемаБернсайдаформулируетсятак:каждаяликонечнопорожденнаягруппа,удовлетворяющаятождествуxn=1 дляфиксированногонатуральногочислаn,конечна?СоветскиематематикиПетрСергеевичНовиков(19011975)иСергейИвановичАдян(1931г.р.)построилив1968г.бесконечныетакиегруппыдлявсехдостаточнобольшихнечетныхn.Аналогичныевопросыбылипоставленыидляполугрупптакназываемогобернсайдовскоготипа.Именно,черезB(k,m,n), mn,обозначаетсяполугруппасkсвободнымиобразующимивмногообразииполугруппсоднимтождествомxm=xn.Какужеотмечалось,полугруппаB(k,1,2)конечна.ПолугруппаB(2,1,3)имеет132элемента.АполугруппыB(k,m,n)приk2иm2бесконечны[17,с.352353]. Исследованияпополугруппамиихприложениямпродолжаются.Вчастности,остаетсяактуальнойпроблемаравенствасловвнекоторыхполугруппах,задаваемыхобразующимииопределяющимисоотношениями.Так,построенаполугруппасдвумяобразующимиa,bитремяопределяющимисоотношениями,длякоторойнесуществуеталгоритмараспознаванияравенствадвухпроизвольныхсловвалфавите{a,b}.Любаяжеконечнопорожденнаякоммутативнаяполугруппаимееталгоритмическиразрешимуюпроблемуравенстваслов.См.[25,с.167169]. УпражненияСтудентамполезносамостоятельнопрорешатьследующиезадачи:
1.Докажите,чтовсякаяконечнаяполугруппаимеетхотябыодинидемпотент.2.Найдитесточностьюдоизоморфизмавседвухэлементныеполугруппы.Чтозначит«описатьсточностьюдоизоморфизма»?3.Чтотакоелевая(правая)единицавполугруппе?Левый(правый)нуль?4.Покажите,чтоеслиполугруппаобладаетлевойединицейиправойединицей,тоонаявляетсямоноидом.5.Докажите,чтоконечныесократимыеслеваисправаполугруппыбудутгруппами.6.Проверьте,чтовлюбомконечноммоноидесправедливосоотношениеxy=1yx=1. 7.Еслидопуститьпустоеслово,тоA(X)будетмоноидом.Почему?8.Докажите,чтомножествовсехобратимыхэлементовпроизвольногомоноидаAобразуетгруппуAподполугруппувA. 9.ЧтопредставляетсобойгруппаT(X)?ЕслиXnэлементноемножество(nN),тогруппаT(X)изоморфнасимметрическойгруппеSnгруппевсехподстановокnйстепени.Убедитесьвэтом.10.Докажите,чтолюбаяконечнаяциклическаяполугруппаизоморфнагомоморфномуобразуполугруппыN,+. 11.Постарайтесьдоказать,чтолюбаяполугруппастождествомxyx=xизоморфнапрямомупроизведениюполугруппылевыхнулейиполугруппыправыхнулей.12.Покажите,чтоналюбойполурешеткеAможноопределитьотношениепорядкапоформуле:abab=a,причемab=inf(a,b)длявсехa,bA. 13.Постройтесвободнуюкоммутативнуюполугруппустремясвободнымиобразующими(надтрехэлементныммножествомX). 14.Найдитесвободнуюидемпотентнуюполугруппусдвумясвободнымиобразующими.15.Чтопредставляетсобойсвободнаяполурешеткасnсвободнымиобразующими?
Ссылкинаисточники1.БиркгофГ.,БартиТ.Современнаяприкладнаяалгебра/пер.сангл.М.:Мир,1976.400с.2.ВечтомовЕ.М.Вопросыопределяемоститопологическихпространствалгебраическимисистемаминепрерывныхфункций//Итогинаукиитехники.Алгебра.Топология.Геометрия.Т.28.М.:ВИНИТИ,1990.С.346. 3.ВечтомовЕ.М.Основныематематическиеструктуры.Киров:ВятГГУ,2013.292с.4.ВечтомовЕ.М.Изучениеначалтеориигрупп//ТрудыМеждународнойнаучнойконференции«Образование,наукаиэкономикаввузах.Интеграциявмеждународноеобразовательноепространство».Плоцк(Польша),2010.С.91100. 5.ВечтомовЕ.М.Алгебраическиеаспектылогикивысказываний//МатериалыIIIВсероссийскойнаучнопрактическойконференции«Настоящееибудущеефизикоматематическогообразования:Формированиеметодологическойкультуры».Киров:ФМЛг.Кирова,2012.С.9096. 6.ВечтомовЕ.М.Тестовыезадачипоабстрактнойалгебре//МатериалыIVВсероссийскойнаучнопрактическойконференции«Преподаваниематематикившколахивузах:проблемысодержания,технологиииметодики».Глазов:ГГПИ,2012.С.815. 7.ВечтомовЕ.М.Опреподаванииабстрактнойалгебрымагистрантамматематикам//Всероссийскаянаучнометодическаяконференциясмеждународнымучастием«Проблемысовершенствованиематематическойподготовкившколеивузе».М.:МПГУ,2012.С.243245. 8.ВечтомовЕ.М.Курс«Современнаяалгебра»длямагистрантовматематическихпрофилей//Сб.статейпоматериаламВсерос.науч.практ.конф.преподавателей,аспирантов,магистрантовиучителей.Н.Новгород:НГПУим.К.Минина,2013.С.4752. 9.ВечтомовЕ.М.АлгебраическоеобразованиеиалгебраическиеисследованиявВятГГУ//ПроблемыматематическогообразованияввузахишколахРоссиивусловияхегомодернизации:сб.материаловIVВсерос.науч.методич.конф.Сыктывкар:СыктГУ,2014.С.148155. 10.ВечтомовЕ.М.,СидоровВ.В.Абстрактнаяалгебра.Базовыйкурс:учеб.пособие.Киров:ИздвоВятГГУ,ООО«РадугаПРЕСС»,2014.260с.11.ВечтомовЕ.М.,ЧермныхВ.В.Изучениеалгебраическойструктуры//ВестникВятГГУ.2012. №1(3). С.4148. 12.ГлускинЛ.М.Полугруппы//Итогинауки.Алгебра.Топология.М.:ВИНИТИ,1962(1963).С.3358. 13.ГлускинЛ.М.Полугруппы//Сер.Математика.Итогинауки.Алгебра.М.:ВИНИТИ,1964(1966).С.161202. 14.ГлускинЛ.М.,ШайнБ.М.,ШевринЛ.Н.Полугруппы//Сер.Математика.Итогинауки.Алгебра.Топология.Геометрия.М.:ВИНИТИ,1966(1968).С.956. 15.ЗамятинА.П.,ШурА.М.Языки,грамматики,распознаватели.Екатеринбург:ИздвоУрал.унта,2007.248с.16.КлиффордА.,ПрестонГ.Алгебраическаятеорияполугрупп:в2т./пер.сангл.М.:Мир,1972. Т.1.286с.;Т.2.422с.17.ЛаллеманЖ.Полугруппыиихкомбинаторныеприложения/пер.сангл.М.:Мир,1985.440с.18.ЛяпинЕ.С.Полугруппы.М.:Физматгиз,1960.592с.19.ЛяпинЕ.С.,ЕвсеевА.Е.Частичныеалгебраическиедействия.СПб.:Образование,1991.164с.20.МарковАл.А.Теориякодирования.М.:Наука,1982.192с.21.СаломааА.Жемчужинытеорииформальныхязыков/пер.сангл.М.:Мир,1986.160с.22.СушкевичА.К.Теорияобобщенныхгрупп.Харьков;Киев:Гос.науч.техн.издвоУкр.,1937.176с.23.ФридЭ.Элементарноевведениевабстрактнуюалгебру/пер.свенг. М.:Мир,1979.260с.24.ХиллеЕ.,ФилипсР.Функциональныйанализиполугруппы/пер.сангл.М.:ИЛ,1962.830с.25.ШевринЛ.Н.Полугруппы//Общаяалгебра.Т.2/подобщ.ред.Л.А.Скорнякова.М.:Наука,1991. С.11191. 26.ШевринЛ.Н.Тождестваполугрупп//Соросовскийобразовательныйжурнал.1996. №7.С.111118. 27.ШевринЛ.Н.Чтотакоеполугруппа//Соросовскийобразовательныйжурнал.1997. №4.С.99104. 28.ШевринЛ.Н.Каквозникаютгруппыприизученииполугрупп//Соросовскийобразовательныйжурнал.1997.№11.С.114119. 29.ШевринЛ.Н.,ОвсянниковА.Я.Полугруппыиихподполугрупповыерешетки:в2ч.Свердловск:ИздвоУрал.унта,1990. Ч.1.238с.;1991.Ч.2.246с.30.Howie J. M. Fundamentals of semigroup theory. Oxford: London mathematical society, Clarendon press, 1995. 361 p. 31.SemigroupForum:американскийжурнализдательстваSpringer,выходитс1970г.
Evgeny Vechtomov,Doctor of PhysicMathematical Sciences, Professor, head of the chairof Fundamental and Computer Mathematics, Vyatka State University of Humanities, Kirov vecht@mail.ruAcquaintance with the abstract algebra: semigroupsAbstract.The paperis written on the basis of the plenary report,made by the author at the AllRussian ScientificPractical Conference “Mathematics and Computer Modeling in studies of students and pupils”(Kirov, 1415 May 2013). The paperplaces accents on the process ofexplainingelements of Semigroup Theory to students of junior courses,studyingMathematics,and to advancedhigh schoolpupils.Keywords:associative algebra, semigroup, semigroup of words, semigroup of transformations, study of Semigroup Theory.References1.Birkgof,G.&Barti,T. (1976) Sovremennaja prikladnaja algebra / per. s anglю, Mir, Moscow, 400 p. (in Russian).2.Vechtomov,E. M. (1990) “Voprosy opredeljaemosti topologicheskih prostranstv algebraicheskimi sistemami nepreryvnyh funkcij”, Itogi nauki i tehniki. Algebra. Topologija. Geometrija. T. 28,VINITI, Moscow,pp.346(in Russian).
3.Vechtomov,E. M. (2013) Osnovnye matematicheskie struktury,VjatGGU, Kirov, 292 p.(in Russian).
4.Vechtomov,E. M. (2010) “Izuchenie nachal teorii grupp”, in Trudy Mezhdunarodnoj nauchnoj konferencii “Obrazovanie, nauka i jekonomika v vuzah. Integracija v mezhdunarodnoe obrazovatel'noe prostranstvo”, Plock (Pol'sha),pp.91100(in Russian).
5.Vechtomov,E. M. (2012)“Algebraicheskie aspekty logiki vyskazyvanij”, in Materialy III Vserossijskoj nauchnoprakticheskoj konferencii “Nastojashhee i budushhee fizikomatematicheskogo obrazovanija: Formirovanie metodologicheskoj kul'tury”,FML g. Kirova, Kirov, pp.9096(in Russian).
6.Vechtomov,E. M. (2012)“Testovyezadachi po abstraktnoj algebre”, in Materialy IV Vserossijskoj nauchnoprakticheskoj konferencii “Prepodavanie matematiki v shkolah i vuzah: problemy soderzhanija, tehnologii i metodiki”,GGPI, Glazov, pp.815(in Russian).
7.Vechtomov,E. M. (2012)“O prepodavanii abstraktnoj algebry magistrantammatematikam”, Vserossijskaja nauchnometodicheskaja konferencija s mezhdunarodnym uchastiem “Problemy sovershenstvovanie matematicheskoj podgotovki v shkole i vuze”, MPGU, Moscow, pp.243245(in Russian).
8.Vechtomov,E. M. (2013)“Kurs ‘Sovremennaja algebra’dlja magistrantov matematicheskih profilej”,inSb. statej po materialam Vseros. nauch.prakt. konf. prepodavatelej, aspirantov, magistrantov i uchitelej,NGPU im. K. Minina, N. Novgorod,pp.4752(in Russian).
9.Vechtomov,E. M. (2014)“Algebraicheskoe obrazovanie i algebraicheskie issledovanija v VjatGGU”,inProblemy matematicheskogo obrazovanija v vuzah i shkolah Rossii v uslovijah ego modernizacii: sb. materialov IV Vseros. nauch.metodich. konf.,SyktGU, Syktyvkar,pp.148155(inRussian).
10.Vechtomov,E. M.&Sidorov,V. V. (2014) Abstraktnaja algebra. Bazovyj kurs: ucheb. posobie, Kirov,IzdvoVjatGGU, OOO “RadugaPRESS”, 260 p. (in Russian).11.Vechtomov,E. M.&Chermnyh,V. V. (2012)“Izuchenie algebraicheskoj struktury”, Vestnik VjatGGU,№1(3), pp.4148(in Russian).
12.Gluskin,L. M. (1962 (1963))“Polugruppy”, Itogi nauki. Algebra. Topologija,VINITI, Moscow, pp. 3358(in Russian).
13.Gluskin,L. M. (1964 (1966))“Polugruppy”, Ser. Matematika. Itogi nauki. Algebra,VINITI, Moscow, pp.161202(in Russian).
14.Gluskin,L. M.,Shajn,B. M.&Shevrin L. N. (1966 (1968))“Polugruppy”, Ser. Matematika. Itogi nauki. Algebra. Topologija. Geometrija,VINITI, Moscow, pp.956(in Russian).
15.Zamjatin,A. P.&Shur,A. M. (2007) Jazyki, grammatiki, raspoznavateli, Izdvo Ural. unta, Ekaterinburg, 248 p. (in Russian).16.Klifford,A.&Preston,G. Algebraicheskaja teorija polugrupp: v 2 t. / per. s angl.,Mir, Moscow,1972, t.1, 286 p.; t. 2, 422 p. (in Russian).17.Lalleman,Zh. (1985) Polugruppy i ih kombinatornye prilozhenija / per. s angl., Mir, Moscow, 440 p. (in Russian).18.Ljapin,E. S. (1960) Polugruppy, Fizmatgiz, Moscow, 592 p. (in Russian).19.Ljapin,E. S.&Evseev,A. E. (1991) Chastichnye algebraicheskie dejstvija, Obrazovanie, St. Peterburg, 164 p. (in Russian).20.Markov,Al. A. (1982) Teorijakodirovanija, Nauka, Moscow, 192 p. (in Russian).21.Salomaa,A. (1986) Zhemchuzhiny teorii formal'nyh jazykov / per. s angl., Mir, Moscow, 160 p.(in Russian).22.Sushkevich,A. K. (1937) Teorija obobshhennyh grupp,Gop. nauch.tehn. izdvo Ukr., Har'kov; Kiev, 176 p. (in Russian).ВечтомовЕ.М.Знакомимсясабстрактнойалгеброй:полугруппы//Концепт.–2014. –№12(декабрь).–ART14335. –0,5п.л.–URL: http://ekoncept.ru/2014/14335.htm. –Гос. рег. Эл№ФС7749965.–ISSN 2304120X.
Frid,Je. (1979) Jelementarnoe vvedenie v abstraktnuju algebru / per. s veng., Mir, Moscow, 260 p. (in Russian).24.Hille,E.&Filips,R. (1962) Funkcional'nyj analiz i polugruppy / per. s angl.,IL, Moscow, 830 p. (in Russian).25.Shevrin,L. N. (1991)“Polugruppy”,inSkornjakov, L. A.(ed.)Obshhaja algebra. T. 2,Nauka, Moscow, pp.11191(in Russian).
26.Shevrin,L. N. (1996)“Tozhdestva polugrupp”, Sorosovskij obrazovatel'nyj zhurnal,№7,pp.111118(in Russian).
27.Shevrin,L. N.(1997)“Chto takoe polugruppa”, Sorosovskij obrazovatel'nyj zhurnal,№4,pp.99104(in Russian).
28.Shevrin,L. N. (1997)“Kak voznikajutgruppy pri izuchenii polugrupp”, Sorosovskij obrazovatel'nyj zhurnal,№11,pp.114119(in Russian).
29.Shevrin,L. N.&Ovsjannikov A. Ja. Polugruppy i ih podpolugruppovye reshetki: v 2 ch.,Izdvo Ural. unta, 1990, ch. 1, 238 p.; 1991, ch. 2, Sverdlovsk 246 p.(in Russian).
30.Howie,J. M. (1995) Fundamentals of semigroup theory,London mathematical society, Clarendon press, Oxford, 361 p. (in English).31.Semigroup Forum / Amerikanskij zhurnal izdatel'stva Springer, vyhodit s 1970 g.(in English).
Рекомендованокпубликации:
ЗиновкинойМ.М.,докторомпедагогическихнаук,профессором,членомредакционнойколлегиижурнала«Концепт»