Анализ математической модели объёма производства продукции и прогнозирование выручки
О.
А. КостюченкоБиблиографическое описание статьи для цитирования:
Костюченко
О.
А. Анализ математической модели объёма производства продукции и прогнозирование выручки // Научно-методический электронный журнал «Концепт». –
2014. – Т. 20. – С.
616–620. – URL:
http://e-koncept.ru/2014/54387.htm.
Аннотация. В статье проводится исследование тренда динамики временного ряда объема реализации (производства) продукции. Полученный прогноз необходим в управлении производственной деятельностью для успешной конкуренции на рынке.
Ключевые слова:
развитие рыночных отношений, динамика временного ряда, шкала чеддока, математическая модель тренда
Текст статьи
Костюченко Ольга Андреевна,преподаватель кафедры социальногуманитарных дисциплин, филиал ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет»,г.Тихорецкsun8888s@mail.ru
Анализ математической модели объёма производства продукции и прогнозирование выручки
Аннотация. В статье проводится исследование тренда динамики временного ряда объема реализациипроизводствапродукции. Полученный прогноз необходим в управлении производственной деятельностью для успешной конкуренциина рынке.Ключевые слова: развитие рыночных отношений, динамика временного ряда, шкала Чеддока, математическая модель тренда.
Изменение экономики в направлении ее глобализациис усилением конкуренции на рынках, развитие рыночных отношений, основанных на частной собственности,предъявляет все большие требования к хозяйствующим субъектам в системе экономических взаимоотношений, и, прежде всего,в области управления своей деятельностью, что, в конечном итоге, предопределяет успех или неуспех фирмы. Эффективное и грамотное управление хозяйственной деятельностью предприятия является важнейшим условием достижения положительных экономических результатов, а соответственно основой для привлечения инвестиций[3].Поскольку, главным резервом увеличения суммы прибыли для предприятия является снижение себестоимости продукции, тодля определения резервов ее снижения предварительнона основе данных конкретного хозяйствующего субъектаспрогнозируемобъем реализации производства продукции в натуральных единицах и выручки от реализации на основе данных таблицы 1.Таблица 1Исходные данные для прогнозирования
Наименованиепоказателя2010 год2011 год2012 год1234Объем реализации продукции, т230520965Сумма выручки от реализации продукции, тыс. руб.322985589196520Цена реализации 1 т продукции, тыс. руб.140,4107,5100Полная себестоимость реализованной продукции, тыс. руб.321475586394519
Для выявлениятренда динамики временного ряда объема реализации продукции в натуральных единицах используем аналитическое выравнивание наиболее эффективный способ выявления тренда, причем уравнение ряда динамики выражается в виде функции , где t время времени[1].Таблица 2Данные для прогнозирования объема реализации производства
№ года (n)ГодОбъемреализации(yi),тТемп роста,Цепной, %Абсолютноеизменениецепное, т1234512010230
22011520226,129032012965185,6445
В среднемn = 3∑yi= 1715
= 571,7204,8
Для определения типа функции динамики объема производства необходимо построить график рисунок 1.
Рис.1.Динамика объема реализации с 2010 по 2012 год
По графику можно наметить следующиефункции:
№1: уравнение прямой: ;
№ 2: уравнение параболы второго порядка: Для выбора наиболее адекватной из них следует осуществить сравнительный анализ тренда исходных данных способом перебора решений по намеченным математическим функциям. Для определения параметров математических функций при анализе тренда используется упрощенный способ отчета времени от условного начала при условии ∑ ti= 0.Для нечетных рядов условное обозначение для tследующее:
№ года123Условноеобозначение10+1Составим расчетную матрицу для определения математических функций при ∑ti 0, ∑ ti2, ∑ ti4.Таблица 3Матрица определений параметров математических функции
№ годаУсловные обозначения tyitiyiti2yititi2ti411112302302302000520003+111965965965*∑ ti= 0∑ ti=2∑ ti=2∑yi = 1715∑tiyi = 735∑ti2yi = 1195
020040060080010001200123№1№2По итоговым данным матрицы получаем для уравнения прямолинейной функции: ,; (1). (2)Синтезируем математическую модель тренда по прямолинейной функции: .Для каждого года определяем теоретические уровни тренда.
Для уравнения параболы второго порядка:,
тонн (3) (4) (5)Синтезируем математическую модель тренда параболы второго порядка: Для каждого года определяем теоретические уровни тренда.
Для решения вопроса, какая из этих моделей является наиболее адекватной объективной сравниваются их стандартизированные ошибки аппроксимации.Таблица 4Матрица расчетных значений
№ годаtiyiТеоретические уровни помоделямОтклонение теоретических уровней yt
от фактических yi№1№2№1№2yti yi(yti yi)2yti yi(yti yi)211230204,223025,8665,640020520571,752051,72672,890031965939,296525,8665,6400*∑ ti= 0∑yi= 171517151715*4004,17*0
Для уравнения прямой №1 стандартная ошибка аппроксимации равна: .Для уравнения параболы второго порядка №2 стандартная ошибка аппроксимации равна:
Из сравнение полученных значений σуtследует, что по критерию минимального предпочтения следует отдать трендовой модели № 2 , синтезированной на основе уравнения параболы второго порядка .Используя данную трендовую модель, рассчитаем объем реализации производства в натуральных единицах на будущий период, при t 2 следующий за 1.
Далее, следует спрогнозировать сумму выручки реализации исходя из прогнозного объема реализации в натуральных единицах на следующий период. Для этого необходимо определить зависимость выручки от объема реализации в натуральных величинах.
При статистическом изучении связи показателей коммерческой деятельности нередко постулируется прямолинейная форма зависимости между признаками х и у:ух ао а1х (6)Для определения параметров уравнения 6 на основе требований методом наименьших квадратов, составляется система нормальных уравнений[2]:na0+ a1Σx = Σy a0Σx + a1Σx2= Σxy , (7)
3a0+ 1715 a1= 184709, 1715a0+ 1254525a1= 129633660 ,Для решения системы применяется способ определителей:
�0=∑௬∑௫2−∑௫௬∑௫�∑௫2−∑௫∑௫=184709×1254525−129633660×17153×1254525−17152=11431,1тыс. руб.;
тыс. руб.
Синтезируем математическую модель линейной связи между объемом реализации производства в натуральных единицах и выручкой:ух= 11431,1 + 87,71х. Дляполучения выводов о практической значимости синтезированной в анализе модели показаниям тесноты связи дается качественная оценка. Это осуществляется на основе шкалы Чеддока.Таблица 5Шкала Чеддока
Показаниятесноты связиДо |±0.1||±0.1| |±0.3||±0.3| |±0.5||±0.5| |±0.7||±0.7| |±0.9||±0.9| |±0.99|Характеристикасилы связипрактическиотсутствуетслабаяумереннаязаметнаявысокаявесьма
высокая
Определим линейный коэффициент корреляционной связи:
(8)По шкале Чеддока зависимость результативного признака у от факторного х является весьма высокой, связь по знаку прямая. Это означает, что более половины общей вариации результативного признака у объясняется влиянием изучаемого фактора х. Последнее позволяет считать оправданным применение метода функционального анализа для изучения корреляционной связи, а синтезированная при этом математическая модель признается пригодной для практического использования[4].
Рассчитаем на основе полученной модели взаимосвязи размер прогнозной выручки на основе прогнозного объема реализации производства продукции:
ух 11431,1 87,71 ×1565 = 148697 тыс. руб.
Исходя из выручки и объема реализации производства в натуральных единицах рассчитаем прогнозную цену реализации:
Сравним полученные данные с исходными данными.Таблица 6Сравнение полученных данных с исходными
Наименованиепоказателя2010 год2011 год2012 год2013 год12345Объем реализации продукции, т2305209651565Сумма выручки от реализации продукции, тыс. руб.322985589196520148697Цена реализации 1 т продукции, тыс. руб.140,4107,510095Полная себестоимость реализованной продукции, тыс. руб.321475586394519
Прогнозируемая цена за единицу продукции снижается в динамике. Поэтому необходимо проверить, не является ли данная цена ниже ее критического уровня такой уровень, при котором цена будет равна себестоимости единицы продукции, а прибыль и рентабельность нулю. Установление цены ниже этого уровня невыгодно для предприятия, так как в результате будет получен убыток.Таким образом, наши исследования действительно показали, что увеличениесуммы прибыли для предприятия влечет за собой снижениесебестоимости продукции. Поэтому предприятие будет иметь экономический успех на рынке. Инвестиции вложенные в такие предприятия принесут прибыль, что влечет за собой развитие рыночных отношений, основанных на частной собственности.
Ссылки на источники1.Ионин В.Г. Статистика. // Учебное пособие. 2е изд., перераб. и доп. М.: ИнфраМ, 2006. –384 с.2.Коломыц О.Н. Использование методов экономикоматематического моделирования при формировании и использовании оборотных активов //Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. №8. –2013. –С.1061113.Коломыц О.Н., Попов М.Н. Оценка инвестиционной привлекательности муниципального образования по критерию лучшего результата // Экономика и предпринимательство. №9. –2013. –С.1721754.Попов М.Н., Попова Л.Н. Выбор наиболее рациональных способов расчета с покупателями //Научнометодический электронный журнал "Концепт".
2013.
№ 11 ноябрь. –ART 13214.–URL: http://ekoncept.ru/2013/13214.htm. –Гос. рег. Эл No ФС 7749965. –ISSN 2304120X.
[Дата обращения 02.02.2013].
Kostyuchenko Olga,lecturer of the chair of social disciplines and Humanities, a branch of Federal state educational institution of the Kuban state University, Tikhoretsksun8888s@mail.ruAnalysis of the mathematical model of the volume of production products and revenue forecastingAbstarct.The article presents an analysis of the trend dynamics of the time series of the volume of realization of production of the products. The resulting forecast needed dim in the management of production activities for successful competition on the market.Key words:development of market relations, the dynamics of a timeseries scale Cheddok, mathematical model of the trend.
Анализ математической модели объёма производства продукции и прогнозирование выручки
Аннотация. В статье проводится исследование тренда динамики временного ряда объема реализациипроизводствапродукции. Полученный прогноз необходим в управлении производственной деятельностью для успешной конкуренциина рынке.Ключевые слова: развитие рыночных отношений, динамика временного ряда, шкала Чеддока, математическая модель тренда.
Изменение экономики в направлении ее глобализациис усилением конкуренции на рынках, развитие рыночных отношений, основанных на частной собственности,предъявляет все большие требования к хозяйствующим субъектам в системе экономических взаимоотношений, и, прежде всего,в области управления своей деятельностью, что, в конечном итоге, предопределяет успех или неуспех фирмы. Эффективное и грамотное управление хозяйственной деятельностью предприятия является важнейшим условием достижения положительных экономических результатов, а соответственно основой для привлечения инвестиций[3].Поскольку, главным резервом увеличения суммы прибыли для предприятия является снижение себестоимости продукции, тодля определения резервов ее снижения предварительнона основе данных конкретного хозяйствующего субъектаспрогнозируемобъем реализации производства продукции в натуральных единицах и выручки от реализации на основе данных таблицы 1.Таблица 1Исходные данные для прогнозирования
Наименованиепоказателя2010 год2011 год2012 год1234Объем реализации продукции, т230520965Сумма выручки от реализации продукции, тыс. руб.322985589196520Цена реализации 1 т продукции, тыс. руб.140,4107,5100Полная себестоимость реализованной продукции, тыс. руб.321475586394519
Для выявлениятренда динамики временного ряда объема реализации продукции в натуральных единицах используем аналитическое выравнивание наиболее эффективный способ выявления тренда, причем уравнение ряда динамики выражается в виде функции , где t время времени[1].Таблица 2Данные для прогнозирования объема реализации производства
№ года (n)ГодОбъемреализации(yi),тТемп роста,Цепной, %Абсолютноеизменениецепное, т1234512010230
22011520226,129032012965185,6445
В среднемn = 3∑yi= 1715
= 571,7204,8
Для определения типа функции динамики объема производства необходимо построить график рисунок 1.
Рис.1.Динамика объема реализации с 2010 по 2012 год
По графику можно наметить следующиефункции:
№1: уравнение прямой: ;
№ 2: уравнение параболы второго порядка: Для выбора наиболее адекватной из них следует осуществить сравнительный анализ тренда исходных данных способом перебора решений по намеченным математическим функциям. Для определения параметров математических функций при анализе тренда используется упрощенный способ отчета времени от условного начала при условии ∑ ti= 0.Для нечетных рядов условное обозначение для tследующее:
№ года123Условноеобозначение10+1Составим расчетную матрицу для определения математических функций при ∑ti 0, ∑ ti2, ∑ ti4.Таблица 3Матрица определений параметров математических функции
№ годаУсловные обозначения tyitiyiti2yititi2ti411112302302302000520003+111965965965*∑ ti= 0∑ ti=2∑ ti=2∑yi = 1715∑tiyi = 735∑ti2yi = 1195
020040060080010001200123№1№2По итоговым данным матрицы получаем для уравнения прямолинейной функции: ,; (1). (2)Синтезируем математическую модель тренда по прямолинейной функции: .Для каждого года определяем теоретические уровни тренда.
Для уравнения параболы второго порядка:,
тонн (3) (4) (5)Синтезируем математическую модель тренда параболы второго порядка: Для каждого года определяем теоретические уровни тренда.
Для решения вопроса, какая из этих моделей является наиболее адекватной объективной сравниваются их стандартизированные ошибки аппроксимации.Таблица 4Матрица расчетных значений
№ годаtiyiТеоретические уровни помоделямОтклонение теоретических уровней yt
от фактических yi№1№2№1№2yti yi(yti yi)2yti yi(yti yi)211230204,223025,8665,640020520571,752051,72672,890031965939,296525,8665,6400*∑ ti= 0∑yi= 171517151715*4004,17*0
Для уравнения прямой №1 стандартная ошибка аппроксимации равна: .Для уравнения параболы второго порядка №2 стандартная ошибка аппроксимации равна:
Из сравнение полученных значений σуtследует, что по критерию минимального предпочтения следует отдать трендовой модели № 2 , синтезированной на основе уравнения параболы второго порядка .Используя данную трендовую модель, рассчитаем объем реализации производства в натуральных единицах на будущий период, при t 2 следующий за 1.
Далее, следует спрогнозировать сумму выручки реализации исходя из прогнозного объема реализации в натуральных единицах на следующий период. Для этого необходимо определить зависимость выручки от объема реализации в натуральных величинах.
При статистическом изучении связи показателей коммерческой деятельности нередко постулируется прямолинейная форма зависимости между признаками х и у:ух ао а1х (6)Для определения параметров уравнения 6 на основе требований методом наименьших квадратов, составляется система нормальных уравнений[2]:na0+ a1Σx = Σy a0Σx + a1Σx2= Σxy , (7)
3a0+ 1715 a1= 184709, 1715a0+ 1254525a1= 129633660 ,Для решения системы применяется способ определителей:
�0=∑௬∑௫2−∑௫௬∑௫�∑௫2−∑௫∑௫=184709×1254525−129633660×17153×1254525−17152=11431,1тыс. руб.;
тыс. руб.
Синтезируем математическую модель линейной связи между объемом реализации производства в натуральных единицах и выручкой:ух= 11431,1 + 87,71х. Дляполучения выводов о практической значимости синтезированной в анализе модели показаниям тесноты связи дается качественная оценка. Это осуществляется на основе шкалы Чеддока.Таблица 5Шкала Чеддока
Показаниятесноты связиДо |±0.1||±0.1| |±0.3||±0.3| |±0.5||±0.5| |±0.7||±0.7| |±0.9||±0.9| |±0.99|Характеристикасилы связипрактическиотсутствуетслабаяумереннаязаметнаявысокаявесьма
высокая
Определим линейный коэффициент корреляционной связи:
(8)По шкале Чеддока зависимость результативного признака у от факторного х является весьма высокой, связь по знаку прямая. Это означает, что более половины общей вариации результативного признака у объясняется влиянием изучаемого фактора х. Последнее позволяет считать оправданным применение метода функционального анализа для изучения корреляционной связи, а синтезированная при этом математическая модель признается пригодной для практического использования[4].
Рассчитаем на основе полученной модели взаимосвязи размер прогнозной выручки на основе прогнозного объема реализации производства продукции:
ух 11431,1 87,71 ×1565 = 148697 тыс. руб.
Исходя из выручки и объема реализации производства в натуральных единицах рассчитаем прогнозную цену реализации:
Сравним полученные данные с исходными данными.Таблица 6Сравнение полученных данных с исходными
Наименованиепоказателя2010 год2011 год2012 год2013 год12345Объем реализации продукции, т2305209651565Сумма выручки от реализации продукции, тыс. руб.322985589196520148697Цена реализации 1 т продукции, тыс. руб.140,4107,510095Полная себестоимость реализованной продукции, тыс. руб.321475586394519
Прогнозируемая цена за единицу продукции снижается в динамике. Поэтому необходимо проверить, не является ли данная цена ниже ее критического уровня такой уровень, при котором цена будет равна себестоимости единицы продукции, а прибыль и рентабельность нулю. Установление цены ниже этого уровня невыгодно для предприятия, так как в результате будет получен убыток.Таким образом, наши исследования действительно показали, что увеличениесуммы прибыли для предприятия влечет за собой снижениесебестоимости продукции. Поэтому предприятие будет иметь экономический успех на рынке. Инвестиции вложенные в такие предприятия принесут прибыль, что влечет за собой развитие рыночных отношений, основанных на частной собственности.
Ссылки на источники1.Ионин В.Г. Статистика. // Учебное пособие. 2е изд., перераб. и доп. М.: ИнфраМ, 2006. –384 с.2.Коломыц О.Н. Использование методов экономикоматематического моделирования при формировании и использовании оборотных активов //Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. №8. –2013. –С.1061113.Коломыц О.Н., Попов М.Н. Оценка инвестиционной привлекательности муниципального образования по критерию лучшего результата // Экономика и предпринимательство. №9. –2013. –С.1721754.Попов М.Н., Попова Л.Н. Выбор наиболее рациональных способов расчета с покупателями //Научнометодический электронный журнал "Концепт".
2013.
№ 11 ноябрь. –ART 13214.–URL: http://ekoncept.ru/2013/13214.htm. –Гос. рег. Эл No ФС 7749965. –ISSN 2304120X.
[Дата обращения 02.02.2013].
Kostyuchenko Olga,lecturer of the chair of social disciplines and Humanities, a branch of Federal state educational institution of the Kuban state University, Tikhoretsksun8888s@mail.ruAnalysis of the mathematical model of the volume of production products and revenue forecastingAbstarct.The article presents an analysis of the trend dynamics of the time series of the volume of realization of production of the products. The resulting forecast needed dim in the management of production activities for successful competition on the market.Key words:development of market relations, the dynamics of a timeseries scale Cheddok, mathematical model of the trend.
