Разработка демо-генетической модели и программная реализация задачи динамики вредителей с учетом эффекта последействия
И.
А. ЛяпуноваБиблиографическое описание статьи для цитирования:
Ляпунова
И.
А.,
Жабоев
Ж.
Ж. Разработка демо-генетической модели и программная реализация задачи динамики вредителей с учетом эффекта последействия // Научно-методический электронный журнал «Концепт». –
2014. – Т. 20. – С.
1096–1100. – URL:
http://e-koncept.ru/2014/54483.htm.
Аннотация. В последнее время в прикладной математике широко распространилось использование уравнений с последействием. В данной работе приводятся разработка математической модели роста трансгенных культур с учетом эффекта последействия; разработка алгоритма и программная реализация модели.
Ключевые слова:
демо-генетическая модель, трансгенная культура, последействие, программная реализация
Текст статьи
Ляпунова Ирина Артуровна,старший преподавателькафедры высшей математики, Южный федеральный университет, г. Таганрогialyapunova@sfedu.ru
Жабоев Жамал Жабраилович,старший преподаватель кафедры дифференциальных уравнений, КабардиноБалкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова, г. Нальчикdiff@kbsu.ru
Разработка демогенетической модели и программная реализация задачи динамики вредителей с учетом эффекта последействия
Аннотация.В последнее время в прикладной математике широко распространилось использование уравнений с последействием. В данной работе приводится разработка математической модели роста трансгенных культур с учетом эффекта последействия; разработка алгоритма и программная реализация модели.Ключевые слова:демогенетическая модель, трансгенная культура, последействие, программная реализация.
Развитие информационных технологий и совершенствование моделей и методологии в области математического моделирования динамики генномодифицированных культур провоцирует создание всё более эффективных программных комплексов для прогнозирования урожая. Несмотря на значительное число публикаций, многие эффекты, существенные для повышения точности и надежности долгосрочных прогнозов, связанные с пространственной неоднородностью среды, с учетом межвидовой конкуренции, таксиса, эффектов запаздывания и адаптации к растительному ресурсу, оставались неучтенными в математических моделях.Рассмотрим распределение агрокультуры на некотором одномерном физическом пространстве Ω, R=R(x,t)–прирост биомассы; q–коэффициент внутривидовой конкуренции, определяемый в зависимости от средней высоты и среднего диаметра ствола [1]. Уравнение динамики плотности биомассы:.
(1)Известно, что все одновидовые модели с непрерывным временем, в которых рассматривается динамика только общей численности популяции и не учитывается фактор запаздывания, не дают ничего, кроме монотонного перехода к равновесному состоянию [2]. Однако, для большинства однолетних растений имеет место эффект запаздывания. Уравнение роста биомассы популяции (1) для любого момента времени t [0;T] может быть записано в виде
,
(2)
средняя продолжительность жизни поколения популяции.Согласно(2), скорость роста популяции зависит не только от общей численности в любой момент времени t, определяемой емкостью среды обитания , но и от количества взрослых особей в момент времени [2].Учитывая сезонные изменения среды , скорость иммиграции f(t)и выражая эффект запаздывания интегралом,
(3)из (2) получим следующее уравнение:
(4)Интеграл (4) при t=con�st0сводится к известным в математической биологии уравнениям рождаемости. Скоростью иммиграции f(t)в случае агрокультурможно пренебречь, т.к. размеры поля считаются постоянными.Функция , в (2) (4) является диссипативной памятьюи выражается следующейформулой:,
(5)где
параметры явления последействия.С учетомпреобразованийРимана –Лиувилля и (5), получаемуравнение для описания динамики популяции:
(6)Здесь
оператор дробного интегродифференцирования порядка в смысле РиманаЛиувилля.Множитель уравнения (6) выражает нелокальное смещение.Для любого α<0имеемDα0t1=tα/Г(1α).Применим модифицированный метод Эйлера второго порядка точности. На каждом шаге метода мы имеем дело с функцией, производные которой до nго порядка включительно непрерывны на интервале (ti,ti+1). Зависимость прироста биомассы агрокультурыот времени с учетом фактора запаздывания исследовалась для значений 0≤≤0,6, τ0,5 [23]. По рисунку 1видно, что при заданном времени tповедение решения не меняется.Начальный объем биомассы составлял R0(,)1500 ц. Период исследования 2 года є[0;2].а)б)Рисунок 1
Изменение биомассы при а) h=0,2 иб) h=0,15
Программная компонета предназначена для расчета концентраций растительного ресурса в зависимости от длительности эффекта запаздывания, и включает в себя следующие блоки:
управляющий блок;
блок расчета концентрации растительного ресурса;
блок визуализации.В программной компоненте «Запаздывание» задаются следующие переменные: шаг сетки h, период ltи время t;формируется массив концентрации растительного ресурса; выполняется работа функции концентрации растительного ресурса[4].На рисунке 2 представлена схема программной реализации задачи моделирования динамики плотности агрокультур с учетом эффекта запаздывания. Здесь вычисление начальных значений функции производится модифицированным методом Эйлера второго порядка точности. Значение производной в середине получается применением явного метода Эйлера на половинном шаге по х.
Рисунок 2 Схема программной реализации моделирования динамики плотности агрокультур с учетом эффекта запаздывания
Рассмотрим подробнее каждый этап алгоритма, описанный на рисунке 2.1.Начало работы –запуск программной реализации и выделение памяти под массивы и чтение входных данных.2.Формирование начального распределения задание начальных значений:1)общее время: T = 2;2)отклонение по времени: tau = 0.5;3)шаг аппроксимации: h= 0.2;4)начальные значения: R= 1500, rR= 25.3, KR= 50000; qt= 0.2.3.Задание условия для выполнения расчетов пока время меньше, чем время выхода из цикла, выполняется расчет функций.4.Расчет искомых значений функции. Опишем процедуру нахождения решения в точке модифицированным методом Эйлера второго порядка точности, когда имеются решения в точке Rk=Rk(tk). В этом методе используется значение решения в точке tkи предварительное решение в точке tk=tk+h. Соответственно от этих точек надо брать запаздываниеτ, то есть необходимо найти значение решения в точках tkτ, tk+h/2τ. Наращивание времени tk.5.Вывод результатов –чтение значения функции и визуализация результатов.6.Конец работы программы.Рассмотрим подробнее работу компоненты «Запаздывание» программного комплекса «CornBase». В верхней панели программной реализации встроены окна «Меню» и «Справка», где можно сохранить результат работы. Начальные значения периода и объема биомассы растительного ресурса вводятся в таблице в основном окне программы, коэффициент внутривидовой конкуренции и значение шага для численного исследования вводятся на нижней панели (рисунок 3), после чего нажимается кнопка «Вычислить» нанижней панели окна программной реализации.Результаты численного исследования отображаются в виде таблицы в основном окне программы.
Рисунок 3 Результаты численного исследования
Выбрав в «Меню» опцию «Показать график», пользователь может в отдельном окне посмотреть соответствующий график (рисунок 4).
Рисунок 4
Графический результат работы блока «Запаздывание», когда запаздывание составляет t=1год
В задачах с запаздывающим аргументом, как правило, интересуются поведением решения на достаточно больших интервалах времени, но трансгенные семена не дают потомства, а потому учет эффекта последействия имеет смысл для участков с «обычными» сортами –«убежищ».Исследование модели запаздывания агрокультуры показывает существенное отличие динамики плотности биомассы от классических моделей роста и лучше соответствует модели распределения биологических процессов.
Ссылки на источники1. Сухинов А.И., Кажарова И.А. Структура пространственного распределения кукурузы как следствие процессов динамической самоорганизации. В сборнике: Материалы Международного РоссийскоАзербайджанского симпозиума "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики" "Уравнения смешанного типаи родственные проблемы анализа и информатики". Научноисследовательский институт прикладной математики и автоматизации КабардиноБалкарского НЦ РАН. Эльбрус, 2008. С. 157158.2. Кажарова И.А. Мозаичная структура распределенного сообщества трансгенной кукурузы. Известия Южного федерального университета. Технические науки. 2009. Т. 97. № 8. С. 148155.3. Ляпунова И.А. Устойчивость модели пространственного распределения кукурузы вследствие процессов запаздывания. Известия Южного федерального университета. Технические науки. 2010. Т. 107. № 6. С. 126131.4. Ляпунова И.А. Разработка программного комплекса прогнозирования урожая кукурузы. СборникнаучныхтрудовSworld. 2012. Т. 4. № 2. С. 1112.
LyapunovаIrina ArturovnaSenior Lecturer, Department of Mathematics, Southern Federal University, Taganrogialyapunova@sfedu.ruZhaboev Zhamal ZhabrailovichSenior Lecturer, Department of differential equations , the KabardinoBalkar State University . HM Berbekov , Nalchikdiff@kbsu.ruDevelopment demo genetic model and program implementation problems of the dynamics of pests considering aftereffectAbstract.Recently in applied mathematics widespread use with aftereffect. This paper presents the development of a mathematical model of the growth of transgenic crops in view of aftereffect, algorithm development and program implementation model.Keywords:demogenetic model, the transgenic crop, aftereffect, software implementation.
Жабоев Жамал Жабраилович,старший преподаватель кафедры дифференциальных уравнений, КабардиноБалкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова, г. Нальчикdiff@kbsu.ru
Разработка демогенетической модели и программная реализация задачи динамики вредителей с учетом эффекта последействия
Аннотация.В последнее время в прикладной математике широко распространилось использование уравнений с последействием. В данной работе приводится разработка математической модели роста трансгенных культур с учетом эффекта последействия; разработка алгоритма и программная реализация модели.Ключевые слова:демогенетическая модель, трансгенная культура, последействие, программная реализация.
Развитие информационных технологий и совершенствование моделей и методологии в области математического моделирования динамики генномодифицированных культур провоцирует создание всё более эффективных программных комплексов для прогнозирования урожая. Несмотря на значительное число публикаций, многие эффекты, существенные для повышения точности и надежности долгосрочных прогнозов, связанные с пространственной неоднородностью среды, с учетом межвидовой конкуренции, таксиса, эффектов запаздывания и адаптации к растительному ресурсу, оставались неучтенными в математических моделях.Рассмотрим распределение агрокультуры на некотором одномерном физическом пространстве Ω, R=R(x,t)–прирост биомассы; q–коэффициент внутривидовой конкуренции, определяемый в зависимости от средней высоты и среднего диаметра ствола [1]. Уравнение динамики плотности биомассы:.
(1)Известно, что все одновидовые модели с непрерывным временем, в которых рассматривается динамика только общей численности популяции и не учитывается фактор запаздывания, не дают ничего, кроме монотонного перехода к равновесному состоянию [2]. Однако, для большинства однолетних растений имеет место эффект запаздывания. Уравнение роста биомассы популяции (1) для любого момента времени t [0;T] может быть записано в виде
,
(2)
средняя продолжительность жизни поколения популяции.Согласно(2), скорость роста популяции зависит не только от общей численности в любой момент времени t, определяемой емкостью среды обитания , но и от количества взрослых особей в момент времени [2].Учитывая сезонные изменения среды , скорость иммиграции f(t)и выражая эффект запаздывания интегралом,
(3)из (2) получим следующее уравнение:
(4)Интеграл (4) при t=con�st0сводится к известным в математической биологии уравнениям рождаемости. Скоростью иммиграции f(t)в случае агрокультурможно пренебречь, т.к. размеры поля считаются постоянными.Функция , в (2) (4) является диссипативной памятьюи выражается следующейформулой:,
(5)где
параметры явления последействия.С учетомпреобразованийРимана –Лиувилля и (5), получаемуравнение для описания динамики популяции:
(6)Здесь
оператор дробного интегродифференцирования порядка в смысле РиманаЛиувилля.Множитель уравнения (6) выражает нелокальное смещение.Для любого α<0имеемDα0t1=tα/Г(1α).Применим модифицированный метод Эйлера второго порядка точности. На каждом шаге метода мы имеем дело с функцией, производные которой до nго порядка включительно непрерывны на интервале (ti,ti+1). Зависимость прироста биомассы агрокультурыот времени с учетом фактора запаздывания исследовалась для значений 0≤≤0,6, τ0,5 [23]. По рисунку 1видно, что при заданном времени tповедение решения не меняется.Начальный объем биомассы составлял R0(,)1500 ц. Период исследования 2 года є[0;2].а)б)Рисунок 1
Изменение биомассы при а) h=0,2 иб) h=0,15
Программная компонета предназначена для расчета концентраций растительного ресурса в зависимости от длительности эффекта запаздывания, и включает в себя следующие блоки:
управляющий блок;
блок расчета концентрации растительного ресурса;
блок визуализации.В программной компоненте «Запаздывание» задаются следующие переменные: шаг сетки h, период ltи время t;формируется массив концентрации растительного ресурса; выполняется работа функции концентрации растительного ресурса[4].На рисунке 2 представлена схема программной реализации задачи моделирования динамики плотности агрокультур с учетом эффекта запаздывания. Здесь вычисление начальных значений функции производится модифицированным методом Эйлера второго порядка точности. Значение производной в середине получается применением явного метода Эйлера на половинном шаге по х.
Рисунок 2 Схема программной реализации моделирования динамики плотности агрокультур с учетом эффекта запаздывания
Рассмотрим подробнее каждый этап алгоритма, описанный на рисунке 2.1.Начало работы –запуск программной реализации и выделение памяти под массивы и чтение входных данных.2.Формирование начального распределения задание начальных значений:1)общее время: T = 2;2)отклонение по времени: tau = 0.5;3)шаг аппроксимации: h= 0.2;4)начальные значения: R= 1500, rR= 25.3, KR= 50000; qt= 0.2.3.Задание условия для выполнения расчетов пока время меньше, чем время выхода из цикла, выполняется расчет функций.4.Расчет искомых значений функции. Опишем процедуру нахождения решения в точке модифицированным методом Эйлера второго порядка точности, когда имеются решения в точке Rk=Rk(tk). В этом методе используется значение решения в точке tkи предварительное решение в точке tk=tk+h. Соответственно от этих точек надо брать запаздываниеτ, то есть необходимо найти значение решения в точках tkτ, tk+h/2τ. Наращивание времени tk.5.Вывод результатов –чтение значения функции и визуализация результатов.6.Конец работы программы.Рассмотрим подробнее работу компоненты «Запаздывание» программного комплекса «CornBase». В верхней панели программной реализации встроены окна «Меню» и «Справка», где можно сохранить результат работы. Начальные значения периода и объема биомассы растительного ресурса вводятся в таблице в основном окне программы, коэффициент внутривидовой конкуренции и значение шага для численного исследования вводятся на нижней панели (рисунок 3), после чего нажимается кнопка «Вычислить» нанижней панели окна программной реализации.Результаты численного исследования отображаются в виде таблицы в основном окне программы.
Рисунок 3 Результаты численного исследования
Выбрав в «Меню» опцию «Показать график», пользователь может в отдельном окне посмотреть соответствующий график (рисунок 4).
Рисунок 4
Графический результат работы блока «Запаздывание», когда запаздывание составляет t=1год
В задачах с запаздывающим аргументом, как правило, интересуются поведением решения на достаточно больших интервалах времени, но трансгенные семена не дают потомства, а потому учет эффекта последействия имеет смысл для участков с «обычными» сортами –«убежищ».Исследование модели запаздывания агрокультуры показывает существенное отличие динамики плотности биомассы от классических моделей роста и лучше соответствует модели распределения биологических процессов.
Ссылки на источники1. Сухинов А.И., Кажарова И.А. Структура пространственного распределения кукурузы как следствие процессов динамической самоорганизации. В сборнике: Материалы Международного РоссийскоАзербайджанского симпозиума "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики" "Уравнения смешанного типаи родственные проблемы анализа и информатики". Научноисследовательский институт прикладной математики и автоматизации КабардиноБалкарского НЦ РАН. Эльбрус, 2008. С. 157158.2. Кажарова И.А. Мозаичная структура распределенного сообщества трансгенной кукурузы. Известия Южного федерального университета. Технические науки. 2009. Т. 97. № 8. С. 148155.3. Ляпунова И.А. Устойчивость модели пространственного распределения кукурузы вследствие процессов запаздывания. Известия Южного федерального университета. Технические науки. 2010. Т. 107. № 6. С. 126131.4. Ляпунова И.А. Разработка программного комплекса прогнозирования урожая кукурузы. СборникнаучныхтрудовSworld. 2012. Т. 4. № 2. С. 1112.
LyapunovаIrina ArturovnaSenior Lecturer, Department of Mathematics, Southern Federal University, Taganrogialyapunova@sfedu.ruZhaboev Zhamal ZhabrailovichSenior Lecturer, Department of differential equations , the KabardinoBalkar State University . HM Berbekov , Nalchikdiff@kbsu.ruDevelopment demo genetic model and program implementation problems of the dynamics of pests considering aftereffectAbstract.Recently in applied mathematics widespread use with aftereffect. This paper presents the development of a mathematical model of the growth of transgenic crops in view of aftereffect, algorithm development and program implementation model.Keywords:demogenetic model, the transgenic crop, aftereffect, software implementation.
