Решение одного дифференциально-операторного уравнения
С.
Н. МанькоБиблиографическое описание статьи для цитирования:
Манько
С.
Н. Решение одного дифференциально-операторного уравнения // Научно-методический электронный журнал «Концепт». –
2014. – Т. 20. – С.
1546–1550. – URL:
http://e-koncept.ru/2014/54573.htm.
Аннотация. В работе описывается общее решение дифференциально-операторного уравнения. Исследование ведётся с помощью характеристик (порядка и типа) оператора, а также операторных порядков и типов векторов локально-выпуклого пространства относительно оператора А.
Ключевые слова:
порядок и тип оператора, локально выпуклое пространство, дифференциально-операторное уравнение
Текст статьи
Манько Светлана Николаевна,старший преподаватель кафедры информатики и документоведения, ФГБОУ ВПО Орловский государственный институт искусств и культуры», г. Орёлmankosvetlana88@mail.ru
Решение одного дифференциальнооператорного уравнения
Аннотация.В работе описывается общее решение дифференциальнооператорного уравнения. Исследование ведётся с помощью характеристик порядка и типа оператора , а также операторных порядков и типов векторов локально выпуклого пространства относительно оператора .Ключевые слова:порядок и тип оператора, локально выпуклое пространство,дифференциальнооператорное уравнение
Для исследования поставленной ниже задачи мы будем применять характеристики линейного оператора порядок итип, а также фиксированного вектора относительно линейного оператора, введённых В.П. Громовым [1] и получившие дальнейшее развитие в работах С.Н. Мишина [24] и монографии [5]. Приведём некоторые опорные сведения, заимствованные из монографии [5]. Пусть
—некоторая последовательность операторов вообще говоря, нелинейных и неограниченных и пусть —фиксированный вектор, на который указанные операторы действуют бесконечно много раз.
Определение 1. Число
называется операторным рпорядком вектора
относительно последовательности операторов
а число
—операторным порядком вектора относительно этой последовательности.Определение 2. Пусть вектор имеет операторный порядок относительно последовательности операторов
Тогда число
называется операторным ртипом вектора при
рпорядке
, а число
операторным типом вектора при порядке относительно последовательности операторов Из определений операторныхрпорядков и ртипов вектора вытекают следующие оценки. Пусть вектор имеет операторные р–порядки
и операторные ртипы
Тогда ,
Определение 3. Пусть –целая трансцендентная функция. Число
называется рпорядкомфункции а число –её порядком.Если , то число
называется ртипом функции
а число
её типом.Пусть
представляется рядом:
Тогдарпорядки и ртипы функции вычисляются по формулам
(1)
(2)Если —целая скалярная функция, то формулы 1 и 2 приобретают классический вид [6]
где — тейлоровские коэффициенты функции а
и её порядок и тип роста.Пусть —пространство функций, аналитических в круге
с топологией определяемой полунормами:
.Рассмотрим в пространстве дифференциальный оператор , (3)Пусть функция — решение уравнения с начальными условиями .Известно [7], что представляет собой целую функцию по , по является аналитической в круге . Кроме того, можно представить в виде ряда , где функция представляет собой базис в , причём .(4)
Замечание. Система целых функций детально изучена в работах М.К. Фаге[8], А.Ф. Леонтьева[9] и др.Теорема.Решением операторного уравнения
с начальными условиями является функция
(5)
целая при условии со следующими характеристиками роста где и
соответственнооператорные тип и порядок вектора имеющего наибольшие характеристики то есть наибольшее а при равных наибольших
наибольшее )относительно оператора Доказательство.Оператор дифференцирования и оператор умножения на функции представляется в виде ,(6)поэтому оператор , являющийся суммой их композиций, также представляется в виде 6). Из определения функций и свойства [2]следует, что уравнение с начальными условиями
меет решение Тогда по теореме .1. [10]решением операторного уравнения
с начальными условиями является функция 5).
Выясним, при каких условиях ряд 5 сходится.Оценим общий член ряда.(7)
(8)
(9)(где и
соответственно операторные тип и порядок вектора имеющего наибольшие характеристики то есть наибольшее а при равных наибольших
наибольшее )относительно оператора ).Из 4 и 7) (9 вытекает:
.где Воспользуемся полученными оценками и аналогом формулы КошиАдамара []
Отсюда следует [11] , что ряд 7 сходится при условии
а функция 5) — целаяпри условии Тогда можно вычислить порядок и тип данной функции
■
Ссылки на источники1.Громов В.П. Порядок и тип линейного оператора и разложение в ряд по собственным функциям // ДАН СССР. 198. Т. 8. № 1. С. 7–31.2.Мишин С.Н. Операторы конечного порядка в локально выпуклых пространствах и их применение. Дисс.... канд. физ.мат. наук. Орёл, 00. 11 с. 3.
Мишин С.Н. О порядке и типе оператора // ДАН РФ. 001. Т. 381. № 3. С. 309–312. 4.Мишин С.Н. Порядок и тип оператора и последовательности операторов, действующих в локально выпуклых пространствах // Учёные записки лаборатории теории функций и функционального анализа ОГУ. 00. Выпуск 3. С. 7–99.5.Громов В.П., Мишин С.Н., Панюшкин С.В.Операторы конечного порядка и дифференциальнооператорные уравнения. Орёл: ОГУ, 009. 30 с.6.Леонтьев А.Ф. Целые функции. Ряды экспонент. М., Наука, 1983.7.Елисеев И.С. Перестановочность с линейным дифференциальным оператором // Математические заметки. 1979. Т. . №5. С. 719—738.8.ФагеМ.К. Операторноаналитические функции одной независимой переменной. Труды Моск. Мат. сообщества, 1958, Т. 7, с. 7268.9.Леонтьев А.Ф. Обобщение рядов экспонент. М., Наука, 1981.10.Манько С.Н. Применение теории обобщенных операторных экспонент к решению операторных уравнений в локально выпуклых пространствах// Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Принята к публикации.11.Ле Хай Хой. Векторнозначные функции и дифференциальные операторы бесконечного порядка. РостовнаДону: РГУ, 1981. 5 с.
Manko Svetlana Solution of a differential operator equationAbstract. The paper describes the general solution of operatordifferential equation.The study conducted by the characteristics (order and type) of the operator, as well as operator orders and types of vectors of a locally convex space with respect to the operator. Keywords: order and type of operator, locally convex space, differentialoperator equation.
Решение одного дифференциальнооператорного уравнения
Аннотация.В работе описывается общее решение дифференциальнооператорного уравнения. Исследование ведётся с помощью характеристик порядка и типа оператора , а также операторных порядков и типов векторов локально выпуклого пространства относительно оператора .Ключевые слова:порядок и тип оператора, локально выпуклое пространство,дифференциальнооператорное уравнение
Для исследования поставленной ниже задачи мы будем применять характеристики линейного оператора порядок итип, а также фиксированного вектора относительно линейного оператора, введённых В.П. Громовым [1] и получившие дальнейшее развитие в работах С.Н. Мишина [24] и монографии [5]. Приведём некоторые опорные сведения, заимствованные из монографии [5]. Пусть
—некоторая последовательность операторов вообще говоря, нелинейных и неограниченных и пусть —фиксированный вектор, на который указанные операторы действуют бесконечно много раз.
Определение 1. Число
называется операторным рпорядком вектора
относительно последовательности операторов
а число
—операторным порядком вектора относительно этой последовательности.Определение 2. Пусть вектор имеет операторный порядок относительно последовательности операторов
Тогда число
называется операторным ртипом вектора при
рпорядке
, а число
операторным типом вектора при порядке относительно последовательности операторов Из определений операторныхрпорядков и ртипов вектора вытекают следующие оценки. Пусть вектор имеет операторные р–порядки
и операторные ртипы
Тогда ,
Определение 3. Пусть –целая трансцендентная функция. Число
называется рпорядкомфункции а число –её порядком.Если , то число
называется ртипом функции
а число
её типом.Пусть
представляется рядом:
Тогдарпорядки и ртипы функции вычисляются по формулам
(1)
(2)Если —целая скалярная функция, то формулы 1 и 2 приобретают классический вид [6]
где — тейлоровские коэффициенты функции а
и её порядок и тип роста.Пусть —пространство функций, аналитических в круге
с топологией определяемой полунормами:
.Рассмотрим в пространстве дифференциальный оператор , (3)Пусть функция — решение уравнения с начальными условиями .Известно [7], что представляет собой целую функцию по , по является аналитической в круге . Кроме того, можно представить в виде ряда , где функция представляет собой базис в , причём .(4)
Замечание. Система целых функций детально изучена в работах М.К. Фаге[8], А.Ф. Леонтьева[9] и др.Теорема.Решением операторного уравнения
с начальными условиями является функция
(5)
целая при условии со следующими характеристиками роста где и
соответственнооператорные тип и порядок вектора имеющего наибольшие характеристики то есть наибольшее а при равных наибольших
наибольшее )относительно оператора Доказательство.Оператор дифференцирования и оператор умножения на функции представляется в виде ,(6)поэтому оператор , являющийся суммой их композиций, также представляется в виде 6). Из определения функций и свойства [2]следует, что уравнение с начальными условиями
меет решение Тогда по теореме .1. [10]решением операторного уравнения
с начальными условиями является функция 5).
Выясним, при каких условиях ряд 5 сходится.Оценим общий член ряда.(7)
(8)
(9)(где и
соответственно операторные тип и порядок вектора имеющего наибольшие характеристики то есть наибольшее а при равных наибольших
наибольшее )относительно оператора ).Из 4 и 7) (9 вытекает:
.где Воспользуемся полученными оценками и аналогом формулы КошиАдамара []
Отсюда следует [11] , что ряд 7 сходится при условии
а функция 5) — целаяпри условии Тогда можно вычислить порядок и тип данной функции
■
Ссылки на источники1.Громов В.П. Порядок и тип линейного оператора и разложение в ряд по собственным функциям // ДАН СССР. 198. Т. 8. № 1. С. 7–31.2.Мишин С.Н. Операторы конечного порядка в локально выпуклых пространствах и их применение. Дисс.... канд. физ.мат. наук. Орёл, 00. 11 с. 3.
Мишин С.Н. О порядке и типе оператора // ДАН РФ. 001. Т. 381. № 3. С. 309–312. 4.Мишин С.Н. Порядок и тип оператора и последовательности операторов, действующих в локально выпуклых пространствах // Учёные записки лаборатории теории функций и функционального анализа ОГУ. 00. Выпуск 3. С. 7–99.5.Громов В.П., Мишин С.Н., Панюшкин С.В.Операторы конечного порядка и дифференциальнооператорные уравнения. Орёл: ОГУ, 009. 30 с.6.Леонтьев А.Ф. Целые функции. Ряды экспонент. М., Наука, 1983.7.Елисеев И.С. Перестановочность с линейным дифференциальным оператором // Математические заметки. 1979. Т. . №5. С. 719—738.8.ФагеМ.К. Операторноаналитические функции одной независимой переменной. Труды Моск. Мат. сообщества, 1958, Т. 7, с. 7268.9.Леонтьев А.Ф. Обобщение рядов экспонент. М., Наука, 1981.10.Манько С.Н. Применение теории обобщенных операторных экспонент к решению операторных уравнений в локально выпуклых пространствах// Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Принята к публикации.11.Ле Хай Хой. Векторнозначные функции и дифференциальные операторы бесконечного порядка. РостовнаДону: РГУ, 1981. 5 с.
Manko Svetlana Solution of a differential operator equationAbstract. The paper describes the general solution of operatordifferential equation.The study conducted by the characteristics (order and type) of the operator, as well as operator orders and types of vectors of a locally convex space with respect to the operator. Keywords: order and type of operator, locally convex space, differentialoperator equation.
