Информационно-математическая модель плотности распределения рейтинга научно-педагогических работников регионального вуза
ART 85226
Авторы:
Е.
Е. Хэкало, С.
П. Хэкало
Е.
Е. Хэкало, С.
П. Хэкало Библиографическое описание статьи для цитирования:
Хэкало
Е.
Е.,
Хэкало
С.
П. Информационно-математическая модель плотности распределения рейтинга научно-педагогических работников регионального вуза // Научно-методический электронный журнал «Концепт». –
2015. – Т. 13. – С.
1126–1130. – URL:
http://e-koncept.ru/2015/85226.htm.
Аннотация. В работе получены экспериментальная и теоретическая кривые плотности вероятности случайной величины рейтинга научно-педагогических работников регионального вуза. На основе модели осреднения и сглаживания сигналов подтверждена гипотеза о логнормальном распределении этой случайной величины.
Ключевые слова:
осреднение и сглаживание сигнала, плотность распределения случайной величины рейтинга, логнормальное распределение
Текст статьи
Хэкало Евгения Евгеньевна, Старший преподаватель кафедры информатики ГАОУ ВПО Московский государственный областной социальногуманитарный институт», г.Коломнаee_khekalo@mail.ru
Хэкало Сергей Павлович, Профессор кафедры математики и МПМД, доктор физикоматематических наук, доцентГАОУ ВПО Московский государственный областной социальногуманитарный институт», г.Коломнаkhekalo@mail.ru
Информационноматематическая модель плотности распределения рейтинганаучнопедагогических работников регионального вуза
Аннотация.В работе получены экспериментальная и теоретическая кривые плотности вероятности случайной величины рейтинганаучнопедагогических работников регионального вуза. На основе модели осреднения и сглаживания сигналов подтверждена гипотеза о логнормальном распределении этой случайной величины.Ключевые слова:осреднение и сглаживание сигнала, плотность распределенияслучайной величины рейтинга, логнормальноераспределение.
Обработка сигналов: выборка и квантование. Любой сигнал –это физическая величина, содержащая в себе некоторую информацию(см, например, [1]и цитированную там литературу. Например, такие сигналы как звук, температура или сила света можно пронаблюдать и преобразовать в аналоговые модели. Существуют сигналы,которые почти невозможно распознать или обработать механическим образом. Например, это сигналы НЛО или сигналы эмоций. В настоящее время обработка сигналов ведется естественным методом фильтрации: нужное оставляется, ненужное не учитывается.Если свойства объекта, распространяющего сигнал,известны априори, то обработка соответствующего сигнала гораздо проще, чем от объекта с неизвестными свойствами.
Иногда, впроцессе обработки сигналов важно иметь в виду, что работапроизводится не с числами, а с величинами. При этом надо учитывать размерность сигнала: одномерный сигнал, многомерный сигнал.
Сигналы можно условно подразделить на случайные и детерминированные. Например, звуковые волны поддаются математическому описанию с помощью преобразования синусФурье или простой синусоиды детерминированные сигналы, а рейтинг научнопедагогических работников вуза, например,–сигнал случайный, носящий вероятностный характер.
Сигнал, выражающий непрерывную величину, называют аналоговым сигналом, а кусочнонепрерывное представление сигнала – его дискретизацией. Дискретизация может производиться по времени и по значению величины сигнала. В первом случае дискретизация называется выборкой, а во втором квантованием. В настоящее время сигнал, подвергнутый выборке и квантованию, как правило, оцифровывается.Такое преобразование сигнала называется аналогоцифровым[2].
Аналогоцифровое преобразование обычнозадаетсяв двоичной системе счисления. Это связано с высокоскоростными вычислениями на ЭВМ. На основе изменения управляющих параметров аналоговой модели, реализованной на ЭВМ, очень нетрудно оптимизировать размах выборки и число уровней квантования. Это увеличиваетадекватность построенной модели.
Информационноматематическая модель сглаживания сигналов. При изучении динамики сигнала измененияво времени принято его сглаживать: удалятьнезначительные колебательные составляющие и шумовые эффекты. На рис.1показано сглаживание сигнала посредством применения ЭВМ.
Рис. 1.Сглаживание сигнала.
Опишем информационноматематическую модель сглаживания этого сигнала.Для поточечного сглаживания сигнала рассмотрим некоторую область (до и после интересующей точки)и вычислим среднее значение скользящее среднее всех вошедших в нее составляющих. Итак, пусть дано nточек измерений аналогоцифрового сигнала см.рис. 1)
F={fi| i=1,...,n}.Для нахождения скользящего среднего параметр kдалее в тексте выступит в качестве управляющего на "меру" скольжения в окрестности рассматриваемой iой точки, определимсреднее арифметическое от kпредыдущих и последующих,точек включая iую точку.В результате имеем сигнал G={gi| i=1,...,n}.Сигнал Gявляется сглаживанием исходного сигнала F.Часто при проведении процедуры сглаживания каждойiой точке исходного сигнала Fсопоставляют весовой вектор, отвечающий за вероятностную составляющую сигнала:
Здесь сумма всех весов равна единице в силу аксиомы на вероятность, а сами веса придаются точкам на основе плотностираспределения случайной величины сигналаее, конечно, необходимо определить, априори она известна редко. Обычно, в качестве весовой функции используют классические функциираспределения.После сопоставления вероятностного весового вектора получается сглаженный сигнал, носящий также вероятностный характер
Очевидно, что вероятностный сглаженный сигнал получается через скалярное произведение вероятностного вектора Wи сглаженного сигнала G
В результате у сигнала удаляются незначительные колебательные составляющие. Перейдем теперь к уменьшению шумовой составляющей[2],[3]. В общем случае бороться с шумами почти не реально. Единственный способ –устранить причинывозникновения шумов. Однако, если сигнал периодический, то наоснове синхроннойфильтрации искажение шумами эффективно преодолевается. Обозначим через F(t)
принятый непрерывный во времени сигнал,полученный при передаче исходного периодического сигнала, U(t)
его периодическуюсоставляющую, US(t)
его шумовую непериодическую составляющую. Таким образом,принятыйсигнал может быть записан в виде F(t)=U(t)+ US(t).При условии выбора одного и того же момента времени в периоде исходного сигнала, принятыйсигнал Fk(t), отвечающий kому периоду, можно записать в виде
Fk(t)=U(t)+ USk(t),где USk(t) соответствующая шумовая составляющая.Предположим, что сигнал Fk(t) принят nраз. Тогда его можно осреднить
С увеличением числа nпериодов, в течение которых производится осреднение принимаемого сигнала, периодическая составляющая U(t) остается инвариантной, а последовательность шумовых искажений USk(t) становится убывающей в силу убывания плотности вероятности соответствующей случайной величины шумового искажения. Таким образом
что и дает снятие шумового искажения.Плотность распределения рейтинга научнопедагогических работников регионального вуза. В условиях конкурентоспособной борьбы на рынке образовательных услуг региональным вузам необходимо прилагать серьезные усилия, направленные на подтверждениекачества даваемого ими высшего образованияи,в частности, на формирование бренда. Одним из внутренних механизмовсоздания такой среды является рейтингование научнопедагогических работников[4].Результатом этой процедуры являются баллы, полученные сотрудниками за учебнометодическую, организационнометодическую, научную, воспитательную и спортивномассовую формы работы[5]. По итогам рейтингования,проводимого раз в полгода, была получена следующая статистическая таблица1 абсолютных частот интервального рядараспределения баллов.
Таблица1Абсолютные частотыинтервального ряда распределения балловГод\Балл065651301301951952602603253253903904554555205205855856502010(1)18612740287010002010(2)1281415030101000002011(1)152144491913110102011(2)100127763113850002012(1)99145793411810002012(2)651219139131482102013(1)62125894428943002013(2)47947946312097232014(1)507570704019154302014(2)55897742331072002015(1)538278573094100
Таблица 1 легко преобразуется в таблицу 2, гдеприведены данные об эмпирическойплотностивероятности случайной величинырейтинга научнопедагогических работников регионального порядка 300400 сотрудников из числа НПР вуза.Таблица2Эмпирическая плотностьвероятности случайной величины рейтингаГод\Балл0651301952603253904555205856507152010(1)00,00730,00500,00150,00110,000203,9E500002010(2)00,00530,00580,00200,00120,00040,0004000002011(1)00,00610,00580,00190,00070,00054,0E54,0E504,0E5002011(2)00,00420,00540,00320,00130,00050,00030,000200002012(1)00,00400,00590,00320,00130,00040,00034,0E500002012(2)00,00280,00520,00390,00160,00050,00060,00038,6E54,3E5002013(1)00,00260,00520,00370,00180,00110,00030,00010,00010002013(2)00,00210,00420,00350,00200,00140,00090,00040,00039,1E50,000102014(1)00,00220,00330,00310,00310,00170,00080,00060,00010,0001002014(2)00,00260,00430,00370,00200,00160,00040,00039,7E50002015(1)00,00250,00400,00380,00270,00140,00040,00014,9E5000Здесь и далее запись вида означает, что
Таким образом, на основе метода сглаживания, в выделенном периодеисходного сигнала полгода, строятся графики принятого искаженного сигнала плотности рейтингования в одинаковых точках(рис. 2.
Рис. 2.Полугодовые сигналы
плотности рейтингования.
Далее, на основе классического метода осреднения,получается график эмпирической функции плотности вероятности случайной величинырейтинга научнопедагогических работников регионального вуза рис. 3.
Рис. 3.Эмпирическое осреднение сигнала плотностивероятности.
Вид графика эмпирической функции подсказывает, что можно выдвинуть гипотезу о логнормальном распределении случайной величины. Как известно, теоретическая функция плотностивероятности тогда имеет вид
где и –математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение соответствующего нормального распределения. Таким образом, будем предполагать, что ~с соответствующими математическим ожиданием и дисперсией
,
.Нетрудно проверяется, что точка максимума функции имеет следующие координаты, При этом, в нашем эмпирическом случае точка максимума имеет экспериментальные координаты 125; 0,004963221. Остается решить например, с помощью СКМ Derive) систему с трансцендентным уравнением
В результате . Таким образом, соответствующая таблица значений функции имеет следующий вид.Таблица 3Значения теоретической функции плотности
065130195260325390455520585650715
00,00240,00490,00350,00200,00110,00050,00030,00019,9E55,7E53,3E5
На основе данных таблицы 3 строится график функции .
Рис. 4.График теоретический плотности вероятности.
Наложение графиков эмпирическойрис. 3и теоретическойрис. 4функций плотности распределения случайной величины представлено на рисунке 5, аошибкив теоретическом прогнозировании усредненной плотности распределения приведены в таблице 4.
Рис. 5. Наложение графиков эмпирической и теоретической плотностей вероятности.
Таблица 4Ошибки в прогнозировании плотности вероятности
065130195260325390455520585650715эмп. знач.00,00380,00490,00310,00170,00090,00040,00027,7E52,8E51,2E50
00,00240,00490,00350,00200,00110,00050,00030,00019,9E55,7E53,3E5ошибка00,00131,3E50,00040,00020,00010,00019,7E59,9E57,1E54,5E53,3E5
Таким образом, точечная средняя ошибка прогнозирования составляет а среднее квадратичное отклонение прогнозирования по всей построенной модели Это позволяет утверждать, что плотность вероятности случайной величины рейтинга научнопедагогических работников регионального вуза имеет логнормальное распределение ~ .Остается отметить, что в практике рейтингования имеют местоестественныеинфляционные процессы, оказывающие воздействие в сторону увеличения баллов. Это значит, что вероятность отклонения баллов от их среднего значения вверх естественно выше, чем вниз. За такой процесс как раз и должно отвечатьлогнормальное распределение.
Ссылки на источники1.Куликовский Л. Ф., Молотов В. В.Теоретические основы информационных процессов.–М.: Высшая школа, 1987.–248с.2.Сато, Юкио. Без паники! Цифровая обработка сигналов. / Юкио Сато: пер. с яп. Селиной Т. Г. М.: ДодэкаХХ1, 2010. –176с.–ISBN 9785941202515.3.Калинкина Д., Ватолин Д. Проблема подавления шума на изображениях и видео и различные подходы к ее решению//Компьютерная графика и мультимедиа: журнал.—2005.—№3(2).4.Ильменская Е.М., Методы и программноматематический инструментарий оценки и стимулирования научного труда, Национальные интересы: приоритеты и безопасность, Финансы и кредит, 1142, 2012, с. 3239.5.Хэкало Е.Е., Использование табличного процессора MSEXCELв обработке результатов рейтингования ППС региональных вузов,http://informatika.mgosgi.ru/files/conf2012/4/ Hekalo.pdf.
Хэкало Сергей Павлович, Профессор кафедры математики и МПМД, доктор физикоматематических наук, доцентГАОУ ВПО Московский государственный областной социальногуманитарный институт», г.Коломнаkhekalo@mail.ru
Информационноматематическая модель плотности распределения рейтинганаучнопедагогических работников регионального вуза
Аннотация.В работе получены экспериментальная и теоретическая кривые плотности вероятности случайной величины рейтинганаучнопедагогических работников регионального вуза. На основе модели осреднения и сглаживания сигналов подтверждена гипотеза о логнормальном распределении этой случайной величины.Ключевые слова:осреднение и сглаживание сигнала, плотность распределенияслучайной величины рейтинга, логнормальноераспределение.
Обработка сигналов: выборка и квантование. Любой сигнал –это физическая величина, содержащая в себе некоторую информацию(см, например, [1]и цитированную там литературу. Например, такие сигналы как звук, температура или сила света можно пронаблюдать и преобразовать в аналоговые модели. Существуют сигналы,которые почти невозможно распознать или обработать механическим образом. Например, это сигналы НЛО или сигналы эмоций. В настоящее время обработка сигналов ведется естественным методом фильтрации: нужное оставляется, ненужное не учитывается.Если свойства объекта, распространяющего сигнал,известны априори, то обработка соответствующего сигнала гораздо проще, чем от объекта с неизвестными свойствами.
Иногда, впроцессе обработки сигналов важно иметь в виду, что работапроизводится не с числами, а с величинами. При этом надо учитывать размерность сигнала: одномерный сигнал, многомерный сигнал.
Сигналы можно условно подразделить на случайные и детерминированные. Например, звуковые волны поддаются математическому описанию с помощью преобразования синусФурье или простой синусоиды детерминированные сигналы, а рейтинг научнопедагогических работников вуза, например,–сигнал случайный, носящий вероятностный характер.
Сигнал, выражающий непрерывную величину, называют аналоговым сигналом, а кусочнонепрерывное представление сигнала – его дискретизацией. Дискретизация может производиться по времени и по значению величины сигнала. В первом случае дискретизация называется выборкой, а во втором квантованием. В настоящее время сигнал, подвергнутый выборке и квантованию, как правило, оцифровывается.Такое преобразование сигнала называется аналогоцифровым[2].
Аналогоцифровое преобразование обычнозадаетсяв двоичной системе счисления. Это связано с высокоскоростными вычислениями на ЭВМ. На основе изменения управляющих параметров аналоговой модели, реализованной на ЭВМ, очень нетрудно оптимизировать размах выборки и число уровней квантования. Это увеличиваетадекватность построенной модели.
Информационноматематическая модель сглаживания сигналов. При изучении динамики сигнала измененияво времени принято его сглаживать: удалятьнезначительные колебательные составляющие и шумовые эффекты. На рис.1показано сглаживание сигнала посредством применения ЭВМ.
Рис. 1.Сглаживание сигнала.
Опишем информационноматематическую модель сглаживания этого сигнала.Для поточечного сглаживания сигнала рассмотрим некоторую область (до и после интересующей точки)и вычислим среднее значение скользящее среднее всех вошедших в нее составляющих. Итак, пусть дано nточек измерений аналогоцифрового сигнала см.рис. 1)
F={fi| i=1,...,n}.Для нахождения скользящего среднего параметр kдалее в тексте выступит в качестве управляющего на "меру" скольжения в окрестности рассматриваемой iой точки, определимсреднее арифметическое от kпредыдущих и последующих,точек включая iую точку.В результате имеем сигнал G={gi| i=1,...,n}.Сигнал Gявляется сглаживанием исходного сигнала F.Часто при проведении процедуры сглаживания каждойiой точке исходного сигнала Fсопоставляют весовой вектор, отвечающий за вероятностную составляющую сигнала:
Здесь сумма всех весов равна единице в силу аксиомы на вероятность, а сами веса придаются точкам на основе плотностираспределения случайной величины сигналаее, конечно, необходимо определить, априори она известна редко. Обычно, в качестве весовой функции используют классические функциираспределения.После сопоставления вероятностного весового вектора получается сглаженный сигнал, носящий также вероятностный характер
Очевидно, что вероятностный сглаженный сигнал получается через скалярное произведение вероятностного вектора Wи сглаженного сигнала G
В результате у сигнала удаляются незначительные колебательные составляющие. Перейдем теперь к уменьшению шумовой составляющей[2],[3]. В общем случае бороться с шумами почти не реально. Единственный способ –устранить причинывозникновения шумов. Однако, если сигнал периодический, то наоснове синхроннойфильтрации искажение шумами эффективно преодолевается. Обозначим через F(t)
принятый непрерывный во времени сигнал,полученный при передаче исходного периодического сигнала, U(t)
его периодическуюсоставляющую, US(t)
его шумовую непериодическую составляющую. Таким образом,принятыйсигнал может быть записан в виде F(t)=U(t)+ US(t).При условии выбора одного и того же момента времени в периоде исходного сигнала, принятыйсигнал Fk(t), отвечающий kому периоду, можно записать в виде
Fk(t)=U(t)+ USk(t),где USk(t) соответствующая шумовая составляющая.Предположим, что сигнал Fk(t) принят nраз. Тогда его можно осреднить
С увеличением числа nпериодов, в течение которых производится осреднение принимаемого сигнала, периодическая составляющая U(t) остается инвариантной, а последовательность шумовых искажений USk(t) становится убывающей в силу убывания плотности вероятности соответствующей случайной величины шумового искажения. Таким образом
что и дает снятие шумового искажения.Плотность распределения рейтинга научнопедагогических работников регионального вуза. В условиях конкурентоспособной борьбы на рынке образовательных услуг региональным вузам необходимо прилагать серьезные усилия, направленные на подтверждениекачества даваемого ими высшего образованияи,в частности, на формирование бренда. Одним из внутренних механизмовсоздания такой среды является рейтингование научнопедагогических работников[4].Результатом этой процедуры являются баллы, полученные сотрудниками за учебнометодическую, организационнометодическую, научную, воспитательную и спортивномассовую формы работы[5]. По итогам рейтингования,проводимого раз в полгода, была получена следующая статистическая таблица1 абсолютных частот интервального рядараспределения баллов.
Таблица1Абсолютные частотыинтервального ряда распределения балловГод\Балл065651301301951952602603253253903904554555205205855856502010(1)18612740287010002010(2)1281415030101000002011(1)152144491913110102011(2)100127763113850002012(1)99145793411810002012(2)651219139131482102013(1)62125894428943002013(2)47947946312097232014(1)507570704019154302014(2)55897742331072002015(1)538278573094100
Таблица 1 легко преобразуется в таблицу 2, гдеприведены данные об эмпирическойплотностивероятности случайной величинырейтинга научнопедагогических работников регионального порядка 300400 сотрудников из числа НПР вуза.Таблица2Эмпирическая плотностьвероятности случайной величины рейтингаГод\Балл0651301952603253904555205856507152010(1)00,00730,00500,00150,00110,000203,9E500002010(2)00,00530,00580,00200,00120,00040,0004000002011(1)00,00610,00580,00190,00070,00054,0E54,0E504,0E5002011(2)00,00420,00540,00320,00130,00050,00030,000200002012(1)00,00400,00590,00320,00130,00040,00034,0E500002012(2)00,00280,00520,00390,00160,00050,00060,00038,6E54,3E5002013(1)00,00260,00520,00370,00180,00110,00030,00010,00010002013(2)00,00210,00420,00350,00200,00140,00090,00040,00039,1E50,000102014(1)00,00220,00330,00310,00310,00170,00080,00060,00010,0001002014(2)00,00260,00430,00370,00200,00160,00040,00039,7E50002015(1)00,00250,00400,00380,00270,00140,00040,00014,9E5000Здесь и далее запись вида означает, что
Таким образом, на основе метода сглаживания, в выделенном периодеисходного сигнала полгода, строятся графики принятого искаженного сигнала плотности рейтингования в одинаковых точках(рис. 2.
Рис. 2.Полугодовые сигналы
плотности рейтингования.
Далее, на основе классического метода осреднения,получается график эмпирической функции плотности вероятности случайной величинырейтинга научнопедагогических работников регионального вуза рис. 3.
Рис. 3.Эмпирическое осреднение сигнала плотностивероятности.
Вид графика эмпирической функции подсказывает, что можно выдвинуть гипотезу о логнормальном распределении случайной величины. Как известно, теоретическая функция плотностивероятности тогда имеет вид
где и –математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение соответствующего нормального распределения. Таким образом, будем предполагать, что ~с соответствующими математическим ожиданием и дисперсией
,
.Нетрудно проверяется, что точка максимума функции имеет следующие координаты, При этом, в нашем эмпирическом случае точка максимума имеет экспериментальные координаты 125; 0,004963221. Остается решить например, с помощью СКМ Derive) систему с трансцендентным уравнением
В результате . Таким образом, соответствующая таблица значений функции имеет следующий вид.Таблица 3Значения теоретической функции плотности
065130195260325390455520585650715
00,00240,00490,00350,00200,00110,00050,00030,00019,9E55,7E53,3E5
На основе данных таблицы 3 строится график функции .
Рис. 4.График теоретический плотности вероятности.
Наложение графиков эмпирическойрис. 3и теоретическойрис. 4функций плотности распределения случайной величины представлено на рисунке 5, аошибкив теоретическом прогнозировании усредненной плотности распределения приведены в таблице 4.
Рис. 5. Наложение графиков эмпирической и теоретической плотностей вероятности.
Таблица 4Ошибки в прогнозировании плотности вероятности
065130195260325390455520585650715эмп. знач.00,00380,00490,00310,00170,00090,00040,00027,7E52,8E51,2E50
00,00240,00490,00350,00200,00110,00050,00030,00019,9E55,7E53,3E5ошибка00,00131,3E50,00040,00020,00010,00019,7E59,9E57,1E54,5E53,3E5
Таким образом, точечная средняя ошибка прогнозирования составляет а среднее квадратичное отклонение прогнозирования по всей построенной модели Это позволяет утверждать, что плотность вероятности случайной величины рейтинга научнопедагогических работников регионального вуза имеет логнормальное распределение ~ .Остается отметить, что в практике рейтингования имеют местоестественныеинфляционные процессы, оказывающие воздействие в сторону увеличения баллов. Это значит, что вероятность отклонения баллов от их среднего значения вверх естественно выше, чем вниз. За такой процесс как раз и должно отвечатьлогнормальное распределение.
Ссылки на источники1.Куликовский Л. Ф., Молотов В. В.Теоретические основы информационных процессов.–М.: Высшая школа, 1987.–248с.2.Сато, Юкио. Без паники! Цифровая обработка сигналов. / Юкио Сато: пер. с яп. Селиной Т. Г. М.: ДодэкаХХ1, 2010. –176с.–ISBN 9785941202515.3.Калинкина Д., Ватолин Д. Проблема подавления шума на изображениях и видео и различные подходы к ее решению//Компьютерная графика и мультимедиа: журнал.—2005.—№3(2).4.Ильменская Е.М., Методы и программноматематический инструментарий оценки и стимулирования научного труда, Национальные интересы: приоритеты и безопасность, Финансы и кредит, 1142, 2012, с. 3239.5.Хэкало Е.Е., Использование табличного процессора MSEXCELв обработке результатов рейтингования ППС региональных вузов,http://informatika.mgosgi.ru/files/conf2012/4/ Hekalo.pdf.
