Исследование колебаний несбалансированного ротора на упругих опорах
ART 85542
Авторы:
В.
Ю. Зайцев, А.
Н. Бородин
В.
Ю. Зайцев, А.
Н. Бородин Библиографическое описание статьи для цитирования:
Зайцев
В.
Ю.,
Бородин
А.
Н. Исследование колебаний несбалансированного ротора на упругих опорах // Научно-методический электронный журнал «Концепт». –
2015. – Т. 13. – С.
2706–2710. – URL:
http://e-koncept.ru/2015/85542.htm.
Аннотация. Рассматриваются колебания несбалансированного ротора на упругих опорах. Модель динамики колебательной системы построена на системе двух линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка. В результате исследования колебаний установлены три критические угловые скорости, которые необходимо учитывать при обеспечении долговечности изделий, имеющих в своем составе колебательные системы.
Ключевые слова:
вынужденные колебания, несбалансированный ротор, угловые скорости, степень свободы, кинетическая энергия, потенциальная энергия
Текст статьи
Зайцев Владимир Юрьевич,кандидат технических наук, доцент кафедры «Технология машиностроения» цикла «Теоретическая и прикладная механика», ФГБОУ ВПО "Пензенский государственный технологический университет", ПензГТУ, г.Пензаvluzai@gmail.com
Бородин АнтонНиколаевич,Студент 4го курса, факультет биомедицинских и пищевых технологий и систем, ФГБОУ ВПО "Пензенский государственный технологический университет", ПензГТУ, г. Пензаtosha.borodin.94@mail.ru
Исследование колебаний несбалансированного ротора на упругих опорах
Аннотация.Рассматриваются колебания несбалансированного ротора на упругих опорах. Модель динамики колебательной системы построена на системе двух линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка. В результате исследования колебаний установленотри критические угловые скорости, которыенеобходимо учитывать при обеспечении долговечности изделий, имеющих в своем составе колебательные системы.Ключевые слова.Вынужденные колебания, несбалансированный ротор, угловые скорости, степень свободы, кинетическая энергия, потенциальная энергия.
Вал с вращающемся цилиндром установлен наосновании, поддерживаемом шестью стойками рисунок 1; S
центр тяжести ротора, D
точка пересечения оси вала с плоскостью ротора рисунок 1), Lточка пересечения с этой плоскостью прямой, соединяющей центры подшипников вала. Масса основания и установленных на ней невращающихся частей двигателя равна Mмассой стоек пренебрегаем, жесткость стоек при изгибе равна С, масса ротора m, жесткость вала при изгибе c, прогиб LDвала в его середине равен f, эксцентриситет DS, с которым ротор насажен на вал, равенe. Вследствие упругости стоек основание не остается неподвижным, а совершает малые колебания.
Рис. 1.
При вращении вала, несущего несбалансированный цилиндр, ось вала под действием центробежной силы прогибается и совершает прецессионное движение, описывая некоторую поверхность вращения. С увеличением угловой скорости прогибы оси возрастают и становятся особенно значительными с приближением угловой скорости к некоторому определенному критическому значению; соответствующее число оборотов называют критическим. [1, 2].Если срединная плоскость диска не меняет свою ориентацию при вращении вала, то критическая угловая скорость точно равна круговой частоте свободных поперечных колебаний системы.Критическую угловую скорость вращения вала можно приближенно считать равной собственной частоте поперечных колебаний вала и в тех случаях, когда плоскость диска поворачивается при прецессии вала, но при условии, что радиус инерции диска не велик ).Данная система имеет четыре степени свободы. Но решение задачи сводится к решению системы двух линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка [35]. За параметры характеризующие положение системы обобщенные координаты, примем перемещение 0Lплиты при колебаниях, координаты xи yцентры тяжести ротора и угол поворота ротора
рисунок 2).
Рис. 2.
Определение механической энергии системы.Плита совершает поступательное движение .Центр тяжести ротора перемещается в направлениях xи yи его кинетическая энергия равна .Ротор совершает вращательное движение .Т.о., кинетической энергии системывыражается .Определение потенциальной энергии системы.Потенциальная энергия изогнутых стоек .Потенциальная энергия изогнутого вала .Выразим прогиб f
через обобщенные координаты. Согласно рисунку 1 получаем .Т.о., выражение для потенциальной энергии системы:.Для составления дифференциальных уравнений воспользуемся уравнением Лагранжа 2 рода.Силами сопротивления пренебрегаем. Найдем производные от функций Ти П.Найдем производные относительно и , , .Найдем производные относительно хи ., , .Найдем производные относительно уи
, , .Найдем производные относительно и , , .Тогда уравнения Лагранжа примут вид
При составлении последнего уравнения предполагалось, что момент, вращающий ротор, равен моменту сил сопротивления. Имеем .Последнее уравнение движения принимает вид .Так как произведение efвесьма мало, то можно принять , .Получаем
Последнее уравнение не зависит от двух прочих, т.е. уявляется главной координатой. Частное решение этого уравнения, соответствующее вынужденным колебаниям частоты рбудет
Причем является критической угловой скоростью вала при неподвижном основании. Горизонтальные колебания основания не влияют на критическое число оборотов вала по отношению к вертикальным колебаниям ротора.Переходим к рассмотрению уравнений 1 и 2. Сравнивая их с общими уравнениями (*)и равенствами , получаем , , , , , .Дальнейшее преобразование * дает следующую систему уравнений. (4)Определитель этой системы отличен от нуля. Находим (5)Правая часть выражения имеет ту же форму, что и уравнение, определяющее частоты главных колебаний..Поэтому знаменатель в формулах 5 обращается в нуль при или .Отметим, что при определитель системы уравнений 4 обращается в нуль, т.е. система не имеет решений относительно и .Поэтому частное решение системы дифференциальных уравнений * в условиях резонанса следует искать в отличной от данной формы .Из 5 находим отношение амплитуд и .
Это отношение при сохраняет конечное значение, и формы вынужденных колебаний системы при резонансе совпадают с соответствующими формами свободных колебаний.Используем формулы 4, 5 получаем, , .Резонанс, при котором устанавливаются интенсивные горизонтальные колебания системы, имеет место, когда угловая скорость будет равна одной из частот свободных колебаний системы, т.е. одному из корней уравнения , обозначим, эти корни через и . Для графического определения их на рисунке 3найдены точки пересечения параболы и прямой . Абсциссы этих точек пересечения будут искомыми корнями.Моделирование проводилось для системы, обладающей следующими параметрами: M80 кг, m10 кг, С1200 Н/м, с400 Н/м, рот 0 до 20 1/c, e0.25 м.
Рис. 3.
Из рисунка находим , т.е. одна из новых критических скоростей всегда меньше критической угловойскорости при неподвижном фундаменте, а другая больше её.Таким образом, вместо одной критической угловой скорости при неподвижном фундаменте, в случае фундамента, способного вибрировать, получается три критические угловые скорости –прежняя и две новые; и , из которых одна меньше, а другая больше, чем , что необходимо учитывать при обеспечении долговечности изделий,имеющих в своем составе колебательные системы.
Ссылки на источники1.В.В. Мигулин, В.И. Медведев, Е.Р. Мустель, В.Н. Парыгин. Основы теории колебаний [Текст]. –М.: «Наука», 1978.2.Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в трех томах. Том 3 [Текст].Под ред. дра техн. наук И.А. Биргера и чл.корр. АН Латвийской ССР Я.Г. Пановко. –М.: «Машиностроение»., 1968.3.Никитин Н.Н. Курс теоретической механики [Текст]. –М.: Высш. шк., 1990.4.В.Л. Бидерман. Теория механических колебаний [Текст]. –М.: Высш. шк., 1980.5.Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики [Текст]. –М.: Высш. шк., 2001.
Бородин АнтонНиколаевич,Студент 4го курса, факультет биомедицинских и пищевых технологий и систем, ФГБОУ ВПО "Пензенский государственный технологический университет", ПензГТУ, г. Пензаtosha.borodin.94@mail.ru
Исследование колебаний несбалансированного ротора на упругих опорах
Аннотация.Рассматриваются колебания несбалансированного ротора на упругих опорах. Модель динамики колебательной системы построена на системе двух линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка. В результате исследования колебаний установленотри критические угловые скорости, которыенеобходимо учитывать при обеспечении долговечности изделий, имеющих в своем составе колебательные системы.Ключевые слова.Вынужденные колебания, несбалансированный ротор, угловые скорости, степень свободы, кинетическая энергия, потенциальная энергия.
Вал с вращающемся цилиндром установлен наосновании, поддерживаемом шестью стойками рисунок 1; S
центр тяжести ротора, D
точка пересечения оси вала с плоскостью ротора рисунок 1), Lточка пересечения с этой плоскостью прямой, соединяющей центры подшипников вала. Масса основания и установленных на ней невращающихся частей двигателя равна Mмассой стоек пренебрегаем, жесткость стоек при изгибе равна С, масса ротора m, жесткость вала при изгибе c, прогиб LDвала в его середине равен f, эксцентриситет DS, с которым ротор насажен на вал, равенe. Вследствие упругости стоек основание не остается неподвижным, а совершает малые колебания.
Рис. 1.
При вращении вала, несущего несбалансированный цилиндр, ось вала под действием центробежной силы прогибается и совершает прецессионное движение, описывая некоторую поверхность вращения. С увеличением угловой скорости прогибы оси возрастают и становятся особенно значительными с приближением угловой скорости к некоторому определенному критическому значению; соответствующее число оборотов называют критическим. [1, 2].Если срединная плоскость диска не меняет свою ориентацию при вращении вала, то критическая угловая скорость точно равна круговой частоте свободных поперечных колебаний системы.Критическую угловую скорость вращения вала можно приближенно считать равной собственной частоте поперечных колебаний вала и в тех случаях, когда плоскость диска поворачивается при прецессии вала, но при условии, что радиус инерции диска не велик ).Данная система имеет четыре степени свободы. Но решение задачи сводится к решению системы двух линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка [35]. За параметры характеризующие положение системы обобщенные координаты, примем перемещение 0Lплиты при колебаниях, координаты xи yцентры тяжести ротора и угол поворота ротора
рисунок 2).
Рис. 2.
Определение механической энергии системы.Плита совершает поступательное движение .Центр тяжести ротора перемещается в направлениях xи yи его кинетическая энергия равна .Ротор совершает вращательное движение .Т.о., кинетической энергии системывыражается .Определение потенциальной энергии системы.Потенциальная энергия изогнутых стоек .Потенциальная энергия изогнутого вала .Выразим прогиб f
через обобщенные координаты. Согласно рисунку 1 получаем .Т.о., выражение для потенциальной энергии системы:.Для составления дифференциальных уравнений воспользуемся уравнением Лагранжа 2 рода.Силами сопротивления пренебрегаем. Найдем производные от функций Ти П.Найдем производные относительно и , , .Найдем производные относительно хи ., , .Найдем производные относительно уи
, , .Найдем производные относительно и , , .Тогда уравнения Лагранжа примут вид
При составлении последнего уравнения предполагалось, что момент, вращающий ротор, равен моменту сил сопротивления. Имеем .Последнее уравнение движения принимает вид .Так как произведение efвесьма мало, то можно принять , .Получаем
Последнее уравнение не зависит от двух прочих, т.е. уявляется главной координатой. Частное решение этого уравнения, соответствующее вынужденным колебаниям частоты рбудет
Причем является критической угловой скоростью вала при неподвижном основании. Горизонтальные колебания основания не влияют на критическое число оборотов вала по отношению к вертикальным колебаниям ротора.Переходим к рассмотрению уравнений 1 и 2. Сравнивая их с общими уравнениями (*)и равенствами , получаем , , , , , .Дальнейшее преобразование * дает следующую систему уравнений. (4)Определитель этой системы отличен от нуля. Находим (5)Правая часть выражения имеет ту же форму, что и уравнение, определяющее частоты главных колебаний..Поэтому знаменатель в формулах 5 обращается в нуль при или .Отметим, что при определитель системы уравнений 4 обращается в нуль, т.е. система не имеет решений относительно и .Поэтому частное решение системы дифференциальных уравнений * в условиях резонанса следует искать в отличной от данной формы .Из 5 находим отношение амплитуд и .
Это отношение при сохраняет конечное значение, и формы вынужденных колебаний системы при резонансе совпадают с соответствующими формами свободных колебаний.Используем формулы 4, 5 получаем, , .Резонанс, при котором устанавливаются интенсивные горизонтальные колебания системы, имеет место, когда угловая скорость будет равна одной из частот свободных колебаний системы, т.е. одному из корней уравнения , обозначим, эти корни через и . Для графического определения их на рисунке 3найдены точки пересечения параболы и прямой . Абсциссы этих точек пересечения будут искомыми корнями.Моделирование проводилось для системы, обладающей следующими параметрами: M80 кг, m10 кг, С1200 Н/м, с400 Н/м, рот 0 до 20 1/c, e0.25 м.
Рис. 3.
Из рисунка находим , т.е. одна из новых критических скоростей всегда меньше критической угловойскорости при неподвижном фундаменте, а другая больше её.Таким образом, вместо одной критической угловой скорости при неподвижном фундаменте, в случае фундамента, способного вибрировать, получается три критические угловые скорости –прежняя и две новые; и , из которых одна меньше, а другая больше, чем , что необходимо учитывать при обеспечении долговечности изделий,имеющих в своем составе колебательные системы.
Ссылки на источники1.В.В. Мигулин, В.И. Медведев, Е.Р. Мустель, В.Н. Парыгин. Основы теории колебаний [Текст]. –М.: «Наука», 1978.2.Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в трех томах. Том 3 [Текст].Под ред. дра техн. наук И.А. Биргера и чл.корр. АН Латвийской ССР Я.Г. Пановко. –М.: «Машиностроение»., 1968.3.Никитин Н.Н. Курс теоретической механики [Текст]. –М.: Высш. шк., 1990.4.В.Л. Бидерман. Теория механических колебаний [Текст]. –М.: Высш. шк., 1980.5.Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики [Текст]. –М.: Высш. шк., 2001.
