Элементы многомерной геометрии в курсах графических дисциплин
ART 85662
Авторы:
С.
И. Павлов, Ю.
В. Семагина
С.
И. Павлов, Ю.
В. Семагина Библиографическое описание статьи для цитирования:
Павлов
С.
И.,
Семагина
Ю.
В. Элементы многомерной геометрии в курсах графических дисциплин // Научно-методический электронный журнал «Концепт». –
2015. – Т. 13. – С.
3306–3310. – URL:
http://e-koncept.ru/2015/85662.htm.
Аннотация. Статья посвящена вопросам представления геометрических объектов многомерного расширенного евклидова пространства в преподавании курсов графических дисциплин. Авторами показана возможность решения основных задач геометрии применительно к объектам многомерного пространства на базе знаний трехмерной геометрии.
Ключевые слова:
геометрия, расширенное евклидово пространство, симплексы, гиперплоскости, гиперповерхности
Текст статьи
Павлов Станислав Иванович,Кандидат технических наук, заведующийкафедройначертательной геометрии, инженерной и компьютерной графикиФГБОУ ВПО «Оренбургский государственный университет», г.Оренбург;ngiikg@mail.osu.ru
Семагина Юлия Владимировна,кандидат технических наук, доцент кафедры начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графикиФГБОУ ВПО «Оренбургский государственный университет», г.Оренбург;lugowskaja@yandex.ru
Элементы многомерной геометрии в курсах графических дисциплин
Аннотация.Статья посвящена вопросам представления геометрических объектов многомерного расширенного евклидова пространства в преподавании курсов графических дисциплин.Авторами показана возможность решения основных задач геометрии, применительно к объектам многомерного пространства, на базе знаний трехмерной геометрии.Ключевые слова: геометрия, расширенное евклидово пространство, симплексы, гиперплоскости, гиперповерхности.
Несмотря на точто реальный мир,окружающий нас,трехмерный, мы постоянно(сознательно или нет)обращаемся к элементам абстрактных многомерных пространств.Многомерным принято называть пространство, размерность которого больше трех. На «… страницах прессы и просторах интернета» обитает бесчисленное количество вариантов объяснений того, что такое многомерное пространство. В большинстве же своем они являются конструкциями различных абстракций, плохо стыкующимися с проблемами реальности. Асамое главное то, чтоони все приспособленыдля решения какихто конкретных проблем и не могут быть перенесены на другие. Более того, многиетак называемые «многомерные модели»пространствтрудно назвать даже двумерными.
Однакогеометрия трехмерного пространства универсальнаи ее законы одинаково работают в совершенно различных условиях. Это наталкивает на мысль о том, что и геометрия многомерного пространства должна быть универсальна, более того, геометрия трехмерного пространства должна быть частной реализацией геометрии многомерного пространства. Психологи утверждают, что человечество мыслит образами, которые, по своей сути,являются различнымиабстрактными геометрическими объектами.Это и проводит к мысли о том, что для конструирования системы многомерной геометрии необходимо создать, у обучающихсябазу из геометрических объектов многомерных пространств. Инеобходимо выстроить такую их последовательность, которая не противоречила бы системе,сложившейся в расширенном евклидовом трехмерном пространстве.Для этоговоспользуемся методами синтетической начертательной геометрии, которая лежит в основе всех курсов графических дисциплин.Будем рассматривать расширенное (дополненное несобственными элементами) точечное пространствоЕn+. За основной элемент такого пространства принимается точка. Все остальные простейшие элементы (симплексы) трехмерного пространства формируются добавлением к симплексу точки, не принадлежащей ему. Например: симплекс прямой линии отрезок, получается добавлением к точке А еще одной, не совпадающей с ней,точкиВ (рисунок 1).
Точно также может быть получен симплекс плоскости треугольник. Достаточно к отрезку АВ прямой добавить точку С, не лежащую на этом отрезке (точнее на этой прямой, рисунок 1). Да и симплекс самого трехмерного пространства можно получить добавлением точки D, не лежащей в плоскости треугольника АВС (рисунок 1).
Рис. 1.Симплексы трехмерного пространстваС точки зрения линейной алгебры (многомерной геометрии) все симплексы, приведенные на рисунке1 могут считаться симплексами пространств различной размерности: точка нульмерного, прямая одномерного, треугольник двумерного, а тетраэдр трехмерного пространства.Очевидно, что таким же образом можно сконструировать симплексы пространств размерности больше трех. Добавив к тетраэдру точку, не лежащую в трехмерном пространстве можно получить симплекс четырехмерного пространства. С точки зрения формальной логики, в этом нет никаких проблем. Проблемы начинают возникать при попытке построения изображения этого симплекса. Традиционно, изображения различных реальных и абстрактных объектов формируются на плоскости, а более точно, двумерной поверхности. А для этого должен существовать механизм построения плоских эквивалентов пространства (рисунков, чертежей). Первым требованиям к такому механизму должно быть непротиворечивость методики построения изображения общепринятой для трехмерного пространства.Одним из основных методов построения изображений объектов в трехмерном пространстве является метод двух изображений. Примерами реализации его могут служить комплексный чертеж (эпюр Монжа) и аксонометрические изображения (рисунок 2).
Рис.2.Комплексный чертеж и аксонометрияНа этих чертежах положение изображения точки определяется отрезками хА,yА и zА,длины которых пропорциональны численным значения декартовых координат точки A(хА,yА,zА). В многомерном пространстве Еn+ положение точки определяется большим числом координат A(х1,х2,… , хn), где nразмерность рассматриваемого пространства. Аналогом комплексного чертежа, для многомерного пространства, может служить чертеж РадищеваМемке. Число координатных (двумерных) плоскостей у него на единицу меньше, чем размерность рассматриваемого пространства (рисунок 3). А изображения точки также определяется отрезками х1,х2,…, хnдлины которых пропорциональны численным значения декартовых координат точки A(х1,х2,… , хn).
Рис.3.Комплексный чертеж РадищеваМемкеЕсли изменить расположение полей на эпюре Монжа, то его можносчитать частным случаем чертежаРадищеваМемке.Применительно к многомерному пространству,принято все его симплексы называть плоскостями, с указанием их размерности. Например: отрезок прямой это 1плоскость, отсек плоскости 2плоскость, точка 0плоскость. Плоскость,размерность которой на единицу меньше размерности пространства,получила название гиперплоскости.Известная теорема Польке Шварца,утверждающаячто « … триотрезкапроизвольнойдлины, лежащихводнойплоскостиивыходящихизоднойточкиподпроизвольнымиугламимогут быть приняты за параллельнуюпроекциютрёхравныхивзаимноперпендикулярныхотрезков»(осей декартовой системы координат), также может быть обобщена на случай многомерного пространства [1,2].
Рис.4.Аксонометрические чертежи точки и отрезка прямойНа аксонометрических чертежах точка многомерного пространства также, как и трехмерного, изображается с использованием координатной ломаной (х1Ах2Ах3Ах4А, рисунок 4). Вторичная же проекция получается на гиперплоскости этого пространства (рисунок 4, проекцияĀ').
Все это позволяет сделать вывод о том, что с объектами многомерного пространства можно работать точно так же, как и с объектами трехмерного пространства, используя аналогичные приемы визуализации (рисунок 5, 2и 3плоскости четырехмерного пространства).
Вместе с этим нужно отметить, что при попытке изобразить аксонометрический чертеж объектов размерности выше трех теряется привычная для трехмерного пространства «наглядность» (рисунок 6, гиперплоскость четырехмерного пространства). На плоских эквивалентах многомерного пространства Еn+(чертеж РадищеваМемке и обобщенная аксонометрия) очень удобно изображать любые объекты и решать, как позиционные, так и метрические задачи, используя алгоритмы, применяемые для чертежей трехмерного пространстваЕ3+.
Рис.5.Дваи триплоскости четырехмерного пространства
Рис.6.Гиперплоскость четырехмерного пространства В качестве примера рассмотрим задачу по определению длины отрезкаАВ, для четырехмерного пространстваЕ4+(рисунок 7).Для этого воспользуемся методом ортогональных дополнений (в Е3+этот метод принято называть методом прямоугольного треугольника).
Последовательное введение дополнений ΔХi(i=1,…,n2) позволяет определить длину отрезка АВ, как гипотенузу последнего из прямоугольных треугольников.
Рис.7.Метод ортогональных дополнений. Длина отрезка АВ в Е4+Не представляет трудности и решение, на таком чертеже позиционных задач. В качестве примера рассмотрим задачу на определение принадлежности произвольной точки какойлибо kплоскости (k=1,…,n1). Для определенности возьмем гиперплоскость ADCE пространства Е5+
рисунок 8).
Рис.8.Проверка принадлежности точки F гиперплоскости ADCE
Алгоритм решения аналогичен широко используемому в трехмерном пространстве. Исходная гиперплоскость последовательно пересекается проецирующими плоскостями Ωij(iномер поля чертежа, jразмерность вводимой проецирующей плоскости). Последнее сечение дает прямую ω одномерную плоскость пространства Е5+. Точка Fне принадлежитэтой прямой и как следствие не принадлежит и гиперплоскости ADCE.Использование для анализа объектов многомерного пространства базовых знаний трехмерной синтетической начертательной геометрии позволяет обучаемымпри решении задач оптимизации и обработки экспериментальной информации избегать многих серьезныхошибок[3].
Ссылки на источники1.Первикова, В.Н. Теоретические основы построения чертежей многомерных фигур в синтетическом и векторном изложении с применением для исследования многокомпонентных систем: автореф. дис…. докт. техн. Наук : 05.01.01 / В. Н. Первикова. М, МТИПП, 1974
31с. 2.Филиппов,П.В. Начертательная геометрия многомерного пространства и ее приложения./ П.В. Филиппов. Л.: Издво ЛГУ, 1979 280 с. 3. Семагина, Ю.В. Формирование геометрических моделей процесса термической обработки спеченных изделий с применением индукционного нагрева:автореф. дис…. канд. техн. наук: 05.01.01 / Ю. В. Семагина. М, МАИ, 2005
19с.
Семагина Юлия Владимировна,кандидат технических наук, доцент кафедры начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графикиФГБОУ ВПО «Оренбургский государственный университет», г.Оренбург;lugowskaja@yandex.ru
Элементы многомерной геометрии в курсах графических дисциплин
Аннотация.Статья посвящена вопросам представления геометрических объектов многомерного расширенного евклидова пространства в преподавании курсов графических дисциплин.Авторами показана возможность решения основных задач геометрии, применительно к объектам многомерного пространства, на базе знаний трехмерной геометрии.Ключевые слова: геометрия, расширенное евклидово пространство, симплексы, гиперплоскости, гиперповерхности.
Несмотря на точто реальный мир,окружающий нас,трехмерный, мы постоянно(сознательно или нет)обращаемся к элементам абстрактных многомерных пространств.Многомерным принято называть пространство, размерность которого больше трех. На «… страницах прессы и просторах интернета» обитает бесчисленное количество вариантов объяснений того, что такое многомерное пространство. В большинстве же своем они являются конструкциями различных абстракций, плохо стыкующимися с проблемами реальности. Асамое главное то, чтоони все приспособленыдля решения какихто конкретных проблем и не могут быть перенесены на другие. Более того, многиетак называемые «многомерные модели»пространствтрудно назвать даже двумерными.
Однакогеометрия трехмерного пространства универсальнаи ее законы одинаково работают в совершенно различных условиях. Это наталкивает на мысль о том, что и геометрия многомерного пространства должна быть универсальна, более того, геометрия трехмерного пространства должна быть частной реализацией геометрии многомерного пространства. Психологи утверждают, что человечество мыслит образами, которые, по своей сути,являются различнымиабстрактными геометрическими объектами.Это и проводит к мысли о том, что для конструирования системы многомерной геометрии необходимо создать, у обучающихсябазу из геометрических объектов многомерных пространств. Инеобходимо выстроить такую их последовательность, которая не противоречила бы системе,сложившейся в расширенном евклидовом трехмерном пространстве.Для этоговоспользуемся методами синтетической начертательной геометрии, которая лежит в основе всех курсов графических дисциплин.Будем рассматривать расширенное (дополненное несобственными элементами) точечное пространствоЕn+. За основной элемент такого пространства принимается точка. Все остальные простейшие элементы (симплексы) трехмерного пространства формируются добавлением к симплексу точки, не принадлежащей ему. Например: симплекс прямой линии отрезок, получается добавлением к точке А еще одной, не совпадающей с ней,точкиВ (рисунок 1).
Точно также может быть получен симплекс плоскости треугольник. Достаточно к отрезку АВ прямой добавить точку С, не лежащую на этом отрезке (точнее на этой прямой, рисунок 1). Да и симплекс самого трехмерного пространства можно получить добавлением точки D, не лежащей в плоскости треугольника АВС (рисунок 1).
Рис. 1.Симплексы трехмерного пространстваС точки зрения линейной алгебры (многомерной геометрии) все симплексы, приведенные на рисунке1 могут считаться симплексами пространств различной размерности: точка нульмерного, прямая одномерного, треугольник двумерного, а тетраэдр трехмерного пространства.Очевидно, что таким же образом можно сконструировать симплексы пространств размерности больше трех. Добавив к тетраэдру точку, не лежащую в трехмерном пространстве можно получить симплекс четырехмерного пространства. С точки зрения формальной логики, в этом нет никаких проблем. Проблемы начинают возникать при попытке построения изображения этого симплекса. Традиционно, изображения различных реальных и абстрактных объектов формируются на плоскости, а более точно, двумерной поверхности. А для этого должен существовать механизм построения плоских эквивалентов пространства (рисунков, чертежей). Первым требованиям к такому механизму должно быть непротиворечивость методики построения изображения общепринятой для трехмерного пространства.Одним из основных методов построения изображений объектов в трехмерном пространстве является метод двух изображений. Примерами реализации его могут служить комплексный чертеж (эпюр Монжа) и аксонометрические изображения (рисунок 2).
Рис.2.Комплексный чертеж и аксонометрияНа этих чертежах положение изображения точки определяется отрезками хА,yА и zА,длины которых пропорциональны численным значения декартовых координат точки A(хА,yА,zА). В многомерном пространстве Еn+ положение точки определяется большим числом координат A(х1,х2,… , хn), где nразмерность рассматриваемого пространства. Аналогом комплексного чертежа, для многомерного пространства, может служить чертеж РадищеваМемке. Число координатных (двумерных) плоскостей у него на единицу меньше, чем размерность рассматриваемого пространства (рисунок 3). А изображения точки также определяется отрезками х1,х2,…, хnдлины которых пропорциональны численным значения декартовых координат точки A(х1,х2,… , хn).
Рис.3.Комплексный чертеж РадищеваМемкеЕсли изменить расположение полей на эпюре Монжа, то его можносчитать частным случаем чертежаРадищеваМемке.Применительно к многомерному пространству,принято все его симплексы называть плоскостями, с указанием их размерности. Например: отрезок прямой это 1плоскость, отсек плоскости 2плоскость, точка 0плоскость. Плоскость,размерность которой на единицу меньше размерности пространства,получила название гиперплоскости.Известная теорема Польке Шварца,утверждающаячто « … триотрезкапроизвольнойдлины, лежащихводнойплоскостиивыходящихизоднойточкиподпроизвольнымиугламимогут быть приняты за параллельнуюпроекциютрёхравныхивзаимноперпендикулярныхотрезков»(осей декартовой системы координат), также может быть обобщена на случай многомерного пространства [1,2].
Рис.4.Аксонометрические чертежи точки и отрезка прямойНа аксонометрических чертежах точка многомерного пространства также, как и трехмерного, изображается с использованием координатной ломаной (х1Ах2Ах3Ах4А, рисунок 4). Вторичная же проекция получается на гиперплоскости этого пространства (рисунок 4, проекцияĀ').
Все это позволяет сделать вывод о том, что с объектами многомерного пространства можно работать точно так же, как и с объектами трехмерного пространства, используя аналогичные приемы визуализации (рисунок 5, 2и 3плоскости четырехмерного пространства).
Вместе с этим нужно отметить, что при попытке изобразить аксонометрический чертеж объектов размерности выше трех теряется привычная для трехмерного пространства «наглядность» (рисунок 6, гиперплоскость четырехмерного пространства). На плоских эквивалентах многомерного пространства Еn+(чертеж РадищеваМемке и обобщенная аксонометрия) очень удобно изображать любые объекты и решать, как позиционные, так и метрические задачи, используя алгоритмы, применяемые для чертежей трехмерного пространстваЕ3+.
Рис.5.Дваи триплоскости четырехмерного пространства
Рис.6.Гиперплоскость четырехмерного пространства В качестве примера рассмотрим задачу по определению длины отрезкаАВ, для четырехмерного пространстваЕ4+(рисунок 7).Для этого воспользуемся методом ортогональных дополнений (в Е3+этот метод принято называть методом прямоугольного треугольника).
Последовательное введение дополнений ΔХi(i=1,…,n2) позволяет определить длину отрезка АВ, как гипотенузу последнего из прямоугольных треугольников.
Рис.7.Метод ортогональных дополнений. Длина отрезка АВ в Е4+Не представляет трудности и решение, на таком чертеже позиционных задач. В качестве примера рассмотрим задачу на определение принадлежности произвольной точки какойлибо kплоскости (k=1,…,n1). Для определенности возьмем гиперплоскость ADCE пространства Е5+
рисунок 8).
Рис.8.Проверка принадлежности точки F гиперплоскости ADCE
Алгоритм решения аналогичен широко используемому в трехмерном пространстве. Исходная гиперплоскость последовательно пересекается проецирующими плоскостями Ωij(iномер поля чертежа, jразмерность вводимой проецирующей плоскости). Последнее сечение дает прямую ω одномерную плоскость пространства Е5+. Точка Fне принадлежитэтой прямой и как следствие не принадлежит и гиперплоскости ADCE.Использование для анализа объектов многомерного пространства базовых знаний трехмерной синтетической начертательной геометрии позволяет обучаемымпри решении задач оптимизации и обработки экспериментальной информации избегать многих серьезныхошибок[3].
Ссылки на источники1.Первикова, В.Н. Теоретические основы построения чертежей многомерных фигур в синтетическом и векторном изложении с применением для исследования многокомпонентных систем: автореф. дис…. докт. техн. Наук : 05.01.01 / В. Н. Первикова. М, МТИПП, 1974
31с. 2.Филиппов,П.В. Начертательная геометрия многомерного пространства и ее приложения./ П.В. Филиппов. Л.: Издво ЛГУ, 1979 280 с. 3. Семагина, Ю.В. Формирование геометрических моделей процесса термической обработки спеченных изделий с применением индукционного нагрева:автореф. дис…. канд. техн. наук: 05.01.01 / Ю. В. Семагина. М, МАИ, 2005
19с.
