Моделирование социально-экономических процессов с помощью аппарата мультифрактальной динамики
ART 85890
Авторы:
М.
В. Подаев, Т.
А. Меркулова
М.
В. Подаев, Т.
А. Меркулова Библиографическое описание статьи для цитирования:
Подаев
М.
В.,
Меркулова
Т.
А. Моделирование социально-экономических процессов с помощью аппарата мультифрактальной динамики // Научно-методический электронный журнал «Концепт». –
2015. – Т. 13. – С.
4446–4450. – URL:
http://e-koncept.ru/2015/85890.htm.
Аннотация. Статья посвящена вопросам исследования социально-экономических процессов с использованием средств мультифрактальной динамики на примере R/S-анализа.
Текст статьи
Подаев Михаил Валерьевич,кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики и методики ее преподавания ФГБОУ ВПО «Елецкий государственный университет им. ε.А. Бунина», г. Елецpodaev86@gmail.com
Меркулова Татьяна Александровна,студентка третьего курса ФГБОУ ВПО «Елецкий государственный университет им. ε.А. Бунина», г. Елец
Аппарат мультифрактальной динамики как средство моделирования социальноэкономических процессов
Аннотация.Статья посвящена вопросам исследования социальноэкономических процессов с использованием средств мультифрактальной динамики на примере R/Sанализа.Ключевые слова: фрактал, мультифрактал, фрактальная размерность.
...Я утверждаю, что изменения финансовыхцен можно объяснить моделью, полученной из моей работы по фрактальной геометрии.Бенуа Мандельброт
Критические явления в социальноэкономических системах представляют большой интерес, поскольку они обусловлены их структурой и особенностями динамики основных параметров таких систем. εх изучение позволяет выявлять природу и понять наиболее важные элементы структуры данных процессов. В критических областях значений параметров характерны существенные нелинейные зависимости этих параметров.Наибольший интерес представляет исследование динамики социальноэкономических систем то есть их развитие во времени. Это развитие связано с процессами, протекающими в различных социальноэкономических системах.В последние годы в мире наблюдается новый подъем активности в области геополитического и социальноэкономического прогнозирования будущего. Моделирование кризисных явлений в социальноэкономических системах помогает глубже понять природу данных явлений, а также делать соответствующие прогнозы, и на их основе проводить нужное регулирование в этих системах.Объяснение кризисов и крахов компаний возможно с помощью фрактальной теории рынка капитала. Понятия «фрактала» и «фрактальной геометрии» были выработаны при изучении двух подходов к теории размерности: понятий топологической и хаусдорфовой размерностей. εзвестно, что система подмножеств ܷтопологического пространства�называется покрытием (пространства X), если каждая точка из принадлежит какомуто множеству Ui. Открытое покрытие состоит из открытых множеств Ui. Замкнутое покрытие состоит из замкнутых множеств. Будем рассматривать лишь конечные покрытия. Кратностью покрытия называется наибольшее из таких целых чисел ݊, что существует элементов покрытия (т.е. множеств) Ui, имеющих непустое пересечение.Система множеств ܸназывается вписанной в систему множеств Ui, если каждый элемент системы Vjсодержится хотя бы в одном элементе системы Ui.Вслед за Брауэром, Лебегом, Менгером, Урысоном обратимся к понятиютопологической размерности.Рассмотрим класс компактных множеств. Топологической размерностью��݉�компакта Xназывается наименьшее из таких целых чисел ݊, что во всякое открытое покрытие пространства Xможно вписать замкнутое покрытие кратности ≤݊+1.[4]Другим подходом к понятию размерности является идея Хаусдорфа, позднее развитая Безиковичем. Чтобы сформулировать это понятие размерности, нам потребуется сферическая мера Хаусдорфа. Пусть X–некоторое компактное подмножество в метрическом пространстве, например в римановом многообразии или в евклидовом пространстве. Рассмотрим конечное покрытие этого компакта ݉мерными шарами ��(�)радиусов εi. Пусть ��−݉мерный объем стандартного единичного mмерного шара (в евклидовом пространстве ��). Тогда объем шара радиуса εiзапишется так: ��(��). Начиная с этого момента, мы не будем заранее предполагать, что число целое. Пусть ݉≥0
произвольное неотрицательное вещественное число. Подсчитаем сумму ∑��(��). Рассмотрим всевозможные покрытия компакта шарами с радиусами, не превосходящими фиксированного числа �, и вычислим ℎ�=infεi<ρ∑��(��),где infберется по всем таким покрытиям. εмеет местопредел lim�→0ℎ�. Пусть X
компакт в метрическом пространстве. Безикович показал, что для каждого Xвсегда существует вещественное число �такое, что ݉мерная мера Хаусдорфа компакта X
бесконечна при ݉<�и, напротив, равна нулю при ݉>�.Число Dназывается хаусдорфовой размерностью компакта X(или размерностью Хаусдорфа –Безиковича).Фрактал –это множество, для которого �>��݉.Пусть мы покроем наш фрактальный объектmмерными шарами радиуса. Предположим, что для этого нам потребовалось не менее, чем �(�)шаров. Тогда формула�=−lim�→0ln�(�)ln�служит общим определением фрактальной размерности D.Фрактал —сложная геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна в какомто смысле всей фигуре целиком. [3]Понятия «фрактал» и «фрактальная геометрия» вошли в обиход математиковв 70–80х годах, само же слово «фрактал»было предложено американским математиком Бенуа Мандельбротом в 197U году для обозначения нерегулярных («изломанных») самоподобных структур, которыми он занимался.Мандельброт показал фрактальную, а не евклидову природу реального мира. По определению, данному Мандельбротом, «фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в какомто смысле подобны целому» [3]. С математической точки зрения фрактал –это, прежде всего, множество дробной размерности [1].Этомножество, хаусдорфова размерностькоторого больше его топологической размерности. В последнее время развивается продолжение фрактальной теории –мультифрактальная. Мультифрактал –квазифрактальный объект с переменной фрактальной размерностью. Реальные объекты и процессы гораздо лучше описываются мультифракталами.1/4001/4001/4001/4009/2009/20081/1009/2009/200Рис. 2. Пример мультифрактала на треугольнике Серпинского
Сегоднявсе большее внимание уделяется исследованию финансовых временных рядов с точки зрения теории хаоса [4].Нелинейная динамика —раздел современной математики, занимающийся исследованием нелинейных динамических систем.Под динамической системойусловились понимать систему любой природы (физическую, химическую, биологическую, социальную, экономическую и т.д.), состояние которой изменяется (дискретно или непрерывно) во времени.Одним из наиболее популярных методов нелинейной динамики является анализ временных рядов на основе вычисления показателя Херста, который получил название –R/Sанализ (rescaled range analysis). Метод был предложен английским исследователем Гарольдом Херстом. Он открыл новый статистический метод –метод нормированного размаха [2]. εспользуя безразмерное отношение нормированного размаха можно сравнивать различные явления. Херст обнаружил, что для многих временных рядов наблюдаемый нормированный размах хорошо описывается эмпирическим соотношением:,где–некоторая константа,
–текущее значение длины выборки,
показатель Херста (принимает значения от 0 до 1).Размах вариации измеряемой случайной величины определяется как разность максимального и минимального накопившегося отклонения:, ,,
длина всей выборкиНакопившееся отклонение значений случайной величины от ее среднего значения за время рассчитывается как:.Для сравнения различных типов временных рядов Херст разделилразмах вариации на стандартное отклонение исходных наблюдений, рассчитываемое по формуле:.Прологарифмировав соотношение (3), получим:.Применительно к финансовым данным можно использовать следующую трактовку: показатель Херста измеряет влияние информации на временной ряд данных. Значение подразумевает случайное блуждание, что является подтверждением гипотезы эффективного рынка. В этом случае события некореллированны, все новости уже впитаны и обесценены рынком. В противоположность этому при события сегодня будут иметь значение завтра, то есть полученная информация продолжает учитываться рынком некоторое время спустя.
На финансовых рынках размерность находит свое отражение не только в качестве валатильности цены, но и в качестве детализации циклов (волн). Благодаря ей, мы сможем различать принадлежность волны к определенному масштабу времени. Детализация циклов, т.е их размерность, позволяет нам определить по начальным условиям, как может в дальнейшем развиваться ситуация. Мы можем сказать, что фрактальная размерность отражает свойство масштабной инвариантности рассматриваемого множества.Все большее количество экономистов пытаются предсказать динамику курсов валют. При возникновении сложной курсовой динамики традиционный анализ начинается с фундаментального анализа, т.е. исследуются фундаментальные экономические факторы, характеризующие состояние экономики. При необходимости в дальнейшем переходят к техническому анализу, который изучает графики прошлого поведения курсов валют с тем, чтобы предсказать их будущее. Однако опыт благополучных валютных трейдеров свидетельствует о том, что лишних знаний не бывает. В настоящее время в арсенале успешных трейдеров появились такие математические методы как нечеткие множества, нелинейные анализ и др. Они описывают рынки с гораздо большей точностью и достоверностью. Широко применяемый подход к анализу временного ряда состоит в том, что устанавливаются главные факторы, влияющие на отдельные величины временного ряда. Наиболее важной из компонент, влияющей на уровни временного ряда, обычно считают тенденцию, которая является долгосрочной составляющей и определяет изменение временного ряда в целом. Тенденция динамики связана с действием долговременно существующих причин и условий развития, хотя после какогото периода эти причины и условия также могут измениться и породить уже другие тенденции развития объекта.
Ссылки на источники1.Глейк Дж. Хаос: создание новой науки. –Спб.: Амфора, 2001. –39X с.2.Голубев С.Н.R/S анализ стабильности запаздывающего временного ряда[Электронный ресурс] // Лабораторный журнал: электрон. научн.практич. журн. 2013. N 1(1).3.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. εздательство: εнститут компьютерных исследований, 2002. –VUV с.4.Петерс Э. Фрактальный анализ финансовых рынков. Применение теории хаоса в инвестициях и экономике. –М.: εнтернеттрейдинг, 2004. –304 с., с. 10U109.5.Петерс Э. Фрактальный анализ финансовых рынков. Применение теории хаоса в инвестициях и экономике. –М.: εнтернеттрейдинг, 2004. –304 с.6.Подаева Н.Г., Евсиков С.В. Лекции по элементам топологии. –Елец, 2003.
Меркулова Татьяна Александровна,студентка третьего курса ФГБОУ ВПО «Елецкий государственный университет им. ε.А. Бунина», г. Елец
Аппарат мультифрактальной динамики как средство моделирования социальноэкономических процессов
Аннотация.Статья посвящена вопросам исследования социальноэкономических процессов с использованием средств мультифрактальной динамики на примере R/Sанализа.Ключевые слова: фрактал, мультифрактал, фрактальная размерность.
...Я утверждаю, что изменения финансовыхцен можно объяснить моделью, полученной из моей работы по фрактальной геометрии.Бенуа Мандельброт
Критические явления в социальноэкономических системах представляют большой интерес, поскольку они обусловлены их структурой и особенностями динамики основных параметров таких систем. εх изучение позволяет выявлять природу и понять наиболее важные элементы структуры данных процессов. В критических областях значений параметров характерны существенные нелинейные зависимости этих параметров.Наибольший интерес представляет исследование динамики социальноэкономических систем то есть их развитие во времени. Это развитие связано с процессами, протекающими в различных социальноэкономических системах.В последние годы в мире наблюдается новый подъем активности в области геополитического и социальноэкономического прогнозирования будущего. Моделирование кризисных явлений в социальноэкономических системах помогает глубже понять природу данных явлений, а также делать соответствующие прогнозы, и на их основе проводить нужное регулирование в этих системах.Объяснение кризисов и крахов компаний возможно с помощью фрактальной теории рынка капитала. Понятия «фрактала» и «фрактальной геометрии» были выработаны при изучении двух подходов к теории размерности: понятий топологической и хаусдорфовой размерностей. εзвестно, что система подмножеств ܷтопологического пространства�называется покрытием (пространства X), если каждая точка из принадлежит какомуто множеству Ui. Открытое покрытие состоит из открытых множеств Ui. Замкнутое покрытие состоит из замкнутых множеств. Будем рассматривать лишь конечные покрытия. Кратностью покрытия называется наибольшее из таких целых чисел ݊, что существует элементов покрытия (т.е. множеств) Ui, имеющих непустое пересечение.Система множеств ܸназывается вписанной в систему множеств Ui, если каждый элемент системы Vjсодержится хотя бы в одном элементе системы Ui.Вслед за Брауэром, Лебегом, Менгером, Урысоном обратимся к понятиютопологической размерности.Рассмотрим класс компактных множеств. Топологической размерностью��݉�компакта Xназывается наименьшее из таких целых чисел ݊, что во всякое открытое покрытие пространства Xможно вписать замкнутое покрытие кратности ≤݊+1.[4]Другим подходом к понятию размерности является идея Хаусдорфа, позднее развитая Безиковичем. Чтобы сформулировать это понятие размерности, нам потребуется сферическая мера Хаусдорфа. Пусть X–некоторое компактное подмножество в метрическом пространстве, например в римановом многообразии или в евклидовом пространстве. Рассмотрим конечное покрытие этого компакта ݉мерными шарами ��(�)радиусов εi. Пусть ��−݉мерный объем стандартного единичного mмерного шара (в евклидовом пространстве ��). Тогда объем шара радиуса εiзапишется так: ��(��). Начиная с этого момента, мы не будем заранее предполагать, что число целое. Пусть ݉≥0
произвольное неотрицательное вещественное число. Подсчитаем сумму ∑��(��). Рассмотрим всевозможные покрытия компакта шарами с радиусами, не превосходящими фиксированного числа �, и вычислим ℎ�=infεi<ρ∑��(��),где infберется по всем таким покрытиям. εмеет местопредел lim�→0ℎ�. Пусть X
компакт в метрическом пространстве. Безикович показал, что для каждого Xвсегда существует вещественное число �такое, что ݉мерная мера Хаусдорфа компакта X
бесконечна при ݉<�и, напротив, равна нулю при ݉>�.Число Dназывается хаусдорфовой размерностью компакта X(или размерностью Хаусдорфа –Безиковича).Фрактал –это множество, для которого �>��݉.Пусть мы покроем наш фрактальный объектmмерными шарами радиуса. Предположим, что для этого нам потребовалось не менее, чем �(�)шаров. Тогда формула�=−lim�→0ln�(�)ln�служит общим определением фрактальной размерности D.Фрактал —сложная геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна в какомто смысле всей фигуре целиком. [3]Понятия «фрактал» и «фрактальная геометрия» вошли в обиход математиковв 70–80х годах, само же слово «фрактал»было предложено американским математиком Бенуа Мандельбротом в 197U году для обозначения нерегулярных («изломанных») самоподобных структур, которыми он занимался.Мандельброт показал фрактальную, а не евклидову природу реального мира. По определению, данному Мандельбротом, «фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в какомто смысле подобны целому» [3]. С математической точки зрения фрактал –это, прежде всего, множество дробной размерности [1].Этомножество, хаусдорфова размерностькоторого больше его топологической размерности. В последнее время развивается продолжение фрактальной теории –мультифрактальная. Мультифрактал –квазифрактальный объект с переменной фрактальной размерностью. Реальные объекты и процессы гораздо лучше описываются мультифракталами.1/4001/4001/4001/4009/2009/20081/1009/2009/200Рис. 2. Пример мультифрактала на треугольнике Серпинского
Сегоднявсе большее внимание уделяется исследованию финансовых временных рядов с точки зрения теории хаоса [4].Нелинейная динамика —раздел современной математики, занимающийся исследованием нелинейных динамических систем.Под динамической системойусловились понимать систему любой природы (физическую, химическую, биологическую, социальную, экономическую и т.д.), состояние которой изменяется (дискретно или непрерывно) во времени.Одним из наиболее популярных методов нелинейной динамики является анализ временных рядов на основе вычисления показателя Херста, который получил название –R/Sанализ (rescaled range analysis). Метод был предложен английским исследователем Гарольдом Херстом. Он открыл новый статистический метод –метод нормированного размаха [2]. εспользуя безразмерное отношение нормированного размаха можно сравнивать различные явления. Херст обнаружил, что для многих временных рядов наблюдаемый нормированный размах хорошо описывается эмпирическим соотношением:,где–некоторая константа,
–текущее значение длины выборки,
показатель Херста (принимает значения от 0 до 1).Размах вариации измеряемой случайной величины определяется как разность максимального и минимального накопившегося отклонения:, ,,
длина всей выборкиНакопившееся отклонение значений случайной величины от ее среднего значения за время рассчитывается как:.Для сравнения различных типов временных рядов Херст разделилразмах вариации на стандартное отклонение исходных наблюдений, рассчитываемое по формуле:.Прологарифмировав соотношение (3), получим:.Применительно к финансовым данным можно использовать следующую трактовку: показатель Херста измеряет влияние информации на временной ряд данных. Значение подразумевает случайное блуждание, что является подтверждением гипотезы эффективного рынка. В этом случае события некореллированны, все новости уже впитаны и обесценены рынком. В противоположность этому при события сегодня будут иметь значение завтра, то есть полученная информация продолжает учитываться рынком некоторое время спустя.
На финансовых рынках размерность находит свое отражение не только в качестве валатильности цены, но и в качестве детализации циклов (волн). Благодаря ей, мы сможем различать принадлежность волны к определенному масштабу времени. Детализация циклов, т.е их размерность, позволяет нам определить по начальным условиям, как может в дальнейшем развиваться ситуация. Мы можем сказать, что фрактальная размерность отражает свойство масштабной инвариантности рассматриваемого множества.Все большее количество экономистов пытаются предсказать динамику курсов валют. При возникновении сложной курсовой динамики традиционный анализ начинается с фундаментального анализа, т.е. исследуются фундаментальные экономические факторы, характеризующие состояние экономики. При необходимости в дальнейшем переходят к техническому анализу, который изучает графики прошлого поведения курсов валют с тем, чтобы предсказать их будущее. Однако опыт благополучных валютных трейдеров свидетельствует о том, что лишних знаний не бывает. В настоящее время в арсенале успешных трейдеров появились такие математические методы как нечеткие множества, нелинейные анализ и др. Они описывают рынки с гораздо большей точностью и достоверностью. Широко применяемый подход к анализу временного ряда состоит в том, что устанавливаются главные факторы, влияющие на отдельные величины временного ряда. Наиболее важной из компонент, влияющей на уровни временного ряда, обычно считают тенденцию, которая является долгосрочной составляющей и определяет изменение временного ряда в целом. Тенденция динамики связана с действием долговременно существующих причин и условий развития, хотя после какогото периода эти причины и условия также могут измениться и породить уже другие тенденции развития объекта.
Ссылки на источники1.Глейк Дж. Хаос: создание новой науки. –Спб.: Амфора, 2001. –39X с.2.Голубев С.Н.R/S анализ стабильности запаздывающего временного ряда[Электронный ресурс] // Лабораторный журнал: электрон. научн.практич. журн. 2013. N 1(1).3.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. εздательство: εнститут компьютерных исследований, 2002. –VUV с.4.Петерс Э. Фрактальный анализ финансовых рынков. Применение теории хаоса в инвестициях и экономике. –М.: εнтернеттрейдинг, 2004. –304 с., с. 10U109.5.Петерс Э. Фрактальный анализ финансовых рынков. Применение теории хаоса в инвестициях и экономике. –М.: εнтернеттрейдинг, 2004. –304 с.6.Подаева Н.Г., Евсиков С.В. Лекции по элементам топологии. –Елец, 2003.
