Некоторые методические аспекты подготовки школьников к ЕГЭ по математике

Серьезной проблемой для любого вуза является набор студентов, имеющих достаточный уровень базовой школьной подготовки. Вузы заинтересованы в том, чтобы поступающие к ним абитуриенты как минимум были грамотными и умели логически мыслить. К сожалению, уровень подготовки подавляющего большинства учащихся не соответствует этим требованиям. В случае поступления в вуз такой абитуриент в дальнейшем испытывает сложности при освоении дисциплин, преподаваемых в данном учебном заведении, что, конечно, отражается на квалификации выпускаемого специалиста. Несформированная логика мышления приводит к тому, что студент не способен осваивать теоретический материал, систематизировать его, делать обобщающие выводы. Отсюда – неумение студентов работать с учебной, а в дальнейшем и со специальной литературой, соответствующей профилю подготовки. Основы такого умения, кстати, тоже закладываются в средней школе.

Современная концепция высшего образования ориентирована на самообразование, то есть предполагает способность студентов к самостоятельному изучению материала. Преподаватель в данном случае выступает в роли консультанта, который помогает разобраться в наиболее сложных вопросах. Таким образом, формирование грамотности и логического мышления у школьника – основа успешной и эффективной подготовки будущих специалистов в вузах.

В настоящее время много говорят о достоинствах и недостатках ЕГЭ, но, так или иначе, он прочно вошел в образовательный процесс как завершающий этап школьного образования. При этом многие задачи, входящие во вторую часть ЕГЭ по математике, как раз и предполагают наличие логического мышления у школьника, а процесс подготовки к экзамену направлен на формирование такого мышления и повышение математической грамотности ученика в целом. Выделим это как один из положительных моментов ЕГЭ. Однако нельзя не отметить, что шансы учащегося справиться на экзамене с задачами повышенной сложности, требующими логического мышления, существенно ограничены временными рамками.

При подготовке школьников к ЕГЭ по математике преподаватель неизбежно сталкивается со следующей проблемой. Так как индивидуальные способности учащихся различны, то существенно отличаются и темпы усвоения ими материала на занятиях. Учащийся, который быстро усваивает предлагаемую ему информацию, может рассматривать более сложные разделы данной темы. Слабый же учащийся к этому моменту усваивает минимальный объем информации. Поэтому в рамках одного занятия приходится ориентироваться на средний уровень подготовки. При этом хорошо подготовленные учащиеся не имеют возможности для углубленного изучения материала в соответствии со своими способностями. Получается, что группа как бы сдерживает рост таких учащихся.

Таким образом, перед преподавателем возникает необходимость индивидуализации обучения. В рамках отведенного для занятия времени эффективно организовать индивидуальное обучение очень трудная задача. Для ее решения в распоряжении преподавателя должны находиться соответствующие учебно-вспомогательные материалы, в частности учебно-методические пособия, электронные учебники и другие средства, в которых материал был бы представлен в доступной форме, рассчитанной на самостоятельное изучение учащимися средней школы [1].

Для формирования логического мышления школьника в процессе подготовки к ЕГЭ особенно полезны, по нашему мнению, задачи с параметрами. Отметим, что этот тип задач принадлежит к числу наиболее сложных как в логическом, так и в техническом плане. Решение задач с параметрами можно считать деятельностью, близкой по своему характеру к исследовательской. Здесь выбор метода, процесс решения, запись ответа предполагают определенный уровень умения анализировать, сравнивать и обобщать полученные результаты. Поэтому, прежде чем приступить к изучению методов решения этих задач, нужно овладеть основными приемами решения различных видов уравнений и неравенств, не содержащих параметры: рациональных, иррациональных, показательных, тригонометрических и других.

Определим основные моменты, к которым нужно привлечь внимание ученика, нацеленного на овладение методами решения задач с параметрами [2]:

1. Существует два основных подхода к решению задач этого типа: аналитический и графический.
2. Выбор того или иного подхода зависит от типа задачи.
3. Чтобы определить алгоритм решения задачи с параметром, необходимо задать себе простой вопрос: как бы решалась эта задача, если бы вместо параметра стояло конкретное число? При этом не следует забывать, что параметр, в действительности являясь числом, может принимать любые значения.
4. Вначале следует попробовать решить задачу при конкретном значении параметра, при этом оценить сложность преобразований и постараться понять закономерность, существующую между значением параметра и результатом. При этом иногда приходится повторять решение несколько раз с разными значениями параметра.
5. В случае, если аналитическое решение оказывается слишком сложным, следует рассмотреть возможность привлечения графических иллюстраций для упрощения решения.

При аналитическом решении задачи следует понимать, что любое уравнение с параметром является фактически семейством уравнений, рассматриваемых при фиксированном значении параметра. При разных значениях параметра приходится использовать различные методы, применяемые при решении уравнений и неравенств с постоянными коэффициентами. Поэтому основной принцип аналитического решения задач с параметрами заключается в разбиении области изменения параметра на такие участки, что на каждом из них получается уравнение или неравенство, которое можно решить одним и тем же методом.

На вступительных испытаниях и ЕГЭ по математике чаще всего встречаются два типа задач с параметрами:

-          для всех допустимых значений параметра найти множество всех решений уравнения или неравенства;

-          найти все значения параметра, при каждом из которых выполняются заданные условия.

Ответы в задачах этих двух типов различаются по существу: в ответах к задачам первого типа перечисляются все возможные значения параметра, для каждого из которых записываются полученные решения; в ответах к задачам второго типа перечисляются все значения параметра, для которых выполнены условия задачи.

Рассмотрим в качестве примера задачи обоих типов, стараясь построить решение так, чтобы его логика была адаптирована для школьника [3].

Задача 1. Для каждого значения параметра  найдите все значения , удовлетворяющие условию

.

Условие задачи можно сформулировать иначе: решить неравенство при любых значениях параметра .

Решение. Преобразуем заданное неравенство к виду

и выполним замену переменной , где . В результате получим квадратное неравенство

.

Найдем корни трехчлена . Выпишем решение неравенства, которое будет зависеть от взаимного расположения корней  и . Отметим, что парабола, соответствующая квадратному трехчлену, имеет ветви, направленные вверх.

Таким образом, можно выделить следующие случаи.

Случай 1. Если , то . Учитывая условие , получим , тогда для исходной переменной будет иметь место неравенство .

Случай 2. Если , то

.

Случай 3. Если , то .

Ответ:

.

Задача 2. Найдите все значения , при которых уравнение

имеет единственное решение.

Решение. Данное уравнение равносильно совокупности двух систем.

1)  2)

Случай 1. Рассмотрим первую систему. После упрощения уравнения получим . Очевидно, что при  уравнение не имеет решений. Если , то

Решая неравенство методом интервалов, получим, что при  первая система имеет решение.

Случай 2. Преобразуем вторую систему:

При  уравнение не имеет решений. При  получим

Таким образом, при  вторая система имеет решение. На рис. 1 представлены решения обеих систем.

Рис. 1. Решения систем из задачи 2

Очевидно, что заданное уравнение имеет единственное решение при тех значениях параметра , которые заштрихованы только на одной оси. По рис. 1 легко видеть, что . Ответ: .

Итак, при изменении параметра меняются функции, входящие в уравнение или неравенство, а в соответствии с этим меняются и различные характеристики этих функций, влияющие на множество решений. Удобным средством для изучения таких изменений, облегчающим анализ и решение задачи, являются те или иные графические интерпретации.

При графическом решении задач с параметрами основная сложность заключается в том, чтобы правильно определить тип задачи и выбрать стратегию ее решения. Следует обратить внимание учащихся на то, что существует два основных типа задач, при решении которых графический подход предпочтителен [4]:

-          Первый тип задач – это задачи о расположении корней квадратного трехчлена. Аналитическое решение таких задач, связанное с непосредственным нахождением корней, как правило, бывает достаточно сложным. Графическая интерпретация условий, которым должны удовлетворять корни квадратного трехчлена, т. е. изображение расположения соответствующей ему параболы, как известно, приводит к решению достаточно простых неравенств или их систем.

-          Другим типом задач с параметрами, графическое решение которых является более наглядным и лаконичным, являются задачи о количестве решений уравнений. Исследуемые при решении таких задач уравнения можно отнести к одному из следующих видов: , ; ,  или .

Первые два вида уравнений являются, пожалуй, самыми распространенными в задачах о количестве решений.

Приведем примеры каждого из двух типов задач, в которых используется графический подход к решению [5].

Задача 3. При каких значениях параметра  уравнение

имеет, по крайней мере, два корня, один из которых неотрицателен, а другой – не больше –1?

Решение. Найдем область допустимых значений для параметра . При этом решение каждого из неравенств системы изобразим штриховкой на числовой оси (рис. 2).

По рис. 2 видно, что .

Рис. 2. Область допустимых значений для параметра

а) При условии, что , любое  удовлетворяет исходному уравнению, поэтому оно имеет корни, о которых говорится в условии задачи.

, ;

б) при условии, что , исследуем квадратный трехчлен левой части полученного уравнения:

.

Графическая интерпретация расположения корней квадратного трехчлена  в случае, если корни удовлетворяют условиям , представлена на рис. 3. По рисунку видно, что заданное расположение корней при  обеспечивают условия , а при  – условия .

В нашем случае , значит,   при . По условию задачи корни квадратного трехчлена должны удовлетворять неравенствам . В результате получим следующую систему неравенств:

Рис. 3. Графическая интерпретация расположения корней квадратного трехчлена

Решение последней системы: . Учитывая область допустимых значений для параметра, получим . Объединяя полученные в а) и б) решения, запишем ответ. Ответ: .

Задача 4.При каких значениях параметра  уравнение  имеет не менее трех решений?

Решение.Построим график функции.

При  получим часть параболы , у которой .

При  получим часть параболы , у которой , .

График  получим, отображая относительно оси  часть графика , расположенную ниже оси . Из рис. 4 следует, что график функции  имеет не менее трех точек с семейством прямых , параллельных оси , при условии, что . Ответ: .

Рис. 4. Графики функций

Таким образом, при изучении методов решения задач с параметрами в рамках подготовки к ЕГЭ следует обратить внимание учащегося на классификацию и основные подходы к решению каждого класса задач. Изучение должно быть организовано по принципу от простого к сложному, и материал должен излагаться максимально доступно для учащихся.