Повышение уровня математической компетентности студента при введении в процесс обучения задач исследовательского характера

Признание важности фундаментального образования является традицией математического образования в России. Процесс фундаментализации образования невозможен без его высокого качества. Фундаментализациия вузовского математического образования основывается на хороших знаниях студентами предмета, владении приемами исследования поставленных задач, сближении процесса обучения и научной деятельности. Организация научно-исследовательской работы студентов приобретает первостепенное значение в свете реализации стандартов высшего образования последнего поколения. Согласно образовательным стандартам, студент вуза должен овладеть научными методами познания окружающего мира, должен быть склонен к инновационной деятельности, творчеству. Первый этап в достижении этих целей – проявление заинтересованности в изучении теоретических основ дисциплины.

Введение в программу обучения задач исследовательского характера [1] вызывает у студентов интерес к изучению предмета, помогает их самообразованию [2]. Одной из таких задач может быть задача о преследовании: «Лиса убегает от собаки. Скорости лисы и собаки равны. Как должна двигаться лиса, чтобы убежать от преследователя?» В [3] рассмотрена задача о погоне в ограниченной области. Доказано, что существует ломаная, двигаясь по которой лиса сможет убежать от преследователя в круге. Можно показать, что лиса сможет убежать от одной собаки также и в сколь угодно малом секторе. При этом две собаки, двигаясь согласованно, лису поймают. При решении задач используются свойства числовых рядов. Изучение разделов «Ряды», «Числовые ряды» традиционно вызывает большие сложности у студентов. Связано это в первую очередь с тем, что учащиеся не знают, в каких областях могут пригодиться теоретические знания раздела. Введение в процесс изучения задач предлагаемого типа поможет преодолеть психологический барьер, сделает изучение математики захватывающим.

Пусть лиса бежит по ломаной  расположение звеньев которой показано на рис. 1.

Рис. 1

Пусть длины звеньев ломаной будут а/2, а/3, а/4 и т. д. Расположение точек  показано на рис. 1. Точка  не выходит за пределы угла . Действительно, . Следовательно, наименьшее расстояние от  до прямой  равно а/2. Так как │  │ = а/3< а/2, то находится внутри угла . Далее получаем, что  находится внутри угла ,  находится внутри угла . Все точки  не выходят за пределы угла .

В то же время для этих точек выполняется условие: .Действительно,

Двигаясь по указанной ломаной, лиса избегает погони, не выходя при этом за пределы сектора  в круге радиуса r.

окажем теперь, что лиса спасается внутри сколь угодно малого сектора.

Если теперь вместо числа a взять любое сколь угодно малое число ε и строить ломаную так же, как в предыдущей части, с длинами звеньев ε/2, ε/3, ε/4 и так далее, то ломаная бесконечной длины будет находиться внутри сектора с центральным углом φ: tgφ=ε/( ).

Уменьшая ε, сектор можно сделать сколь угодно малым, то есть, двигаясь по ломаной, лиса спасается и в сколь угодно малом секторе (см. рис. 2).

Отметим теперь некоторые свойства сумм вида , где α – любое число.

Рис. 2

Если α < 1, то верно неравенство 1/n< 1/nα при n> 1. Каждое слагаемое суммы 1/ 2α + 1/3α + … больше слагаемых суммы = 1/2 + 1/3 +…+ 1/n . Так как  с ростом n растёт неограниченно, то и сумма 1/ 2α + 1/3α + … растёт неограниченно (α < 1).

Так как ряд  сходится, то при α > 1 сумма этого ряда остаётся конечной.

Итак, – конечное число при α > 1;

   – растёт неограниченно при α ≤ 1.

Этот факт даёт возможность строить ломаные с длинами звеньев вида а/2α + а/3α + а/4α + … (при различных α). Для такой ломаной длины  вычисляются, как и ранее:

При различных α получаем:

1. Если < α ≤ 1 , то длина ломаной растёт неограниченно. Действительно, так как < α, то 2α > 1. Следовательно,  При вычислениях мы использовали то, что . Отсюда . Поэтому

Итак, при < α ≤ 1 длина ломаной растёт неограниченно, при этом ломаная из круга не выходит. Значит, лиса спасается, двигаясь по такой ломаной.

Рис. 3

1. Если , то, так как , длина ломаной растёт неограниченно, но при этом 2α ≤ 1, т. е. сумма 1/ 22α + 1/32α + … также растёт неограниченно, и лиса выходит за пределы круга.
2. Если α > 1, то длина ломаной a/2α + a/3α + … оказывается конечной, поэтому лиса может двигаться по ней лишь конечное время и, значит, будет поймана.

Заметим, что при  лиса спасается, двигаясь внутри неограниченного сектора со сколь угодно малым центральным углом (рис. 3).

Покажем теперь, что две собаки лису в круге ловят.

Пусть внутри круга находятся лиса Л и две собаки и . Собака  находится в произвольной точке, собака  – на прямой, проходящей через Л, перпендикулярную прямой (рис. 4).

Рис. 4

Считаем, что прямые  параллельны осям . Лиса не может выйти за пределы участка, ограниченного прямыми , проходящими через середины отрезков  и  (перпендикулярно этим отрезкам).

Допустим, что лиса будет двигаться по произвольной ломаной. Для того чтобы собаки смогли поймать лису, они должны действовать согласованно. При этом их перемещения зависят от траектории движения лисы. Собаки должны двигаться так: либо параллельно движению лисы, либо симметрично движению лисы относительно прямой, параллельной одной из осей координат и проходящей через середину отрезка, который соединяет точки С и Л (положение собаки и лисы на круге). При этих действиях собаки будут смещать лису к краю круга на некоторые величины . Рассмотрим движение лисы по звену  ломаной L, а также движение собак при этом (рис. 5).

Рис. 5

Таким образом, произошло смещение собак  и , а значит, и лисы на величины  соответственно. Из рис. 6 понятно, что :

Рис. 6

Просуммируем неравенства для i= 1, 2, 3,…n,…, получим: .

Если предположить, что , то из последнего неравенства следует, что или , или , или . Ни одно из этих равенств не является верным, поскольку обе собаки находятся на конечном расстоянии от границы круга, то есть ломаная, по которой будет двигаться лиса, имеет конечную длину.

Это означает, что, двигаясь описанным способом, собаки будут смещать лису к границе круга и в конце концов ее поймают.

 Упражнения по доказательству сходимости и расходимости рядов, используемому в решении, как правило, интересны студентам, выполняются с энтузиазмом, поэтому решения хорошо запоминаются. Можно переформулировать задачу для погони в 3-мерном, а также в n-мерном пространстве. Решение студентами задач исследовательского характера является одним из первых шагов в раскрытии творческого потенциала студента, который вызывает у него интерес к науке [4]. Это поможет разнообразить набор выработанных за время учебы компетенций [5].