• Выпуски
  • Основные выпуски
  • Приложения
• Авторам
  • Правила публикации статей
  • Технические требования
  • Оплата
  • Лицензионный договор
  • График публикаций
• Редакционный совет
• Публикационная этика
• О журнале
  • Общая информация
  • Список авторов
  • Контакты
• Издательство МЦИТО

Редакционно-издательские услуги Международные публикации Бесплатные вебинары

Мирошниченко Игорь Павлович,кандидат техническихнаук, доцент,заведующий кафедрой Основы конструирования машин, ФГБОУ ВО Донскойгосударственный техническийуниверситет,г.РостовнаДонуipmir@rambler.ru

Обособенностях напряженнодеформированного состоянияслоистых цилиндрических конструкцийиз трансверсальноизотропныхматериалов

Аннотация.Статья посвящена анализу особенностей напряженнодеформированного состояния слоистых цилиндрических конструкций, выполненных из трансверсальноизотропных материалов, при импульсном воздействии, возникающих за счет кривизны поверхности рассматриваемых конструкций и физикомеханических характеристик материалов слоев.Ключевые слова: слоистая цилиндрическая конструкция, трансверсальноизотропный материал, напряженнодеформированное состояние.

Рассмотрим многослойную конструкцию, содержащую Nслоев, жестко скрепленных между собой рис. 1. Слои пронумерованы числами от 1 до N, начиная с внутреннего, при этом внутренние границы каждого nго слоя обозначены , а внешние

(n 1,, N).

Рис. 1

Слои могут быть произвольной толщины и выполнены из различных изотропных и трансверсальноизотропных конструкционных материалов со своими индивидуальными физикомеханическими характеристиками, а также обладать свойствами жидких и газообразных сред.Некоторые области V1, V2, V3, конструкции подвержены внешнему воздействию, зависящему от времени и координат. Воздействие имеетимпульсный характер одиночный импульс или несколько импульсов давления. Ограничения на форму данных импульсов и на области их приложения не накладываются. При этом в конструкции возникает сложное напряженнодеформированное состояние, формируемое не только первичным возмущением, но и возмущениями, вызванными многократными переотражениями волн от неоднородностей границ слоев, интерференционными явлениями и дифракцией.Необходимо определить это напряженнодеформированное состояние в конструкции, т.е. найти поля перемещений, напряжений и деформаций в произвольно заданных областях конструкции в любой момент времени как в процессе воздействия, так и по его завершении.Искомые поля перемещений, напряжений и деформаций в упругой постановке задачи описываются в каждом слое безисточников следующей группой соотношений, записанных в инвариантном виде 12]:

однородные уравнения движения для элемента сплошной среды в напряжениях:



(1)

соотношения закона Гука:



(2)

соотношения Коши геометрические соотношения:



(3)В уравнениях 1 и соотношениях 23 приняты следующие обозначения:

плотность конструкционного материала слоя;

контравариантныекомпоненты вектора перемещений;

ковариантная производная;

контравариантные компоненты тензора напряжений;

контравариантные компоненты тензора упругих модулей конструкционного материала слоя;

ковариантные компоненты тензора малых деформаций;

ковариантные компоненты вектора перемещений;

тензорные индексы.Подставляя 3 в 2 и далее в 1, получим систему уравнений движения в перемещениях:



(4)где по индексам и , заключенным в круглые скобки, производится симметрирование.Для нахождения перемещений из 4 необходимо сформулироватьграничные и начальные условия, которым должно удовлетворять напряженнодеформированное состояние в рассматриваемой слоистой конструкции.Решение системы уравнений движения 4, удовлетворяющее заданным граничным и начальным условиям, полностью описывает напряженнодеформированное состояние в рассматриваемом слое конструкции. Нахождение данного решения в общем случае произвольной геометрии и анизотропии представляет значительные трудности, которые связаны с векторным характером уравнений, когда для описанияполя недостаточно одной числовой величины как в случае, например, жидких сред, где вектор скорости жидкости определяется как градиент одной величины ‬скалярного потенциала 4.В рассматриваемом случае в каждой точке пространства необходимо вычислить три числовые величины. Причем очень важно правильно выбрать три скалярные функции, задающие векторное поле. Так, если в качестве этих функций выбрать декартовы компоненты вектора то подчинение найденных решений граничным условиям будет затруднено, т.к. декартовы компоненты сложным образом связаны с криволинейной цилиндрической или эллиптической граничной поверхностью. Если выразить вектор через компоненты в системе координат, соответствующей границе, то возникает другая сложность ‬скалярные уравнения не распадаются на три уравнения, содержащие каждое соответственно только одну компоненту. Получается система трех уравнений, каждое из которых содержит все три функции, что сопряжено с решением дифференциального уравнения шестого порядка 5.Классический метод решения векторных краевых задач динамической теории упругости в изотропных средах, когда уравнение 4 переходит в уравнение движения Ламе, заключается в разделении векторного поля на две части: продольную и поперечную. При этом упрощение задачи возможно только при использовании ортогональных систем координат, в которых возможно разделение переменных, и которые удовлетворяют условиям Бромвича 5. Получающиеся в этом случае три скалярные волновые уравнения описывают соответственно продольные волны и поперечные волны двух взаимно перпендикулярных поляризаций. Трудность, связанная с трансформацией этих волн друг в друга на границах, разрешается в тех случаях, когда поверхность конструкции совпадает с какойлибокоординатной поверхностью.В работе 6 данный метод обобщается на случай трансверсальноизотропных сред и на системы координат с допустимыми преобразованиями вида:



,(5)где индексы, обозначенные заглавными буквами фиксированы и соответствуют локальному аффинному базису а и являются непрерывно дифференцируемыми однозначными функциями; знаком тильда обозначены новые координаты; без такого знака координаты старые они могут быть прямоугольными декартовыми.Группа преобразований 5 включает в себя и ортогональные преобразования, которые являются их подгруппой относительно умножения.При совмещении главной оси симметрии рассматриваемой среды с инвариантным вектором уравнение 4 в случае монохроматических волн может быть представлено в виде:

,

(6)где

частота; константы являются элементами матрицы упругих постоянных, записанной по свернутому индексу 7, а

символ Кронекера.Зависимость волнового движения от координаты имеет вид и поэтому:



(7)где

модуль проекции волнового вектора на направление Решение системы уравнений 6, как показано в 5, сводится к решению трех скалярных волновых уравнений относительно функций описывающих соответственно квазипродольные, квазипоперечные и поперечные волны:



(8)Для нахождения волновых чисел , где

фазовая скорость распространения соответствующих волн, по 6 используются следующие дисперсионные уравнения:

,

(9)где верхний знак перед фигурными скобками относится к квазипродольным волнам, а нижний к квазипоперечным.Для нахождения волнового числа поперечных волн , где

фазовая скорость распространения поперечных волн, дисперсионное соотношение имеет вид:

(10)В соотношениях 9(10)

угол между волновым вектором и направлением .Из 910 волновые числа определяются следующим образом:



(11)



(12)где

Знак  в равенстве 11 относится к волновому числу квазипродольных волн, а  к волновому числу квазипоперечных волн.Общее решение дифференциальных уравнений 8 при значениях волновых чисел, определяемых соотношениями 11 и 12, используется для нахождения перемещений , напряжений и деформаций , которые записываются следующим образом 6:

(13)



(14)





(15)где





(16)





(17)

(18)

(19)





(20)



(21)Найденные функции удовлетворяют уравнению движения 6, решение которого свелось к решению трех хорошо изученных скалярных уравнений 8 с собственными значениями 11 и 12.Для решения конкретной задачи необходимо найти частное решение, соответствующее заданным граничным условиям.Решению задач для слоистых цилиндрических конструкций на основе соотношений 1315 обобщенного метода скаляризации динамических упругих полей в трансверсальноизотропных средах 6 посвящены работы 811, в которых предложен научнометодический аппарат для определения полей перемещений, напряжений и деформаций в отмеченных конструкциях

Научнометодический аппарат [811] позволяет провести анализвозникающего в конструкции сложного напряженнодеформированного состояния, формируемого не только первичным возмущением, но и возмущениями, вызванными многократными переотражениями волн от границ слоев, интерференционными явлениями и дифракцией, в произвольно заданных областях конструкции в любой момент времени как в процессе воздействия, так и по его завершении.

Для анализа особенностей влияния кривизны поверхности цилиндрических конструкций и физикомеханических характеристик трансверсальноизотропных материалов слоев проведено численное моделирование с использованием научнометодическогоаппарата[811]и оригинального программного обеспечения.Особенности влияния кривизны поверхности на напряженнодеформированное состояние.Известно, что в цилиндрических конструкциях за счет фокусирующего действия криволинейной поверхности имеет место концентрация энергии волн, что приводит к увеличению уровня амплитудных значений напряжений.Проведено численное исследование влияния кривизны на величину амплитудных значений радиальных напряжений в цилиндрической конструкции, при этом использована методика, описанная в [11].Расчетная схема изображена на рис. 2.

Рис. 2

Геометрические характеристики конструкции, отнесенной к цилиндрической системе координат задавались радиусами внешней 1 м и внутренней  1 м поверхностей. Относительная толщина данной конструкции, определенная по формуле: , составляла 0,9 при , что соответствует конструкции, в которой имеет место влияние кривизны поверхности.Материал конструкции имел следующие физикомеханические характеристики: плотность  2700 кг/м3; упругие модули  107 ГПа; 55,3 ГПа;  25,9 ГПа; коэффициенты поглощения продольных 2 м1и поперечных  1 м1волн.Воздействиепредставлялособой импульс давления с амплитудой , приложенный к внешней поверхности , при этом давление не зависело от координаты . Распределение давления по координате задавалось в виде полусинусоидального импульса в 0 с протяженностью , а его изменение во времени устанавливалось в виде функции Гаусса с длительностью  1 мкс.Первоначально рассчитывалась зависимость напряжений для фиксированного значения во времени от  0 до  150 мкс с шагом  0,1 мкс, после чего из данной зависимости выбиралось максимальное значение с одновременной регистрацией значений и момента времени .Аналогичная последовательность операций повторялась для всех от до с шагом м.На рис. 3 представлена зависимость 1, рассчитанная по указанным исходным данным. Одновременно, там же изображена аналогичная зависимость 2, полученная для пластины с равнозначной толщиной.

Рис. 3

Анализ данных зависимостей показывает, что на участке от 1 м до  0,9 м они совпадают, а далее, характер их изменения различен. Необходимо заметить, что на участке, прилегающем к  0,1 м имеет место экстремум зависимости 1.Характер изменения зависимости 2 представляет собой снижение по экспоненциальному закону амплитуды напряжений от до , что обусловлено поглощением энергии волн в материале конструкции, определяемым заданными коэффициентами и , которые соответствуют потерям продольных и поперечных волн и являются мнимыми частями волновых чисел отмеченных

типов волн.Характер зависимости 1 более сложен и зависит не только от отмеченного поглощения в материале, но и от приращения амплитуды напряжений, вызываемого концентрацией энергии волн или, другими словами, является следствием влияниякривизны поверхности рассматриваемой конструкции.На участке от  1 м до 0,9 м  0,1 при  0,9 м отмеченное приращение мало, поэтому зависимости 1 и 2 совпадают. В дальнейшем, параметр увеличивается, а приращение возрастает, в силу чего зависимость 1 по сравнению с зависимостью 2 имеет более высокие амплитудные значения . При больших значениях ( 0,8 при  0,2 м до  0,9 при  0,1 м интенсивность роста увеличивается. Последующее снижение амплитуды происходит с момента времени достижения фронтом импульса внутренней поверхности  конструкции и началом процесса отражения.На рис. 4 изображены зависимости , рассчитанные для различных значений

на участке от  0,3 м до  0,1 м в моменты времени , предшествующие достижению фронтом импульса внутренней поверхности конструкции, при этом: зависимость 5 м1; 2 ‬2 м1; 3 ‬1 м1; 4 ‬0,5 м1; 5 ‬0,25 м1.

Рис. 4

Анализ зависимостей 25 показывает, что изменение значений амплитуд пропорционально значениям коэффициентов , а характер этих зависимостей аналогичен положение экстремума соответствует одному и тому же значению и наступает в один и тот же момент времени . Отметим, что при большом поглощении в материале экстремум отсутствует, чтообусловлено компенсацией приращения за счет влияния кривизны поверхности конструкции поглощением энергии волн в материале.На рис. 5 представлены зависимости приразличных значений длительности нагрузки , приэтом: зависимость 1  5 мкс; 2 ‬4 мкс; 3 ‬3 мкс; 4 ‬2 мкс.

Рис. 5Анализ данных зависимостей показывает, что положение экстремума определяется длительностью нагрузки .На рис. 6 изображены зависимости, полученные при изменении плотности и фиксированных значениях упругих модулей , а также фиксированной плотности и различных значениях упругих модулей таким образом, что скорость распространения продольных волн в материале конструкции равна значениям, представленным в таблице1, где приведены номера зависимостей, соответствующие данным сочетаниям значений плотности и модулей .

Рис. 6

Таблица 1

Номер зависимости скорость , м/с12345= 8445= 7138= 6295= 5694= 5238Плотность  2700 кг/м3, ГПа192,5137,910788,374,1, ГПа103,774,355,347,539,9, ГПа44,431,825,920,417,1Упругие модули  107 ГПа;  55,3 ГПа;  25,9 ГПаПлотность , кг/м315002100270033003900

Анализ данных зависимостей показывает, что они попарно одинаковы, а их характер зависит от скорости , независимо от того через какую физикомеханическую характеристику она была задана. Положение экстремума определяется только длительностью .

На рис. 7 показаны зависимости

для конструкций с различной толщиной, значение которой задавалось путем изменения радиуса внешней поверхности при неизменном радиусе внутренней поверхности  0,1 м, при этом на рис.7а значение коэффициента  0,5 м1; нарис. 7б ‬

 1 м1, а на рис. 7в ‬ 2 м1. Для наглядности на данных рисунках поверхность была совмещена для всех конструкций.

а. б. в.

Рис. 7

Из рис. 7 видно, что имеет место зависимость 10, характеризующая уровень амплитудных значений в рассматриваемых конструкциях в зависимости от и . Практическая значимость данной зависимости заключается в возможности выбора наиболее оптимальной геометрии проектируемой конструкции и материала для ее изготовления.Представленные результаты исследования раскрывают особенности влияния кривизны поверхности на уровни амплитудных значений и распределения радиальных напряжений в цилиндрических конструкциях, показывают закономерности из изменения для различных сочетаний влияющих факторов и позволили предложить один из возможных подходов к оценке проектируемых конструкций.

Особенности влияния анизотропии конструкционных материалов на напряженнодеформированное состояние.Проведена численная оценка особенностей влияния анизотропии материала на напряженнодеформированное состояние в монослойной цилиндрической конструкции м и  0,5 м, выполненной из трансверсальноизотропных материалов с различной степенью анизотропии.Расчеты проводилисьпривоздействииимпульсадавления формы в виде функции Гаусса в = 0 ( 0,1 м, где ‬протяженность импульса по координате ). Зависимость давления от времени также устанавливалась в виде гауссовой функции с длительностью  1 мкс.Материал 1 имел следующие физикомеханические характеристики:

= 1650 кг/м3;  6,43 ГПа;  1,95 ГПа;  0,569 ГПа;  1,48 ГПа;

 3 м1;  2 м1.Для материала 2, перечисленные физикомеханические характеристики отличались только значением 3 ГПа.Сравнительный анализ характеристик материалов 1 и 2 свидетельствует, что материал 1 обладает более ярко выраженной анизотропией, т.к. = 2,07, а для материала 2 это отношение равно 1,42 

скорость распространения квазипродольных волн по указанным направлениям.На рис. 8 приведены распределения радиальных напряжений в моменты времени  1,1 мкс и  1,2 мкс, при этом на рис. 8а ‬для материала 1,

а на рис. 8б ‬для материала 2.

а. б.

Рис. 8Анализ полученных результатов показывает, что распространяясь в материале от места приложения воздействия на наружной поверхности импульс расширяется, а его амплитуда падает. При этом в материале 2 расширение по оси больше, чем в материале 1. Это обусловлено проявлением влияния анизотропии свойств данных материалов. Снижение амплитуды заключается в поглощении энергии волн данными материалами и не является особенностью только для анизотропных композиционных материалов.Представленный результат наглядно показывает особенности проявления анизотропии конструкционных материалов слоев и должен учитываться при проведении расчетных оценок перспективных конструкций.

Полученные результаты наиболее целесообразно использовать при создании перспективных конструкций из новых анизотропных композиционных материалов, контроле качества их изготовления и диагностике состояния в процессе эксплуатации в машиностроении, судостроении, авиастроении и т.п.

Настоящие разработки частично поддержаны грантом Российского фонда фундаментальных исследований № 160800740.

Ссылки на источники1. Новацкий,В. Теория упругости/ В. Новацкий.М.: Мир, 1975.872 с.2. МакКоннел,А.Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике/ А.Дж. МакКоннел.М.: Издательство физикоматематической литературы, 1963.411 с.3. Кристенсен,Р. Введение в механику композитов/ Р. Кристенсен.М.: Мир, 1982.334 с.4. Гринченко,В.Т. Гармонические колебания и волны в упругих телах/ В.Т. Гринченко, В.В. Мелешко.Киев: Наукова думка, 1981.284 с.5. Морс,Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т. 2/ Ф.М. Морс, Г. Фешбах.М.: Издательство иностранной литературы, 1960.896 с.6. Сизов, В.П. О скаляризации динамических упругих полей в трансверсальноизотропных средах / В.П. Сизов // Известия АН. Механика твердого тела.1988.№ 5.С. 5558.7. Федоров,Ф.И. Теория упругих волн в кристаллах/ Ф.И. Федоров.М.: Наука, 1965.386 с.8. Мирошниченко, И.П. Определение напряженнодеформированного состояния в слоистой цилиндрической конструкции при многократном воздействии локальных динамических нагрузок / И.П. Мирошниченко, В.П. Сизов // Известия РАН. Механика твердого тела.2000.№ 1.С. 97104.9. Мирошниченко, И.П. Исследование напряженнодеформированного состояния в слоистой цилиндрической конструкции при локальном динамическом нагружении / И.П. Мирошниченко, В.П. Сизов // Известия вузов. СевероКавказский регион. Естественные науки.1999.№ 2.С. 1922.10. Мирошниченко, И.П. Исследование влияния кривизны поверхности на амплитудные значения радиальных напряжений в цилиндрической конструкции при динамической нагрузке / И.П. Мирошниченко, В.П. Сизов // Известия вузов. СевероКавказский регион. Естественные науки.1999.№ 3.С. 4042.11. Мирошниченко, И.П. Возбуждение упругих волн в слоистых анизотропных конструкциях: монография / В.П. Сизов, И.П. Мирошниченко.Saarbrucken: LAPLAMBERTAcademicPublishing, Germany, 2012.270 с.