• Выпуски
  • Основные выпуски
  • Приложения
• Авторам
  • Правила публикации статей
  • Технические требования
  • Оплата
  • Лицензионный договор
  • График публикаций
• Редакционный совет
• Публикационная этика
• О журнале
  • Общая информация
  • Список авторов
  • Контакты
• Издательство МЦИТО

Редакционно-издательские услуги Международные публикации Бесплатные вебинары

Прокин Юрий Михайловичстудент группы ДВСб15А1, ФГБОУ ВО «Сибирский государственный автомобильнодорожный университет СибАДИ», г. Омскprokinyura@mail.ru

Практическое применение свойствнекоторых математических кривых

Аннотация.В статье рассмотрены вопросы применения свойств математических кривых на практике: в строительстве, архитектуре, производстве технических деталей и конструкций. Особое внимание уделено турбокомпрессору и его составному элементу –улитке. Решена задача расчета улитки центробежного компрессора.Ключевые слова:математические кривые, кардиоида, циклоида, улитка Паскаля, турбокомпрессор, улитка компрессора.

Математика богата необычными линиями, свойства которых находят применение во многих областях деятельности:в инженерном деле, в машиностроении, в живописи,вдизайне, в архитектуреи строительстве. Если внимательно приглядеться к окружающим нас природным объектам, техническим изобретениям, различным зданиям и сооружениям, то без труда можно заметитьзнакомые очертания окружностей, эллипсов, гипербол, парабол. Если быть более внимательным, то можно также разглядеть и такие замечательные кривые, как кардиоиды, разного рода спирали, лепестки розы, циклоиды и улитки Паскаля.Целью нашей работы является анализ кривых, свойства которых используются в технических направлениях деятельности человека. Рассмотрим некоторые наиболее часто встречающиеся в технических задачах кривые и проанализируем свойства, на которых основано применение этих кривых в различных технических разработках.1.Эллипсобладает некоторыми особенными свойствами, благодаря которым эллиптическая форма используется на практике. Так, например, оптическое свойствоэллипса заключается в том, чтопрямые, соединяющие любую еготочку с фокусами, составляют с касательной к эллипсу в этой точке равные углы. Из физики известно, что акустические волны распространяются подобно тому, как световые лучи, отражаясь от эллипса, в одном из фокусов которого сосредоточен источник света, собираются в другом его фокусе. Именно это свойство эллипса используют архитекторы при созданиинеобычных звуковых эффектов: «говорящих» бюстов, «магического»шёпота, «потусторонних» звуков.Внекоторых пещерах и искусственных сооружениях, своды которых имеют формуэллипса, можно пронаблюдать этот акустический эффект. Так, например,если один человек стоит в одном из фокусов, то речь другого человека, находящегося в другом фокусе, слышна так, как будто он находится рядом, хотя на самом деле расстояние велико.Благодаря своей отражающей способности,эллипсы широко применяют в архитектуре: используют в постройке куполов дворцов и соборов, а также амфитеатров, чтобы зрители четко слышали актеров. Например, «Зал секретов» Альгамбры в Гранаде и собор Святого Петра в Лондоне –Рис. 1,а).Заметим также, что форму в виде эллипса применяют и в технике, например, при изготовлении щекопределенной толщины, которые соединяют коренную шейку с шатунной шейкой коленчатого валаРис.1,б.

а

б

Рис. 1.а Купол собора Святого Петра в Лондоне вид изнутри, б коленчатый вал

2.Параболатак же, как и эллипс,обладает оптическим свойством: все лучи, исходящие из источника света, находящегося в фокусе параболы, после отражения направленыпараллельно её оси. Это свойство параболы используется при изготовлении прожекторов, автомобильных фар, карманных фонариков и др.В архитектуре формупараболы имеют различные арки, например, ворота СентЛуисав Миссури Рис. 2,а. Испанский архитектор Антонио Гауди использовал эту кривую во многих своих творениях, например, при строительстве одной из самых известных достопримечательностей Барселоны здания Каса Мила Рис. 2,б.



Рис. 2. а Ворота СентЛуиса в Миссури, б Каса Мила в Барселоне

3.Клотоида, или спираль Корню–кривая, часто используемаяв гражданском строительстве, поскольку она позволяет машинам сохранять на изгибах дорогпостоянную скоростьРис. 3 ,а,б. При этом водителю не приходится бороться с рулем или центробежной силой, а пассажиры вэтом случае не испытывают дискомфорта, и, что самое главное, риск аварии в этом случае сводитсяк минимуму.



Рис. 3а Спираль Корню, б участок автотрассы

4.Циклоида–это кривая, описываемая точкой окружности, катящейся по прямойРис. 4,а[1]. Циклоида обладает множеством интересных и важныхсвойств. Ее называют кривойнаискорейшего спуска, поэтомуне случайно, чтотрюки на скейтборде, выполняемыена трамплине именно такой формы,получаются зрелищнее.В технических конструкциях свойства циклоиды используют при изготовлении редукторов и моторедукторовРис. 4,б.

а

б

Рис. 4. а Циклоида ; б Компактные высокоточные редукторы, основанные на работе циклоидной передачи

5.Кардиоида и Улитка Паскаля.Название «кардиоида»эта кривая получила изза своего сходства с сердцем «кардио»,в переводе с греческого означает «сердце»Рис. 5,а[1]. Если, точку, описывающую кривую, взять не на самой окружности, а немногосбоку, то получим другую кривую улиткуПаскаляРис. 5,б. Улитка Паскаля применяется для вычерчивания профиля эксцентрика, если требуется, чтобы скользящий по профилю стержень совершал гармонические колебания. Вмеханике автомашин такие механизмы отличаются плавностью возвратнопоступательного движения стержня.Так, например, вращение валика без кулачка осуществляется относительно центральной оси. Если от центральной оси произойдет смещение в сторону вправо или влево, то получим эксцентрикРис. 5,в.

а

б

вРис. 5. а кардиоида ; б улитка Паскаля ;в редуктор на базе прецессирующей торцевой передачи с зацеплением по«улиткам Паскаля»

6.Спираль–это еще одна распространенная геометрическая форма, получившая свое применение на практике.Самые известные: спираль Архимеда и логарифмическая спираль. Спираливстречаются на горлышках бутылок, болтах, штопоре, прищепках, пружинах, винтовых лестницах, нитях накаливания электрических лампРис. 6).

а

б

в

г

Рис. 6. а Лестничный пролет в форме спирали; б крестоцвет, квадратная спираль Архимеда, листья с прямым углом; в пружина; г спиральный бур

Еще одно из устройств, внешне напоминающих логарифмическую спираль, а, возможно,и эвольвенту окружности Рис. 7,а,б –улитка турбокомпрессора Рис. 7,в. Остановимся на этом устройстве более подробно.

а

б

вРис. 7. а Логарифмическая спираль: , б Эвольвента окружности ;в турбокомпрессор

Турбокомпрессорпредназначен для подачи воздуха в дизель под избыточным давлением с целью увеличения его мощности и экономичности[2].Улитка компрессорахолодная улитка устройство, через которое всасывается и нагнетается воздух. Выполняется из сплава алюминия и других металлов. Стоит отметить, что для каждой марки автомобилей изготавливается определенная модель турбокомпрессора и холодная улитка, в свою очередь, имеет свой уникальный сплав. Данный элемент турбокомпрессора способен выдерживать температуру до 200 °С, имеет точные формы и размеры[3, 4].Отметим, что внешне улитка напоминает эвольвенту окружности или логарифмическую спираль.Остановимся на этой улитке более подробно. На рис. 8приведена схема проточной части турбокомпрессора, где указано положение улитки[4].

Рис.8. Схема проточной части центробежного компрессора:1 –рабочее колесо; 2 –диффузор; 3 –улитка, 44 –сечение на выходе из улитки

Поставим перед собой следующую задачу.Разработать улитку, у которой площадьна выходе была бы равна площади входа вкомпрессор.На рисунке 9показана схема улитки центробежного компрессора. Угол φотсчитывается от начального сечения улитки до полного разворота 00–3600). Величина Rφпредставляет собой радиус центра тяжести проходного сечения улитки. Сечение 5–5характеризует наибольшую площадь улитки. Далее сечениеулитки переходит в расширяющийся патрубок. Его длина обозначена как Lп, а выходное сечение обозначено через К–К[4].

Рис. 9. Схема улитки центробежного компрессора

Произведем расчет улитки.1.Площадь входного отверстия рассчитывается по формуле: 2.При см: а диаметр колеса равен 7см; б диаметр диффузора равен 10см3.Тогда на выходе площадь улитки равна входному отверстию что составляет: (см2)В расчетах эта величина 19,625 см2).Приближенно проходные сечения улитки можно определить по таблице 1, в которой указаны изменения площади улитки Sφот углаφизмерения проведены в лаборатории на настоящей модели.ВеличинаSφприведена при изменении углаφот 00до 360одозначения площади S5, на выходе из улитки. Зависимость изменения площади улитки S от угла φ представлена в табличном виде табл.1). Таблица 1Изменение площади улитки в зависимости от угла разворота

Sφ0,1S50,1S50,25S50,35S50,45S50,55S50,65S50,8S50,9S51,0S5φо04080120160200240280320360

При 19,625 см2 график зависимости Sφот углаφнапоминает прямую линию Рис. 10).



Рис. 10. График зависимости площади улитки от угла разворота

Тогда в соответствии с отображенной в таблице 1 зависимостью можно вычислить радиус в каждой из этих точек. Воспользуемся формулой следует из формулы ). Для удобства можно занести все значения Rв таблицу2Отметим, что за радиус улитки в данном случае следует считать радиус отверстия.Таблица 2Изменение радиуса улитки в зависимости от угла поворота

φ04080120160200240280320360R00,791,251,4791,6771,852,0162,2362,3722,5

Также эту зависимость можно отобразить графическиРис. 11)

Рис. 11. Зависимость радиуса улитки от угла поворота

Процесс поиска решения данной задачи можно организовать в форме лабораторной работы. Как известно, лабораторные работы, эксперименты, исследования межпредметного характера способствуют лучшемупониманию и усвоению многих понятий математики, активизируют познавательную деятельность студентов,формируют положительное отношение к предмету [5, 6]. Кроме того, решение подобных задач и рассмотрение примеров прикладного характера, по мнению ряда методистов, было бы полезно студентам технических направлений. Постановка заданий, направленных на поиск межпредметных связей математики и дисциплин технического цикла с последующим представлением результатов в форме проектов–одна из форм контроля и оценки знаний студентов на современном этапе образования [7,8]. Анализ свойств математических кривых и их применение в практической и производственной деятельности различного характера, приведенный в данной работе,показал,что математические кривые весьма разнообразны и обладают огромным прикладным потенциалом, поскольку, опираясь на их свойства, можно разрабатывать разного рода конструкции и детали в технике и машиностроении, строительстве и архитектуре, наблюдать их проявлениев природных явлениях и в быту. Результат проделанной работы один из многочисленных примеров демонстрации прикладного потенциала математики при решении технических задач. Такая работа может перерасти в весьма серьезный проект, научноисследовательскую, курсовую работу междисциплинарного характера, ориентированную на будущих представителей инженерной отрасли.

Ссылки на источники1.Бронштейн И.С.Справочник по математике / И.С. Бронштейн, К.А.Семендяев. –Москва: Государственное Издательство ФизикоМатематической Литературы, 1962. –608 с.2.Введение в специальность: Методические указания к практическим работам по специальности «Двигатели внутреннего сгорания» / Сост. Ю.П.Макушев, Л.Ю.Михайлова, А.А. Скок. –Омск: Издво СибАДИ, 2008. –48 с.3.Хак Г. Турбодвигатели и компрессоры: Справочное пособие / Г. Хак, Лангкабель. –М.: ООО «издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003. –351 с.4.Интегральное и дифференциальное исчисления в приложении к технике : Монография / Ю.П.Макушев, Т.А.Полякова, В.В.Рындин, Т.Т.Токтаганов; под ред. Ю.П.Макушева. –Павлодар : Кереку, 2013. –330 с.5.ШиршоваТ.А. Лабораторные работы как средство мотивации и активизации учебной деятельности учащихся/ Т. А.Ширшова, Т. А. Полякова// Омский научный вестник. –2015. № 4 141. –С. 188190. 6.Ширшова Т.А. Использование лабораторных работ в процессе обучения математике/ Т.А.Ширшова, Т.А. Полякова// Академический журнал Западной Сибири. 2015. Т. 11. №4(59). С. 112113. 7.Полякова Т.А. Организация проектноисследовательской деятельности студентов [Электронный ресурс] / Т.А. Полякова // Архитектурностроительный и дорожнотранспортный комплексы : проблемы, перспективы, новации : материалы Международной научнопрактической конференции, 79 декабря 2016 года. –Электрон. дан. Омск : СибАДИ, 2016. –Режим доступа : htt://bek.sibadi.org/fulltext/ed2224.df, свободный после авторизации. –Загл. с экрана. С. 12661270.8.Полякова Т.А.Метод проектов в обученииматематике/ Полякова Т.А.// Архитектура, строительство, транспорт: материалы Международной научнопрактической конференции к 85летию ФГБОУ ВПО "СибАДИ". Омск: СибАДИ, 2015. С.18591863.