Формирование пространственных представлений учащихся 5–6-х классов в пропедевтическом курсе геометрии
Н.
А. ЗеленинаБиблиографическое описание статьи для цитирования:
Зеленина
Н.
А.,
Смирнова
М.
В. Формирование пространственных представлений учащихся 5–6-х классов в пропедевтическом курсе геометрии // Научно-методический электронный журнал «Концепт». –
2011. – 1 квартал 2011. – С.
11–15. – URL:
http://e-koncept.ru/2011/11103.htm.
Аннотация. В этой статье авторы делают попытку систематизировать виды геометрических упражнений, предназначенных для формирования пространственных представлений учащихся, изучающих пропедевтический курс геометрии.
Ключевые слова:
математическое развитие личности, наблюдение, ориентация в пространстве, «геометрическая зоркость»
Текст статьи
Зеленина Наталья Алексеевна,кандидат педагогических наук, доцент кафедрыматематического анализа и методики обучения математики ФГБОУ ВПО «Вятский государственный гуманитарный университет», г. Кировsezel@mail.ru
СмирноваМарина Валерьевна,выпускница факультета информатики, математики и физики ФГБОУ ВПО «Вятский государственный гуманитарный университет», г. Киров
Формирование пространственных представлений учащихся 5–6х классов в пропедевтическом курсе геометрии
Аннотация. В этой статье авторы делают попытку систематизировать виды геометрических упражнений, предназначенных для формирования пространственных представлений учащихся, изучающих пропедевтическийкурс геометрии.Ключевые слова: математическое развитие личности, наблюдение, ориентация в пространстве,«геометрическая зоркость».
В настоящее время в качестве одного из главных критериев математического развития личности многие психологи рассматривают уровень развития пространственного мышления, который характеризуется умением оперировать пространственными образами. Психологические исследования показывают, что представления о геометрических фигурах находятся в стадии прогрессивного развития до 15 лет. Сензитивным периодом для развития образных компонентов мышления является школьный возраст до 12–13 лет. Именно поэтому по окончании начальной школы у учащихся более развиты объѐмные представления, чем плоскостные. У учеников 9–11х классов, по мнению психологов (К.Д.Мдивани, Б.Ф.Ломов), преобладают планиметрические представления. Всѐ это говорит о том, что пространственное мышление как разновидность образного мышления целесообразно активно развивать уже в 5–6х классах школы.Особенности восприятия объектов, усвоения учебного материала требуют при изучении геометрии опоры на жизненный опыт ученика, его практическую деятельность, обязательно включающую осязание. В связи с этим следует начинать изучение геометрического материала с объѐмных фигур –с их моделями ребѐнок постоянно имеет дело в повседневной жизни. Далее следует рассматривать объѐмные и плоские фигуры совместно, так как в детском возрасте наблюдается более тесная взаимосвязь развития плоскостных и объѐмных представлений [1].Важную роль при разработке содержания, ориентированного на формирование и развитие пространственных представлений при обучении математике, играет система специальных упражнений. Основу такой системы должны составить упражнения, которые требуют оперирования ранее созданными пространственными представлениями, в которых происходит включение пространственных представлений в новые связи, помещение их в новые условия, определяемые задачей.Проведѐнное нами исследование показало, что для формирования пространственных представлений учащихся 5–6х классов целесообразно использовать упражнения на наблюдениеи упражнения на ориентацию в пространстве.Остановимся подробно на упражнениях первого вида.Наблюдение предметов окружающей действительности, моделей простейших фигур, выполнение под руководством учителя анализа увиденного позволяет учащимся 5–6х классов накапливать геометрические факты, переработка которых в их сознании приводит к формированию и развитию пространственных представлений.Можно выделить три вида упражнений на наблюдение: на распознавание моделей, на рассмотрение чертежей и на одновременную работу с моделью, чертежом и рисунком.I. Распознавание моделей.1.
Учащимся демонстрируется набор моделей (рис. 1) и предлагается найти среди них пирамиду (конус).2.
Учащимся предъявляются пары моделей: параллелепипед и призма, конус и пирамида, цилиндр и параллелепипед, пирамида и треугольник (рис. 2, а–г). Предлагается сравнить модели каждой пары, выявив их сходство и различие. 3.Среди моделей на рис. 3 указать те, которые имеют центр (ось) симметрии. 4.
На подставку, края которой окрашены в разные цвета, например в красный и зеленый, помещаются несколько различных моделей (рис. 4). Требуется указать, какая из моделей, конус или цилиндр, находится ближе к красному (зеленому) краю стола. Описать, используя слова «справа», «слева», «перед», «сзади», местоположение шара (призмы) относительно цилиндра (конуса или пирамиды).Дадим характеристику этим заданиям.Задание 1 «на распознавание» учит школьников мысленно представлять виденную уже однажды фигуру, выделять те ее свойства, которые позволяют отыскать ее среди множества других фигур. Весьма полезно включать в наборы моделей как пространственные, так и плоские фигуры. Пространственные модели нужно располагать в различных положениях. Например, на рис. 1 мы видим как стоящий конус (6), так и «лежащий» (15). Там же мы встречаем две пирамиды: одна стоит на основании (13), другая –на боковой грани (17) и т. д.Рис. 1Рис. 2Рис. 3Рис. 4Такие задания позволяют уточнить уже имеющиеся у учеников первоначальные представления о пространственных фигурах. Учащиеся уже не просто выбирают модель, а вспоминают прежде всего, характерные свойства требуемой фигуры, соотнося их с признаками данных моделей.При выполнении задания 2 важно, чтобы учащиеся не просто указывали «это цилиндр, а это пирамида», а путем рассуждений выявляли сходные или различные свойства этих фигур.Так, при сравнении призмы с параллелепипедом они должны рассуждать следующим образом: «обе эти фигуры являются пространственными, но они имеют неодинаковое количество граней, ребер, вершин, так как у одной фигуры в основании лежит треугольник, а у другой –прямоугольник. Боковые грани обеих фигур есть прямоугольники». В 6м классе учащиеся могут проверить с помощью угольника перпендикулярность ребер основаниям. Сравнивая круглые тела и многогранники, учащиеся всегда сами убеждаются, что у известных им круглых тел (конус, цилиндр, шар) или вообще нет вершин (цилиндр, шар) или одна вершина (конус). Они часто замечают, что круглые тела можно катить, а многогранники катить невозможно.Что касается задания 4, то такого рода упражнения помогают учащимся лучше ориентироваться в пространстве, определяя местоположение окружающих их объектов и выявляя при этом пространственные отношения как между объектами, так и между их элементами.II. Рассмотрение чертежей.1.Подсчитайте число лучей на рис. 5 а.2.Что общего и что различного в расположении отрезков на рис. 5а и 5б?3.Сколько углов вы видите на рис. 6а; на рис. 6б?
4.Сколько треугольников на рис. 7а; на рис. 7б?5.Укажите, в каких случаях фигуры на рис. 8 симметричны относительно оси. Проверьте свои ответы измерениями.5.На рис. 9 угол AOBразвернутый, лучи OD, ОМи ON–биссектрисы углов АОВ, DOA, DOBсоответственно. Найдите, не пользуясь измерениями, прямые углы на этом рисунке.6.Какие из фигур на рис. 10 симметричны относительно а) оси Ох, б)оси Oy?Рис. 5Рис. 6Рис. 77.На рис. 11 изображен параллелепипед. Укажите, какие из его вершин можно соединить отрезками такой же длины, что и отрезок: а)АВ, б)АС, в) BD. Проверьте свои ответы измерениями по каркасной модели.Упражнения 1–8 развивают «геометрическую зоркость» учащихся. Выполняя их, учащиеся должны прежде всего уяснить себе, о какой фигуре идет речь. Для этого необходимо вспомнить характеристические признаки фигуры, представить себе эту фигуру и выделить ее на чертеже. Эти упражнения нацелены на тренировку учащихся в умении ориентироваться в сложных конфигурациях, вычленяя из них более простые элементы, не теряя в то же время из виду всю конфигурацию в целом.В 5–6х классах учащихся следует готовить к доказательству геометрических положений, многие из которых первоначально кажутся им очевидными. В силу этого особое значение приобретает иллюстрация зрительных иллюзий, убеждающая детей в том, что мы не можем безраздельно доверять нашим органам чувств. Задания, указанные ниже, помогают учащимся уяснить, что выводы, получаемые с помощью наблюдений, необходимо проверять измерениями и путем логических умозаключений.8.Определите на глаз значения угловна рис. 12. Проверьте свои результаты транспортиром.9.
Какие из квадратов на рис. 13 больше? Светлые или темные?Рис. 8Рис. 9Рис. 10Рис. 11Рис. 12Рис. 13Рис. 14
Рис. 1510.
Одинаковы ли круги на рис. 14 а и на рис. 14 б?11.
Являются ли параллельными линии си dна рис. 15 а, б?12.
Какой из отрезков на рис. 16 а–в длиннее: c или d?13. Могут ли существовать тела, изображенные на рис. 17?Необходимо сообщить учащимся причины возникновения зрительных иллюзий. Например, глаз переоценивает величину острого и недооценивает величину тупого угла –с этим фактом учащиеся столкнутся в упражнении 9. Погрешности в ответах к заданию 10 связаны с тем, что темная фигура на светлом фоне кажется больше, чем равная ей фигура, расположенная на темном фоне. В заданиях 11–13 использован тот факт, что наш глаз делает ошибку в определении размеров фигур в «заполненном» и «пустом» пространстве, искаженно воспринимает направления, расстояния и формы фигур под влиянием других близко размещенных предметов и фигур. Несколько особняком стоит задание 14. Оно иллюстрирует следующую мысль: нарисовать можно любую фигуру, даже ту, которой нет в действительности. Поэтому надо осторожно относиться к рисункам, проверяя их правильность на моделях или путем рассуждений [2].III. Одновременное рассмотрение модели, чертежа и рисунка.1.Рассмотреть модель куба и найти его развертку среди конфигураций на рис. 18.2.На рис. 19 а, б даны развертки прямоугольных параллелепипедов и на них отмечены кружок и крестик. Перенести их на имеющиеся модели этих фигур.Рис. 16Рис. 17Рис. 18Рис. 193.На модели прямоугольного параллелепипеда (рис. 20 а) отмечены кружок и крестик. Перенести их на развертку этой же модели (рис. 20 б).4.Расположить модель куба так, чтобы наблюдатель видел ее сначала в положении а) на рис. 21, потом в положении б) на том же рисунке. Аналогичное задание выполнить для конуса (рис. 21 в, г).5.Дана модель цилиндра (пирамиды). Нарисовать ее в различных положениях к наблюдателю.6.Модель правильной четырехугольной пирамиды окрашена так, что ее основание красного цвета, а боковые грани поочередно зеленые или желтые. Раскрасить развертку пирамиды в соответствующие цвета.7.На рис. 4 несколько моделей. Такие же модели раздаются учащимся. Требуется расположить их так, как указано на рисунке [3].При выполнении работ по наблюдению наиболее трудным является переход к обобщению наблюдаемых фактов, доведение частных случаев до общего положения, обучение учащихся использованию установленных ранее фактов для обоснования новых фактов и для решения конкретных задач. Задачи на наблюдение подводят учащихся к необходимости доказательств, чем обеспечивается база для предстоящего изучения систематического курса геометрии.Однако выполнение таких заданий учителю нужно строго контролировать. Следует требовать, чтобы учащиеся не только указывали тот или иной объект, но и давали хотя бы простейшие пояснения, уточняли, почему выбрано то или иное решение. Когда учащиеся рассуждают вслух, у них отрабатывается четкость математической речи, и этим подготавливается почва для овладения умением строить дедуктивные выводы.Планомерная и систематическая реализация предлагаемой системы упражнений помогает подвести учащихся к необходимому уровню развития пространственных представлений и подготовить их к изучению систематического курса геометрии.
Ссылки на источники1.ЯкиманскаяИ.С. Развитие пространственного мышления школьников: учеб. пособие для студ. пед. вузов. –М.: Просвещение, 1980. –239 с.2.ВерченкоВ.Б. Задания на наблюдения для развития пространственных представлений у учащихся 5–6 классов // Математика в школе. –1982. № 3. –С.34–39.3.ПодходоваН.С. Развитие пространственного мышления учащихся 5–6 классов // Математика в школе. –1997. –№ 2. –С. 29–34.
ZeleninаNatalia,Ph.D., assistant professor of mathematical analysis and methyl procedure was teaching mathematics of Vyatka State University humanities, Kirovsezel@mail.ruSmirnova Marina,graduate of the Faculty of Informatics, Mathematics and Physics FGBOU VPO "Vyatka State University of Humanities", KirovFormation of spatial representations of students 56grade introductory course in geometryAbstract.In this paper, the authors make an attempt to systematize the kind of geometric exercises, intended to form spatial representations learnersintroductory course geometry.Keywords:mathematical development of the personality, observation, orientation of the space, "geometric vigilance".Рис. 20Рис. 21
СмирноваМарина Валерьевна,выпускница факультета информатики, математики и физики ФГБОУ ВПО «Вятский государственный гуманитарный университет», г. Киров
Формирование пространственных представлений учащихся 5–6х классов в пропедевтическом курсе геометрии
Аннотация. В этой статье авторы делают попытку систематизировать виды геометрических упражнений, предназначенных для формирования пространственных представлений учащихся, изучающих пропедевтическийкурс геометрии.Ключевые слова: математическое развитие личности, наблюдение, ориентация в пространстве,«геометрическая зоркость».
В настоящее время в качестве одного из главных критериев математического развития личности многие психологи рассматривают уровень развития пространственного мышления, который характеризуется умением оперировать пространственными образами. Психологические исследования показывают, что представления о геометрических фигурах находятся в стадии прогрессивного развития до 15 лет. Сензитивным периодом для развития образных компонентов мышления является школьный возраст до 12–13 лет. Именно поэтому по окончании начальной школы у учащихся более развиты объѐмные представления, чем плоскостные. У учеников 9–11х классов, по мнению психологов (К.Д.Мдивани, Б.Ф.Ломов), преобладают планиметрические представления. Всѐ это говорит о том, что пространственное мышление как разновидность образного мышления целесообразно активно развивать уже в 5–6х классах школы.Особенности восприятия объектов, усвоения учебного материала требуют при изучении геометрии опоры на жизненный опыт ученика, его практическую деятельность, обязательно включающую осязание. В связи с этим следует начинать изучение геометрического материала с объѐмных фигур –с их моделями ребѐнок постоянно имеет дело в повседневной жизни. Далее следует рассматривать объѐмные и плоские фигуры совместно, так как в детском возрасте наблюдается более тесная взаимосвязь развития плоскостных и объѐмных представлений [1].Важную роль при разработке содержания, ориентированного на формирование и развитие пространственных представлений при обучении математике, играет система специальных упражнений. Основу такой системы должны составить упражнения, которые требуют оперирования ранее созданными пространственными представлениями, в которых происходит включение пространственных представлений в новые связи, помещение их в новые условия, определяемые задачей.Проведѐнное нами исследование показало, что для формирования пространственных представлений учащихся 5–6х классов целесообразно использовать упражнения на наблюдениеи упражнения на ориентацию в пространстве.Остановимся подробно на упражнениях первого вида.Наблюдение предметов окружающей действительности, моделей простейших фигур, выполнение под руководством учителя анализа увиденного позволяет учащимся 5–6х классов накапливать геометрические факты, переработка которых в их сознании приводит к формированию и развитию пространственных представлений.Можно выделить три вида упражнений на наблюдение: на распознавание моделей, на рассмотрение чертежей и на одновременную работу с моделью, чертежом и рисунком.I. Распознавание моделей.1.
Учащимся демонстрируется набор моделей (рис. 1) и предлагается найти среди них пирамиду (конус).2.
Учащимся предъявляются пары моделей: параллелепипед и призма, конус и пирамида, цилиндр и параллелепипед, пирамида и треугольник (рис. 2, а–г). Предлагается сравнить модели каждой пары, выявив их сходство и различие. 3.Среди моделей на рис. 3 указать те, которые имеют центр (ось) симметрии. 4.
На подставку, края которой окрашены в разные цвета, например в красный и зеленый, помещаются несколько различных моделей (рис. 4). Требуется указать, какая из моделей, конус или цилиндр, находится ближе к красному (зеленому) краю стола. Описать, используя слова «справа», «слева», «перед», «сзади», местоположение шара (призмы) относительно цилиндра (конуса или пирамиды).Дадим характеристику этим заданиям.Задание 1 «на распознавание» учит школьников мысленно представлять виденную уже однажды фигуру, выделять те ее свойства, которые позволяют отыскать ее среди множества других фигур. Весьма полезно включать в наборы моделей как пространственные, так и плоские фигуры. Пространственные модели нужно располагать в различных положениях. Например, на рис. 1 мы видим как стоящий конус (6), так и «лежащий» (15). Там же мы встречаем две пирамиды: одна стоит на основании (13), другая –на боковой грани (17) и т. д.Рис. 1Рис. 2Рис. 3Рис. 4Такие задания позволяют уточнить уже имеющиеся у учеников первоначальные представления о пространственных фигурах. Учащиеся уже не просто выбирают модель, а вспоминают прежде всего, характерные свойства требуемой фигуры, соотнося их с признаками данных моделей.При выполнении задания 2 важно, чтобы учащиеся не просто указывали «это цилиндр, а это пирамида», а путем рассуждений выявляли сходные или различные свойства этих фигур.Так, при сравнении призмы с параллелепипедом они должны рассуждать следующим образом: «обе эти фигуры являются пространственными, но они имеют неодинаковое количество граней, ребер, вершин, так как у одной фигуры в основании лежит треугольник, а у другой –прямоугольник. Боковые грани обеих фигур есть прямоугольники». В 6м классе учащиеся могут проверить с помощью угольника перпендикулярность ребер основаниям. Сравнивая круглые тела и многогранники, учащиеся всегда сами убеждаются, что у известных им круглых тел (конус, цилиндр, шар) или вообще нет вершин (цилиндр, шар) или одна вершина (конус). Они часто замечают, что круглые тела можно катить, а многогранники катить невозможно.Что касается задания 4, то такого рода упражнения помогают учащимся лучше ориентироваться в пространстве, определяя местоположение окружающих их объектов и выявляя при этом пространственные отношения как между объектами, так и между их элементами.II. Рассмотрение чертежей.1.Подсчитайте число лучей на рис. 5 а.2.Что общего и что различного в расположении отрезков на рис. 5а и 5б?3.Сколько углов вы видите на рис. 6а; на рис. 6б?
4.Сколько треугольников на рис. 7а; на рис. 7б?5.Укажите, в каких случаях фигуры на рис. 8 симметричны относительно оси. Проверьте свои ответы измерениями.5.На рис. 9 угол AOBразвернутый, лучи OD, ОМи ON–биссектрисы углов АОВ, DOA, DOBсоответственно. Найдите, не пользуясь измерениями, прямые углы на этом рисунке.6.Какие из фигур на рис. 10 симметричны относительно а) оси Ох, б)оси Oy?Рис. 5Рис. 6Рис. 77.На рис. 11 изображен параллелепипед. Укажите, какие из его вершин можно соединить отрезками такой же длины, что и отрезок: а)АВ, б)АС, в) BD. Проверьте свои ответы измерениями по каркасной модели.Упражнения 1–8 развивают «геометрическую зоркость» учащихся. Выполняя их, учащиеся должны прежде всего уяснить себе, о какой фигуре идет речь. Для этого необходимо вспомнить характеристические признаки фигуры, представить себе эту фигуру и выделить ее на чертеже. Эти упражнения нацелены на тренировку учащихся в умении ориентироваться в сложных конфигурациях, вычленяя из них более простые элементы, не теряя в то же время из виду всю конфигурацию в целом.В 5–6х классах учащихся следует готовить к доказательству геометрических положений, многие из которых первоначально кажутся им очевидными. В силу этого особое значение приобретает иллюстрация зрительных иллюзий, убеждающая детей в том, что мы не можем безраздельно доверять нашим органам чувств. Задания, указанные ниже, помогают учащимся уяснить, что выводы, получаемые с помощью наблюдений, необходимо проверять измерениями и путем логических умозаключений.8.Определите на глаз значения угловна рис. 12. Проверьте свои результаты транспортиром.9.
Какие из квадратов на рис. 13 больше? Светлые или темные?Рис. 8Рис. 9Рис. 10Рис. 11Рис. 12Рис. 13Рис. 14
Рис. 1510.
Одинаковы ли круги на рис. 14 а и на рис. 14 б?11.
Являются ли параллельными линии си dна рис. 15 а, б?12.
Какой из отрезков на рис. 16 а–в длиннее: c или d?13. Могут ли существовать тела, изображенные на рис. 17?Необходимо сообщить учащимся причины возникновения зрительных иллюзий. Например, глаз переоценивает величину острого и недооценивает величину тупого угла –с этим фактом учащиеся столкнутся в упражнении 9. Погрешности в ответах к заданию 10 связаны с тем, что темная фигура на светлом фоне кажется больше, чем равная ей фигура, расположенная на темном фоне. В заданиях 11–13 использован тот факт, что наш глаз делает ошибку в определении размеров фигур в «заполненном» и «пустом» пространстве, искаженно воспринимает направления, расстояния и формы фигур под влиянием других близко размещенных предметов и фигур. Несколько особняком стоит задание 14. Оно иллюстрирует следующую мысль: нарисовать можно любую фигуру, даже ту, которой нет в действительности. Поэтому надо осторожно относиться к рисункам, проверяя их правильность на моделях или путем рассуждений [2].III. Одновременное рассмотрение модели, чертежа и рисунка.1.Рассмотреть модель куба и найти его развертку среди конфигураций на рис. 18.2.На рис. 19 а, б даны развертки прямоугольных параллелепипедов и на них отмечены кружок и крестик. Перенести их на имеющиеся модели этих фигур.Рис. 16Рис. 17Рис. 18Рис. 193.На модели прямоугольного параллелепипеда (рис. 20 а) отмечены кружок и крестик. Перенести их на развертку этой же модели (рис. 20 б).4.Расположить модель куба так, чтобы наблюдатель видел ее сначала в положении а) на рис. 21, потом в положении б) на том же рисунке. Аналогичное задание выполнить для конуса (рис. 21 в, г).5.Дана модель цилиндра (пирамиды). Нарисовать ее в различных положениях к наблюдателю.6.Модель правильной четырехугольной пирамиды окрашена так, что ее основание красного цвета, а боковые грани поочередно зеленые или желтые. Раскрасить развертку пирамиды в соответствующие цвета.7.На рис. 4 несколько моделей. Такие же модели раздаются учащимся. Требуется расположить их так, как указано на рисунке [3].При выполнении работ по наблюдению наиболее трудным является переход к обобщению наблюдаемых фактов, доведение частных случаев до общего положения, обучение учащихся использованию установленных ранее фактов для обоснования новых фактов и для решения конкретных задач. Задачи на наблюдение подводят учащихся к необходимости доказательств, чем обеспечивается база для предстоящего изучения систематического курса геометрии.Однако выполнение таких заданий учителю нужно строго контролировать. Следует требовать, чтобы учащиеся не только указывали тот или иной объект, но и давали хотя бы простейшие пояснения, уточняли, почему выбрано то или иное решение. Когда учащиеся рассуждают вслух, у них отрабатывается четкость математической речи, и этим подготавливается почва для овладения умением строить дедуктивные выводы.Планомерная и систематическая реализация предлагаемой системы упражнений помогает подвести учащихся к необходимому уровню развития пространственных представлений и подготовить их к изучению систематического курса геометрии.
Ссылки на источники1.ЯкиманскаяИ.С. Развитие пространственного мышления школьников: учеб. пособие для студ. пед. вузов. –М.: Просвещение, 1980. –239 с.2.ВерченкоВ.Б. Задания на наблюдения для развития пространственных представлений у учащихся 5–6 классов // Математика в школе. –1982. № 3. –С.34–39.3.ПодходоваН.С. Развитие пространственного мышления учащихся 5–6 классов // Математика в школе. –1997. –№ 2. –С. 29–34.
ZeleninаNatalia,Ph.D., assistant professor of mathematical analysis and methyl procedure was teaching mathematics of Vyatka State University humanities, Kirovsezel@mail.ruSmirnova Marina,graduate of the Faculty of Informatics, Mathematics and Physics FGBOU VPO "Vyatka State University of Humanities", KirovFormation of spatial representations of students 56grade introductory course in geometryAbstract.In this paper, the authors make an attempt to systematize the kind of geometric exercises, intended to form spatial representations learnersintroductory course geometry.Keywords:mathematical development of the personality, observation, orientation of the space, "geometric vigilance".Рис. 20Рис. 21
