Изучение элементов комбинаторики в 5-ом классе гуманитарной направленности
М.
В. КрутихинаБиблиографическое описание статьи для цитирования:
Крутихина
М.
В.,
Рахматуллина
А.
О. Изучение элементов комбинаторики в 5-ом классе гуманитарной направленности // Научно-методический электронный журнал «Концепт». –
2013. – № 11 (ноябрь). – С.
131–135. – URL:
http://e-koncept.ru/2013/13239.htm.
Аннотация. Статья посвящена одной из важных методических задач – обучению элементам стохастической линии в курсе математики 5-го класса гуманитарной направленности. На основе целей обучения математике и особенностей учащихся названного профиля приведены методические рекомендации по изучению элементов комбинаторики.
Ключевые слова:
обучение математике в 5-ом классе, гуманитарная направленность обучения математике, комбинаторика
Текст статьи
~1~AwT 13239УДК372.851КрутихинаМаринаВикторовна,кандидатпедагогическихнаук,доценткафедры математического анализа и методики обучения математике ФГБОУ ВПО «Вятский государственный гуманитарный университет»,г. Кировkrumarvik@mail.ru
СопотАльбинаОлеговна,учитель математики МОАУ «Лицей № 21»,г. Кировal.sopot@yandex.ru
Изучениеэлементовкомбинаторикив5омклассегуманитарнойнаправленности
Аннотация. Статьяпосвященаоднойизважныхметодическихзадач–обучениюэлементамстохастическойлиниивкурсематематики5го классагуманитарнойнаправленности.Наосновецелейобученияматематикеиособенностейучащихсяназванногопрофиляприведеныметодическиерекомендациипоизучениюэлементовкомбинаторики.Ключевыеслова:обучениематематикев5омклассе,гуманитарнаянаправленностьобучения математике,комбинаторика.
Современный этап модернизации российского образования отличается введением профильного обучения на старшей ступени общеобразовательной школы. Система обучения математике в рамках профилизации является недостаточно разработанной. Обучение, как правило, ведется традиционно, без учета особенностей профиля. Еще более сложная ситуация складывается в реализации предпрофильной (8–9 классы) подготовки учащихся. Анализ специальной литературы показывает, что эта тематика слабо отражена в педагогических и методических исследованиях. Важность этого этапа обучения в профильной школе не вызывает сомнений –это и выявление склонностей и проверка способностей, и подготовка к осознанному выбору профиля а, следовательно, будущего профессионального образования. Обучение же математике требует особого внимания, поскольку этот предмет является традиционно самым сложным школьным предметом.Существующиепротиворечиямогутбытьразрешены,еслисоздатьсистемупредпрофильнойподготовкипоматематике,выделиввнейначальный–пропедевтическийэтап(5–7классы).Этоособенноактуальнодляшкол,лицеев,гимназий,вкоторыхведетсяуглубленноеизучениеотдельныхпредметов,ишкольникиужес5гоклассавовлеченывсистемуработытакихучебныхзаведений,нацеленнуюнавысокийуровеньобученияпрофильнымдисциплинам.Какпоказываетпрактика,внастоящеевремяоднимизвесьмараспространенныхявляетсягуманитарныйпрофиль,вкоторомматематическиезнанияиумениянепосредственновпрофилирующемпредметеиспользуютсяслабоилинеиспользуютсявообще,аоднойизсодержательныхлиний,изучаемыхвданномнаправлении,являетсястохастическая.
Внастоящеевремяниктонеподвергаетсомнениюнеобходимостьналичиястохастическойлиниившкольномкурсематематики.Ведьименноизучениеиосмыслениетеориивероятностейистатистическихпроблемособеннонужновнашемперенасыщенноминформациеймире.Изучениеданнойлиниивгуманитарныхклассахдостаточноактуально,посколькуученикигуманитарииимеют«недостаточно»высокую~2~AwT 13239УДК372.851мотивациюдляизученияматематики,авизменившемсявпоследнеедесятилетиероссийскомобществевероятностноемышлениесталонеобходимымкаждомучеловекуотподросткадовзрослого.Невладеяматематическимстилемвосприятияинформации,человекчастооказываетсяневсостояниипроанализироватьинформацию,важнуюдлянеголично,истановитсяжертвойдемагогииилинедобросовестнойрекламы.Поэтомудетейследуетготовитьдействоватьвусловиях,когдаоткаждогочеловекатребуютсяумениядумать,критическиосмысливатьиоцениватьпроисходящиевобществеизменения,отстаиватьсвоимыслииидеи.Всилутого,чтовыпускникигуманитарныхклассоввдальнейшем,возможно,вообщенебудутиспользоватьизучаемыйимившколематематическийматериал,аперечисленныечертынеобходимыкаждомучеловеку,ихцеленаправленноеформированиедолжностатьосновнойзадачейобучение.
Стохастическаялинияначинаетизучатьсяв5омклассе.Психологиутверждают,чтоименноэтотвозраст(10–13лет)благоприятендляформированиявероятностныхпредставлений.Согласноданнымученыхфизиологовипсихологоввсреднемзвенешколыушкольниковгуманитариевзаметнопадениеинтересакпроцессуобучениявцеломикматематикевчастности.Наурокематематикивосновнойшколе,впятыхдевятыхклассах,проводимыхпопривычнойдлянассхемеинатрадиционномматериале,уученикагуманитариязачастуюсоздаетсяощущениенепроницаемойстенымеждуизучаемымиобъектамииокружающиммиром.Изучениестохастическойлинииневозможнобезопорынапроцессы,наблюдаемыевокружающеммире,нареальныйжизненныйопытребенка,поэтомуданнаялинияспособнасодействоватьвозвращениюинтересаксамомупредмету«математика»,пропагандеегозначимостииуниверсальности.Изучениематематикивгуманитарномпрофиленаправленонадостижениеследующихцелей.
1.Овладениекомплексомматематическихзнанийиумений,необходимых:дляповседневнойжизнинавысокомкачественномуровнеипрофессиональнойдеятельности,содержаниекоторойнетребуетиспользованияматематическихзнаний,выходящихзапределыпотребностейповседневнойжизни;дляизложениянасовременномуровнешкольныхпредметовестественнонаучногоигуманитарногоциклов.2.Реализациявозможностейматематикивформированиинаучногомировоззренияшкольников,восвоениииминаучнойкартинымира.3.Формированиематематическихзнанийиматематическогоаппаратакаксредстваописанияиисследованияокружающегомираиегозакономерностей,вчастности,какбазыкомпьютернойграмотностиикультуры.4.Ознакомлениесрольюматематикивразвитиичеловеческойцивилизацииикультуры,внаучнотехническомпрогрессеобщества,всовременнойнаукеипроизводстве.Довведенияпрофильнойдифференциациившколахучителюприходилосьработатьсколлективом,вкоторомбылидетисразличнымиуровнямиинтересаиспособностейкматематике,вусловияхжепрофильнойдифференциацииклассы,какправило,болееоднородныевэтомотношении.Поэтомузначительнуюпомощьприорганизациипроцессаобучениявусловияхпрофильнойдифференциацииможетоказатьименноопоранаособенностипознавательнойдеятельностишкольникови,внекоторойстепени,наихинтересы[1].~3~AwT 13239УДК372.851Анализлитературы[2–7]позволяетвыделитьрядпсихологопедагогическихособенностейучащихсягуманитарныхклассов.Рассмотримэтиособенности.У учащихся гуманитарного профиля более развито нагляднообразное мышление:для учащихся имеет значение соответствие условия математической задачи реальной действительности. Именно на содержательном уровне проходит ее первоначальное осмысление, лишь затем начинается перевод на математический язык. Часты случаи, когда ученики не могут отвлечься от конкретного содержания и перейти на формальный уровень;построение рассуждений развернуто, причем процесс свертывания происходит очень медленно;с интересом относятся к историконаучному материалу, хорошо его запоминают и воспроизводят при ответах. Организованное специальным образом историческое содержание помогает им в освоении математических знаний;не видят необходимости в пояснениях к производимым математическим выкладкам, в обосновании чертежей и не могут их кратко сформулировать. Стараются делать наглядные чертежи, но ошибки и неточности в них переносят на решение;не ставят перед собой цели рассмотреть все возможные случаи, удовлетворяющие условию, работают с одним из них;нуждаются в том, чтобы теоретический материал получал подкрепление на примерах, доступных моделях.1.Приработесалгоритмамистроговыполняютвсепредписания.2.Низкая избирательность при запоминании математического материала. Видят решение конкретной задачи, а не прием решения задач данного вида. При выводе формулы запоминают ее вид и, если чтото забывают, то восстановить часто не могут.3.Невидятспособовдляорганизациисамоконтроля,изметодовсамостоятельнойработывыбираютколлективные.4.Восприятиекрасотыматематикинаправленонаеепроявлениевживойприроде,впроизведенияхискусства,вконкретныхматематическихобъектах.5.Изформработынаурокепредпочитаютследующие:объяснениеучителемновогоматериала,лабораторныеработы,деловыеигры,выполнениеиндивидуальныхзаданий.
Учитываяперечисленныеособенности,атакжецелиизученияматематикиучащимисягуманитарногопрофиля,намибыларазработанасерияуроковпоизучениюэлементовкомбинаторикинапропедевтическомуровневклассахгуманитарнойнаправленности.
Первыедваурокав5омклассепосвящаютсятеме«Переборвозможныхвариантов».Цельданныхзанятий–сформироватьпервоначальныенавыкирешениякомбинаторныхзадачспомощьюперебора.Напервомзанятииподаннойтемепредлагаетсяиспользоватьпрезентацию,котораявданномслучаепомогаетнаглядноизобразитьвозможныйпереборприрешениизадач.Передшкольникаминеобходимопоставитьзадачу,связаннуюсжизнью,чтовесьмаинтереснодлягуманитариев,даннаязадачапоможетсмотивироватьдетейнадальнейшуюработуиопределитьактуальностьтемыурока.
Задача 1.Представьте,чтоВыработаетевцветочноммагазине.Сколькоможносоставитьразличныхбукетов,состоящихизтрехцветов,еслиестьчетырецветка:ирис,мак,ландышироза?
~4~AwT 13239УДК372.851
Рис. 1. Решение задачи 1
Длярешенияэтойзадачиможноиспользоватьнаглядныйматериал–наборизчетырехбумажныхцветов,спомощьюкоторыхучащиесясамостоятельномогутэкспериментировать,осуществляявозможныйперебор(рис. 1).Послечего,спомощьюпрезентации,необходимопоказатьправильноерешениезадачи,атакжеввестипонятиекомбинаторнойзадачиикомбинаторики.
Далее,длязакрепления,следуетрешитьещеоднузадачусовместно.Задача 2.УМаргаритывгардеробеестьдверазличныеюбкиикофточкииоднибрюки.Сможетлиона,одеваятолькоэтивещи,всюнеделювыглядетьпоновому(рис. 2)?
Рис. 2. Условие задачи 2
Послеэтогопредлагаетсярешитьрядзадачсамостоятельно.Задача 3.Витяназавтракможетвыпитьлибочай,либосокискушатьлибоблинчики,либокусочекторта,либокекс.СкольковариантовзавтракаестьуВити?Задача 4.Имеетсясейф,вкоторомлежиткрупнаясуммаденег.Известно,чтошифрксейфусостоитизтрехзначногочисла,взаписикоторогоиспользуютсяцифры3,1,8.Составьтевсевозможныевариантышифра,еслицифрывзаписичисланеповторяются.
Вдальнейшемследуетусложнитьзадачу4тем,чтовзаписишифравместоединицыиспользуетсяноль,ицифрывзаписичисламогутповторяться.Послерешениявсехзадачследуетпредложитьрешитьнесколькихзадачспомощьюсоставлениядерева.Задача 5.В магазине продаются полотенца трех видов: в полоску, в клетку, в горошек. Вам нужно купить подарок, но денег у Вас хватает только на два полотенца. понедельникВторниксредачетвергпятницасубботавоскресенье~5~AwT 13239УДК372.851Сколько вариантов подарка из двух различных полотенец может предложить Вам продавец?
Решениевсехпредыдущихзадачможнотакжеизобразитьспомощьюдеревавариантов.Вданнойситуацииполезнодлясоставлениядереваиспользоватьинтерактивнуюдоску,какещеодинспособусилениянаглядности.Послечегопредлагаетсяввестиправилоумноженияинапримерепредыдущихзадачпоказать,каконоработает.
Припостановкедомашнегозаданиятакженеобходимоучитыватьособенностидетейгуманитариев.
Задача 6.Избумагивырежьтеполоскибелого,синегоикрасногоцветов.Сложитеизнихнабумагефлагнашейстраны,опишите,чтоозначаеткаждыйцвет.Затемпоменяйтерасположениеполосок.Сколькимиспособамиэтоможносделать?Сложитевсевозможныевариантырасположенияполосокнабумаге.Естьлисрединихфлагидругихстран?Таким образом,при постановке такого домашнего задания мы сможем учесть не только особенности мышления, но и интересы детей –гуманитариев, связанные с профилем, так как в данной задаче затрагивается и такая область знаний, как история.Навторомзанятиипотеме«Переборвозможныхвариантов»необходимозакрепитьполученныеранеезнанияиобобщитьправилапереборанаматематическихзадачах.
Задача 1.ВозьмемпроизведениерусскогописателяибаснописцаИванаАндреевичаКрылова«Квартет».Послепрочтенияотрывкаизэтогопроизведенияследуетпровестиегоанализ,используяэвристическуюбеседу:
−Ктоучастникиэтогомузыкальногоколлектива?
−Чтоониделали?
−Получаласьунихмузыка?
−Чтоонидляэтогоделали?
−Почемумузыкаопятьнеполучалась?
−Сколькосуществуетразличныхспособовпосадкиэтихживотных?
−Как,нерисуядеревоперебора,можнорешитьэтузадачу?
−Почемубаснюназвали«Квартет»?Послечегоможноперейтикрешениюматематическихзадач.Задача 2.Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4, 7?Задача 3.Сколькодвузначныхчиселможносоставитьизцифр9,7,0?Задача 4.Запишитевседвузначныечисла,взаписикоторыхиспользуютсятолькоцифры3,5,7,9.Сколькодвузначныхчиселможнозаписать,еслииспользоватькаждуюизуказанныхцифртолькоодинраз?
Следующийважныйэтапурока−контрользнаний.Наданномэтапепредлагаетсяпроверитьзнанияспомощьюсамостоятельнойработы,котораявыполняетсяввидетеста.Вкаждомвариантепредлагаетсяодназадачасвозможнымвариантомответа,необходимовыбратьправильный.
ПервыйвариантВ розыгрыше первенства страны по футболу принимает участие 16 команд. Сколькими способами могут быть распределены золотая и серебряные медали?Выберите правильный ответ. а) 256; б) 31; в) 240; г) 16.ВторойвариантВ классе 25 учащихся. Сколькими способами можно выбрать старосту класса и его заместителя?Выберите правильный ответ. а) 25; б) 600; в) 49; г) 625.~6~AwT 13239УДК372.851В качестве домашнего задания могут быть даны задачи на перебор из учебника [8].Задача5.Сколькочиселможнополучитьизчисла564,переставляяегоцифры?Запишитесамоебольшоеисамоемаленькоеизэтихчиселввидесуммыразрядныхслагаемых.Задача6.Запишитевседвузначныечисла,которыеможносоставитьизцифр0,1,2,используяпризаписичислакаждуюцифруодинраз.Сколькополучитсячисел,есликаждуюцифруиспользоватьнеодинраз?Задача7.Сашавыбралвбиблиотекепятькниг,ноодновременноможновзятьтолькодвекниги.СкольковариантоввыборадвухкнигизпятиестьуСаши?
Такжевдомашнеезаданиевойдетподготовкасообщения(однимилидвумяучащимися)обисториикомбинаторики,котороебудетзаслушиватьнаследующемуроке.ДляподготовкисообщенияученикимогутвоспользоватьсякнигойН.Я.Виленкина«Популярнаякомбинаторика»[9].Как было сказано выше, история является одним из профильных предметов гуманитариев. Изучение вероятностностохастической линии позволяет затронуть большой исторический материал. Третий урок предлагается посвятить истории комбинаторики и решению задач древности, относящихся к теме перебора, а именно, составлению магических квадратов. В начале занятия предлагается заслушать сообщение из истории возникновения и развития комбинаторики. После этого учитель может рассказать о появление магических квадратов. По данному вопросу можно использовать информацию из учебника [10, с. 55], а так же из дополнительной литературы [11]. Учащимся будет полезно узнать о том,что такое магические квадраты, где и когда они появились. Заполнение магических квадратов напрямую связано с темой перебора. В древности магические квадраты почитались и считались волшебными, о чем говорит гравюра А. Дюрера «Меланхолия», на которой изображен такой квадрат. Иллюстрацию гравюры можно вывести на экран или раздать учащимся ксерокопии. После чего необходимо потренироваться в заполнении магических квадратов. Для того чтобы сэкономить время, можно заготовить пустые квадраты и раздать их учащимся.Далее предлагается решить следующие задачи.Задача1.Составьтечетыреразличныхмагическихквадратаизчиселот1до9.Задача2.Проверьте основные свойства магического квадрата Дюрера, посчитав суммы по строкам, столбцам и диагоналям. Исследуйте другие свойства этого квадрата, посчитав сумму чисел центрального квадрата и каждого из угловых квадратов.Задача 3.Восстановитемагическиеквадраты(рис. справа).Предложенныеметодическиерекомендациибылиапробированыв2012–2013учебномгодув5вклассеМОАУ«Лицей№21г.Кирова».Проведенныеконтрольныемероприятияпоказали,чтокачествознанийучащихсяоказалосьвыше,чемприизучениидругихтемкурса.Этогоудалосьдобитьсязасчетусилениянаглядностиматериала,атакжезасчетновыхформиметодовработысучащимися.Анкетированиешкольниковпоказало,чтоунихсущественноповысилсяипознавательныйинтерес.Этипоказателипозволяютсделатьвыводобэффективностипредложеннойметодики.
Ссылки на источники1.ШестаковаЛ.Г.Математикавгуманитарныхклассах//Математикавшколе.–1996.−№1.–С.10–13.2
6
514
3
15141316
1011
8
129~7~AwT 13239УДК372.8512.БерулаваГ.А.Психологияестественнонаучногомышления: теоретикоэкспериментальноеисследование.–Томск:ИздвоТомскогоуниверситета,1991.–185с.
3.КрутецкийВ.А.Вопросыпсихологииспособностей.–Москва,1973.–379с.4.КрутецкийВ.А.Психологияматематическихспособностейшкольников.–Москва,1968.–416с.5.СмирноваИ.М.Профильнаямодельобученияматематике//Математикавшколе.–1997.–№1.–С.32–35.6.Шестакова,Л.Г.Указ. соч.7.ШестаковаЛ.Г.Организацияобученияматематикевусловияхпрофильнойдифференциации//Профильнаяшкола.–2008.−№4.–С.41–45.
8.Математика. 5класс./Г.В.Дорофеев,С.Б.Суворова,И.Ф.Шарыгин,Е.А.Бунимович[идр.];подред.Г.В.Дорофеева,И.Ф.Шарыгина.–М.:Просвещение,2003.–368с.9.ВиленкинН.Я.Популярнаякомбинаторика. –М.:Наука,1975.–208с.10.Математика. 5класс.Указ. соч.11.ВиленкинН. Я. Указ. соч.
Krutihina Marina,Ph.D., assistant professor of mathematical analysis and methods of teaching mathematics Vyatka State University of Humanities, Kirovkrumarvik@mail.ruSopot Albina,math teacher Lyceum № 21, Kiroval.sopot @ yandex.ruStudy of the elements of combinatorics 5 class humanitarian orientationAbstract.Article is devoted to one of the important methodological problems –learning elements stochastic line in mathematics courses 5th grade humanities. Based on the objectives of teaching mathematics and characteristics of students named profile lists guidelines for the study of the elements of combinatorics.Keywords:teaching mathematics in fifth grade, the humanitarian focus of teaching mathematics, combinatorics.
Рекомендованокпубликации:ГоревымП.М.,кандидатомпедагогическихнаук,главнымредакторомжурнала«Концепт»
СопотАльбинаОлеговна,учитель математики МОАУ «Лицей № 21»,г. Кировal.sopot@yandex.ru
Изучениеэлементовкомбинаторикив5омклассегуманитарнойнаправленности
Аннотация. Статьяпосвященаоднойизважныхметодическихзадач–обучениюэлементамстохастическойлиниивкурсематематики5го классагуманитарнойнаправленности.Наосновецелейобученияматематикеиособенностейучащихсяназванногопрофиляприведеныметодическиерекомендациипоизучениюэлементовкомбинаторики.Ключевыеслова:обучениематематикев5омклассе,гуманитарнаянаправленностьобучения математике,комбинаторика.
Современный этап модернизации российского образования отличается введением профильного обучения на старшей ступени общеобразовательной школы. Система обучения математике в рамках профилизации является недостаточно разработанной. Обучение, как правило, ведется традиционно, без учета особенностей профиля. Еще более сложная ситуация складывается в реализации предпрофильной (8–9 классы) подготовки учащихся. Анализ специальной литературы показывает, что эта тематика слабо отражена в педагогических и методических исследованиях. Важность этого этапа обучения в профильной школе не вызывает сомнений –это и выявление склонностей и проверка способностей, и подготовка к осознанному выбору профиля а, следовательно, будущего профессионального образования. Обучение же математике требует особого внимания, поскольку этот предмет является традиционно самым сложным школьным предметом.Существующиепротиворечиямогутбытьразрешены,еслисоздатьсистемупредпрофильнойподготовкипоматематике,выделиввнейначальный–пропедевтическийэтап(5–7классы).Этоособенноактуальнодляшкол,лицеев,гимназий,вкоторыхведетсяуглубленноеизучениеотдельныхпредметов,ишкольникиужес5гоклассавовлеченывсистемуработытакихучебныхзаведений,нацеленнуюнавысокийуровеньобученияпрофильнымдисциплинам.Какпоказываетпрактика,внастоящеевремяоднимизвесьмараспространенныхявляетсягуманитарныйпрофиль,вкоторомматематическиезнанияиумениянепосредственновпрофилирующемпредметеиспользуютсяслабоилинеиспользуютсявообще,аоднойизсодержательныхлиний,изучаемыхвданномнаправлении,являетсястохастическая.
Внастоящеевремяниктонеподвергаетсомнениюнеобходимостьналичиястохастическойлиниившкольномкурсематематики.Ведьименноизучениеиосмыслениетеориивероятностейистатистическихпроблемособеннонужновнашемперенасыщенноминформациеймире.Изучениеданнойлиниивгуманитарныхклассахдостаточноактуально,посколькуученикигуманитарииимеют«недостаточно»высокую~2~AwT 13239УДК372.851мотивациюдляизученияматематики,авизменившемсявпоследнеедесятилетиероссийскомобществевероятностноемышлениесталонеобходимымкаждомучеловекуотподросткадовзрослого.Невладеяматематическимстилемвосприятияинформации,человекчастооказываетсяневсостояниипроанализироватьинформацию,важнуюдлянеголично,истановитсяжертвойдемагогииилинедобросовестнойрекламы.Поэтомудетейследуетготовитьдействоватьвусловиях,когдаоткаждогочеловекатребуютсяумениядумать,критическиосмысливатьиоцениватьпроисходящиевобществеизменения,отстаиватьсвоимыслииидеи.Всилутого,чтовыпускникигуманитарныхклассоввдальнейшем,возможно,вообщенебудутиспользоватьизучаемыйимившколематематическийматериал,аперечисленныечертынеобходимыкаждомучеловеку,ихцеленаправленноеформированиедолжностатьосновнойзадачейобучение.
Стохастическаялинияначинаетизучатьсяв5омклассе.Психологиутверждают,чтоименноэтотвозраст(10–13лет)благоприятендляформированиявероятностныхпредставлений.Согласноданнымученыхфизиологовипсихологоввсреднемзвенешколыушкольниковгуманитариевзаметнопадениеинтересакпроцессуобучениявцеломикматематикевчастности.Наурокематематикивосновнойшколе,впятыхдевятыхклассах,проводимыхпопривычнойдлянассхемеинатрадиционномматериале,уученикагуманитариязачастуюсоздаетсяощущениенепроницаемойстенымеждуизучаемымиобъектамииокружающиммиром.Изучениестохастическойлинииневозможнобезопорынапроцессы,наблюдаемыевокружающеммире,нареальныйжизненныйопытребенка,поэтомуданнаялинияспособнасодействоватьвозвращениюинтересаксамомупредмету«математика»,пропагандеегозначимостииуниверсальности.Изучениематематикивгуманитарномпрофиленаправленонадостижениеследующихцелей.
1.Овладениекомплексомматематическихзнанийиумений,необходимых:дляповседневнойжизнинавысокомкачественномуровнеипрофессиональнойдеятельности,содержаниекоторойнетребуетиспользованияматематическихзнаний,выходящихзапределыпотребностейповседневнойжизни;дляизложениянасовременномуровнешкольныхпредметовестественнонаучногоигуманитарногоциклов.2.Реализациявозможностейматематикивформированиинаучногомировоззренияшкольников,восвоениииминаучнойкартинымира.3.Формированиематематическихзнанийиматематическогоаппаратакаксредстваописанияиисследованияокружающегомираиегозакономерностей,вчастности,какбазыкомпьютернойграмотностиикультуры.4.Ознакомлениесрольюматематикивразвитиичеловеческойцивилизацииикультуры,внаучнотехническомпрогрессеобщества,всовременнойнаукеипроизводстве.Довведенияпрофильнойдифференциациившколахучителюприходилосьработатьсколлективом,вкоторомбылидетисразличнымиуровнямиинтересаиспособностейкматематике,вусловияхжепрофильнойдифференциацииклассы,какправило,болееоднородныевэтомотношении.Поэтомузначительнуюпомощьприорганизациипроцессаобучениявусловияхпрофильнойдифференциацииможетоказатьименноопоранаособенностипознавательнойдеятельностишкольникови,внекоторойстепени,наихинтересы[1].~3~AwT 13239УДК372.851Анализлитературы[2–7]позволяетвыделитьрядпсихологопедагогическихособенностейучащихсягуманитарныхклассов.Рассмотримэтиособенности.У учащихся гуманитарного профиля более развито нагляднообразное мышление:для учащихся имеет значение соответствие условия математической задачи реальной действительности. Именно на содержательном уровне проходит ее первоначальное осмысление, лишь затем начинается перевод на математический язык. Часты случаи, когда ученики не могут отвлечься от конкретного содержания и перейти на формальный уровень;построение рассуждений развернуто, причем процесс свертывания происходит очень медленно;с интересом относятся к историконаучному материалу, хорошо его запоминают и воспроизводят при ответах. Организованное специальным образом историческое содержание помогает им в освоении математических знаний;не видят необходимости в пояснениях к производимым математическим выкладкам, в обосновании чертежей и не могут их кратко сформулировать. Стараются делать наглядные чертежи, но ошибки и неточности в них переносят на решение;не ставят перед собой цели рассмотреть все возможные случаи, удовлетворяющие условию, работают с одним из них;нуждаются в том, чтобы теоретический материал получал подкрепление на примерах, доступных моделях.1.Приработесалгоритмамистроговыполняютвсепредписания.2.Низкая избирательность при запоминании математического материала. Видят решение конкретной задачи, а не прием решения задач данного вида. При выводе формулы запоминают ее вид и, если чтото забывают, то восстановить часто не могут.3.Невидятспособовдляорганизациисамоконтроля,изметодовсамостоятельнойработывыбираютколлективные.4.Восприятиекрасотыматематикинаправленонаеепроявлениевживойприроде,впроизведенияхискусства,вконкретныхматематическихобъектах.5.Изформработынаурокепредпочитаютследующие:объяснениеучителемновогоматериала,лабораторныеработы,деловыеигры,выполнениеиндивидуальныхзаданий.
Учитываяперечисленныеособенности,атакжецелиизученияматематикиучащимисягуманитарногопрофиля,намибыларазработанасерияуроковпоизучениюэлементовкомбинаторикинапропедевтическомуровневклассахгуманитарнойнаправленности.
Первыедваурокав5омклассепосвящаютсятеме«Переборвозможныхвариантов».Цельданныхзанятий–сформироватьпервоначальныенавыкирешениякомбинаторныхзадачспомощьюперебора.Напервомзанятииподаннойтемепредлагаетсяиспользоватьпрезентацию,котораявданномслучаепомогаетнаглядноизобразитьвозможныйпереборприрешениизадач.Передшкольникаминеобходимопоставитьзадачу,связаннуюсжизнью,чтовесьмаинтереснодлягуманитариев,даннаязадачапоможетсмотивироватьдетейнадальнейшуюработуиопределитьактуальностьтемыурока.
Задача 1.Представьте,чтоВыработаетевцветочноммагазине.Сколькоможносоставитьразличныхбукетов,состоящихизтрехцветов,еслиестьчетырецветка:ирис,мак,ландышироза?
~4~AwT 13239УДК372.851
Рис. 1. Решение задачи 1
Длярешенияэтойзадачиможноиспользоватьнаглядныйматериал–наборизчетырехбумажныхцветов,спомощьюкоторыхучащиесясамостоятельномогутэкспериментировать,осуществляявозможныйперебор(рис. 1).Послечего,спомощьюпрезентации,необходимопоказатьправильноерешениезадачи,атакжеввестипонятиекомбинаторнойзадачиикомбинаторики.
Далее,длязакрепления,следуетрешитьещеоднузадачусовместно.Задача 2.УМаргаритывгардеробеестьдверазличныеюбкиикофточкииоднибрюки.Сможетлиона,одеваятолькоэтивещи,всюнеделювыглядетьпоновому(рис. 2)?
Рис. 2. Условие задачи 2
Послеэтогопредлагаетсярешитьрядзадачсамостоятельно.Задача 3.Витяназавтракможетвыпитьлибочай,либосокискушатьлибоблинчики,либокусочекторта,либокекс.СкольковариантовзавтракаестьуВити?Задача 4.Имеетсясейф,вкоторомлежиткрупнаясуммаденег.Известно,чтошифрксейфусостоитизтрехзначногочисла,взаписикоторогоиспользуютсяцифры3,1,8.Составьтевсевозможныевариантышифра,еслицифрывзаписичисланеповторяются.
Вдальнейшемследуетусложнитьзадачу4тем,чтовзаписишифравместоединицыиспользуетсяноль,ицифрывзаписичисламогутповторяться.Послерешениявсехзадачследуетпредложитьрешитьнесколькихзадачспомощьюсоставлениядерева.Задача 5.В магазине продаются полотенца трех видов: в полоску, в клетку, в горошек. Вам нужно купить подарок, но денег у Вас хватает только на два полотенца. понедельникВторниксредачетвергпятницасубботавоскресенье~5~AwT 13239УДК372.851Сколько вариантов подарка из двух различных полотенец может предложить Вам продавец?
Решениевсехпредыдущихзадачможнотакжеизобразитьспомощьюдеревавариантов.Вданнойситуацииполезнодлясоставлениядереваиспользоватьинтерактивнуюдоску,какещеодинспособусилениянаглядности.Послечегопредлагаетсяввестиправилоумноженияинапримерепредыдущихзадачпоказать,каконоработает.
Припостановкедомашнегозаданиятакженеобходимоучитыватьособенностидетейгуманитариев.
Задача 6.Избумагивырежьтеполоскибелого,синегоикрасногоцветов.Сложитеизнихнабумагефлагнашейстраны,опишите,чтоозначаеткаждыйцвет.Затемпоменяйтерасположениеполосок.Сколькимиспособамиэтоможносделать?Сложитевсевозможныевариантырасположенияполосокнабумаге.Естьлисрединихфлагидругихстран?Таким образом,при постановке такого домашнего задания мы сможем учесть не только особенности мышления, но и интересы детей –гуманитариев, связанные с профилем, так как в данной задаче затрагивается и такая область знаний, как история.Навторомзанятиипотеме«Переборвозможныхвариантов»необходимозакрепитьполученныеранеезнанияиобобщитьправилапереборанаматематическихзадачах.
Задача 1.ВозьмемпроизведениерусскогописателяибаснописцаИванаАндреевичаКрылова«Квартет».Послепрочтенияотрывкаизэтогопроизведенияследуетпровестиегоанализ,используяэвристическуюбеседу:
−Ктоучастникиэтогомузыкальногоколлектива?
−Чтоониделали?
−Получаласьунихмузыка?
−Чтоонидляэтогоделали?
−Почемумузыкаопятьнеполучалась?
−Сколькосуществуетразличныхспособовпосадкиэтихживотных?
−Как,нерисуядеревоперебора,можнорешитьэтузадачу?
−Почемубаснюназвали«Квартет»?Послечегоможноперейтикрешениюматематическихзадач.Задача 2.Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4, 7?Задача 3.Сколькодвузначныхчиселможносоставитьизцифр9,7,0?Задача 4.Запишитевседвузначныечисла,взаписикоторыхиспользуютсятолькоцифры3,5,7,9.Сколькодвузначныхчиселможнозаписать,еслииспользоватькаждуюизуказанныхцифртолькоодинраз?
Следующийважныйэтапурока−контрользнаний.Наданномэтапепредлагаетсяпроверитьзнанияспомощьюсамостоятельнойработы,котораявыполняетсяввидетеста.Вкаждомвариантепредлагаетсяодназадачасвозможнымвариантомответа,необходимовыбратьправильный.
ПервыйвариантВ розыгрыше первенства страны по футболу принимает участие 16 команд. Сколькими способами могут быть распределены золотая и серебряные медали?Выберите правильный ответ. а) 256; б) 31; в) 240; г) 16.ВторойвариантВ классе 25 учащихся. Сколькими способами можно выбрать старосту класса и его заместителя?Выберите правильный ответ. а) 25; б) 600; в) 49; г) 625.~6~AwT 13239УДК372.851В качестве домашнего задания могут быть даны задачи на перебор из учебника [8].Задача5.Сколькочиселможнополучитьизчисла564,переставляяегоцифры?Запишитесамоебольшоеисамоемаленькоеизэтихчиселввидесуммыразрядныхслагаемых.Задача6.Запишитевседвузначныечисла,которыеможносоставитьизцифр0,1,2,используяпризаписичислакаждуюцифруодинраз.Сколькополучитсячисел,есликаждуюцифруиспользоватьнеодинраз?Задача7.Сашавыбралвбиблиотекепятькниг,ноодновременноможновзятьтолькодвекниги.СкольковариантоввыборадвухкнигизпятиестьуСаши?
Такжевдомашнеезаданиевойдетподготовкасообщения(однимилидвумяучащимися)обисториикомбинаторики,котороебудетзаслушиватьнаследующемуроке.ДляподготовкисообщенияученикимогутвоспользоватьсякнигойН.Я.Виленкина«Популярнаякомбинаторика»[9].Как было сказано выше, история является одним из профильных предметов гуманитариев. Изучение вероятностностохастической линии позволяет затронуть большой исторический материал. Третий урок предлагается посвятить истории комбинаторики и решению задач древности, относящихся к теме перебора, а именно, составлению магических квадратов. В начале занятия предлагается заслушать сообщение из истории возникновения и развития комбинаторики. После этого учитель может рассказать о появление магических квадратов. По данному вопросу можно использовать информацию из учебника [10, с. 55], а так же из дополнительной литературы [11]. Учащимся будет полезно узнать о том,что такое магические квадраты, где и когда они появились. Заполнение магических квадратов напрямую связано с темой перебора. В древности магические квадраты почитались и считались волшебными, о чем говорит гравюра А. Дюрера «Меланхолия», на которой изображен такой квадрат. Иллюстрацию гравюры можно вывести на экран или раздать учащимся ксерокопии. После чего необходимо потренироваться в заполнении магических квадратов. Для того чтобы сэкономить время, можно заготовить пустые квадраты и раздать их учащимся.Далее предлагается решить следующие задачи.Задача1.Составьтечетыреразличныхмагическихквадратаизчиселот1до9.Задача2.Проверьте основные свойства магического квадрата Дюрера, посчитав суммы по строкам, столбцам и диагоналям. Исследуйте другие свойства этого квадрата, посчитав сумму чисел центрального квадрата и каждого из угловых квадратов.Задача 3.Восстановитемагическиеквадраты(рис. справа).Предложенныеметодическиерекомендациибылиапробированыв2012–2013учебномгодув5вклассеМОАУ«Лицей№21г.Кирова».Проведенныеконтрольныемероприятияпоказали,чтокачествознанийучащихсяоказалосьвыше,чемприизучениидругихтемкурса.Этогоудалосьдобитьсязасчетусилениянаглядностиматериала,атакжезасчетновыхформиметодовработысучащимися.Анкетированиешкольниковпоказало,чтоунихсущественноповысилсяипознавательныйинтерес.Этипоказателипозволяютсделатьвыводобэффективностипредложеннойметодики.
Ссылки на источники1.ШестаковаЛ.Г.Математикавгуманитарныхклассах//Математикавшколе.–1996.−№1.–С.10–13.2
6
514
3
15141316
1011
8
129~7~AwT 13239УДК372.8512.БерулаваГ.А.Психологияестественнонаучногомышления: теоретикоэкспериментальноеисследование.–Томск:ИздвоТомскогоуниверситета,1991.–185с.
3.КрутецкийВ.А.Вопросыпсихологииспособностей.–Москва,1973.–379с.4.КрутецкийВ.А.Психологияматематическихспособностейшкольников.–Москва,1968.–416с.5.СмирноваИ.М.Профильнаямодельобученияматематике//Математикавшколе.–1997.–№1.–С.32–35.6.Шестакова,Л.Г.Указ. соч.7.ШестаковаЛ.Г.Организацияобученияматематикевусловияхпрофильнойдифференциации//Профильнаяшкола.–2008.−№4.–С.41–45.
8.Математика. 5класс./Г.В.Дорофеев,С.Б.Суворова,И.Ф.Шарыгин,Е.А.Бунимович[идр.];подред.Г.В.Дорофеева,И.Ф.Шарыгина.–М.:Просвещение,2003.–368с.9.ВиленкинН.Я.Популярнаякомбинаторика. –М.:Наука,1975.–208с.10.Математика. 5класс.Указ. соч.11.ВиленкинН. Я. Указ. соч.
Krutihina Marina,Ph.D., assistant professor of mathematical analysis and methods of teaching mathematics Vyatka State University of Humanities, Kirovkrumarvik@mail.ruSopot Albina,math teacher Lyceum № 21, Kiroval.sopot @ yandex.ruStudy of the elements of combinatorics 5 class humanitarian orientationAbstract.Article is devoted to one of the important methodological problems –learning elements stochastic line in mathematics courses 5th grade humanities. Based on the objectives of teaching mathematics and characteristics of students named profile lists guidelines for the study of the elements of combinatorics.Keywords:teaching mathematics in fifth grade, the humanitarian focus of teaching mathematics, combinatorics.
Рекомендованокпубликации:ГоревымП.М.,кандидатомпедагогическихнаук,главнымредакторомжурнала«Концепт»
