Численный анализ влияния упругой податливости опор на напряженно-деформированное состояние стального каната
ART 53324
Авторы:
В.
В. Коновалов, Д.
А. Тарасов
В.
В. Коновалов, Д.
А. Тарасов Библиографическое описание статьи для цитирования:
Коновалов
В.
В.,
Тарасов
Д.
А. Численный анализ влияния упругой податливости опор на напряженно-деформированное состояние стального каната // Научно-методический электронный журнал «Концепт». –
2013. – Т. 3. – С.
1606–1610. – URL:
http://e-koncept.ru/2013/53324.htm.
Аннотация. Разработана методика определения величины провеса гибких канатов с учетом упругой податливости опор и прилагаемой внешней нагрузки. Предложенная методика расчета реализована в виде листинга математического пакета MathCAD, позволившего рассчитать параметры гибкой нити для конкретных условий нагружения.
Ключевые слова:
гибкая нить, упругая податливость опор, опорная реакция, продольное усилие, распор гибкой нити, канат
Текст статьи
Тарасов Денис Александровичаспирант
ФГБОУ ВПО Пензенская государственная технологическая академия, г.ПензаТел.: 8(8412) 982808.Email: den517375@yandex.ruКоновалов Владимир Викторовичдр техн. наук, профессор ФГБОУ ВПО Пензенская государственная технологическая академия, г.Пенза
Численный анализ влияния упругой податливости опор на напряженнодеформированное состояние стального каната
Разработана методика определения величины провеса гибких канатов с учетом упругой податливостиопор и прилагаемой внешней нагрузки. Предложенная методика расчета реализована в виде листинга математического пакета MathCAD, позволившего рассчитать параметры гибкой нити для конкретных условий нагружения.
Ключевые слова:гибкая нить, упругая податливость опор, опорная реакция, канат, продольное усилие, распор гибкой нити
Целью проводимых теоретических исследований является определениевлияния упругой податливости неподвижных опор нанапряженнодеформированноесостояние несущей системывыполненнойиз стального каната.Результаты исследований реализованы в виде методики расчета, реализованнойв математическом пакете MathCAD, а также в результатах проведенных численных исследований.Расчет стального каната осуществляется в соответствии с известными выражениями по расчету показателей для гибкой нити [13].При обозначении вертикальных опорных реакций RAи RBна расчетной схеме (рисунок 1), реакцию RAпринимаемна выit расположеннойопоре.
Рисунок1.
Расчетная схема гибкой нити:
–начальное состояние линии равновесия нити; –конечное состояние линии равновесия нити от внешнего воздействия
Поскольку упругая податливость опор νне известна до момента ееопределения, а она входит в уравнения для расчета продольного усилия T, то уравнения запишем в виде функций от упругой податливости опор.До начала проведения исследований не известна упругая податливость опор ν. Упругую податливость опор можем определить из уравнения продольного усилия T.Согласно [1], величина продольного усилия в гибкой нити:,((1)где Н(ν)–распор, т. е. горизонтальная составляющая опорных реакций в точках крепления нити, равная по величине горизонтальной составляющей продольных усилий Tво всех сечениях нити, Н; Q–поперечная сила в шарнирно опертой балке пролетом l, нагруженной той же нагрузкой, что и нить, Н.Для расчетапродольного усилия в гибкой нити Tтребуется найти распор Н в точках крепления.Для определения распора гибкой нитиприменимуравнение В. К. Качурина[4], позволяющее учесть ряд показателей –начальное состояние нити, воздействие температуры, разность отметок и податливость опор:, где для данного случая;,((2)
((3)
((4)где Е–модуль упругости материала, Па; А–площадь поперечного сечения, м2; –угол наклона хорды, град; L(ν)–приведенная длина, м; D1–характеристика начальной нагрузки, Н2м; Н1–распор нити от начальной нагрузки, Н; –коэффициент линейного расширения материала, ºС1; t–расчетный перепад температур, ºC; l–пролет нити, м; D–характеристика совместного действия начальной и дополнительной нагрузки, Н2м.С цельюрешения вышеуказанного кубического уравнения В. К. Качурина применялиформулу Кардано [5]:, где;;.((5)
((6)
((7)
((8)Приведенная длина гибкой нити при упруго податливых опорах может быть вычислена[6]:,((9)где ν–податливость опор, м/Н.Величина характеристики нагрузки вычисляется[1]:,((10)где Q–поперечная сила в шарнирно опертой балке пролетом l, нагруженная соответствующей нагрузкой.Величина распорагибкой нити от начальной нагрузки может быть определена[1]:,((11)где MHZ(xН)–значение изгибающего момента в шарнирно опертой балке пролетом l, нагруженной начальной нагрузкой, в сечении со значением абсциссы хН, Нм; fН–стрела провеса нити от начальной нагрузки для координаты хН, м.В (ф.3) выражение показываетначальное очертание нити. При отсутствииначальнойнагрузки возникает неопределенность типа . Для вычисления данной неопределенности определяется предварительно величина . Для этогоподставляемв выражения D1и H1постоянную равномерно распределеннойнагрузкиq, которой являетсявес нити [4]. После преобразований выражений получим:.((12)Определяявнутренниеусилияв балке с пролетом l, исходим из условия, что поперечная сила равняется сумме сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения. Изгибающий момент равен сумме моментов всех сил расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения относительно центра тяжести сечения. Математически внутренние усилия при изгибе можно записать в виде выражений[7]:;,((13)((14)где h(x) –плечо силы.Ордината y(хН)линии равновесия гибкой нити определяется [1]:,((15)где MZ(хН)–значение изгибающего момента в шарнирно опертой балке пролетом lв сечении со значением абсциссы хН, от совместного действия начальной и дополнительной нагрузки, Нм.Прогиб нити w(хН)в сечении с координатой хН, определяется из уравнения равновесия, учитывающее ее упругую деформацию и кинематическое перемещение:.((16)Решение представленной задачи осуществлено с учетом вышеописанной методики расчета и реализованной на основе математического пакета MathCAD[7, 8]. Представим, в качестве примера решение задачис расчетнойсхемой, представленнойна рисунке 2.Исходные данные: гибкая нить с опорами на одном уровне при длине пролета l5 м, имеется провес гибкой нити fН 0 м (координата середины пролета –xН 2,5 м), площадь поперечного сечения гибкой нити, изготовленной из стали с модулем упругости Е167057433 кН/м2составляет А0,00068418 м2, величина равномернораспределенной по длине гибкой нити нагрузки –qД 6,867 кН/м; исходная (начальная) нагрузка, вызывающая начальное очертание нити –qН 0 кН/м.Установим влияние упругой податливости опор на величину продольного усилия и прогиба гибкой нити. Для этого построим графики взаимного влияния продольного усилия и прогиба в гибкой нити от упругой податливости опор νна интервале значений от 0 до 0,001 м/кН.
Рисунок2.–Расчетная схема нагружения гибкой нити: –начальное состояние линии равновесия нити; –конечное состояние линии равновесия нити от внешнего воздействия
Рисунок3.–График зависимости продольного усилия в гибкой нити
от упругой податливости опор
Анализ графиков представленных на рисунках3 и 4 показывает, что при незначительном увеличении упругой податливости опор, значение продольного усилия в гибкой нити резко снижается, и при этом возрастает значение провиса гибкой нити.Таким образом, разработанная математическая модель,реализованная в виде численных исследований в среде математическогопакетаMathCADв соответствии с предложенной методикой расчета,позволяет оценить влияние упругой податливости опор на напряженнодеформированное состояние стального каната в условиях конкретной проектной задачи с пролетами различной величиныи различном взаимном расположении опорпри разных внешних воздействиях. Это дает возможность из условия потребной прочности и жесткости каната, подобрать его (стального каната) оптимальные параметрыс учетом имеющегося материала и сортамента.
Рисунок4.–График зависимости прогиба в гибкой нити от упругой податливости опор
Ссылки на источники:1. Справочник проектировщика промышленных, жилых и общественных зданий и сооружений. Расчетнотеоретический. В 2х кн., кн. 1 / под ред. А. А. Уманского. –изд. 2е, перераб. и доп. –М.: Стройиздат, 1972. –600 с.2. Голощапов, В. М. Теоретическая механика: учеб. пособие Ч. 3: Динамика / В.М. Голощапов, А.С. Викулов. –Пенза: Издво Пензенской ГТА, 2004. –188 с.3. Волков, В. В. Теоретическая механика: учеб. пособие / В. В. Волков, В. Ю. Зайцев, Н. В. Байкин, Н. В. Москвитина. –Пенза: Издво Пензенской ГТА, 2011. –240 с.4. Качурин, В. К. Проектирование висячих и вантовых мостов / В. К. Качурин, А. В. Брагин, Б. Г. Ерунов; под общ. ред. В. К. Качурина. –М.: Транспорт, 1971. –280 с.5. Бронштейн, И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов / И. Н. Бронштейн, К. А.Семендяев; под ред. Г. Гроше, В. Циглера. –М.: Наука, 1980. –976 с.6. Беленя, Е. И. Металлические конструкции: Спец. Курс: учеб. пособие для вузов / Е. И. Беленя, Н. Н. Стрелецкий, Г. С. Ведеников [и др.]; под общ. ред. Е. И. Беленя. –3е изд., перераб. и доп. –М.: Стройиздат, 1991. –687 с.7. Макаров, Е. Г. Сопротивление материалов на базе Mathcad. –СПб.: БХВПетербург, 2004. –512 с.8. Тарасов, Д.А. Математическое моделирование оптимизации параметров несущих элементов, выполненных из стальных канатов / Д.А. Тарасов, В.В. Коновалов, В.Ю. Зайцев // Интеграл, 2012. –№6 (68). –С.118120.Denis TarasovGraduateFGBOU VPO "Penza State Technological Academy", PenzaTel.: 8 (8412) 982808.Email: den517375@yandex.ruVladimir KonovalovDr. Sc., ProfessorFGBOU VPO "Penza State Technological Academy", Penza
Numerical analysis of the effect of support on the elastic compliancestressstrain state of wire rope
The method for determining the value of flexible rope sag with the elastic compliance ofsupports and attached external load. The proposed design procedure is implemented in the form of listing mathematical package MathCAD, which made it possible to calculate the parameters of a flexible string to the specific conditions of loading.
Keywords: flexible thread, elastic compliance support, the support reaction, kaordinates, the longitudinal force, thrust flexible string
ФГБОУ ВПО Пензенская государственная технологическая академия, г.ПензаТел.: 8(8412) 982808.Email: den517375@yandex.ruКоновалов Владимир Викторовичдр техн. наук, профессор ФГБОУ ВПО Пензенская государственная технологическая академия, г.Пенза
Численный анализ влияния упругой податливости опор на напряженнодеформированное состояние стального каната
Разработана методика определения величины провеса гибких канатов с учетом упругой податливостиопор и прилагаемой внешней нагрузки. Предложенная методика расчета реализована в виде листинга математического пакета MathCAD, позволившего рассчитать параметры гибкой нити для конкретных условий нагружения.
Ключевые слова:гибкая нить, упругая податливость опор, опорная реакция, канат, продольное усилие, распор гибкой нити
Целью проводимых теоретических исследований является определениевлияния упругой податливости неподвижных опор нанапряженнодеформированноесостояние несущей системывыполненнойиз стального каната.Результаты исследований реализованы в виде методики расчета, реализованнойв математическом пакете MathCAD, а также в результатах проведенных численных исследований.Расчет стального каната осуществляется в соответствии с известными выражениями по расчету показателей для гибкой нити [13].При обозначении вертикальных опорных реакций RAи RBна расчетной схеме (рисунок 1), реакцию RAпринимаемна выit расположеннойопоре.
Рисунок1.
Расчетная схема гибкой нити:
–начальное состояние линии равновесия нити; –конечное состояние линии равновесия нити от внешнего воздействия
Поскольку упругая податливость опор νне известна до момента ееопределения, а она входит в уравнения для расчета продольного усилия T, то уравнения запишем в виде функций от упругой податливости опор.До начала проведения исследований не известна упругая податливость опор ν. Упругую податливость опор можем определить из уравнения продольного усилия T.Согласно [1], величина продольного усилия в гибкой нити:,((1)где Н(ν)–распор, т. е. горизонтальная составляющая опорных реакций в точках крепления нити, равная по величине горизонтальной составляющей продольных усилий Tво всех сечениях нити, Н; Q–поперечная сила в шарнирно опертой балке пролетом l, нагруженной той же нагрузкой, что и нить, Н.Для расчетапродольного усилия в гибкой нити Tтребуется найти распор Н в точках крепления.Для определения распора гибкой нитиприменимуравнение В. К. Качурина[4], позволяющее учесть ряд показателей –начальное состояние нити, воздействие температуры, разность отметок и податливость опор:, где для данного случая;,((2)
((3)
((4)где Е–модуль упругости материала, Па; А–площадь поперечного сечения, м2; –угол наклона хорды, град; L(ν)–приведенная длина, м; D1–характеристика начальной нагрузки, Н2м; Н1–распор нити от начальной нагрузки, Н; –коэффициент линейного расширения материала, ºС1; t–расчетный перепад температур, ºC; l–пролет нити, м; D–характеристика совместного действия начальной и дополнительной нагрузки, Н2м.С цельюрешения вышеуказанного кубического уравнения В. К. Качурина применялиформулу Кардано [5]:, где;;.((5)
((6)
((7)
((8)Приведенная длина гибкой нити при упруго податливых опорах может быть вычислена[6]:,((9)где ν–податливость опор, м/Н.Величина характеристики нагрузки вычисляется[1]:,((10)где Q–поперечная сила в шарнирно опертой балке пролетом l, нагруженная соответствующей нагрузкой.Величина распорагибкой нити от начальной нагрузки может быть определена[1]:,((11)где MHZ(xН)–значение изгибающего момента в шарнирно опертой балке пролетом l, нагруженной начальной нагрузкой, в сечении со значением абсциссы хН, Нм; fН–стрела провеса нити от начальной нагрузки для координаты хН, м.В (ф.3) выражение показываетначальное очертание нити. При отсутствииначальнойнагрузки возникает неопределенность типа . Для вычисления данной неопределенности определяется предварительно величина . Для этогоподставляемв выражения D1и H1постоянную равномерно распределеннойнагрузкиq, которой являетсявес нити [4]. После преобразований выражений получим:.((12)Определяявнутренниеусилияв балке с пролетом l, исходим из условия, что поперечная сила равняется сумме сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения. Изгибающий момент равен сумме моментов всех сил расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения относительно центра тяжести сечения. Математически внутренние усилия при изгибе можно записать в виде выражений[7]:;,((13)((14)где h(x) –плечо силы.Ордината y(хН)линии равновесия гибкой нити определяется [1]:,((15)где MZ(хН)–значение изгибающего момента в шарнирно опертой балке пролетом lв сечении со значением абсциссы хН, от совместного действия начальной и дополнительной нагрузки, Нм.Прогиб нити w(хН)в сечении с координатой хН, определяется из уравнения равновесия, учитывающее ее упругую деформацию и кинематическое перемещение:.((16)Решение представленной задачи осуществлено с учетом вышеописанной методики расчета и реализованной на основе математического пакета MathCAD[7, 8]. Представим, в качестве примера решение задачис расчетнойсхемой, представленнойна рисунке 2.Исходные данные: гибкая нить с опорами на одном уровне при длине пролета l5 м, имеется провес гибкой нити fН 0 м (координата середины пролета –xН 2,5 м), площадь поперечного сечения гибкой нити, изготовленной из стали с модулем упругости Е167057433 кН/м2составляет А0,00068418 м2, величина равномернораспределенной по длине гибкой нити нагрузки –qД 6,867 кН/м; исходная (начальная) нагрузка, вызывающая начальное очертание нити –qН 0 кН/м.Установим влияние упругой податливости опор на величину продольного усилия и прогиба гибкой нити. Для этого построим графики взаимного влияния продольного усилия и прогиба в гибкой нити от упругой податливости опор νна интервале значений от 0 до 0,001 м/кН.
Рисунок2.–Расчетная схема нагружения гибкой нити: –начальное состояние линии равновесия нити; –конечное состояние линии равновесия нити от внешнего воздействия
Рисунок3.–График зависимости продольного усилия в гибкой нити
от упругой податливости опор
Анализ графиков представленных на рисунках3 и 4 показывает, что при незначительном увеличении упругой податливости опор, значение продольного усилия в гибкой нити резко снижается, и при этом возрастает значение провиса гибкой нити.Таким образом, разработанная математическая модель,реализованная в виде численных исследований в среде математическогопакетаMathCADв соответствии с предложенной методикой расчета,позволяет оценить влияние упругой податливости опор на напряженнодеформированное состояние стального каната в условиях конкретной проектной задачи с пролетами различной величиныи различном взаимном расположении опорпри разных внешних воздействиях. Это дает возможность из условия потребной прочности и жесткости каната, подобрать его (стального каната) оптимальные параметрыс учетом имеющегося материала и сортамента.
Рисунок4.–График зависимости прогиба в гибкой нити от упругой податливости опор
Ссылки на источники:1. Справочник проектировщика промышленных, жилых и общественных зданий и сооружений. Расчетнотеоретический. В 2х кн., кн. 1 / под ред. А. А. Уманского. –изд. 2е, перераб. и доп. –М.: Стройиздат, 1972. –600 с.2. Голощапов, В. М. Теоретическая механика: учеб. пособие Ч. 3: Динамика / В.М. Голощапов, А.С. Викулов. –Пенза: Издво Пензенской ГТА, 2004. –188 с.3. Волков, В. В. Теоретическая механика: учеб. пособие / В. В. Волков, В. Ю. Зайцев, Н. В. Байкин, Н. В. Москвитина. –Пенза: Издво Пензенской ГТА, 2011. –240 с.4. Качурин, В. К. Проектирование висячих и вантовых мостов / В. К. Качурин, А. В. Брагин, Б. Г. Ерунов; под общ. ред. В. К. Качурина. –М.: Транспорт, 1971. –280 с.5. Бронштейн, И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов / И. Н. Бронштейн, К. А.Семендяев; под ред. Г. Гроше, В. Циглера. –М.: Наука, 1980. –976 с.6. Беленя, Е. И. Металлические конструкции: Спец. Курс: учеб. пособие для вузов / Е. И. Беленя, Н. Н. Стрелецкий, Г. С. Ведеников [и др.]; под общ. ред. Е. И. Беленя. –3е изд., перераб. и доп. –М.: Стройиздат, 1991. –687 с.7. Макаров, Е. Г. Сопротивление материалов на базе Mathcad. –СПб.: БХВПетербург, 2004. –512 с.8. Тарасов, Д.А. Математическое моделирование оптимизации параметров несущих элементов, выполненных из стальных канатов / Д.А. Тарасов, В.В. Коновалов, В.Ю. Зайцев // Интеграл, 2012. –№6 (68). –С.118120.Denis TarasovGraduateFGBOU VPO "Penza State Technological Academy", PenzaTel.: 8 (8412) 982808.Email: den517375@yandex.ruVladimir KonovalovDr. Sc., ProfessorFGBOU VPO "Penza State Technological Academy", Penza
Numerical analysis of the effect of support on the elastic compliancestressstrain state of wire rope
The method for determining the value of flexible rope sag with the elastic compliance ofsupports and attached external load. The proposed design procedure is implemented in the form of listing mathematical package MathCAD, which made it possible to calculate the parameters of a flexible string to the specific conditions of loading.
Keywords: flexible thread, elastic compliance support, the support reaction, kaordinates, the longitudinal force, thrust flexible string
