Решение стереометрических и параметрических задач с помощью программы "Живая математика"
ART 53494
Авторы:
А.
М. Гатауллин, С.
Р. Гатауллина
А.
М. Гатауллин, С.
Р. Гатауллина Библиографическое описание статьи для цитирования:
Гатауллин
А.
М.,
Гатауллина
С.
Р. Решение стереометрических и параметрических задач с помощью программы "Живая математика" // Научно-методический электронный журнал «Концепт». –
2013. – Т. 3. – С.
2456–2460. – URL:
http://e-koncept.ru/2013/53494.htm.
Аннотация. В статье рассмотрены возможности использования программы “Живая математика” в изучении функционально-графических методов решения задач с параметрами и стереометрических задач повышенного уровня.
Текст статьи
Гатауллин Алмаз МансуровичУчительматематикии информатики, МБОУ “Дубъязская СОШ”, Республика Татарстан,Высокогорский район,с Дубъязы.
almazrabota@mail.ruГатауллинаСария РустемовнаУчительматематики, МБОУ “Дубъязская СОШ”, Республика Татарстан,Высокогорский район,с Дубъязы.
saria_malish@mail.ruРешение стереометрических и параметрических задач с помощью программы “живая математика”Аннотация.В статьерассмотренывозможностииспользованияпрограммы “Живая математика”визучении функциональнографических методов решения задач с параметрамии стереометрических задач повышенного уровня.Ключевые слова: живая математика, параметрические задачи, стереометрические задачи.
Традиционный подход к преподаванию геометрии приводит к малой популярности этого предмета, особенно среди учащихся, далёких от математики. Наиболее очевидная причина этого заключается в том, что формулировки и доказательства теорем заучиваются, но не проверяются. Такой стиль обучения нацелен на развитие некритического, нетворческого мышления и естественно отторгается современными школьниками.В настоящее время широкое распространение получили интерактивные средства обучения на базе современных информационных и коммуникационных технологий, и в частности, интерактивные среды. В преподавании математики все чаще используют интерактивные геометрические системы [1], т.е. программные среды, которые позволяют делать геометрические построения на компьютере таким образом, что при движении исходных объектов фигура сохраняет свою целостность. Такие среды множество, но учителю нужно подобрать самое “эффективное”. Под этим термином “эффективное” будем понимать:1)Наиболее упрощенный интерфейс программы, то есть интерфейс должен быть понятен не только учителю но ученику.2)Ученик не должен заучивать дополнительные программные командыпрограммы, поскольку это не целесообразно. Каждый выпускник сдает единый государственный экзамен(ЕГЭ), а там нельзя применение интерактивных сред.3)Применение программы не должен нарушать авторское право правообладателя.Программа должен быть лицензированным или условно бесплатнымили свободно распространенным.
Одним из таких сред является «Живая математика». Это программаимеет широкие возможности. В ней можно создавать динамические чертежи для использования на разных уровнях обучения геометрии, алгебры и других смежных дисциплин [2]. «Живая математика» обеспечивает наглядность учебного материала.Сама программа «Живая математика» представляет собой уникальный продукт, позволяющий строить современныекомпьютерныечертежи, которыевыглядит как традиционный, и, как правило, легко идентифицируется с традиционными, однако, представляют собой качественно совершенно новое явление. Этапрограмма очень похожана программу GeoGebra,но в«Живой математике» незаложенынекоторые инструменты, это приводит к дополнительным построениям[3].Уэтихнеобходимых дополнительных чертежах есть и положительные стороны –они приводятк проблемному методу обучения. У учителя, которыйобучает с помощью этой программой,открываются новые возможности: сделать обучение дифференциальным и индивидуальным; объяснить задачу«живыми»чертежами; создатьэкспериментальнуюисследовательскуюбазу, котораявсвоюочередь повышаетактивность творческой работы,проектную деятельность. Работать с программой можно:•через интерактивную доску илив кабинете,где есть проектор;•в компьютерном классе.•домашних условиях.В последние годы задание С2и задание С5 в вариантах ЕГЭ традиционно является,аналогично,задачей на стереометрии и задачей с параметром. Эти задачи так же типичны для вступительного экзамена в вуз с высокими требованиями к математической подготовке абитуриентов. Задания С5 из ЕГЭ, проведенные в 2011 и 2012 годах были аналитическими, но требовали функционально –графического представления [4]. Геометрическая среда «Живая Математика»как раз и позволяет сделать наглядный динамический чертеж.Далее, в качестве примера рассмотрим использованиепрограммы«Живая Математика» при решении задания С5 из ЕГЭ проведенного 7 июня 2012 года функционально –графическим методом.Задача 1. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение|5�−3|=��−1
на промежутке (0; +∞) имеет более двух корней.Решение.Рассмотрим функции f(x) = 5�−3 и h(x) = ax− 1. Исследуем уравнение f(x) = h(x) на промежутке (0; +∞).Нужно будет построить график f(x) = 5�−3
и график функции h(x) = ax− 1 задает прямую с угловым коэффициентом a, проходящую через точку (0; −1). Дляпостроения динамического чертежа
набираем в строке ввода функцию f(x) = abs(5/x− 3)для этого нужно:Графики Построить график функции;
при помощи инструмента Ползунокна панели инструментов добавляем ползунок –точку на горизонтальном отрезке, которая может менять своё значение (параметры мин.: 1, макс.: 2, шаг: 0,05);
набираем в строке ввода функцию h(x) = a∗x− 1 . В результате получаем
Рис. 1.
Рис. 1.Живая математика позволяет изменить чертеж, дополняя новыми элементами, благодаря которым он становится более наглядным (Рис. 2.).
Рис 2.Задача решена.Рассмотрим стереометрическуюзадачу, которая встречаются в ЕГЭ уровня С2.В общем, чтобы решитьтакие задачиученик должен уметь перевести стереометрическую задачук планиметрическому, то есть ученик должен найти рабочую плоскость. Практика показывает, что многие выпускники не видят этой рабочей плоскости. Задача учителей научить учеников находить такие плоскости, для этого можно применить программу “Живая математика”. Рассмотрим задачу,решенную с помощью этой программы:Задача 2. Диаметр окружности основания цилиндра равен 20, образующая цилиндра равна 28. Плоскость пересекает его основание по хордам длины 12 и 16(хорды лежат по разному сторону от диаметра). Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.
Рис 3.Построим рабочую плоскость, это (АОС) (рис 4)
Рис 4.Дальнейшие решение в (рис 5).
Рис5А также, с помощью программы«Живая математика» можноочень наглядно построитьчертежи на задачи сечения. Рассмотрим следующую задачу: Задача 3. На грани пятиугольной пирамиды взята точка А и задается след g. Построить сечение проходящий через точку А
Рис 6 Задача решается из пяти шагов. Самым важным преимуществом этой программы является то, что ученик может смотреть эту сечение под разными углами, тем самым повышается пространственноемышление учеников.
Рис 7Таким образом, в данной статье рассмотрено эффективность при обучение решений параметрических и стереометрических задач применением программы «живая математика». Решение данных видов задач особенно актуально при сдачи ЕГЭ. Но хочется отметить, что решение задач уровня С5не всегда можно применить функциональнографический метод. Поэтому в тех задачах, в которых можно применить метод основанный на построение графиков функций является наиболее актуальной, но не является решением всех видов задач связанных с параметрами. При обучение решений стереометрических задач,практика показывает, применение динамических, живых чертежей с помощью «живая математика»учить учеников находить не только рабочее плоскости,но и повысить математическую культуру учеников.
Ссылки на источники:1.
Дубровский В.Н. Типология динамических чертежей // XVМеждународная конференциявыставка«Информационные технологии в образовании» («ИТО2005»), Москва, 2005.2.Зиатдинов Р.А. О возможностях использования интерактивной геометрической среды GeoGebra 3.0в учебном процессе // Материалы 10й Международной конференции «Системы компьютерной математики и их приложения» (СКМП2009), СмолГУ, г. Смоленск, 2009, C. 39 40.3.Гатауллин А.М Объектная визуализация в программе «Живая математика»//Материалы Международной научнопрактической конференции «Информационные технологии в образовании и науке ИТОН 2012» , Казань,2012 С474. Мальцев Д.А., Мальцев А.А., Мальцева Л.И. Математика. Все для ЕГЭ 2012. Книга 1. Ростов н/Д:Издатель Мальцев Д.А., НИИ школьных технологий, 2011. 272 с
Gataullin Almaz MansurovichThe mathematics teacher and information scientists, MBOU "Dubjyazsky SOSh", the Republic of Tatarstan, Dubjyaz.almazrabota@mail.ruGataullina SarijaRustemovnaThe mathematics teacher, MBOU "Dubjyazsky SOSh", the Republic of Tatarstan, Dubjyaz saria_malish@mail.ruSolution of stereo metric and parametrical tasks with"The Geometer's Sketchpad" programs.Abstract. In article possibilities of use of theGeometer's Sketchpadprogramin studying of functional and graphic methods of the solution of tasks with parameters and stereo metricproblems of the raised level are considered.
Keywords:"The Geometer's Sketchpad", parametrical tasks, stereometric tasks.
almazrabota@mail.ruГатауллинаСария РустемовнаУчительматематики, МБОУ “Дубъязская СОШ”, Республика Татарстан,Высокогорский район,с Дубъязы.
saria_malish@mail.ruРешение стереометрических и параметрических задач с помощью программы “живая математика”Аннотация.В статьерассмотренывозможностииспользованияпрограммы “Живая математика”визучении функциональнографических методов решения задач с параметрамии стереометрических задач повышенного уровня.Ключевые слова: живая математика, параметрические задачи, стереометрические задачи.
Традиционный подход к преподаванию геометрии приводит к малой популярности этого предмета, особенно среди учащихся, далёких от математики. Наиболее очевидная причина этого заключается в том, что формулировки и доказательства теорем заучиваются, но не проверяются. Такой стиль обучения нацелен на развитие некритического, нетворческого мышления и естественно отторгается современными школьниками.В настоящее время широкое распространение получили интерактивные средства обучения на базе современных информационных и коммуникационных технологий, и в частности, интерактивные среды. В преподавании математики все чаще используют интерактивные геометрические системы [1], т.е. программные среды, которые позволяют делать геометрические построения на компьютере таким образом, что при движении исходных объектов фигура сохраняет свою целостность. Такие среды множество, но учителю нужно подобрать самое “эффективное”. Под этим термином “эффективное” будем понимать:1)Наиболее упрощенный интерфейс программы, то есть интерфейс должен быть понятен не только учителю но ученику.2)Ученик не должен заучивать дополнительные программные командыпрограммы, поскольку это не целесообразно. Каждый выпускник сдает единый государственный экзамен(ЕГЭ), а там нельзя применение интерактивных сред.3)Применение программы не должен нарушать авторское право правообладателя.Программа должен быть лицензированным или условно бесплатнымили свободно распространенным.
Одним из таких сред является «Живая математика». Это программаимеет широкие возможности. В ней можно создавать динамические чертежи для использования на разных уровнях обучения геометрии, алгебры и других смежных дисциплин [2]. «Живая математика» обеспечивает наглядность учебного материала.Сама программа «Живая математика» представляет собой уникальный продукт, позволяющий строить современныекомпьютерныечертежи, которыевыглядит как традиционный, и, как правило, легко идентифицируется с традиционными, однако, представляют собой качественно совершенно новое явление. Этапрограмма очень похожана программу GeoGebra,но в«Живой математике» незаложенынекоторые инструменты, это приводит к дополнительным построениям[3].Уэтихнеобходимых дополнительных чертежах есть и положительные стороны –они приводятк проблемному методу обучения. У учителя, которыйобучает с помощью этой программой,открываются новые возможности: сделать обучение дифференциальным и индивидуальным; объяснить задачу«живыми»чертежами; создатьэкспериментальнуюисследовательскуюбазу, котораявсвоюочередь повышаетактивность творческой работы,проектную деятельность. Работать с программой можно:•через интерактивную доску илив кабинете,где есть проектор;•в компьютерном классе.•домашних условиях.В последние годы задание С2и задание С5 в вариантах ЕГЭ традиционно является,аналогично,задачей на стереометрии и задачей с параметром. Эти задачи так же типичны для вступительного экзамена в вуз с высокими требованиями к математической подготовке абитуриентов. Задания С5 из ЕГЭ, проведенные в 2011 и 2012 годах были аналитическими, но требовали функционально –графического представления [4]. Геометрическая среда «Живая Математика»как раз и позволяет сделать наглядный динамический чертеж.Далее, в качестве примера рассмотрим использованиепрограммы«Живая Математика» при решении задания С5 из ЕГЭ проведенного 7 июня 2012 года функционально –графическим методом.Задача 1. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение|5�−3|=��−1
на промежутке (0; +∞) имеет более двух корней.Решение.Рассмотрим функции f(x) = 5�−3 и h(x) = ax− 1. Исследуем уравнение f(x) = h(x) на промежутке (0; +∞).Нужно будет построить график f(x) = 5�−3
и график функции h(x) = ax− 1 задает прямую с угловым коэффициентом a, проходящую через точку (0; −1). Дляпостроения динамического чертежа
набираем в строке ввода функцию f(x) = abs(5/x− 3)для этого нужно:Графики Построить график функции;
при помощи инструмента Ползунокна панели инструментов добавляем ползунок –точку на горизонтальном отрезке, которая может менять своё значение (параметры мин.: 1, макс.: 2, шаг: 0,05);
набираем в строке ввода функцию h(x) = a∗x− 1 . В результате получаем
Рис. 1.
Рис. 1.Живая математика позволяет изменить чертеж, дополняя новыми элементами, благодаря которым он становится более наглядным (Рис. 2.).
Рис 2.Задача решена.Рассмотрим стереометрическуюзадачу, которая встречаются в ЕГЭ уровня С2.В общем, чтобы решитьтакие задачиученик должен уметь перевести стереометрическую задачук планиметрическому, то есть ученик должен найти рабочую плоскость. Практика показывает, что многие выпускники не видят этой рабочей плоскости. Задача учителей научить учеников находить такие плоскости, для этого можно применить программу “Живая математика”. Рассмотрим задачу,решенную с помощью этой программы:Задача 2. Диаметр окружности основания цилиндра равен 20, образующая цилиндра равна 28. Плоскость пересекает его основание по хордам длины 12 и 16(хорды лежат по разному сторону от диаметра). Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.
Рис 3.Построим рабочую плоскость, это (АОС) (рис 4)
Рис 4.Дальнейшие решение в (рис 5).
Рис5А также, с помощью программы«Живая математика» можноочень наглядно построитьчертежи на задачи сечения. Рассмотрим следующую задачу: Задача 3. На грани пятиугольной пирамиды взята точка А и задается след g. Построить сечение проходящий через точку А
Рис 6 Задача решается из пяти шагов. Самым важным преимуществом этой программы является то, что ученик может смотреть эту сечение под разными углами, тем самым повышается пространственноемышление учеников.
Рис 7Таким образом, в данной статье рассмотрено эффективность при обучение решений параметрических и стереометрических задач применением программы «живая математика». Решение данных видов задач особенно актуально при сдачи ЕГЭ. Но хочется отметить, что решение задач уровня С5не всегда можно применить функциональнографический метод. Поэтому в тех задачах, в которых можно применить метод основанный на построение графиков функций является наиболее актуальной, но не является решением всех видов задач связанных с параметрами. При обучение решений стереометрических задач,практика показывает, применение динамических, живых чертежей с помощью «живая математика»учить учеников находить не только рабочее плоскости,но и повысить математическую культуру учеников.
Ссылки на источники:1.
Дубровский В.Н. Типология динамических чертежей // XVМеждународная конференциявыставка«Информационные технологии в образовании» («ИТО2005»), Москва, 2005.2.Зиатдинов Р.А. О возможностях использования интерактивной геометрической среды GeoGebra 3.0в учебном процессе // Материалы 10й Международной конференции «Системы компьютерной математики и их приложения» (СКМП2009), СмолГУ, г. Смоленск, 2009, C. 39 40.3.Гатауллин А.М Объектная визуализация в программе «Живая математика»//Материалы Международной научнопрактической конференции «Информационные технологии в образовании и науке ИТОН 2012» , Казань,2012 С474. Мальцев Д.А., Мальцев А.А., Мальцева Л.И. Математика. Все для ЕГЭ 2012. Книга 1. Ростов н/Д:Издатель Мальцев Д.А., НИИ школьных технологий, 2011. 272 с
Gataullin Almaz MansurovichThe mathematics teacher and information scientists, MBOU "Dubjyazsky SOSh", the Republic of Tatarstan, Dubjyaz.almazrabota@mail.ruGataullina SarijaRustemovnaThe mathematics teacher, MBOU "Dubjyazsky SOSh", the Republic of Tatarstan, Dubjyaz saria_malish@mail.ruSolution of stereo metric and parametrical tasks with"The Geometer's Sketchpad" programs.Abstract. In article possibilities of use of theGeometer's Sketchpadprogramin studying of functional and graphic methods of the solution of tasks with parameters and stereo metricproblems of the raised level are considered.
Keywords:"The Geometer's Sketchpad", parametrical tasks, stereometric tasks.
