• Выпуски
  • Основные выпуски
  • Приложения
• Авторам
  • Правила публикации статей
  • Технические требования
  • Оплата
  • Лицензионный договор
  • График публикаций
• Редакционный совет
• Публикационная этика
• О журнале
  • Общая информация
  • Список авторов
  • Контакты
• Издательство МЦИТО

Редакционно-издательские услуги Международные публикации Бесплатные вебинары

1Ф.И.О: Гафурова Венера АзатовнаУчитель математики высшей кв.категории МБОУ Лицей №2г. Буинска РТvselena7@mail.ruИспользование новых педагогических технологий на уроках математики Аннотация:Данная тема недостаточно полно изложена в действующих учебниках математики, а задачи по этой теме предлагаются как на олимпиадах, так и на ЕГЭ В данной работе выделены основные методы решения уравнений в натуральных и целых числах, приводится система тренировочных упражнений для закрепления каждого из рассмотренных методов. Некоторые уравнения, которые рассматриваются, предлагались на районных, городских, областных олимпиадах, в заданиях ЕГЭ.

Рассмотрены такие методы решения уравнений в натуральных и целых числах степени выше первой:1.Решение уравнений методом разложения на множители.2.Решение уравнений методом нахождения наибольшего общего делителя.3. Решение уравнений с двумя переменными как квадратных относительно какойлибо переменной.4 Решение уравнений методом спуска или рассеиванияКлючевые слова:Решение диофантовых уравнений, уравнений в целых числах.

Основной материал статьи.

Использование новых педагогических технологий на уроках математики Диофантовы уравнения

Диофантовыми уравненияминазывают алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами. Для которых надо найти целые или рациональные решения. При этом число неизвестных в уравнениях должно быть не менее двух если не ограничиваться только целыми числами. Диофантовы уравнения имеют, как правило, много решений, поэтому их называют неопределенными уравнениями. Это, например, уравнения:3х5у7;х2 у2=z2 ;3х34у3=5 z3 Названы они по имени греческого математика Диофанта, жившего в IIIв. Его книга Арифметика содержала большое количество интересных задач, ее изучали математики всех поколений. Книга сохранилась до наших дней, ее можно найти в русском переводе в библиотеке. Задачи поиска целочисленных и рациональных решений обычно тесно связаны между собой. Легко сообразить. Какая связь есть между целочисленными решениями уравнения 3х34у3=5 z3и рациональными решениями уравнения (). К диофантовым уравнениям приводят задачи, по смыслу которых неизвестные значения величин могут быть только целыми числами. Решение уравнений в целых числах ‬очень увлекательная задача. С древнейших времен накопилось много способов решения конкретных диофантовых уравнений, однако только в нашем веке появились общие приемы их исследования. Правда, линейные диофантовы уравнения и диофантовы уравнения 2й степени научились решать недавно. Так, легко доказать, что по формулам х45t, у  1 3t(t‬любое целое число находятся все целочисленные решения уравнения 3х5у7. формулы для нахождения целочисленных сторон прямоугольного треугольника т.е. для решения уравнения х 2 у2=z2 были известны еще древним индийцам: х  2 uv, у u2‬v2, z=u2+ v2 (uи v‬целые числа, u v ).

2 Решения диофантовых уравнений более высоких степеней, а также систем уравнений давались с большим трудом. Знаменитое уравнение П.Ферма, которое более трехсот лет назад он написал на полях Арифметики Диофанта, х n уn= zn(n2 не решено до сих пор. Даже при n3 диофантовы уравнения поддаются решению с большим трудом, причем ответы могут быть совершенно разными. Так, уравнение 3х34у3=5z3 совсем не имеет решений в целых числах, кроме нулевого. Уравнение ху2 имеет конечное число решений в целых числах, которые легко найти. Уравнение х3у3=9z3имеет бесконечно много целочисленных решений. Однако написать для них формулы далеко не просто. Правда, оказалось, что кубические уравнения стоят в некотором смысле особняком. В 20е гг. нашего века английский математик Е.И.Морделл высказал гипотезу, что уравнение более высокой степени, чем 3, должно иметь, как правило, конечное число целочисленных решений. Эта гипотеза была в 1983 г. доказана голландским математиком Г. Фалтингсом. Тем самым подтвердилось, что уравнение Ферма х n уn= znпри всяком n2 имеет лишь конечное число решений в целых числах без общих множителей. Однако пока нет способа найти эти решения. Долгое время надеялись отыскать общий способ решения любого диофантова уравнения. Однако в 1970г. Ленинградский математик Ю. В. Матиясевич доказал, что такого общего способа быть не может. Решение уравнений в целых числах ‬один из самых красивых разделов математики. Ни один крупный математик не прошел мимо теории диофантовых уравнений. Ферма. Эйлер и Лагранж, Дирихле и Гаусс, Чебышев и Риман оставили неизгладимый след в этой интереснейшей теории.

Решение уравнений методом разложения на множители.

Задача 1.Решите уравнение в целых числах Решение.Разложим левую часть данного уравнения на множители: Так как , то решение данного уравнения сводится к решению восьми систем: 1. (46;45) 2. (46;45) 3. (46;45) 4. (46;45) 5. (10;3) 6. (10;3) 7. (10;3) 8. (10;3)Ответ:(46;45), (46;45), (46;45), (46;45), (10;3), (10;3), (10;3), (10;3). Задача 2. Решите в натуральных числах

Решение:Разложим левую часть данного уравнения на множители, для этого перепишем уравнение в следующем виде:

3Применяя способ группировки, получим Так как x, y‬натуральные числа, то и , тогда возможны следующие случаи:1. (8;5)2. решений в натуральных числах нет3. решений в натуральных числах нетОтвет:(8;5). Задача 3. Решите в натуральных числах Решение.Перепишем данное уравнение в виде

Разложим левую часть данного уравнения на множители ,Так как , то причем .Если и то Тогда решение получившегося уравнения сводится к решению следующих систем1. решений в натуральныхчислах нет2. или системы решений в натуральных числах не имеют3. 832;166 или решений в натуральных числах нетОтвет:

Задача 4. Докажите, что уравнение не имеет решений в целых числах.Решение.Сначала докажем, что число 1993 простое. Для этого нужно установить, что 1993 не делится на 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43. Проверка показывает, что число 1993 простое. Предположим противное, что существуют целые числа

решения уравнения. Тогда из того, что следует, что . Запишем данное уравнение в виде Заметим, что

4 при В силу сделанного выше предположения, числа и

целые положительные и оба являются делителями простого числа 1993, а это возможно только в двух случаях:1.

иррациональное число; следовательно, а значит, данная система целых решений не имеет2. (*)Действительных корней уравнение * не имеет, а значит, и данная система решений не имеет.Ответ:данное уравнение не имеет решений в целых числах. Решение уравнений с двумя переменными как квадратныхотносительно одной из переменных.Задача 5.Решите в целых числах Решение. Если решать данное уравнение методом разложения на множители, то это достаточно трудоемкая работа; это уравнение можно решить более изящным методом. Рассмотрим уравнение как квадратное относительно



Данное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда дискриминант этого уравнения равен нулю, т.е. отсюда Если то Ответ:(1;1).Задача 6. Решите в целых числах

5 Решение.Введем замену тогда (*)Полученное уравнение можно рассмотреть как квадратное относительно . Найдем корни левой части уравнения *: Из условия видно, что для того, чтобы корни уравнения * были рациональными, подкоренное выражение должно быть полным квадратом, поэтому уравнение * запишем в следующем виде: (**),

Тогда уравнение ** примет вид

Задача свелась к отысканию решений следующих систем:1. целых решений нетили (4;3), (4;3), (4;3), (4;3)2. (2;3), (2;3), (2;3), (2;3или целых решений нетОтвет:(4;3), (4;3), (4;3), (4;3), (2;3), (2;3), (2;3), (2;3).Отметим, что при решении этого уравнения были использованы два метода: метод приведения к квадратному и метод разложения на множители. При помощи соответствующей замены данное уравнение привели к квадратному, а затем, переписав уравнение в нужном виде, левую часть этого уравнения разложили на множители.Задача 7.Решите в натуральных числах Решение.Запишем уравнение в виде . Решим уравнение как квадратное относительно переменной . (*)Отсюда следует, что должно быть квадратом нечетного числа, т.е. ,,Подставим это значение в уравнение * и получим ;

6Найдем те значения при которых и являются натуральными числами. Имеем две системы

или решений нетРешаем 1 и получаем а бРешаем 2 и получаем

а не удовлетворяет условию задачи, т.к. б Так как , то единственное число, удовлетворяющее этому неравенству, 12. Если , то 1) 2) Ответ: 3;10. Решение одного диофантова уравнения .

Решение диофантова уравнения вида , где ‬целые числа, и решение отыскивается также среди целых чисел. Если , то уравнение принимает вид .Пусть . Тогда уравнение 1можно записать в виде (2).Зададим себе вопрос: может ли быть равным нулю? Да, если cделится на aи . Тогда решение существует, если , иными словами, . 7Итак, мы получили такой вывод: если и cделится на а, то существует решение: , y‬ любое целое число. Точно также, если bделится на а, то существует решение x‬любое число, . Если , но ни с, ни bне делятся на а, то решений нет. Пусть теперь . Тогда нет целого х, обращающего в 0 выражение . В этом случаеуравнение можно записать в виде(3)Докажем, что уравнение 3 имеет конечное число целочисленных решений. Рассмотрим функцию .Естественно, эта функция является биекцией. Графиком функции является гипербола.

. Значит, при достаточно больших значениях переменной х значение переменной yблизко к . Между какими целыми числами заключено 8это число? . Начиная с некоторого значения переменной х переменная y, стремясь к , остаётся дробной. Точно также, если отрицательное х велико по модулю, то переменная y, стремясь к , остаётся дробной. Следовательно, уравнение 3 имеет конечное число целочисленных решений, и их можно поручить отыскать компьютеру простым перебором. Но для этого необходимо найти отрезок на оси абсцисс, вне которого гарантированно нет целочисленных решений уравнения 3. Если bне делится на а, то, очевидно, что границы целочисленных х равны и . Если bделится на а, то границы целочисленных х равны и . Рассмотрим эти два случая отдельно. Случай 1. Пусть сначала bне делится на а.Найдём . Обозначим . Числа и удовлетворяют уравнению 1. Поэтому

(4)Далее нам потребуетсяЛемма. Пусть a, b‬целые, отличные от нуля. Тогда . Если bне делится на а, то .Доказательство. Сначала докажем, что для любого нецелого х . (5)Действительно, по определению целой и дробной частей , ;,. Итак, .

9Допустим противное, пусть . Возможны два случая: b делится на а, и bне делится на а. Если bне делится на а, то из 5 получаем,,,то есть bделится на а, что невозможно. Если же bделится на а, то , по условию а отлично от нуля. Полученное противоречие доказывает, что . Докажем теперь второе неравенство леммы. Пусть bне делится на а. Допустим противное, . Тогда , используя 5, получаем,.Но дробная часть любого числа всегда меньше 1. Полученное противоречие доказывает, что если bне делится на а, то .Лемма доказана.Доказанная лемма позволяет из соотношения 4 найти , и в случае, если bне делится на а .

10Обозначим,.Тогда все целочисленные решения уравнения 3 удовлетворяют оценке ,и уравнение 3 можно решить простым перебором, беря по очереди целые значения х от А до D, вычисляя соответствующие , И проверяя, является ли найденное значение у целым. Если делится на , то существует решение .Случай 2. Пусть bделится на а. Тогда границы целочисленных х равны и . Найдём сначала . Обозначим . Тогда Fудовлетворяет соотношению

Учитывая, что в этом случае bделится на а, получаем:,. (6)Теперь найдём . Обозначим . Тогда Gудовлетворяет соотношению

Учитывая, что в этом случае bделится на а, получаем:

11,. (7)Обозначим,.Тогда все целочисленные решения уравнения 3 удовлетворяют оценке ,и уравнение 3 можно решить простым перебором, беря по очереди целые значения х от А до D, вычисляя соответствующие, И проверяя, является ли найденное значение у целым. Если делится на , то существует решение .

Список литературы

1.Е. Галкин Задачи с целыми числами, еженедельное приложение к газете Первое сентября Математика. №42, 1999 года.2.Е. Галкин Задачи с целыми числами, еженедельное приложение к газете Первое сентября Математика. №44, 1999года.3.Е. Галкин Задачи с целыми числами, еженедельное приложение к газете Первое сентября Математика. №46, 1999года.4.Е. Галкин Задачи с целыми числами, еженедельное приложение к газете Первое сентября Математика. №47, 1999года.5.Е. Галкин Задачи с целыми числами, еженедельное приложение к газете Первое сентября Математика. №48, 1999года.6.Е. Галкин Задачи с целыми числами, еженедельное приложение к газете Первое сентября Математика.№3, январь 2000 года.7.

Е. Галкин Задачи с целыми числами, еженедельное приложение кгазете Первое сентября Математика.№7, февраль 2000 года.8.Галицкий М. Л., Мошкович М.М., Швацбург С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа, Москва, Изво Просвещение, 1990 год. 9.Савин А.Н. Энциклопедический словарь юного математика Москва.: Изво Педагогика, 1989г.10.Г.В. Дорофеев, Е.А. Седова, С.А. Шестаков, С.В. Пчелинцев Математика сдаем без проблем! 2012 года

Задачи из сборников ЕГЭ 20102012 года







12

Full name: Venera GafurovaMathematicsteacher of higher qualification, Lyceum №2,Buinsk, Republic of Tatarstan. Email: vselena7@mail.ru"The use of new technologies in the classroom teaching of mathematics" Annotation: The subjectis insufficiently coveredin thetextbooks of mathematics, and at the same time,highly tested at mathematics competitions and statutory exams.

This paper highlights the main methods of solving equations in natural numbers and integers, and provides a numberof training questionsto consolidate each of the methods considered. Some questionscoveredwere part of district, city and regional competitions, as well as statutory exams.

The following methods ofsolving equations in natural and whole numbers of degree higher than the firstare covered:1. The solution of equations by factoring.2. The solution of equations by finding the greatest common divisor.3. The solution of equations with two variables as square with respect to any variable.4 Solution of the descent method or dispersionKey words:solution of Diophantine equations in integers, on thedivisibility.

11.