Исследование способа последовательного заполнения массива наборами разнородных элементов и возможность его применения к изучению геологического залегания горных пород
ART 53570
Автор:
Д.
С. Жамбровский
Д.
С. Жамбровский Библиографическое описание статьи для цитирования:
Жамбровский
Д.
С. Исследование способа последовательного заполнения массива наборами разнородных элементов и возможность его применения к изучению геологического залегания горных пород // Научно-методический электронный журнал «Концепт». –
2013. – Т. 3. – С.
2831–2835. – URL:
http://e-koncept.ru/2013/53570.htm.
Аннотация. В статье рассматривается один из способов математического описания последовательного заполнения (оккупации) определённого количества свободных мест (массива) различными наборами элементов, а также, на основе результата исследования предлагается метод определения геологического залегания горных пород
Текст статьи
~ 1~
ЖамбровскийДмитрий Сергеевич,, студент студент третьего курса естественнотехнического факультета, ФГБОУ ВПО «Мурманский государственный технический университет», г.Мурманск sovelta@gmail.comИсследованиеспособапоследовательного заполнения массиванаборами разнородных элементов и возможность его применения к изучению геологического залегания горных пород Аннотация. В статье рассматривается один из способовматематического описания последовательного заполнения(оккупации)определённого количества свободных мест (массива) различными наборами элементов, а также,на основерезультата исследованияпредлагается метод определениягеологическогозалеганиягорных пород.Ключевые слова: последовательность, оккупация, массив, набор, элемент. Как известно, окружающий нас мир описывается математическими моделями изаконами.Под каждый процесс существует своя определённая модель, которая описывает его с достаточно большой точностью, и в соответствии с этим, позволяет давать определённые предположенияо том,что реальность поведёт себятак,как характеризует еёмодель. Иначе говоря, математическая модель это глубокий анализтеоретической реальности, который описывает самуреальностьс наименьшей степенью несовпадений[1]. К тому же, необходимо учитывать то, что большинствомоделейбазируются на идеальные условия, то есть на тот случай, когда дополнительные условия и вероятности неожиданных событий, которыемогут влиятьна процесс,не учитываются. Ы. Идея в данной статьеявляется математической моделью, котораяпредоставляет один из способов описания того, что может быть применено в реальности с высокой степенью совпадений. Однако, здесь,также рассматриваются идеальные условия, то есть не учитываются тедополнительные факторы, которые могут изменить поведение процесса.Идея является прикладной, то есть онаможет быть применена в различных сферах науки. Смысл идеизаключается в следующем: существует некотороепространство определённых размеров,с определёнными количествами мест, которые могут оккупироваться объектами в этом пространстве. Такое пространство назовём «массив»и будем обозначать его латинской буквой «m».Массив «m» может содержать как ограниченное количество мест[m(0 n)], так и бесконечное [m(0 ∞)], поскольку, для реальности важно знать точные размеры, бесконечный массив можно не рассматривать.Далее устанавливается определённое количествоэлементов, которые отличаются друг от друга свойствами и характеристиками. Такое отличие будем называть разнородным, и количество разнородных элементовбудем обозначать латинской буквой «е».Например, задано два элемента «a» и «b», так как они отличаются характеристиками друг от друга, значит они разнородные, а,следовательно «е»=2. Один определенный элемент задан некоторым последовательным количеством(набором), к примеру, элемент«a» задан последовательностью «ааааа», то есть он повторяется 5 раз,аэлемент «b» задан последовательностью «bbb», он повторяется 3 раза. Для того чтобыоблегчить дальнейший анализ,воспользуемся сокращением, тогда,в таком случае будем записывать «a»=5, «b»=3и говорить, что набор элемента «а» имеет размер 5, а набор элемента «b» имеет размер 3;это означает, чтоэлементы имеют последовательное повторение самого себясоответственно 5 раз («ааааа») и 3 раза(«bbb»).Так как набор состоит из определённого числа эле~ 2~
ментов,значиту каждого из них есть свой порядковый номер, например,набор элемента «а» имеет размер 5, значит,набор составляют пять элементов, а,следовательно,каждый элемент имеет свой порядковый номер с 1 по 5. В общей записи это будет выглядеть следующим образом:{a1 a2 a3 a4 a5}.Введём параметр «j»,определяющий порядковый номер каждого элемента.В дополнение, так как набор элементов будет последовательно заполнять массив, необходимо ввести параметр, который будет указывать очередь для набора элементов, то есть набор какого элемента начинает заполнение первым, какой вторым и так далее. Такой параметр обозначим буквой «T»,а так как элементов может быть разное количество, то добавим индекс «i»,характеризующий номер очереди,и в общем случае будем иметь «Ti»–параметр очередии «TL»–параметр равный номеру очереди элемента, оккупирующий массив последним. Рассмотрим пример. Пример1. Принцип заполнения и математическая характеристика Мы имеем некоторый массивсо свободными местами,количество которых составляет 80, то естьm=80;а также,мы имеем два набора элементовразличных характеристик
набор элементов«a», размеркоторого равен5,и набор элементов«b»,размер которого равен 7. Наборы двух элементов будут последовательно, по очереди заполнять свободные местамассива. Задача состоит в том, чтобы определить набор какого элемента будет занимать самое последние места, а также какой конкретно элемент этого набора будет оккупировать самое последнееместов массиве, то есть найти порядковый номерэтогоэлемента
Проведёмматематическийанализ. m=80; a=5 T1;b=7 T2=TL;e=2 (так как два разных набора Т1и Т2). Для вывода соотношений начнём рассуждение. Мы знаем, что массив mимеет 80 свободных мест, которые оккупируются наборами элементов в последовательности, а также,мы знает размер каждого набора, а,следовательно,сможем определить количество свободных местдля оккупации вторым набором после того, как первый набор прошёл свою очередь и занял места в массиве. I. m–a = p1; здесь латинская буква «p»обозначает количество свободных мест, после оккупации массива первым набором,а индекс «1»и римские цифры означают номер циклапод которым ведётся вычисление свободных мест, другими словами, римские цифры необходимыдля тогочтобы отслеживать остаток свободных мест после вычисления.Для этого введём параметр «Si»,где «i»соответственно равноримской цифре(циклу),и назовём такой параметр«ступень»; II.S2
m–a–b=m–1(a+b) = p2; p2показывает остаток свободных мест после оккупации массива набором элементов «b».Так как два набора прошли первый цикл заполнения массива, но свободные места ещё остались, то наборы элементов начинают оккупацию по второму циклу последовательнов порядке назначенной очереди «Ti», и так до тех пор,пока свободных мест для оккупации в массиве большене останется.
III. S3
m–2a–b= p3;
p3показываетостаток свободных мест после оккупации массиванабором элементов «a» во втором цикле;IV. S4
m–2a–2b= m–2(a+b) = p4; Логично, предположить, что остаток свободных мест в массиве(pi)стремится к нулю, и получение нуля в уравнении было бы идеальным случаем.
Исходя из такого условия, можно записать следующее уравнение, которое будет удовлетворять ему: Si
m–t(a+b) = pi(1.1), приpiстремящимся к нулю будем иметь следующий вид: Si
m–∑
= 0,где «Ei»
параметр, введённый ~ 3~
для удобства в записи соотношений и равный размеру набора определённых элементов. Через соотношение (1.1) определим параметр«t»: t= ∑
(1.2);При таком условии мы получим значение коэффициента «t»
при котором в массиве, после оккупации последним набором элементов (в данном случае элементов«b») не останется свободных мест, следовательно,набор элементов, который имеет первую очередь «T1»(в данном случае набор элементов «а») остановит последовательную оккупациюмассива, так как свободных мест уже не имеется. Однако, необходимо учестьто,что значение коэффициента «t»может получитьсяне целым числом. Это говорит о том, что наборы элементов распределяются неравномерно, а так как параметр«t»этоколичество определённых элементов, которые являются целыми частями, то его необходимо округлить до целого числа«R». Затем подставить значение числа «R»вместо коэффициента «t»в формулу (1.1) и получим:m–
∑
= pi(1.3); здесь параметр«pi»показывает количество свободных мест в массиве после того,как последний набор «TL»полностью оккупировал массив.Параметр «i»(«ступень») можно определить по формуле: i= eR(1.4), где «е»–количество разнородных элементов, «R»–округлённое
значение параметра «t».
Следующим шагом необходимо учесть то, что значение «pi»может получиться какположительным (pi�0), так и отрицательным (pi0) и равным нулю (pi= 0).Так как другого варианта быть не может,то все три случая являются основнымиРассмотрим все триосновныхслучая. Первый случай,если pi�0, то это говорит о том, что в массивеосталось количество свободных мест для оккупациинабора элементов имеющих первую очередь (T1) и количество свободных мест равно положительному значению параметра рi.Тогда, возможно определить,сколько элементов набора, оккупировшего последние места массива вышло за его пределыпо формуле: pi–E1= k(1.5).Параметр«k»показывает,сколько элементов определённого набора, вышло за пределы массива он может получиться меньше нуля или равным нулю.Зная значение k,возможно определить
порядковый номер элемента, который оккупировал последнее место в массиве по формуле: EL–IkI= j (1.6).
Второй случай,если pi, то это говорит о том, что последние места в массиве оккупируются набором элементов имеющих последнюю очередь (TL),более того pi0 показывает количество элементов, которые вышли за пределы массива набора ТL, то есть отрицательное значение параметра «pi»является параметром «k». Зная «k» мы можем определить «j» порядковый номер элемента по формуле: EL–IpiI= j(1.7).
Третий случай, если pi=0,то это говорит о том, что последние места в массиве полностью заняты и ни один элемент не выходит за его пределы. Следовательно,в третьем случае можно сделать вывод о том, что последние места в массиве занял набор элементов, имеющий очередь «ТL», асамое последнее место в массиве занял самый последний элемент очереди «TL». Рассмотрим конкретный пример. Пример2. Практическое применение идеи на основе проведённого анализа
Имеется массив (рис.1) со свободными местами (клетки) количество которых составляет 80. Клетки заполняют два разнородных набора элементов «a» и «b»,размер которых составляет соответственно 5 и 7. Набор элементов «а» начинает заполнение массива первым. Необходимо определитьнабор элементов, который займёт последние клетки в массиве, а так же элемент, который займёт последнюю восьмидесятую клетку.~ 4~
Дано: Решение:
m= 80 1). Определим параметр«t», характеризующий целое число элеa= E1= 5
ментов при котором остатоксвободных клеток в массиве будет раb= E2= 7 вен нулю. Используя соотношение (1.2),будем иметь:
e=2 t= ∑
=
= 6.67; таккак числовое значение получи
T1
a лосьне целым, мы должны округлить его до целого числа, то естьTL b определить параметр «R»: 2). t R; 6,67 7 = R;
j(m80)? 3). По соотношению(1.4) определим параметр «i» «ступень», ко торый показывает номер цикла, в котором в массиве не осталось свободных клеток: i= eR= 2*7 = 14, следовательно,искомый номер цикла «S»= 14 (S14). 4). По соотношению (1.3) определим остаток свободных клеток «рi» после оккупации массива набором элементов, имеющих очередь «TL»: m–
∑
= p14; р14= 80 –7(5+7) = 4. Так как значениепараметра «рi» получилось отрицательным, то очевидното, что мы имеем второй случай. Опираясь на основания второгоосновногослучая, можно сделать вывод о том, что последние клетки в массиве будут оккупированы набором элементов, имеющих очередь ТL, тоестьнабором элементов «b». Используя основания второго основного случая, найдём порядковый номер элемента, который займёт последнюю клетку в массиве через соотношение (1.7): EL–IpiI= j; j= 7 –4 = 3. Исходя из полученного результата,можно сделать вывод о том, что третий элемент набора «b» займёт последнюю клетку в массиве, а остальные 4 выдут за его пределы. Проведём проверку графическим путём (рис.1):
a a a a a b b b b b b b a a a a a b b b b b b b a a a a a b b b b b b b a a a а a b b b b b b b a a a a a b b b b b b b a a a a a b b b b b b b a a a a a b b b b b b b Рис.1 Оккупация массива
Графическая проверка подтверждает проведённый математический анализ, следовательно,можем написать точный ответв упрощённой схеме. Ответ: {b1b2b3}.
~ 5~
На основании полученных результатов построим два графика зависимости: f(t)=pL(рис.2) и f(t)=m(рис.3)
Рис.2 Зависимость свободных клеток от изменения цикла заполнения набором элементов ТL«b»
Рис.3Показатель изенения клеток в массиве от изменения цикла заполнения набором элементов ТL«b» (чем круче прямая, тем больше колличество клеток в массиве по сравнению с общей суммой наборов элементов, то есть ∑
) pL t m
t~ 6~
Пример3. Метод применения к изучению геологического залегания пластов
Опираясь на проведённый ранее анализ, а так же на то, что модельявляется прикладной, становится, возможно, выдвинуть один из методов её применения в области геологии, а конкретнее, определение залегания геологических пластов.Известно, что уже существует достаточно методов, направленные на данную цель, однако в даннойстатье рассматривается возможность применения данной модели. Для тогочтобы правильно применить данную модель, необходимо более подробно рассмотреть один из методов исследования залегания геологических пластов –геофизический методс помощью волн,вызванных вибрационными устройствами[2].Данный метод основан на следующем принципе: на интересующий участок поверхности земли за определённый период времени вибрационным устройством наносится большое количество ударов определённой силы, затем, интенсивностьударов изменяется и так же повторяется в определённый период времени, после, интенсивность ударов меняется снова, и продолжит меняться в соответствии с заданными условиями. Удары по поверхности участка земли необходимы для того чтобы создать определённое количество упругих волн разной частоты. В соответствии с частотой, волны распространяются на глубины и со временем затухают. Главная особенность такого принципа в том, что геологические толщины одногосостава поглощают волны только одной определённой частоты, а волны других частот, несоответствующие составу горной породы,проходят сквозь неёне поглощаясь. А также, если в определённой геологической толщине имеется переизбыток волн, то есть толщина поглотила максимальное количество волн с соответствующейчастотой, то волны этой частоты проходят дальше,поглощаясь только породой такого же состава[3].Зная период времени, через который волна полностью затухла, мы можем применить модель последовательности, и определить состав и форму пород, залегающих на определённых глубинах.Для этого проведём математический анализ и выполним поставленную цель. Предположим, что геофизическим методом были созданы три типа упругих волн, проникающие в глубину пластов и имеющих частоту соответственно f1, f2 и f3.После определённого интервала времени мы получили результат, что интенсивность волны частотой f1первой снизилась на порядок n1,интенсивность волны частотой f2снизиласьвторой на порядок n2, интенсивность волны частотой f3снизилась на порядок n3. Затемпосле повторного создания волн таких же частот в удвоенном количестве, определили, что интенсивности волн снизились в таком же порядке за тот же интервал времени, но интенсивность волны частотой f1через больший интервал времени снизилась ещё раз на порядок n4.Учитывая такое обстоятельство,можно сделать вывод о том, что в зоне волн мы имеем четыре геологические толщи на разных глубинах, двеиз которых разделяют общие свойства. На основе такого предположения, выдвинемупрощённуюсхему толщин (рис.4)горных пород различного состава, поглотивших интенсивности волн соответствующих частот.
~ 7~
Рис.4 Упрощённая схемагеологических толщин
Проведём математический анализ.ПустьE1, E2, E3
соответствуют разным частотам упругих волни соответственно определяют тип горной породы, а n1, n2, n3соответственнаяпоглощённая породами интенсивность. Тогда сумма интенсивностей ∑
дадутчисловое значение, которое будет являться массивом. В соответствии с порядкомчастот, которые поглотились толщинамиможно записать следующие условие основанные на обозначениях принятых ранее для модели: E1
n1+n4 Т1; E2
n2 Т2; E3
n3 ТL;С опорой на принцип модели, скажем, что Е1, Е2и Е3наборы элементов, а n1, n2, n3соответственный размер наборов элементов имеющих очередь заполнения Т1, Т2и ТL. Используя формулу (1.2) определим параметр «t», который является интенсивностью заполнения элементами массива «m»: t= ∑
числовое значение этого параметра покажет общую интенсивность частот в массиве пород.Пользуясь возможностью применения числового значения параметра «t» (общей интенсивности), мы можем выдвинуть условия, которые будут определять степень плотности данногомассива горных пород. В этом случае, назначим каждому набору частот Eiбезразмерный параметр di, который численно характеризует набор частот Ei. Смысл заключается в том, что каждый параметр Eiимеет свою численную величину и используя это,можно выдвинуть условия, что сумма этих величин, то есть ∑
будет давать значение одного из трёх определенных интервалов «α», «β» или «γ». Данные интервалы будут иметь свои числовые пределы, которые дают оценку степени плотности массива горных пород. Например, ∑
=q; «α» q
[00,3] –порода низкой плотности; «β» q
[0,30,6]–порода средней плотности; «γ» q
[0,61]–порода высокой плотности.С опорой на такие условия, можно сделать вывод, что при определённом значении общей интенсивности частот (параметр«t»), а также при значении параметра «q», мы сделаем вывод о плотности типе горных пород слагающих массив. Далее мы можем определить концентрацию каждых частот во всём массиве, которая будет определять глубину залегания определённого типа породы: с= . ~ 8~
оооС опорой на числовое значение параметра «с» можно определить глубину иприблизительную форму залеганияпороды, если задатьточные числовые соответствия между частотой волн и видом геологической толщи.Кпримеру,известнякубудет соответствоватьволны с частотами «n1», доломиту волны с частотами «n2» и так далее. Таким образом, проведяв данной статьематематический анализ предложенной идеи, на основе котороговыдвинутаматематическаямодель,можно сделать вывод о том, что такая модель может применяться на практике в различных сферах деятельности, первоначально задав условия соответствия параметрам, предложенными моделью.
Ссылки на источники
1. Краснощёков П. С., Петров А. А. Принципы построения моделей. —издание второе, пересмотренное и дополненное. —М.: ФАЗИС; ВЦ РАН, 2000. —xii+ 412 с. —(Математическое моделирование; Вып.1). —ISBN 57036006182. Хмелевский В.К., Горбачев Ю.И. Геофизические методы исследований. Учебное пособие. –Дубна: Международный университет природы, общества и человека "Дубна",19973. Чуличков А.И., Богданов И.В., Устинин Д.М., Сверхразрешение на основе конечномерной аппроксимации сигналов, Журнал "Интеллектуальные системы", т.9, выпуск 14, 2005 г.
Zhambrovskiy Dmitry,3rd–year student of the Natural Science Faculty, Murmansk State Technical University, Murmansksovelta@gmail.comThe research of the method of the set of different elements occupying an array consequentiallyand its possibility to be applied for the definition of geological horizons formationAbstract. The article describes one of the methods ofthemathematical description ofthesequential filling (occupation) of a certain amount of free space (an array)bydifferent sets of elements, and based on the result of the research, specialmethod forthe definition of geological horizons formation is proposed.Key words: sequence, occupation, array, set, element.
ЖамбровскийДмитрий Сергеевич,, студент студент третьего курса естественнотехнического факультета, ФГБОУ ВПО «Мурманский государственный технический университет», г.Мурманск sovelta@gmail.comИсследованиеспособапоследовательного заполнения массиванаборами разнородных элементов и возможность его применения к изучению геологического залегания горных пород Аннотация. В статье рассматривается один из способовматематического описания последовательного заполнения(оккупации)определённого количества свободных мест (массива) различными наборами элементов, а также,на основерезультата исследованияпредлагается метод определениягеологическогозалеганиягорных пород.Ключевые слова: последовательность, оккупация, массив, набор, элемент. Как известно, окружающий нас мир описывается математическими моделями изаконами.Под каждый процесс существует своя определённая модель, которая описывает его с достаточно большой точностью, и в соответствии с этим, позволяет давать определённые предположенияо том,что реальность поведёт себятак,как характеризует еёмодель. Иначе говоря, математическая модель это глубокий анализтеоретической реальности, который описывает самуреальностьс наименьшей степенью несовпадений[1]. К тому же, необходимо учитывать то, что большинствомоделейбазируются на идеальные условия, то есть на тот случай, когда дополнительные условия и вероятности неожиданных событий, которыемогут влиятьна процесс,не учитываются. Ы. Идея в данной статьеявляется математической моделью, котораяпредоставляет один из способов описания того, что может быть применено в реальности с высокой степенью совпадений. Однако, здесь,также рассматриваются идеальные условия, то есть не учитываются тедополнительные факторы, которые могут изменить поведение процесса.Идея является прикладной, то есть онаможет быть применена в различных сферах науки. Смысл идеизаключается в следующем: существует некотороепространство определённых размеров,с определёнными количествами мест, которые могут оккупироваться объектами в этом пространстве. Такое пространство назовём «массив»и будем обозначать его латинской буквой «m».Массив «m» может содержать как ограниченное количество мест[m(0 n)], так и бесконечное [m(0 ∞)], поскольку, для реальности важно знать точные размеры, бесконечный массив можно не рассматривать.Далее устанавливается определённое количествоэлементов, которые отличаются друг от друга свойствами и характеристиками. Такое отличие будем называть разнородным, и количество разнородных элементовбудем обозначать латинской буквой «е».Например, задано два элемента «a» и «b», так как они отличаются характеристиками друг от друга, значит они разнородные, а,следовательно «е»=2. Один определенный элемент задан некоторым последовательным количеством(набором), к примеру, элемент«a» задан последовательностью «ааааа», то есть он повторяется 5 раз,аэлемент «b» задан последовательностью «bbb», он повторяется 3 раза. Для того чтобыоблегчить дальнейший анализ,воспользуемся сокращением, тогда,в таком случае будем записывать «a»=5, «b»=3и говорить, что набор элемента «а» имеет размер 5, а набор элемента «b» имеет размер 3;это означает, чтоэлементы имеют последовательное повторение самого себясоответственно 5 раз («ааааа») и 3 раза(«bbb»).Так как набор состоит из определённого числа эле~ 2~
ментов,значиту каждого из них есть свой порядковый номер, например,набор элемента «а» имеет размер 5, значит,набор составляют пять элементов, а,следовательно,каждый элемент имеет свой порядковый номер с 1 по 5. В общей записи это будет выглядеть следующим образом:{a1 a2 a3 a4 a5}.Введём параметр «j»,определяющий порядковый номер каждого элемента.В дополнение, так как набор элементов будет последовательно заполнять массив, необходимо ввести параметр, который будет указывать очередь для набора элементов, то есть набор какого элемента начинает заполнение первым, какой вторым и так далее. Такой параметр обозначим буквой «T»,а так как элементов может быть разное количество, то добавим индекс «i»,характеризующий номер очереди,и в общем случае будем иметь «Ti»–параметр очередии «TL»–параметр равный номеру очереди элемента, оккупирующий массив последним. Рассмотрим пример. Пример1. Принцип заполнения и математическая характеристика Мы имеем некоторый массивсо свободными местами,количество которых составляет 80, то естьm=80;а также,мы имеем два набора элементовразличных характеристик
набор элементов«a», размеркоторого равен5,и набор элементов«b»,размер которого равен 7. Наборы двух элементов будут последовательно, по очереди заполнять свободные местамассива. Задача состоит в том, чтобы определить набор какого элемента будет занимать самое последние места, а также какой конкретно элемент этого набора будет оккупировать самое последнееместов массиве, то есть найти порядковый номерэтогоэлемента
Проведёмматематическийанализ. m=80; a=5 T1;b=7 T2=TL;e=2 (так как два разных набора Т1и Т2). Для вывода соотношений начнём рассуждение. Мы знаем, что массив mимеет 80 свободных мест, которые оккупируются наборами элементов в последовательности, а также,мы знает размер каждого набора, а,следовательно,сможем определить количество свободных местдля оккупации вторым набором после того, как первый набор прошёл свою очередь и занял места в массиве. I. m–a = p1; здесь латинская буква «p»обозначает количество свободных мест, после оккупации массива первым набором,а индекс «1»и римские цифры означают номер циклапод которым ведётся вычисление свободных мест, другими словами, римские цифры необходимыдля тогочтобы отслеживать остаток свободных мест после вычисления.Для этого введём параметр «Si»,где «i»соответственно равноримской цифре(циклу),и назовём такой параметр«ступень»; II.S2
m–a–b=m–1(a+b) = p2; p2показывает остаток свободных мест после оккупации массива набором элементов «b».Так как два набора прошли первый цикл заполнения массива, но свободные места ещё остались, то наборы элементов начинают оккупацию по второму циклу последовательнов порядке назначенной очереди «Ti», и так до тех пор,пока свободных мест для оккупации в массиве большене останется.
III. S3
m–2a–b= p3;
p3показываетостаток свободных мест после оккупации массиванабором элементов «a» во втором цикле;IV. S4
m–2a–2b= m–2(a+b) = p4; Логично, предположить, что остаток свободных мест в массиве(pi)стремится к нулю, и получение нуля в уравнении было бы идеальным случаем.
Исходя из такого условия, можно записать следующее уравнение, которое будет удовлетворять ему: Si
m–t(a+b) = pi(1.1), приpiстремящимся к нулю будем иметь следующий вид: Si
m–∑
= 0,где «Ei»
параметр, введённый ~ 3~
для удобства в записи соотношений и равный размеру набора определённых элементов. Через соотношение (1.1) определим параметр«t»: t= ∑
(1.2);При таком условии мы получим значение коэффициента «t»
при котором в массиве, после оккупации последним набором элементов (в данном случае элементов«b») не останется свободных мест, следовательно,набор элементов, который имеет первую очередь «T1»(в данном случае набор элементов «а») остановит последовательную оккупациюмассива, так как свободных мест уже не имеется. Однако, необходимо учестьто,что значение коэффициента «t»может получитьсяне целым числом. Это говорит о том, что наборы элементов распределяются неравномерно, а так как параметр«t»этоколичество определённых элементов, которые являются целыми частями, то его необходимо округлить до целого числа«R». Затем подставить значение числа «R»вместо коэффициента «t»в формулу (1.1) и получим:m–
∑
= pi(1.3); здесь параметр«pi»показывает количество свободных мест в массиве после того,как последний набор «TL»полностью оккупировал массив.Параметр «i»(«ступень») можно определить по формуле: i= eR(1.4), где «е»–количество разнородных элементов, «R»–округлённое
значение параметра «t».
Следующим шагом необходимо учесть то, что значение «pi»может получиться какположительным (pi�0), так и отрицательным (pi0) и равным нулю (pi= 0).Так как другого варианта быть не может,то все три случая являются основнымиРассмотрим все триосновныхслучая. Первый случай,если pi�0, то это говорит о том, что в массивеосталось количество свободных мест для оккупациинабора элементов имеющих первую очередь (T1) и количество свободных мест равно положительному значению параметра рi.Тогда, возможно определить,сколько элементов набора, оккупировшего последние места массива вышло за его пределыпо формуле: pi–E1= k(1.5).Параметр«k»показывает,сколько элементов определённого набора, вышло за пределы массива он может получиться меньше нуля или равным нулю.Зная значение k,возможно определить
порядковый номер элемента, который оккупировал последнее место в массиве по формуле: EL–IkI= j (1.6).
Второй случай,если pi, то это говорит о том, что последние места в массиве оккупируются набором элементов имеющих последнюю очередь (TL),более того pi0 показывает количество элементов, которые вышли за пределы массива набора ТL, то есть отрицательное значение параметра «pi»является параметром «k». Зная «k» мы можем определить «j» порядковый номер элемента по формуле: EL–IpiI= j(1.7).
Третий случай, если pi=0,то это говорит о том, что последние места в массиве полностью заняты и ни один элемент не выходит за его пределы. Следовательно,в третьем случае можно сделать вывод о том, что последние места в массиве занял набор элементов, имеющий очередь «ТL», асамое последнее место в массиве занял самый последний элемент очереди «TL». Рассмотрим конкретный пример. Пример2. Практическое применение идеи на основе проведённого анализа
Имеется массив (рис.1) со свободными местами (клетки) количество которых составляет 80. Клетки заполняют два разнородных набора элементов «a» и «b»,размер которых составляет соответственно 5 и 7. Набор элементов «а» начинает заполнение массива первым. Необходимо определитьнабор элементов, который займёт последние клетки в массиве, а так же элемент, который займёт последнюю восьмидесятую клетку.~ 4~
Дано: Решение:
m= 80 1). Определим параметр«t», характеризующий целое число элеa= E1= 5
ментов при котором остатоксвободных клеток в массиве будет раb= E2= 7 вен нулю. Используя соотношение (1.2),будем иметь:
e=2 t= ∑
=
= 6.67; таккак числовое значение получи
T1
a лосьне целым, мы должны округлить его до целого числа, то естьTL b определить параметр «R»: 2). t R; 6,67 7 = R;
j(m80)? 3). По соотношению(1.4) определим параметр «i» «ступень», ко торый показывает номер цикла, в котором в массиве не осталось свободных клеток: i= eR= 2*7 = 14, следовательно,искомый номер цикла «S»= 14 (S14). 4). По соотношению (1.3) определим остаток свободных клеток «рi» после оккупации массива набором элементов, имеющих очередь «TL»: m–
∑
= p14; р14= 80 –7(5+7) = 4. Так как значениепараметра «рi» получилось отрицательным, то очевидното, что мы имеем второй случай. Опираясь на основания второгоосновногослучая, можно сделать вывод о том, что последние клетки в массиве будут оккупированы набором элементов, имеющих очередь ТL, тоестьнабором элементов «b». Используя основания второго основного случая, найдём порядковый номер элемента, который займёт последнюю клетку в массиве через соотношение (1.7): EL–IpiI= j; j= 7 –4 = 3. Исходя из полученного результата,можно сделать вывод о том, что третий элемент набора «b» займёт последнюю клетку в массиве, а остальные 4 выдут за его пределы. Проведём проверку графическим путём (рис.1):
a a a a a b b b b b b b a a a a a b b b b b b b a a a a a b b b b b b b a a a а a b b b b b b b a a a a a b b b b b b b a a a a a b b b b b b b a a a a a b b b b b b b Рис.1 Оккупация массива
Графическая проверка подтверждает проведённый математический анализ, следовательно,можем написать точный ответв упрощённой схеме. Ответ: {b1b2b3}.
~ 5~
На основании полученных результатов построим два графика зависимости: f(t)=pL(рис.2) и f(t)=m(рис.3)
Рис.2 Зависимость свободных клеток от изменения цикла заполнения набором элементов ТL«b»
Рис.3Показатель изенения клеток в массиве от изменения цикла заполнения набором элементов ТL«b» (чем круче прямая, тем больше колличество клеток в массиве по сравнению с общей суммой наборов элементов, то есть ∑
) pL t m
t~ 6~
Пример3. Метод применения к изучению геологического залегания пластов
Опираясь на проведённый ранее анализ, а так же на то, что модельявляется прикладной, становится, возможно, выдвинуть один из методов её применения в области геологии, а конкретнее, определение залегания геологических пластов.Известно, что уже существует достаточно методов, направленные на данную цель, однако в даннойстатье рассматривается возможность применения данной модели. Для тогочтобы правильно применить данную модель, необходимо более подробно рассмотреть один из методов исследования залегания геологических пластов –геофизический методс помощью волн,вызванных вибрационными устройствами[2].Данный метод основан на следующем принципе: на интересующий участок поверхности земли за определённый период времени вибрационным устройством наносится большое количество ударов определённой силы, затем, интенсивностьударов изменяется и так же повторяется в определённый период времени, после, интенсивность ударов меняется снова, и продолжит меняться в соответствии с заданными условиями. Удары по поверхности участка земли необходимы для того чтобы создать определённое количество упругих волн разной частоты. В соответствии с частотой, волны распространяются на глубины и со временем затухают. Главная особенность такого принципа в том, что геологические толщины одногосостава поглощают волны только одной определённой частоты, а волны других частот, несоответствующие составу горной породы,проходят сквозь неёне поглощаясь. А также, если в определённой геологической толщине имеется переизбыток волн, то есть толщина поглотила максимальное количество волн с соответствующейчастотой, то волны этой частоты проходят дальше,поглощаясь только породой такого же состава[3].Зная период времени, через который волна полностью затухла, мы можем применить модель последовательности, и определить состав и форму пород, залегающих на определённых глубинах.Для этого проведём математический анализ и выполним поставленную цель. Предположим, что геофизическим методом были созданы три типа упругих волн, проникающие в глубину пластов и имеющих частоту соответственно f1, f2 и f3.После определённого интервала времени мы получили результат, что интенсивность волны частотой f1первой снизилась на порядок n1,интенсивность волны частотой f2снизиласьвторой на порядок n2, интенсивность волны частотой f3снизилась на порядок n3. Затемпосле повторного создания волн таких же частот в удвоенном количестве, определили, что интенсивности волн снизились в таком же порядке за тот же интервал времени, но интенсивность волны частотой f1через больший интервал времени снизилась ещё раз на порядок n4.Учитывая такое обстоятельство,можно сделать вывод о том, что в зоне волн мы имеем четыре геологические толщи на разных глубинах, двеиз которых разделяют общие свойства. На основе такого предположения, выдвинемупрощённуюсхему толщин (рис.4)горных пород различного состава, поглотивших интенсивности волн соответствующих частот.
~ 7~
Рис.4 Упрощённая схемагеологических толщин
Проведём математический анализ.ПустьE1, E2, E3
соответствуют разным частотам упругих волни соответственно определяют тип горной породы, а n1, n2, n3соответственнаяпоглощённая породами интенсивность. Тогда сумма интенсивностей ∑
дадутчисловое значение, которое будет являться массивом. В соответствии с порядкомчастот, которые поглотились толщинамиможно записать следующие условие основанные на обозначениях принятых ранее для модели: E1
n1+n4 Т1; E2
n2 Т2; E3
n3 ТL;С опорой на принцип модели, скажем, что Е1, Е2и Е3наборы элементов, а n1, n2, n3соответственный размер наборов элементов имеющих очередь заполнения Т1, Т2и ТL. Используя формулу (1.2) определим параметр «t», который является интенсивностью заполнения элементами массива «m»: t= ∑
числовое значение этого параметра покажет общую интенсивность частот в массиве пород.Пользуясь возможностью применения числового значения параметра «t» (общей интенсивности), мы можем выдвинуть условия, которые будут определять степень плотности данногомассива горных пород. В этом случае, назначим каждому набору частот Eiбезразмерный параметр di, который численно характеризует набор частот Ei. Смысл заключается в том, что каждый параметр Eiимеет свою численную величину и используя это,можно выдвинуть условия, что сумма этих величин, то есть ∑
будет давать значение одного из трёх определенных интервалов «α», «β» или «γ». Данные интервалы будут иметь свои числовые пределы, которые дают оценку степени плотности массива горных пород. Например, ∑
=q; «α» q
[00,3] –порода низкой плотности; «β» q
[0,30,6]–порода средней плотности; «γ» q
[0,61]–порода высокой плотности.С опорой на такие условия, можно сделать вывод, что при определённом значении общей интенсивности частот (параметр«t»), а также при значении параметра «q», мы сделаем вывод о плотности типе горных пород слагающих массив. Далее мы можем определить концентрацию каждых частот во всём массиве, которая будет определять глубину залегания определённого типа породы: с= . ~ 8~
оооС опорой на числовое значение параметра «с» можно определить глубину иприблизительную форму залеганияпороды, если задатьточные числовые соответствия между частотой волн и видом геологической толщи.Кпримеру,известнякубудет соответствоватьволны с частотами «n1», доломиту волны с частотами «n2» и так далее. Таким образом, проведяв данной статьематематический анализ предложенной идеи, на основе котороговыдвинутаматематическаямодель,можно сделать вывод о том, что такая модель может применяться на практике в различных сферах деятельности, первоначально задав условия соответствия параметрам, предложенными моделью.
Ссылки на источники
1. Краснощёков П. С., Петров А. А. Принципы построения моделей. —издание второе, пересмотренное и дополненное. —М.: ФАЗИС; ВЦ РАН, 2000. —xii+ 412 с. —(Математическое моделирование; Вып.1). —ISBN 57036006182. Хмелевский В.К., Горбачев Ю.И. Геофизические методы исследований. Учебное пособие. –Дубна: Международный университет природы, общества и человека "Дубна",19973. Чуличков А.И., Богданов И.В., Устинин Д.М., Сверхразрешение на основе конечномерной аппроксимации сигналов, Журнал "Интеллектуальные системы", т.9, выпуск 14, 2005 г.
Zhambrovskiy Dmitry,3rd–year student of the Natural Science Faculty, Murmansk State Technical University, Murmansksovelta@gmail.comThe research of the method of the set of different elements occupying an array consequentiallyand its possibility to be applied for the definition of geological horizons formationAbstract. The article describes one of the methods ofthemathematical description ofthesequential filling (occupation) of a certain amount of free space (an array)bydifferent sets of elements, and based on the result of the research, specialmethod forthe definition of geological horizons formation is proposed.Key words: sequence, occupation, array, set, element.
