Спецкурс для студентов физико-математических факультетов «Приложения дифференциальных уравнений в физике и науках естественно-математического цикла»
М.
В. КузьмиченкоБиблиографическое описание статьи для цитирования:
Кузьмиченко
М.
В. Спецкурс для студентов физико-математических факультетов «Приложения дифференциальных уравнений в физике и науках естественно-математического цикла» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». –
2014. – № 9 (сентябрь). – С.
156–160. – URL:
http://e-koncept.ru/2014/14258.htm.
Аннотация. В статье предлагается программа спецкурса для студентов физико-математических факультетов педагогических вузов.
Текст статьи
Кузьмиченко Максим Витальевич,студент физикоматематического факультета ФГБОУ ВПО «Ишимский государственный педагогический институт им. П. П. Ершова», г. Ишим
Спецкурс для студентов физикоматематических факультетов
«Приложения дифференциальных уравнений в физике и науках естественноматематического цикла»
Аннотация.В статье предлагается программа спецкурса для студентов физикоматематических факультетов педагогических вузов.Ключевые слова:спецкурс, дифференциальные уравнения, приложения дифференциальных уравнений.Раздел: (01)педагогика; история педагогики и образования; теория и методика обучения и воспитания (по предметным областям).
В ходе преподавания такой дисциплины, как «Дифференциальные уравнения», уделяется мало внимания прикладной составляющей дифференциальных уравнений. Разные науки (химия, биология, физика) имеют задачи, основным способом решения которыхявляется составление и решение дифференциального уравнения. При изучении тех или иных физических, биологических процессов, механических явленийученые могут составить дифференциальные уравнения этого процесса или явления. А затем, решая это уравнение, удается вывести функциональный закон описания изучаемого вопроса 1]. Существует много процессов в природе, которые описываются дифференциальными уравнениями 2. Например, процесс размножения бактерий, явление органического роста, изменение давления при подъеме над уровнем моря, ток самоиндукции, протекающий в катушке после выключения постоянного напряжения. Можно также написать дифференциальные уравнениядвижения планеты вокруг Солнца, искусственного спутника вокруг Земли. Многие законы и соотношения, используемые в этих науках, даются студентам в готовом, оформленном виде, что негативно сказывается на уровне усвоения знаний и понимания учебного материала. Например, из курса физикиизвестно, что давление с увеличением высоты над уровнем моря изменяется по формуле
–барометрическая формула,где –атмосферное давление над уровнем моря, –высота над уровнем моря, –молярная масса сухого воздуха, –универсальная газовая постоянная, –абсолютная температура воздуха, –ускорение свободного падения. Возникает вопрос: «Каким образом получено это аналитическое выражение?»На этот и подобные вопросы призван ответить данный спецкурс «Приложения дифференциальных уравнений в физике и науках естественноматематического цикла».Цели спецкурсамы видим в следующем.1)Актуализировать и обобщить знания студентов по составлению ирешению простейших дифференциальных уравнений.2)Показать практическое приложение дифференциальных уравнений при решении задач других наук.3)Наладить межпредметные связи математики с другими науками естественного цикла.Достижение данных целей окажется возможным только при решении следующих задач:1)Развивать навыки решения простейших дифференциальных уравнений.2)Рассмотреть решение некоторых междисциплинарных задачпри помощи дифференциальных уравнений.После окончания данного спецкурса студенты физикоматематических факультетов получат более широкое представление о дифференциальных уравнениях и способах их решения.По завершении спецкурсастуденты должны знать:стандартный вид простейших дифференциальных уравнений;алгоритм составления дифференциального уравнения по условию задачи;способ получения некоторых стандартных формул дисциплин естественного цикла.По завершении спецкурса студентыдолжны уметь:
решать стандартные простейшие дифференциальные уравнения;решать задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям;производить доказательство некоторых стандартных формул дисциплин естественнонаучного цикла.Спецкурс предназначен для студентов IVкурса физикоматематических факультетов. Программа спецкурса рассчитана на 22 аудиторных часа.
Тематический план спецкурса
НомерзанятияТемаКоличество часов занятийлекционныхпрактических1–4Способы решения некоторых простейших дифференциальных уравнений225–6Геометрическое приложение дифференциальных уравнений027–8Физическое приложение дифференциальных уравнений029–10Приложение дифференциальных уравнений в науках естественного цикла0211Зачётное занятие
Перечень дидактического материала:1)Виленкин В.И., Бохан К.А. и др. Задачник по курсу математического анализа. Часть 2. –М.: Просвещение, 1971. –336 с.2)Давыдов Н.А., Коровкин П.П. и др. Сборник задач по математическому анализу. –М.: Просвещение, 1973. –256 с.3)Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. –М.: Айриспресс, 2013.–608 с.Несмотря на небольшое количество часов, отведённое на спецкурс, данная дисциплина позволит существенно расширить представление студентов о различных математических моделях, позволит закрепить практические умения по составлению и решению дифференциальных уравнений. Рассмотрим одну из задач данного спецкурса.Задача 1.Вывести зависимость давления газа от высоты в гравитационномполе Земли.Решение. Рассмотрим произвольную цилиндрическую колонну газа высотой с площадью горизонтального сечения . Тогдадавление, оказываемое этой колонной,будет равно
,
(1)так как , , где –масса газа, –плотность газа, –объём газа, –ускорение свободного падения. Вывод формулы (1) был не обязателен, так какэта формула известна из школьного курса. Теперь выделим из этой колонны газа высотой небольшой столб, равный по сечению исходной колонне, но с высотой .Очевидно, что такой слой газа вызывает изменение давления на величину
.(2)Знак минус означает, что с увеличением высотыдавление будет уменьшаться. Будем рассматривать атмосферный воздухкак идеальный газ, следовательно,для него справедливо уравнение Менделеева –Клапейрона:
,где –молярная масса сухого воздуха, –универсальная газовая постоянная, –абсолютная температура воздуха. С учётом вышеуказанных соотношений имеем:
.
(3)С учётом (2) и (3) имеем:
.
(4)Уравнение (4) представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Интегрируем:.Константу определим из начального условия .
.
(5)Формула (5) является барометрической формулой. Она позволяет определить давление на любой высоте от поверхности моря с учётом особенностей окружающего воздуха. Рассмотрим задачу, предложенную на региональном туре студенческой олимпиады «Интеллект2014» (физика).Задача 2.Азот находится в очень высоком сосуде в однородном поле тяжести при температуре . Температуру увеличили в раз. На какой высоте концентрация молекул осталась прежней?Из физики известна формула, связывающая давление, концентрацию и температуру газа . Рассмотрим два случая. ..Воспользуемся барометрической формулой . Применяем..Так как концентрации равны, то.Так как , имеем:; .Барометрическая формула довольно громоздка и запоминается с трудом, а без неё данная задача неразрешима. Но, имея минимальную математическую подготовку, студентмог бывывести её, подобно выкладкам, рассмотренным выше. Умение решать задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям, подразумевает составление дифференциального уравнения по условию. Рассмотрим типовой пример подобной задачи.Задача 3.Материальная точкамассы замедляет своё движение под действием силы сопротивления среды, пропорциональной квадрату скорости . Найти зависимость скорости от времени. Найти скорость точки через 3 с после начала замедления, если м/с, а м/с.Примем за независимую переменную время , отсчитываемое от начала замедления движения материальной точки. Тогда скорость точки будет функцией , т.е. . Для нахождения воспользуемся вторым законом Ньютона: , где есть ускорение движущегося тела, –результирующая сила, действующая на тело в процессе движения.В данном случае –коэффициент пропорциональности (знак минус указывает на то, что скорость тела уменьшается). Следовательно, функция является решением дифференциального уравнения:; .Интегрируем: . Отсюда
–общее решение дифференциального уравнения в явном виде.Найдём параметры и . Согласно условию задачи, имеем:
и . Отсюда .Следовательно, скорость точки изменяется по закону . Поэтому .В науках естественного цикла дифференциальные уравнения нашли широкое применение. В силу особенностей преподавания дисциплин на физикоматематических факультетахнаукам естественного цикла отводится очень мало часов. Поэтому мы будем рассматривать только некоторые модели, не углубляясь в предметную теорию.Рассмотрим пример из биологии. Задача 4. Рост колонии микроорганизмов [3].
За время прирост численности равен, где –число родившихся, –число умерших за время особей, пропорциональные этому промежутку времени: . Разделив на ,получим дифференциальное уравнение:.В простейшем случае, когда рождаемость и смертность пропорциональны численности:.Разделим переменные и проинтегрируем:.Переходя от логарифмов к значениям переменной и определяя произвольную постоянную из начальных условий, получим экспоненциальную форму динамики роста.
;
(6).График функции (6) при положительных (размножение) и отрицательных (вымирание) значениях константы скорости роста представлен на рис. 1.
Рис. 1
Теперь рассмотрим применение дифференциальных уравнений в химии. Задача 5. Вещество переходит в раствор.Пусть количество вещества, переходящего в раствор, пропорционально интервалу времени и разности между максимально возможной концентрацией и концентрацией в данный момент времени:.В форме дифференциального уравнения этот закон выглядит так:.Разделим в этом уравнении переменныеи проинтегрируем:; ; .Если ,; .График этой функции представлен на рис. 2.
Рис. 2
Опыт развития различных наук показывает, что многие далёкие друг от друга по содержанию задачи приводят к одинаковым или сходным дифференциальным уравнениям.Теориядифференциальных уравнений в настоящее время представляет собой исключительно богатый содержаниембыстро развивающийся раздел математики. Многие разделы теории дифференциальных уравнений так разрослись, что стали самостоятельными науками.Можно сказать, что большая часть путей, связывающих абстрактные математические теории и естественнонаучные приложения, проходит через дифференциальные уравнения. Все это обеспечивает теории дифференциальных уравнений почетное место в современной науке.
Ссылки на источники1.Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. –М.: Айриспресс, 2013. –608 с.2.Давыдов Н.А., Коровкин П.П. и др. Сборник задач по математическому анализу. –М.: Просвещение, 1973. –256 с.3.Виленкин В. И., Бохан К. А. и др. Задачник по курсу математического анализа. Часть 2. –М.: Просвещение, 1971. –336 с.
Maxim Kuzmichenko,student of the Faculty of Physics and Mathematics of Federal State Budget Establishment of Higher Education Ishim Ershov State Teces’ Tining Institute”, IshimSpecial course for students of physical and mathematical faculties Appendices of the differential equations in physics and sciences of a natural and mathematical cycle”Abstract.In article the program of a special course for students of physical and mathematical faculties of pedagogical higher education institutions is offered.Keywords:special course, differential equations, appendices of the differential equations.
References1.Pis'mennyj,D. T. (2013) Konspekt lekcij po vysshej matematike, Ajrispress, Moscow, 608 p.(in Russian).2.Davydov,N. A., Korovkin,P. P. et al. (1973) Sbornik zadach po matematicheskomu analizu,Prosveshhenie, Moscow,256 p.(in Russian).3.Vilenkin,V. I., Bohan,K. A. et al. (1971) Zadachnik po kursu matematicheskogo analiza, chast' 2, Prosveshhenie, Moscow, 336 p.(in Russian).
Рекомендовано к публикации:
Ермаковой Е. В., кандидатом педагогических наук;Горевым П. М., кандидатом педагогических наук, главным редактором журнала «Концепт»
Спецкурс для студентов физикоматематических факультетов
«Приложения дифференциальных уравнений в физике и науках естественноматематического цикла»
Аннотация.В статье предлагается программа спецкурса для студентов физикоматематических факультетов педагогических вузов.Ключевые слова:спецкурс, дифференциальные уравнения, приложения дифференциальных уравнений.Раздел: (01)педагогика; история педагогики и образования; теория и методика обучения и воспитания (по предметным областям).
В ходе преподавания такой дисциплины, как «Дифференциальные уравнения», уделяется мало внимания прикладной составляющей дифференциальных уравнений. Разные науки (химия, биология, физика) имеют задачи, основным способом решения которыхявляется составление и решение дифференциального уравнения. При изучении тех или иных физических, биологических процессов, механических явленийученые могут составить дифференциальные уравнения этого процесса или явления. А затем, решая это уравнение, удается вывести функциональный закон описания изучаемого вопроса 1]. Существует много процессов в природе, которые описываются дифференциальными уравнениями 2. Например, процесс размножения бактерий, явление органического роста, изменение давления при подъеме над уровнем моря, ток самоиндукции, протекающий в катушке после выключения постоянного напряжения. Можно также написать дифференциальные уравнениядвижения планеты вокруг Солнца, искусственного спутника вокруг Земли. Многие законы и соотношения, используемые в этих науках, даются студентам в готовом, оформленном виде, что негативно сказывается на уровне усвоения знаний и понимания учебного материала. Например, из курса физикиизвестно, что давление с увеличением высоты над уровнем моря изменяется по формуле
–барометрическая формула,где –атмосферное давление над уровнем моря, –высота над уровнем моря, –молярная масса сухого воздуха, –универсальная газовая постоянная, –абсолютная температура воздуха, –ускорение свободного падения. Возникает вопрос: «Каким образом получено это аналитическое выражение?»На этот и подобные вопросы призван ответить данный спецкурс «Приложения дифференциальных уравнений в физике и науках естественноматематического цикла».Цели спецкурсамы видим в следующем.1)Актуализировать и обобщить знания студентов по составлению ирешению простейших дифференциальных уравнений.2)Показать практическое приложение дифференциальных уравнений при решении задач других наук.3)Наладить межпредметные связи математики с другими науками естественного цикла.Достижение данных целей окажется возможным только при решении следующих задач:1)Развивать навыки решения простейших дифференциальных уравнений.2)Рассмотреть решение некоторых междисциплинарных задачпри помощи дифференциальных уравнений.После окончания данного спецкурса студенты физикоматематических факультетов получат более широкое представление о дифференциальных уравнениях и способах их решения.По завершении спецкурсастуденты должны знать:стандартный вид простейших дифференциальных уравнений;алгоритм составления дифференциального уравнения по условию задачи;способ получения некоторых стандартных формул дисциплин естественного цикла.По завершении спецкурса студентыдолжны уметь:
решать стандартные простейшие дифференциальные уравнения;решать задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям;производить доказательство некоторых стандартных формул дисциплин естественнонаучного цикла.Спецкурс предназначен для студентов IVкурса физикоматематических факультетов. Программа спецкурса рассчитана на 22 аудиторных часа.
Тематический план спецкурса
НомерзанятияТемаКоличество часов занятийлекционныхпрактических1–4Способы решения некоторых простейших дифференциальных уравнений225–6Геометрическое приложение дифференциальных уравнений027–8Физическое приложение дифференциальных уравнений029–10Приложение дифференциальных уравнений в науках естественного цикла0211Зачётное занятие
Перечень дидактического материала:1)Виленкин В.И., Бохан К.А. и др. Задачник по курсу математического анализа. Часть 2. –М.: Просвещение, 1971. –336 с.2)Давыдов Н.А., Коровкин П.П. и др. Сборник задач по математическому анализу. –М.: Просвещение, 1973. –256 с.3)Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. –М.: Айриспресс, 2013.–608 с.Несмотря на небольшое количество часов, отведённое на спецкурс, данная дисциплина позволит существенно расширить представление студентов о различных математических моделях, позволит закрепить практические умения по составлению и решению дифференциальных уравнений. Рассмотрим одну из задач данного спецкурса.Задача 1.Вывести зависимость давления газа от высоты в гравитационномполе Земли.Решение. Рассмотрим произвольную цилиндрическую колонну газа высотой с площадью горизонтального сечения . Тогдадавление, оказываемое этой колонной,будет равно
,
(1)так как , , где –масса газа, –плотность газа, –объём газа, –ускорение свободного падения. Вывод формулы (1) был не обязателен, так какэта формула известна из школьного курса. Теперь выделим из этой колонны газа высотой небольшой столб, равный по сечению исходной колонне, но с высотой .Очевидно, что такой слой газа вызывает изменение давления на величину
.(2)Знак минус означает, что с увеличением высотыдавление будет уменьшаться. Будем рассматривать атмосферный воздухкак идеальный газ, следовательно,для него справедливо уравнение Менделеева –Клапейрона:
,где –молярная масса сухого воздуха, –универсальная газовая постоянная, –абсолютная температура воздуха. С учётом вышеуказанных соотношений имеем:
.
(3)С учётом (2) и (3) имеем:
.
(4)Уравнение (4) представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Интегрируем:.Константу определим из начального условия .
.
(5)Формула (5) является барометрической формулой. Она позволяет определить давление на любой высоте от поверхности моря с учётом особенностей окружающего воздуха. Рассмотрим задачу, предложенную на региональном туре студенческой олимпиады «Интеллект2014» (физика).Задача 2.Азот находится в очень высоком сосуде в однородном поле тяжести при температуре . Температуру увеличили в раз. На какой высоте концентрация молекул осталась прежней?Из физики известна формула, связывающая давление, концентрацию и температуру газа . Рассмотрим два случая. ..Воспользуемся барометрической формулой . Применяем..Так как концентрации равны, то.Так как , имеем:; .Барометрическая формула довольно громоздка и запоминается с трудом, а без неё данная задача неразрешима. Но, имея минимальную математическую подготовку, студентмог бывывести её, подобно выкладкам, рассмотренным выше. Умение решать задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям, подразумевает составление дифференциального уравнения по условию. Рассмотрим типовой пример подобной задачи.Задача 3.Материальная точкамассы замедляет своё движение под действием силы сопротивления среды, пропорциональной квадрату скорости . Найти зависимость скорости от времени. Найти скорость точки через 3 с после начала замедления, если м/с, а м/с.Примем за независимую переменную время , отсчитываемое от начала замедления движения материальной точки. Тогда скорость точки будет функцией , т.е. . Для нахождения воспользуемся вторым законом Ньютона: , где есть ускорение движущегося тела, –результирующая сила, действующая на тело в процессе движения.В данном случае –коэффициент пропорциональности (знак минус указывает на то, что скорость тела уменьшается). Следовательно, функция является решением дифференциального уравнения:; .Интегрируем: . Отсюда
–общее решение дифференциального уравнения в явном виде.Найдём параметры и . Согласно условию задачи, имеем:
и . Отсюда .Следовательно, скорость точки изменяется по закону . Поэтому .В науках естественного цикла дифференциальные уравнения нашли широкое применение. В силу особенностей преподавания дисциплин на физикоматематических факультетахнаукам естественного цикла отводится очень мало часов. Поэтому мы будем рассматривать только некоторые модели, не углубляясь в предметную теорию.Рассмотрим пример из биологии. Задача 4. Рост колонии микроорганизмов [3].
За время прирост численности равен, где –число родившихся, –число умерших за время особей, пропорциональные этому промежутку времени: . Разделив на ,получим дифференциальное уравнение:.В простейшем случае, когда рождаемость и смертность пропорциональны численности:.Разделим переменные и проинтегрируем:.Переходя от логарифмов к значениям переменной и определяя произвольную постоянную из начальных условий, получим экспоненциальную форму динамики роста.
;
(6).График функции (6) при положительных (размножение) и отрицательных (вымирание) значениях константы скорости роста представлен на рис. 1.
Рис. 1
Теперь рассмотрим применение дифференциальных уравнений в химии. Задача 5. Вещество переходит в раствор.Пусть количество вещества, переходящего в раствор, пропорционально интервалу времени и разности между максимально возможной концентрацией и концентрацией в данный момент времени:.В форме дифференциального уравнения этот закон выглядит так:.Разделим в этом уравнении переменныеи проинтегрируем:; ; .Если ,; .График этой функции представлен на рис. 2.
Рис. 2
Опыт развития различных наук показывает, что многие далёкие друг от друга по содержанию задачи приводят к одинаковым или сходным дифференциальным уравнениям.Теориядифференциальных уравнений в настоящее время представляет собой исключительно богатый содержаниембыстро развивающийся раздел математики. Многие разделы теории дифференциальных уравнений так разрослись, что стали самостоятельными науками.Можно сказать, что большая часть путей, связывающих абстрактные математические теории и естественнонаучные приложения, проходит через дифференциальные уравнения. Все это обеспечивает теории дифференциальных уравнений почетное место в современной науке.
Ссылки на источники1.Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. –М.: Айриспресс, 2013. –608 с.2.Давыдов Н.А., Коровкин П.П. и др. Сборник задач по математическому анализу. –М.: Просвещение, 1973. –256 с.3.Виленкин В. И., Бохан К. А. и др. Задачник по курсу математического анализа. Часть 2. –М.: Просвещение, 1971. –336 с.
Maxim Kuzmichenko,student of the Faculty of Physics and Mathematics of Federal State Budget Establishment of Higher Education Ishim Ershov State Teces’ Tining Institute”, IshimSpecial course for students of physical and mathematical faculties Appendices of the differential equations in physics and sciences of a natural and mathematical cycle”Abstract.In article the program of a special course for students of physical and mathematical faculties of pedagogical higher education institutions is offered.Keywords:special course, differential equations, appendices of the differential equations.
References1.Pis'mennyj,D. T. (2013) Konspekt lekcij po vysshej matematike, Ajrispress, Moscow, 608 p.(in Russian).2.Davydov,N. A., Korovkin,P. P. et al. (1973) Sbornik zadach po matematicheskomu analizu,Prosveshhenie, Moscow,256 p.(in Russian).3.Vilenkin,V. I., Bohan,K. A. et al. (1971) Zadachnik po kursu matematicheskogo analiza, chast' 2, Prosveshhenie, Moscow, 336 p.(in Russian).
Рекомендовано к публикации:
Ермаковой Е. В., кандидатом педагогических наук;Горевым П. М., кандидатом педагогических наук, главным редактором журнала «Концепт»
