Разложение факториала и гамма-функции в конечный знакочередующийся ряд
Г.
П. ШишкинБиблиографическое описание статьи для цитирования:
Шишкин
Г.
П.,
Шишкин
А.
Г. Разложение факториала и гамма-функции в конечный знакочередующийся ряд // Научно-методический электронный журнал «Концепт». –
2014. – № S10. – С.
56–60. – URL:
http://e-koncept.ru/2014/14627.htm.
Аннотация. В статье предлагается к рассмотрению тождество, разработанное авторами, выражающее факториал, с последующим обобщением на гамма – функцию для непрерывных значений аргумента. Получено оригинальное разложение единицы в числовой конечный знакочередующийся ряд.
Текст статьи
Шишкин Геннадий Петрович, кандидат педагогических наук, доцент кафедры естественнонаучных и общетехнических дисциплин,филиалФГБО ВПО «Московский государственныйиндустриальныйуниверситет»в г. Кирове, г. Кировshgp45@mail.ru
Шишкин Андрей Геннадьевич,аспирант кафедры общей и экспериментальной физики, младший научный сотрудник Учебнонаучного радиофизического центра ФГБОУ ВПО «Московский государственный педагогический университет», г. Москва andrey_shishkin@mail.ru
Разложение факториала и гамма –функциив конечный знакочередующийся ряд
Аннотация.В статье предлагается к рассмотрению тождество, разработанное авторами, выражающее факториал, с последующим обобщением на гамма –функцию для непрерывных значений аргумента. Получено оригинальное разложение единицы в числовой конечный знакочередующийся ряд.Ключевые слова: конечные разности, конечный знакочередующийся ряд,факториал, гаммафункция. Раздел:(03) философия; социология; политология; правоведение; науковедение.
Известно, чтоконечные разности с шагом x1 для степенной функции y= xn, заданной для nна множестве натуральных чисел, имеют вид [1]. Таблица 1y= x2y= x3y= x4y= x5…y= xn2y=2!3y=3!4y=4!5y=5!…ny=n!
Выпишем конечные разности для произвольных значений xпо степеням2; 3; 4;…n, в общем виде и, раскрывая скобки, получим:
x2[x2–(x1)2] –[(x1)2–(x2)2] = x2–2(x1)2+ (x2)2= 2!
x3{[x3–(x1)3] –[(x1)3–(x2)3]} –{[(x1)3
(x2)3] –[(x2)3
[(x3)3]} =
= x3–3(x1)3+ 3(x2)3–(x3)3= 3!
x4x4–4(x1)4+ 6(x2)4–4(x3)4+ (x4)4= 4!…………………………………………………………………………………….xnCn0xn−Cn1(x−1)n+Cn2(x−2)n−⋯+(−1)nCnm(x−m)n+⋯=n!
где m 0; 1; 2;… n.Последнюю конечную разность общего вида можно записать как
(1)Легко видеть (достаточно раскрыть скобки), что полученные конечные разности являются тождествами справедливыми для любых х. Следовательно, можно взять x= n. Тогда получим:
,
или
(2)или
==(3)где m 0; 1; 2;… n.
Тождества (1) и (2) справедливы для . Для целочисленных nряд обрывается при n= mи мы получаем конечный знакочередующийся ряд.Рассмотрим конечный знакочередующийся ряд (1), выражающий факториал
для дробных n� 0.В таком случае следует перейти к гамма –функции, которая, как известно, является обобщением факториала. Получим приближенное равенство
Г(݊+1)≅∑(−1)�(݊−݉)=⌊⌋=0(4)
Здесь удобнее заменить nна х, полагая, что х непрерывная переменная
Г(�+1)≅∑(−1)��(�−݉)=⌊�⌋=0(5)
Запишем ряд (5), как приближение гаммафункции, в развернутом виде
Г(�+1)≅��−�(�−1)�+
+
(6)
Здесь, как и в (5), m=⌊x⌋
Вычисления по формуле (6) проводятся по схеме [2]:Таблица 2Значения аргументаЗначения функции Г(х1) по формуле (6)0≤x≤1��1≤x≤2��−�(�−1)�
2≤x≤3
m1≤x≤m
Как показывает численное исследование [3], конечный ряд (6) дает хорошее приближение для Г(х1), если х > 0 и не является целым числом. Таблица 3xГ(�+)≅∑(−)��=⌊�⌋�=���(�−�)�Г(x1)0110.20.724780.918170.40.693140.887260.60.736020.893520.80.836510.931381111.21.070621.101841.41.213531.242221.61.414671.429601.81.676071.676522222.12.193482.197622.53.324383.323352.95.300915.299333663.16.812436.812623.511.6340211.631733.920.6673820.66739424244.552.3433552.3427810.54593067,2484593079,873
Из таблицы видно, что расчетные значения по формуле (6) несколько отличаются от точных значений гамма –функции. Следует заметить, что с ростом значения аргумента х отличия уменьшаются. Так для промежутка 1≤x≤2 имеются отличия в основном во втором знаке после запятой, а для промежутка 2≤x≤3, только в третьем. Для целочисленных значений аргумента х совпадения точные.На графике (рис.1) представлена кривая, составленнаяпо результатам вычислений по формуле (6) согласно схеме [2]. График гаммафункции [1], включающей и отрицательные значения аргумента, представлен на рис. 2. Гаммафункция в частности может быть представлена эйлеровым интегралом 2го рода [1].Г(�)=∫��−1݁−�݀�∞0
Рис.1.Кривая результатов. Формула (6)
Рис.2.График гаммафункций
Если в формуле (1) провести сокращение на n!, то получим тождествоТождество (7) справедливо для любых xи. Тождество (7) при х nибудет иметь вид1 = ,или после сокращения
1=∑(−1)(−)�−1!(−−1)!.=−1=0(8)Отсюда, например, при n1=3, n24 и n37 получим соответственно
320!2!−221!1!+12!0!=1, 430!3!−331!2!+232!1!−133!0!=1, 760!6!−661!5!+562!4!−463!3!+364!2!−265!1!+166!0!=1
Может представлять интерес с точки зрения аддитивной проблемы теории чисел.Рассмотрим тождество (3) для целочисленных n≤ 0. В результате получим бесконечные числовые ряды:Г(0) () = ,Г(1) = () = ,Г(2) = () = ,………………………………………………………….Г(х)
(9)для х ≤ 0.
Все ряды вида (9) расходятся, что соответствует полюсам гаммафункции (рис.2).
Ссылки на источники1.Математический энциклопедический словарь. М. «Советская энциклопедия». 1988 г.
GennadyShishkin, Candidate of Pedagogic Sciences, Associate Professor at the chair of Natural sciences and engineering disciplines, branch of Moscow State Industrial University in Kirov, Kirov
shgp45@mail.ru
Andrey Shishkin, PhDstudent,junior scientific researcher,Radiophysics Laboratory, Moscow State Pedagogical University, Moscowandrey_shishkin@mail.ru
Factorial and gamma function expansion in a finite alternating seriesAbstract. The authorspropose to consider the identity expressing factorial, followed by an extension to the gamma function for continuous values of the argument. Original expansion units in numerical finite alternating series was obtained. Keywords: finite differences, finite alternating series, factorial, gamma function.
Рекомендовано к публикации:ГоревымП.М., кандидатом педагогических наук, главным редактором журнала «Концепт»
Шишкин Андрей Геннадьевич,аспирант кафедры общей и экспериментальной физики, младший научный сотрудник Учебнонаучного радиофизического центра ФГБОУ ВПО «Московский государственный педагогический университет», г. Москва andrey_shishkin@mail.ru
Разложение факториала и гамма –функциив конечный знакочередующийся ряд
Аннотация.В статье предлагается к рассмотрению тождество, разработанное авторами, выражающее факториал, с последующим обобщением на гамма –функцию для непрерывных значений аргумента. Получено оригинальное разложение единицы в числовой конечный знакочередующийся ряд.Ключевые слова: конечные разности, конечный знакочередующийся ряд,факториал, гаммафункция. Раздел:(03) философия; социология; политология; правоведение; науковедение.
Известно, чтоконечные разности с шагом x1 для степенной функции y= xn, заданной для nна множестве натуральных чисел, имеют вид [1]. Таблица 1y= x2y= x3y= x4y= x5…y= xn2y=2!3y=3!4y=4!5y=5!…ny=n!
Выпишем конечные разности для произвольных значений xпо степеням2; 3; 4;…n, в общем виде и, раскрывая скобки, получим:
x2[x2–(x1)2] –[(x1)2–(x2)2] = x2–2(x1)2+ (x2)2= 2!
x3{[x3–(x1)3] –[(x1)3–(x2)3]} –{[(x1)3
(x2)3] –[(x2)3
[(x3)3]} =
= x3–3(x1)3+ 3(x2)3–(x3)3= 3!
x4x4–4(x1)4+ 6(x2)4–4(x3)4+ (x4)4= 4!…………………………………………………………………………………….xnCn0xn−Cn1(x−1)n+Cn2(x−2)n−⋯+(−1)nCnm(x−m)n+⋯=n!
где m 0; 1; 2;… n.Последнюю конечную разность общего вида можно записать как
(1)Легко видеть (достаточно раскрыть скобки), что полученные конечные разности являются тождествами справедливыми для любых х. Следовательно, можно взять x= n. Тогда получим:
,
или
(2)или
==(3)где m 0; 1; 2;… n.
Тождества (1) и (2) справедливы для . Для целочисленных nряд обрывается при n= mи мы получаем конечный знакочередующийся ряд.Рассмотрим конечный знакочередующийся ряд (1), выражающий факториал
для дробных n� 0.В таком случае следует перейти к гамма –функции, которая, как известно, является обобщением факториала. Получим приближенное равенство
Г(݊+1)≅∑(−1)�(݊−݉)=⌊⌋=0(4)
Здесь удобнее заменить nна х, полагая, что х непрерывная переменная
Г(�+1)≅∑(−1)��(�−݉)=⌊�⌋=0(5)
Запишем ряд (5), как приближение гаммафункции, в развернутом виде
Г(�+1)≅��−�(�−1)�+
+
(6)
Здесь, как и в (5), m=⌊x⌋
Вычисления по формуле (6) проводятся по схеме [2]:Таблица 2Значения аргументаЗначения функции Г(х1) по формуле (6)0≤x≤1��1≤x≤2��−�(�−1)�
2≤x≤3
m1≤x≤m
Как показывает численное исследование [3], конечный ряд (6) дает хорошее приближение для Г(х1), если х > 0 и не является целым числом. Таблица 3xГ(�+)≅∑(−)��=⌊�⌋�=���(�−�)�Г(x1)0110.20.724780.918170.40.693140.887260.60.736020.893520.80.836510.931381111.21.070621.101841.41.213531.242221.61.414671.429601.81.676071.676522222.12.193482.197622.53.324383.323352.95.300915.299333663.16.812436.812623.511.6340211.631733.920.6673820.66739424244.552.3433552.3427810.54593067,2484593079,873
Из таблицы видно, что расчетные значения по формуле (6) несколько отличаются от точных значений гамма –функции. Следует заметить, что с ростом значения аргумента х отличия уменьшаются. Так для промежутка 1≤x≤2 имеются отличия в основном во втором знаке после запятой, а для промежутка 2≤x≤3, только в третьем. Для целочисленных значений аргумента х совпадения точные.На графике (рис.1) представлена кривая, составленнаяпо результатам вычислений по формуле (6) согласно схеме [2]. График гаммафункции [1], включающей и отрицательные значения аргумента, представлен на рис. 2. Гаммафункция в частности может быть представлена эйлеровым интегралом 2го рода [1].Г(�)=∫��−1݁−�݀�∞0
Рис.1.Кривая результатов. Формула (6)
Рис.2.График гаммафункций
Если в формуле (1) провести сокращение на n!, то получим тождествоТождество (7) справедливо для любых xи. Тождество (7) при х nибудет иметь вид1 = ,или после сокращения
1=∑(−1)(−)�−1!(−−1)!.=−1=0(8)Отсюда, например, при n1=3, n24 и n37 получим соответственно
320!2!−221!1!+12!0!=1, 430!3!−331!2!+232!1!−133!0!=1, 760!6!−661!5!+562!4!−463!3!+364!2!−265!1!+166!0!=1
Может представлять интерес с точки зрения аддитивной проблемы теории чисел.Рассмотрим тождество (3) для целочисленных n≤ 0. В результате получим бесконечные числовые ряды:Г(0) () = ,Г(1) = () = ,Г(2) = () = ,………………………………………………………….Г(х)
(9)для х ≤ 0.
Все ряды вида (9) расходятся, что соответствует полюсам гаммафункции (рис.2).
Ссылки на источники1.Математический энциклопедический словарь. М. «Советская энциклопедия». 1988 г.
GennadyShishkin, Candidate of Pedagogic Sciences, Associate Professor at the chair of Natural sciences and engineering disciplines, branch of Moscow State Industrial University in Kirov, Kirov
shgp45@mail.ru
Andrey Shishkin, PhDstudent,junior scientific researcher,Radiophysics Laboratory, Moscow State Pedagogical University, Moscowandrey_shishkin@mail.ru
Factorial and gamma function expansion in a finite alternating seriesAbstract. The authorspropose to consider the identity expressing factorial, followed by an extension to the gamma function for continuous values of the argument. Original expansion units in numerical finite alternating series was obtained. Keywords: finite differences, finite alternating series, factorial, gamma function.
Рекомендовано к публикации:ГоревымП.М., кандидатом педагогических наук, главным редактором журнала «Концепт»
