Элективный курс "Задачи с параметром"
Т.
А. ШенцеваБиблиографическое описание статьи для цитирования:
Шенцева
Т.
А.,
Прудских
А.
Г. Элективный курс "Задачи с параметром" // Научно-методический электронный журнал «Концепт». –
2014. – Т. 12. – С.
191–195. – URL:
http://e-koncept.ru/2014/54146.htm.
Аннотация. Материал содержит пояснительную записку, методические рекомендации, календарно-тематическое планирование, список литературы для учителя и ученика.
Текст статьи
Шенцева Татьяна Александровна,учитель математики,МБОУ «СОШ№34 с углубленным изучением отдельных предметов», г.Старый Осколshenceva2010@yandex.ru
Прудских Анна Георгиевна,учитель математики,МБОУ «СОШ №34 с углубленным изучением отдельных предметов», г.Старый Осколprudsckih@yandex.ru
Элективный курс«Задачи с параметрами»
Аннотация:Материал содержит пояснительную записку, методические рекомендации, календарнотематическое планирование, список литературы для учителя и ученика.Ключевые слова:параметр, ЕГЭ, задачи с параметром.
Программа курса составлена на основе книгиП.И.Горштейна, В.Б. Полонского, М.С.Якира «Задачи с параметрами».
Образовательная программа «Задачи с параметрами» направленана реализацию концепции стандарта образования, на расширение школьного курса математики, подготовку к итоговой аттестации.
Отличительной особенностьюкурса является систематизация и классификация заданий с параметром и методов их решения по основным разделам курса математики 1011 класса. Разделыпрограммы свободно могут перемещаться в рамках курса, без ущерба для общей цели и результата, в зависимости от основнойпрограммы.
На ЕГЭ, вступительных экзаменах, олимпиадах часто встречаютсязадачи с параметрами. В школьном курсе математики эти задачи рассматриваются пока крайне редко, бессистемно, поэтому при решении таких задач у выпускников обычно возникают затруднения.Но в государственномстандарте образования по математике отмечается, что в ближайшем будущем задачи с параметрами будут введеныв школьный курс.В связи с чем возникла необходимость создания такой программы. Курс состоит из 13 параграфов и 3 зачетных работ. Основными целями и задачамипрограммы стали:повышение математической культуры учащихся в рамках школьной программы по математике; систематизация знаний и умений по стержневым темам курса математики старшей школы;формирование и развитие у учащихся логического мышления, интеллектуальных и практических умений в области решения уравнений, неравенств, содержащих параметр;
умения самостоятельно приобретать и применять знания в различных ситуациях; развитие творческих способностей; коммуникативных навыков, которые способствуют развитию умений работать в группе;
формированиенавыковисследовательской деятельностиучащихся; умение оценивать свои способности к математике и умению делать осознанный выбор профиля дальнейшего обучения;подготовка к итоговой аттестации обучающихся.Прогнозируемый результат: овладениеучащимисянавыками решения уравнений инеравенств, содержащихпараметры, интерпретации результатов своей деятельности; умением делать выводы и обсуждать результаты; успешная сдача ЕГЭ.
При составлении программы элективного курса использовались следующие принципы.1. Принцип регулярности.Основная работа происходит в классе на совместных занятиях и дома, индивидуально. Полноценная подготовка невозможна без достаточно большого количества часов, посвященных работе над задачей. При этом лучше заниматься понемногу, но часто, скажем, по часу ежедневно, чем раз в неделю, но по многу часов. Хорошо бы еженедельно набирать по 10 часов, включая классные занятия. Заниматься математикой, думать можно, даже гуляя на улице (но не переходя при этом проезжую часть).2. Принцип параллельности.Несмотря на то что учебное пособие разбито на отдельные главы по темам, было бы совершенно неправильно изучать эти темы последовательно, одну за другой. Следует постоянно держать в поле зрения несколько (дветри) тем, постепенно продвигаясь по ним вперед и вглубь.3. Принцип опережающей сложности.Не следует загружать ученика большой по объему, но несложной работой, так же как и ставить его в положение лисицы перед виноградом, задавая непосильные для него задачи. Слишком легко и слишком трудно —равно плохо. Напомним, что оптимальными для развития цивилизации оказались широты, климатические условия которых, не позволяя человеку расслабиться, в то же время не превращали его жизнь в сплошную борьбу за существование. На практике реализовать этот принцип можно, например, следующим образом. Задавая на дом очередную недельную порцию задач (от 10 до 15), желательно подобрать их так, чтобы 78 из них были доступны практически всем слушателям элективного курса, 3—4 были бы по силам лишь некоторым, а 1—2, пусть не намного, но превышают возможности даже самых сильных учеников. Ученик имеет право отложить трудную задачу, если он потрудился над ее решением определенное время, скажем, один час, и она у него не получилась. В этом случае процесс усвоения новых идей будет более эффективным. Действие этого принципа будет тем лучше, чем ближе друг к другу по уровню математического развития члены факультатива. Кроме того, он развивает такие полезные качества, как сознательность, внутренняя честность, научное честолюбие.4. Принцип смены приоритетов.Приоритет идеи.В период накопления идей, а также при решении достаточно трудных задач ученику прощаются небольшие и даже средние огрехи в решении задачи; главное —правильная идея решения, которая может быть доведена до числа за разумное время. Именно так действуют иногда и экзаменационные комиссии вузов при оценке решений наиболее сложных конкурсных задач.Приоритет ответа.При отработке уже известных идей, а также при решении наиболее простых, стандартных задач главное —правильный ответ. 5. Принцип вариативности.Очень полезно на примере одной задачи рассмотреть различные приемы и методы решения, а затем сравнить получившиеся решения с различных точек зрения: стандартность и оригинальность, объем вычислительной и объяснительной работы, эстетическая и практическая ценность.6. Принцип самоконтроля.Большинство людей склонны прощать себе небольшие (да и крупные) ошибки. Школьники не исключение. Проявлением этого недостатка, имеющего большие последствия на экзамене, является привычка подстраиваться под ответ. Решив задачу, получив ответ и заглянув в конец учебника, обнаружив некоторые, иногда серьезные, расхождения, ученик делает коекакие исправления, в результате которых его ответ соответствует ответу, данному в учебнике, и считает, что все в порядке, хотя задача не решена. Регулярный и систематический анализ своих ошибок и неудач должен быть непременным элементом самостоятельной работы.7. Принцип быстрого повторения.По мере накопления числа решенных задач следует просматривать и некоторым образом раскладывать по полочкам образовавшийся задачный архив примерно по следующей схеме: эта задача простая —я ее без труда решил в свое время и сейчас вижу весь путь решения от начала до конца. Эта задача потруднее —я ее в свое время не решил (решил с трудом,нашел правильную идею, но запутался в вычислениях), но хорошо помню ее решение, данное учителем (товарищем). И наконец, эту задачу я не решил, объяснение вроде бы понял, но сейчас не могу восстановить в своей памяти. Надо разобраться в своих записях или же спросить об этой задаче учителя.8. Принцип работы с текстом.Школьные учебники приучили учеников иметь дело с текстами разжеванными; более или менее сложные места, как правило, предваряются объяснениями учителя. Учебник читают, а не изучают с карандашом, бумагой и напряжением мысли. А ведь работа со сложными научными текстами, понять которые иногда не проще, чем решить небольшую проблему,—будни научного работника. В предлагаемом пособии немало трудных задач, снабженных лишь краткими указаниями. Понять эти указания, заполнить логические пробелы, выполнить промежуточные вычисления, рассмотреть самостоятельно варианты, сопровождающиеся оборотом «аналогично»,—главное назначение этих задач.9. Принцип моделирования ситуаций.Полезно моделировать критические ситуации, которые могут возникнуть на экзамене, и отрабатывать стереотипы поведения.Курс рассчитан на два года,69 часов (один час в неделю: 10 класс35ч, 11 класс 34).Таблица 1Тематический план№ П.ПРаздел программыКоличество часов1Параметр: понятие, общие методы решения, поиск решений уравнений, неравенств, их систем22
Методы решения задач с параметром,23Линейные уравнения и неравенства, уравнения и неравенства приводимые к линейным24Квадратные уравнения и неравенства45Дробнорациональные уравнения и неравенства66Графические интерпретации. Свойства функций в задачах с параметрами. 37Тригонометрия98Показательныеуравнения и неравенства79Зачет110Логарифмические уравнения и неравенства611Иррациональные уравнения и неравенства612Системы уравнений и неравенств513Задачи математического анализа514Параметрыв заданиях ЕГЭ1615Обобщающее занятие. Зачет2
Содержание программы:Тема 1.Параметр: понятие, общие методы решенияОсновная цельопределение уравнения и неравенствас параметром, области определения уравнения с параметром; общие приемы решения заданий с параметром. Учащимся раскрывается содержание понятия параметр, его интерпретация, основные теоремы.
Тема 2. Методы решения задач с параметром.Основная цельвведение различных методов решения задач с параметром. Учащимся дается характеристика каждого метода решения задач с параметром; обоснованиевыбораметода решения. в зависимости от условия, вопроса задачи. Тема 3. Линейные уравнения и неравенства, уравнения и неравенства приводимые к линейным. Основная цельформирование навыка решения линейных уравнений и неравенств с параметром, атакже уравнений и неравенств, приводимых к ним.
Тема 4. Квадратные уравнения и неравенства.
Основная цельформирование навыка решения квадратных уравнений и неравенств с параметром, исследовать квадратный трехчлен, знаки корней в зависимости от параметра. определение квадратного трехчлена и квадратного уравнения, решения уравнений выделением полного квадрата,уравнений по формуле, методы решения неполных квадратных уравнений.Методы решения квадратных неравенств. В ходе практических занятийрассматриваются задания различной степени сложности,Тема 5. Дробнорациональные уравнения и неравенства.Основная цельформирование навыка решениядробных уравнений, содержащихпараметр, различных типов и различными методами.Тема 6. Графические интерпретации. Свойства функций в задачах с параметрами. Основная цельпознакомить учащихся с графическим приемом решения заданий с параметрами., формировать умение использовать свойства функций при решении задач с параметрами. На практических занятиях рассмотреть свойства монотонности функций, ограниченности области значений, экстремальные свойства.Тема7.Тригонометрия.Основная цельвведение методов решениятригонометрических задач с параметром: преобразование выражений, решение уравнений и неравенств.В ходе практических занятийрассматриваются задания различной степени сложности,Тема8. Показательныеуравнения и неравенства.Основная цельформирование навыка оценки основания степени, решения показательных уравненийи неравенств различного вида.Тема9. Зачет.Основная цельподведение итогов изучениякурса «Параметр» в 10 классе.Тема 10. Логарифмические уравнения и неравенства.Основная цельознакомить учащихся с основными приемами решения логарифмических задач, содержащихпараметр, их свойствами; привлечь внимание к поиску рациональных способов решения..Тема 11. Иррациональныеуравнения и неравенства.Основная цельзакреплениенавыков решения иррациональных уравнений и неравенств, применения теорем о равносильности; формирование навыков применения общих методов к решению задач с параметром.Тема12. Системы уравнений и неравенств.Основная цельзакрепление навыка применения различных методов решения заданий с параметром, их применения для систем уравнений и неравенств.Тема 13. Задачи математического анализа .Основная цельформирование навыков решения задач на наибольшее и наименьшее значение, нахождения минимумов и максимумов функции в задачах содержащих параметр.Тема 14. Параметр в заданиях ЕГЭ.Основная цельсистематизация и обобщение знаний учащихся о методах решения задач с параметром, их применениякрешениюзаданий ЕГЭ.Тема 15. Обобщающее занятие.Основная цель
подведение итогов изучениякурса «Параметр», защита проекта.Программа предусматривает: лекций 11, проверочных работ5 , самостоятельных работ 5, тестов 3 , зачетов 3Таблица 2Календарнотематическое планирование
№Тема занятияДатаФорма проведенияФорма контроля
10 класс1Параметр: понятие, общие методы решения
Лекция
2Параметр: понятие, общие методы решения
Практикум
3Методы решения задач с параметром
Лекция
4Методы решения задач с параметром
Практикум
5Линейные уравнения и неравенства, уравнения и неравенства приводимые к линейным
Лекция
6Линейные уравнения и неравенства, уравнения и неравенства приводимые к линейным
ПрактикумПрактическая работа7Квадратные уравнения и неравенства
Лекция
8Квадратные уравнения и неравенства
Практикум
9Квадратные уравнения и неравенства
Практикум
10Квадратные уравнения и неравенства
ПрактикумСамостоятельная работа№111Дробнорациональные уравнения и неравенства
Лекция
12Дробнорациональные уравнения и неравенства
Практикум
13Дробнорациональные уравнения и неравенства
ПрактикумТест14Дробнорациональные уравнения и неравенства
Практикум
15Дробнорациональные уравнения и неравенства
Практикум
16Дробнорациональные уравнения и неравенства
ПрактикумСамостоятельная работа№217Графические интерпретации. Свойства функций в задачах с параметрами.
Лекция
18Графические интерпретации. Свойства функций в задачах с параметрами.
Практикум
19Графические интерпретации. Свойства функций в задачах с параметрами.
Практикум
20Тригонометрия
Лекция
21Тригонометрия
Лекция
22Тригонометрия
Практикум
23Тригонометрия
Практикум
24Тригонометрия
Практикум
26Тригонометрия
Практикум
25Тригонометрия
ПрактикумСамостоятельная работа№325Тригонометрия
Практикум
27Тригонометрия
Практикум
28Показательные уравнения и неравенства
Лекция
29Показательные уравнения и неравенства
Практикум
30Показательные уравнения и неравенства
Практикум
31
Показательные уравнения и неравенства
Практикум
32Показательные уравнения и неравенства
ПрактикумПроверочная работа33Показательные уравнения и неравенства
Практикум
34Показательные уравнения и неравенства
Практикум
35Зачет
11 класс36Логарифмические уравнения и неравенства
Лекция
37Логарифмические уравнения и неравенства
Практикум
38Логарифмические уравнения и неравенства
Практикум
39Логарифмические уравнения и неравенства
Практикум
40Логарифмические уравнения и неравенства
Практикум
41Логарифмические уравнения и неравенства
Практикум
42Системы уравнений и неравенств
Лекция
43Системы уравнений и неравенств
ПрактикумТест 44Системы уравнений и неравенств
Практикум
45Системы уравнений и неравенств
Практикум
46Системы уравнений и неравенств
ПрактикумПроверочная работа47Задачи математического анализа
Лекция
48Задачи математического анализа
Практикум
49Задачи математического анализа
Практикум
50Задачи математического анализа
Практикум
51Задачи математического анализа
ПрактикумСамостоятельная работа№452Параметр в заданиях ЕГЭ
Практикум
53Параметр в заданиях ЕГЭ
Практикум
54Параметр в заданиях ЕГЭ
Практикум
55Параметр в заданиях ЕГЭ
Практикум
56Параметр в заданиях ЕГЭ
Практикум
57Параметр в заданиях ЕГЭ
Практикум
58Параметр в заданиях ЕГЭ
Практикум
59Параметр в заданиях ЕГЭ
ПрактикумСамостоятельная работа№560Параметр в заданиях ЕГЭ
Практикум
61Параметр в заданиях ЕГЭ
Практикум
62Параметр в заданиях ЕГЭ
Практикум
63Параметр в заданиях ЕГЭ
Практикум
64Параметр в заданиях ЕГЭ
Практикум
65Параметр в заданиях ЕГЭ
Практикум
66Параметр в заданиях ЕГЭ
Практикум
67Параметр в заданиях ЕГЭ
Практикум
68Обобщающее занятие
зачетПроверочная работа69Обобщающее занятие
зачет
Методические рекомендации:Тема 1. Лекция носит установочный характер и готовит учащихся к практической деятельности, а именно к решению упражнений, связанных с решением заданий с параметром. Во время практических занятий учащиеся коллективно, а затем по группам работают над примерами различной степени сложности, содержащими параметр. Тема 2. Из содержания лекции учащиеся знакомятся с методами решения задач с параметрами: графический, аналитический, координатнопараметрический. Практические занятия рекомендуется проводить в форме фронтальной работы, отрабатывая применение различныхметодоврешения задач с параметром. Завершающим этапомпроводится практическая работа.Тема 3.Краткая лекция на основебазовых знаний о линейных уравнениях и неравенствах, способах их решения. На практических занятиях отрабатываются навыки решения линейных уравнений и уравнений и неравенстви систем линейных уравнений и неравенств с параметром, графическим и аналитическимспособом. Итогом служит проверочная работа.Тема 4.Краткая лекция на основебазовых знаний о квадратныхуравнениях и неравенствах, способах их решения. На практических занятиях отрабатываются навыки решения различных типов квадратныхуравнений и неравенствс параметром, графическим и аналитическимспособом, решения уравнений выделением полного квадрата, решения уравнений по формуле, методы решения неполных квадратных уравнений. Рассмотретьпримеры применения теоремы Виета, обратной теореме Виета, определение знаков корней квадратного уравнения в зависимости от значений параметра, теоремы о расположении корней относительно заданной точки или заданного промежутка, алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений квадратичной функции. Итоговое занятие по темепроверочная работа.Тема5.Практические занятия проводитьиспользуя как коллективную форму обучения, так и индивидуальную. На практических занятиях рассматривать решения уравнений, неравенств начиная с простых и заканчивая содержащими несколько параметром, используя метод интервалов.Тема 6.На первом занятии целесообразно повторить свойства и графики основных функций. Определить, на каких свойствах основано решение задач с параметрами. На практических занятиях следует обратить внимание на аналитические и графические приемы решения задач. Провести самостоятельнуюработу с целью выявления уровня умения находить способы решения задач такого типа.В завершениипрактикум по решению уравнений неравенств.
Тема7. На первых занятияхцелесообразно повторить теоретический материал по решению тригонометрических уравнений и неравенств, формул преобразования тригонометрических выражений. На практических занятиях следует обратить внимание на аналитические и графические приемы решения задач. При решении простейших неравенств необходимоопираться на геометрическую интерпретацию. Самостоятельная работаитог работы по теме. В завершениипрактикум по решению неравенств. Тема 8.Из содержания лекции учащиеся на базовом уровне повторяют основные свойства показательной функции, методы оценки основания степени. Практические занятия рекомендуется проводить в группах, по карточкамзаданиям, с последующим обсуждением решения, его рациональности. Завершающим этапомпроводится проверочная работа.Тема9.Завершающим этапом изучения элективного курса в 10 классе является зачет, который проводится в виде проверочнойработы.Тема 10. Из содержания лекции учащиеся повторяют определения, свойства логарифмов,методы решения уравнений и неравенств. Практические занятия посвящаются отработке навыков решения задач с параметром как в основании логарифма, так и в подлогарифмируемом выражении; целесообразна как работа фронтальная, так и групповая.Тема11.Краткая лекция на основебазовых знаний о системахуравнений и неравенств, типах и способах их решения, готовит учащихся к выработке навыков решения системс параметром. Практические занятия необходимо посвятить решению систем как с одним, так и с несколькими параметрами. Итогомпроверочная работа по теме.Тема 12. При решении задач математического анализа с параметром следует рассмотреть задачи на наибольшее и наименьшее значение, максимум и минимум.Тема 13. Решение заданий ЕГЭ с параметром проводится в форме практикумов, где рассматриваются задачи с параметром из текстов КИМов за прошлые годы идемонстрационных вариантов. Самостоятельная работа –форма контроля навыка решения заданий с параметром из текстов ЕГЭ.Тема 14. На заключительном занятии подводятся итоги изучения элективного курса «Параметр», проверочная работа. Проводится защита собственного проекта по курсу «Параметр»
Ссылки на источники1. П.И.Горштейн, В.Б.Полонский, М.С.Якир Задачи с параметрами. «Илекса» М.,20052. К.П.Сикорский Дополнительные главы по курсу математики. М.,«Просвещение», 1996.М.Л.Галицкий Сборник задач по алгебре 89 кл. М. «Просвещение», 2000.3.С.М. Крамор. Примеры с параметрами и ихрешения.М.Аркти.2001.4.В.В.Локоть. Задачи с параметрами и ихрешения.Тригонометрия.М.Аркти.2002.5.И.Ф.Шарыгин. Факультативный курс по математике. Решение задач. Учебное пособие для 10, 11 класса средней школы.М.1989.6. http://www.intellectcentre.ru–сайт издательства «ИнтеллектЦентр», где можно найти учебнотренировочные материалы, демонстрационные версии, банктренировочных заданий с ответами, методические рекомендации и образцы решенийhttp://www.fipi.ru
портал информационной поддержки ЕГ7.М.Я.Выгодский Справочник по элементарной математике. М. «Астель Аст», 20038. И.С. Петряков Математические кружки. М. « Просвещение», 19979. Л.Я.Фальке Изучение сложных тем курса алгебры в средней школе. М. «Илекса», 200610. А.П.Карп Сборник задач по алгебре и началам анализа 1011 кл. М., «Просвещение», 199911. В.В.Амелькин, В.Рабцевич. Задачи с параметром. Минск. 1996.12.П.И.Горнштейн, В.Б.Полонский, М.С.Якир Задачи с параметрами. М. «Илекса».2005.13.Г.А.Ястребинецкий. Уравнения и неравенства, содержащие параметры.М.1989.14.А.Х.Шахмейстер. Задачи с параметрами в ЕГЭ.С.Петербург.М. 2004.15.С.А.Субханкулова. Задачи спараметроми. Илекса.201016.http://www.internetscool.ru
сайт Интернет –школы издательства Просвещение. Учебный план разработан на основе федерального базисного учебного плана для общеобразовательных учреждений РФ и представляет область знаний «Математика». На сайте представлены Интернетуроки по алгебре и началам анализа и геометрии, включают подготовку сдачи ЕГЭ.
17. http://www.legion.ru–сайт издательства «Легион»18. http://www.intellectcentre.ru–сайт издательства «ИнтеллектЦентр», где можно найти учебнотренировочные материалы, демонстрационные версии, банктренировочных заданий с ответами, методические рекомендации и образцы решений.19. http://www.fipi.ru
портал информационной поддержки
Прудских Анна Георгиевна,учитель математики,МБОУ «СОШ №34 с углубленным изучением отдельных предметов», г.Старый Осколprudsckih@yandex.ru
Элективный курс«Задачи с параметрами»
Аннотация:Материал содержит пояснительную записку, методические рекомендации, календарнотематическое планирование, список литературы для учителя и ученика.Ключевые слова:параметр, ЕГЭ, задачи с параметром.
Программа курса составлена на основе книгиП.И.Горштейна, В.Б. Полонского, М.С.Якира «Задачи с параметрами».
Образовательная программа «Задачи с параметрами» направленана реализацию концепции стандарта образования, на расширение школьного курса математики, подготовку к итоговой аттестации.
Отличительной особенностьюкурса является систематизация и классификация заданий с параметром и методов их решения по основным разделам курса математики 1011 класса. Разделыпрограммы свободно могут перемещаться в рамках курса, без ущерба для общей цели и результата, в зависимости от основнойпрограммы.
На ЕГЭ, вступительных экзаменах, олимпиадах часто встречаютсязадачи с параметрами. В школьном курсе математики эти задачи рассматриваются пока крайне редко, бессистемно, поэтому при решении таких задач у выпускников обычно возникают затруднения.Но в государственномстандарте образования по математике отмечается, что в ближайшем будущем задачи с параметрами будут введеныв школьный курс.В связи с чем возникла необходимость создания такой программы. Курс состоит из 13 параграфов и 3 зачетных работ. Основными целями и задачамипрограммы стали:повышение математической культуры учащихся в рамках школьной программы по математике; систематизация знаний и умений по стержневым темам курса математики старшей школы;формирование и развитие у учащихся логического мышления, интеллектуальных и практических умений в области решения уравнений, неравенств, содержащих параметр;
умения самостоятельно приобретать и применять знания в различных ситуациях; развитие творческих способностей; коммуникативных навыков, которые способствуют развитию умений работать в группе;
формированиенавыковисследовательской деятельностиучащихся; умение оценивать свои способности к математике и умению делать осознанный выбор профиля дальнейшего обучения;подготовка к итоговой аттестации обучающихся.Прогнозируемый результат: овладениеучащимисянавыками решения уравнений инеравенств, содержащихпараметры, интерпретации результатов своей деятельности; умением делать выводы и обсуждать результаты; успешная сдача ЕГЭ.
При составлении программы элективного курса использовались следующие принципы.1. Принцип регулярности.Основная работа происходит в классе на совместных занятиях и дома, индивидуально. Полноценная подготовка невозможна без достаточно большого количества часов, посвященных работе над задачей. При этом лучше заниматься понемногу, но часто, скажем, по часу ежедневно, чем раз в неделю, но по многу часов. Хорошо бы еженедельно набирать по 10 часов, включая классные занятия. Заниматься математикой, думать можно, даже гуляя на улице (но не переходя при этом проезжую часть).2. Принцип параллельности.Несмотря на то что учебное пособие разбито на отдельные главы по темам, было бы совершенно неправильно изучать эти темы последовательно, одну за другой. Следует постоянно держать в поле зрения несколько (дветри) тем, постепенно продвигаясь по ним вперед и вглубь.3. Принцип опережающей сложности.Не следует загружать ученика большой по объему, но несложной работой, так же как и ставить его в положение лисицы перед виноградом, задавая непосильные для него задачи. Слишком легко и слишком трудно —равно плохо. Напомним, что оптимальными для развития цивилизации оказались широты, климатические условия которых, не позволяя человеку расслабиться, в то же время не превращали его жизнь в сплошную борьбу за существование. На практике реализовать этот принцип можно, например, следующим образом. Задавая на дом очередную недельную порцию задач (от 10 до 15), желательно подобрать их так, чтобы 78 из них были доступны практически всем слушателям элективного курса, 3—4 были бы по силам лишь некоторым, а 1—2, пусть не намного, но превышают возможности даже самых сильных учеников. Ученик имеет право отложить трудную задачу, если он потрудился над ее решением определенное время, скажем, один час, и она у него не получилась. В этом случае процесс усвоения новых идей будет более эффективным. Действие этого принципа будет тем лучше, чем ближе друг к другу по уровню математического развития члены факультатива. Кроме того, он развивает такие полезные качества, как сознательность, внутренняя честность, научное честолюбие.4. Принцип смены приоритетов.Приоритет идеи.В период накопления идей, а также при решении достаточно трудных задач ученику прощаются небольшие и даже средние огрехи в решении задачи; главное —правильная идея решения, которая может быть доведена до числа за разумное время. Именно так действуют иногда и экзаменационные комиссии вузов при оценке решений наиболее сложных конкурсных задач.Приоритет ответа.При отработке уже известных идей, а также при решении наиболее простых, стандартных задач главное —правильный ответ. 5. Принцип вариативности.Очень полезно на примере одной задачи рассмотреть различные приемы и методы решения, а затем сравнить получившиеся решения с различных точек зрения: стандартность и оригинальность, объем вычислительной и объяснительной работы, эстетическая и практическая ценность.6. Принцип самоконтроля.Большинство людей склонны прощать себе небольшие (да и крупные) ошибки. Школьники не исключение. Проявлением этого недостатка, имеющего большие последствия на экзамене, является привычка подстраиваться под ответ. Решив задачу, получив ответ и заглянув в конец учебника, обнаружив некоторые, иногда серьезные, расхождения, ученик делает коекакие исправления, в результате которых его ответ соответствует ответу, данному в учебнике, и считает, что все в порядке, хотя задача не решена. Регулярный и систематический анализ своих ошибок и неудач должен быть непременным элементом самостоятельной работы.7. Принцип быстрого повторения.По мере накопления числа решенных задач следует просматривать и некоторым образом раскладывать по полочкам образовавшийся задачный архив примерно по следующей схеме: эта задача простая —я ее без труда решил в свое время и сейчас вижу весь путь решения от начала до конца. Эта задача потруднее —я ее в свое время не решил (решил с трудом,нашел правильную идею, но запутался в вычислениях), но хорошо помню ее решение, данное учителем (товарищем). И наконец, эту задачу я не решил, объяснение вроде бы понял, но сейчас не могу восстановить в своей памяти. Надо разобраться в своих записях или же спросить об этой задаче учителя.8. Принцип работы с текстом.Школьные учебники приучили учеников иметь дело с текстами разжеванными; более или менее сложные места, как правило, предваряются объяснениями учителя. Учебник читают, а не изучают с карандашом, бумагой и напряжением мысли. А ведь работа со сложными научными текстами, понять которые иногда не проще, чем решить небольшую проблему,—будни научного работника. В предлагаемом пособии немало трудных задач, снабженных лишь краткими указаниями. Понять эти указания, заполнить логические пробелы, выполнить промежуточные вычисления, рассмотреть самостоятельно варианты, сопровождающиеся оборотом «аналогично»,—главное назначение этих задач.9. Принцип моделирования ситуаций.Полезно моделировать критические ситуации, которые могут возникнуть на экзамене, и отрабатывать стереотипы поведения.Курс рассчитан на два года,69 часов (один час в неделю: 10 класс35ч, 11 класс 34).Таблица 1Тематический план№ П.ПРаздел программыКоличество часов1Параметр: понятие, общие методы решения, поиск решений уравнений, неравенств, их систем22
Методы решения задач с параметром,23Линейные уравнения и неравенства, уравнения и неравенства приводимые к линейным24Квадратные уравнения и неравенства45Дробнорациональные уравнения и неравенства66Графические интерпретации. Свойства функций в задачах с параметрами. 37Тригонометрия98Показательныеуравнения и неравенства79Зачет110Логарифмические уравнения и неравенства611Иррациональные уравнения и неравенства612Системы уравнений и неравенств513Задачи математического анализа514Параметрыв заданиях ЕГЭ1615Обобщающее занятие. Зачет2
Содержание программы:Тема 1.Параметр: понятие, общие методы решенияОсновная цельопределение уравнения и неравенствас параметром, области определения уравнения с параметром; общие приемы решения заданий с параметром. Учащимся раскрывается содержание понятия параметр, его интерпретация, основные теоремы.
Тема 2. Методы решения задач с параметром.Основная цельвведение различных методов решения задач с параметром. Учащимся дается характеристика каждого метода решения задач с параметром; обоснованиевыбораметода решения. в зависимости от условия, вопроса задачи. Тема 3. Линейные уравнения и неравенства, уравнения и неравенства приводимые к линейным. Основная цельформирование навыка решения линейных уравнений и неравенств с параметром, атакже уравнений и неравенств, приводимых к ним.
Тема 4. Квадратные уравнения и неравенства.
Основная цельформирование навыка решения квадратных уравнений и неравенств с параметром, исследовать квадратный трехчлен, знаки корней в зависимости от параметра. определение квадратного трехчлена и квадратного уравнения, решения уравнений выделением полного квадрата,уравнений по формуле, методы решения неполных квадратных уравнений.Методы решения квадратных неравенств. В ходе практических занятийрассматриваются задания различной степени сложности,Тема 5. Дробнорациональные уравнения и неравенства.Основная цельформирование навыка решениядробных уравнений, содержащихпараметр, различных типов и различными методами.Тема 6. Графические интерпретации. Свойства функций в задачах с параметрами. Основная цельпознакомить учащихся с графическим приемом решения заданий с параметрами., формировать умение использовать свойства функций при решении задач с параметрами. На практических занятиях рассмотреть свойства монотонности функций, ограниченности области значений, экстремальные свойства.Тема7.Тригонометрия.Основная цельвведение методов решениятригонометрических задач с параметром: преобразование выражений, решение уравнений и неравенств.В ходе практических занятийрассматриваются задания различной степени сложности,Тема8. Показательныеуравнения и неравенства.Основная цельформирование навыка оценки основания степени, решения показательных уравненийи неравенств различного вида.Тема9. Зачет.Основная цельподведение итогов изучениякурса «Параметр» в 10 классе.Тема 10. Логарифмические уравнения и неравенства.Основная цельознакомить учащихся с основными приемами решения логарифмических задач, содержащихпараметр, их свойствами; привлечь внимание к поиску рациональных способов решения..Тема 11. Иррациональныеуравнения и неравенства.Основная цельзакреплениенавыков решения иррациональных уравнений и неравенств, применения теорем о равносильности; формирование навыков применения общих методов к решению задач с параметром.Тема12. Системы уравнений и неравенств.Основная цельзакрепление навыка применения различных методов решения заданий с параметром, их применения для систем уравнений и неравенств.Тема 13. Задачи математического анализа .Основная цельформирование навыков решения задач на наибольшее и наименьшее значение, нахождения минимумов и максимумов функции в задачах содержащих параметр.Тема 14. Параметр в заданиях ЕГЭ.Основная цельсистематизация и обобщение знаний учащихся о методах решения задач с параметром, их применениякрешениюзаданий ЕГЭ.Тема 15. Обобщающее занятие.Основная цель
подведение итогов изучениякурса «Параметр», защита проекта.Программа предусматривает: лекций 11, проверочных работ5 , самостоятельных работ 5, тестов 3 , зачетов 3Таблица 2Календарнотематическое планирование
№Тема занятияДатаФорма проведенияФорма контроля
10 класс1Параметр: понятие, общие методы решения
Лекция
2Параметр: понятие, общие методы решения
Практикум
3Методы решения задач с параметром
Лекция
4Методы решения задач с параметром
Практикум
5Линейные уравнения и неравенства, уравнения и неравенства приводимые к линейным
Лекция
6Линейные уравнения и неравенства, уравнения и неравенства приводимые к линейным
ПрактикумПрактическая работа7Квадратные уравнения и неравенства
Лекция
8Квадратные уравнения и неравенства
Практикум
9Квадратные уравнения и неравенства
Практикум
10Квадратные уравнения и неравенства
ПрактикумСамостоятельная работа№111Дробнорациональные уравнения и неравенства
Лекция
12Дробнорациональные уравнения и неравенства
Практикум
13Дробнорациональные уравнения и неравенства
ПрактикумТест14Дробнорациональные уравнения и неравенства
Практикум
15Дробнорациональные уравнения и неравенства
Практикум
16Дробнорациональные уравнения и неравенства
ПрактикумСамостоятельная работа№217Графические интерпретации. Свойства функций в задачах с параметрами.
Лекция
18Графические интерпретации. Свойства функций в задачах с параметрами.
Практикум
19Графические интерпретации. Свойства функций в задачах с параметрами.
Практикум
20Тригонометрия
Лекция
21Тригонометрия
Лекция
22Тригонометрия
Практикум
23Тригонометрия
Практикум
24Тригонометрия
Практикум
26Тригонометрия
Практикум
25Тригонометрия
ПрактикумСамостоятельная работа№325Тригонометрия
Практикум
27Тригонометрия
Практикум
28Показательные уравнения и неравенства
Лекция
29Показательные уравнения и неравенства
Практикум
30Показательные уравнения и неравенства
Практикум
31
Показательные уравнения и неравенства
Практикум
32Показательные уравнения и неравенства
ПрактикумПроверочная работа33Показательные уравнения и неравенства
Практикум
34Показательные уравнения и неравенства
Практикум
35Зачет
11 класс36Логарифмические уравнения и неравенства
Лекция
37Логарифмические уравнения и неравенства
Практикум
38Логарифмические уравнения и неравенства
Практикум
39Логарифмические уравнения и неравенства
Практикум
40Логарифмические уравнения и неравенства
Практикум
41Логарифмические уравнения и неравенства
Практикум
42Системы уравнений и неравенств
Лекция
43Системы уравнений и неравенств
ПрактикумТест 44Системы уравнений и неравенств
Практикум
45Системы уравнений и неравенств
Практикум
46Системы уравнений и неравенств
ПрактикумПроверочная работа47Задачи математического анализа
Лекция
48Задачи математического анализа
Практикум
49Задачи математического анализа
Практикум
50Задачи математического анализа
Практикум
51Задачи математического анализа
ПрактикумСамостоятельная работа№452Параметр в заданиях ЕГЭ
Практикум
53Параметр в заданиях ЕГЭ
Практикум
54Параметр в заданиях ЕГЭ
Практикум
55Параметр в заданиях ЕГЭ
Практикум
56Параметр в заданиях ЕГЭ
Практикум
57Параметр в заданиях ЕГЭ
Практикум
58Параметр в заданиях ЕГЭ
Практикум
59Параметр в заданиях ЕГЭ
ПрактикумСамостоятельная работа№560Параметр в заданиях ЕГЭ
Практикум
61Параметр в заданиях ЕГЭ
Практикум
62Параметр в заданиях ЕГЭ
Практикум
63Параметр в заданиях ЕГЭ
Практикум
64Параметр в заданиях ЕГЭ
Практикум
65Параметр в заданиях ЕГЭ
Практикум
66Параметр в заданиях ЕГЭ
Практикум
67Параметр в заданиях ЕГЭ
Практикум
68Обобщающее занятие
зачетПроверочная работа69Обобщающее занятие
зачет
Методические рекомендации:Тема 1. Лекция носит установочный характер и готовит учащихся к практической деятельности, а именно к решению упражнений, связанных с решением заданий с параметром. Во время практических занятий учащиеся коллективно, а затем по группам работают над примерами различной степени сложности, содержащими параметр. Тема 2. Из содержания лекции учащиеся знакомятся с методами решения задач с параметрами: графический, аналитический, координатнопараметрический. Практические занятия рекомендуется проводить в форме фронтальной работы, отрабатывая применение различныхметодоврешения задач с параметром. Завершающим этапомпроводится практическая работа.Тема 3.Краткая лекция на основебазовых знаний о линейных уравнениях и неравенствах, способах их решения. На практических занятиях отрабатываются навыки решения линейных уравнений и уравнений и неравенстви систем линейных уравнений и неравенств с параметром, графическим и аналитическимспособом. Итогом служит проверочная работа.Тема 4.Краткая лекция на основебазовых знаний о квадратныхуравнениях и неравенствах, способах их решения. На практических занятиях отрабатываются навыки решения различных типов квадратныхуравнений и неравенствс параметром, графическим и аналитическимспособом, решения уравнений выделением полного квадрата, решения уравнений по формуле, методы решения неполных квадратных уравнений. Рассмотретьпримеры применения теоремы Виета, обратной теореме Виета, определение знаков корней квадратного уравнения в зависимости от значений параметра, теоремы о расположении корней относительно заданной точки или заданного промежутка, алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений квадратичной функции. Итоговое занятие по темепроверочная работа.Тема5.Практические занятия проводитьиспользуя как коллективную форму обучения, так и индивидуальную. На практических занятиях рассматривать решения уравнений, неравенств начиная с простых и заканчивая содержащими несколько параметром, используя метод интервалов.Тема 6.На первом занятии целесообразно повторить свойства и графики основных функций. Определить, на каких свойствах основано решение задач с параметрами. На практических занятиях следует обратить внимание на аналитические и графические приемы решения задач. Провести самостоятельнуюработу с целью выявления уровня умения находить способы решения задач такого типа.В завершениипрактикум по решению уравнений неравенств.
Тема7. На первых занятияхцелесообразно повторить теоретический материал по решению тригонометрических уравнений и неравенств, формул преобразования тригонометрических выражений. На практических занятиях следует обратить внимание на аналитические и графические приемы решения задач. При решении простейших неравенств необходимоопираться на геометрическую интерпретацию. Самостоятельная работаитог работы по теме. В завершениипрактикум по решению неравенств. Тема 8.Из содержания лекции учащиеся на базовом уровне повторяют основные свойства показательной функции, методы оценки основания степени. Практические занятия рекомендуется проводить в группах, по карточкамзаданиям, с последующим обсуждением решения, его рациональности. Завершающим этапомпроводится проверочная работа.Тема9.Завершающим этапом изучения элективного курса в 10 классе является зачет, который проводится в виде проверочнойработы.Тема 10. Из содержания лекции учащиеся повторяют определения, свойства логарифмов,методы решения уравнений и неравенств. Практические занятия посвящаются отработке навыков решения задач с параметром как в основании логарифма, так и в подлогарифмируемом выражении; целесообразна как работа фронтальная, так и групповая.Тема11.Краткая лекция на основебазовых знаний о системахуравнений и неравенств, типах и способах их решения, готовит учащихся к выработке навыков решения системс параметром. Практические занятия необходимо посвятить решению систем как с одним, так и с несколькими параметрами. Итогомпроверочная работа по теме.Тема 12. При решении задач математического анализа с параметром следует рассмотреть задачи на наибольшее и наименьшее значение, максимум и минимум.Тема 13. Решение заданий ЕГЭ с параметром проводится в форме практикумов, где рассматриваются задачи с параметром из текстов КИМов за прошлые годы идемонстрационных вариантов. Самостоятельная работа –форма контроля навыка решения заданий с параметром из текстов ЕГЭ.Тема 14. На заключительном занятии подводятся итоги изучения элективного курса «Параметр», проверочная работа. Проводится защита собственного проекта по курсу «Параметр»
Ссылки на источники1. П.И.Горштейн, В.Б.Полонский, М.С.Якир Задачи с параметрами. «Илекса» М.,20052. К.П.Сикорский Дополнительные главы по курсу математики. М.,«Просвещение», 1996.М.Л.Галицкий Сборник задач по алгебре 89 кл. М. «Просвещение», 2000.3.С.М. Крамор. Примеры с параметрами и ихрешения.М.Аркти.2001.4.В.В.Локоть. Задачи с параметрами и ихрешения.Тригонометрия.М.Аркти.2002.5.И.Ф.Шарыгин. Факультативный курс по математике. Решение задач. Учебное пособие для 10, 11 класса средней школы.М.1989.6. http://www.intellectcentre.ru–сайт издательства «ИнтеллектЦентр», где можно найти учебнотренировочные материалы, демонстрационные версии, банктренировочных заданий с ответами, методические рекомендации и образцы решенийhttp://www.fipi.ru
портал информационной поддержки ЕГ7.М.Я.Выгодский Справочник по элементарной математике. М. «Астель Аст», 20038. И.С. Петряков Математические кружки. М. « Просвещение», 19979. Л.Я.Фальке Изучение сложных тем курса алгебры в средней школе. М. «Илекса», 200610. А.П.Карп Сборник задач по алгебре и началам анализа 1011 кл. М., «Просвещение», 199911. В.В.Амелькин, В.Рабцевич. Задачи с параметром. Минск. 1996.12.П.И.Горнштейн, В.Б.Полонский, М.С.Якир Задачи с параметрами. М. «Илекса».2005.13.Г.А.Ястребинецкий. Уравнения и неравенства, содержащие параметры.М.1989.14.А.Х.Шахмейстер. Задачи с параметрами в ЕГЭ.С.Петербург.М. 2004.15.С.А.Субханкулова. Задачи спараметроми. Илекса.201016.http://www.internetscool.ru
сайт Интернет –школы издательства Просвещение. Учебный план разработан на основе федерального базисного учебного плана для общеобразовательных учреждений РФ и представляет область знаний «Математика». На сайте представлены Интернетуроки по алгебре и началам анализа и геометрии, включают подготовку сдачи ЕГЭ.
17. http://www.legion.ru–сайт издательства «Легион»18. http://www.intellectcentre.ru–сайт издательства «ИнтеллектЦентр», где можно найти учебнотренировочные материалы, демонстрационные версии, банктренировочных заданий с ответами, методические рекомендации и образцы решений.19. http://www.fipi.ru
портал информационной поддержки
