Математическая модель оптимального управления трудовым потенциалом региона
И.
В. ЗайцеваБиблиографическое описание статьи для цитирования:
Зайцева
И.
В.,
Семенчин
Е.
А. Математическая модель оптимального управления трудовым потенциалом региона // Научно-методический электронный журнал «Концепт». –
2014. – Т. 20. – С.
1306–1310. – URL:
http://e-koncept.ru/2014/54525.htm.
Аннотация. В данной статье выделены основные показатели, влияющие на изменение трудового потенциала Ставропольского края. Исследование функции, составленной из выделенных показателей, представляет собой задачу оптимального управления динамическим объектом. При ее решении был использован принцип максимума Понтрягина.
Ключевые слова:
математическая модель, трудовой потенциал, оптимальное управление, принципом максимума понтрягина.
Текст статьи
Зайцева Ирина Владимировна,кандидат физикоматематических наук,доцент, СГАУ, СКФУ, г. Ставропольziki@mail.ru
Семенчин Евгений Андреевич,доктор физикоматематических наук, профессор, СКФУ, г. Ставропольes14@mail.ru
Математическая модель оптимальногоуправления
трудовым потенциалом региона
Аннотация. В данной статье выделены основные показатели, влияющие на изменение трудового потенциала Ставропольского края.Исследование функции, составленной из выделенных показателей, представляет собой задачу оптимального управления динамическим объектом. Найдено ее решение, используя принципом максимума Понтрягина.Ключевые слова: Трудовой потенциал, математическая модель, оптимальное управление,принципом максимума Понтрягина.
В работе [1] указано на то, что численность трудовых ресурсов является динамической величиной, которая подразделяется на показатели естественного пополнения и естественного выбытия. К показателям естественного пополнения на данный момент времени в [1] относят: число лиц трудоспособного возраста, число лиц до и после трудоспособного возраста, число лиц из системы учебных заведений и армии. К показателям естественноговыбытия относятся: число лиц пенсионного возраста, число лиц, умерших в трудоспособном возрасте, число лиц, ушедших в армию или поступивших учиться в учебные заведения на очную форму обучения.Категорию «трудовой потенциал следует рассматривать как расширение понятия «трудовые ресурсы. «Трудовой потенциал содержит как уже существующие ресурсы, так и скрытые, а «трудовые ресурсы содержат только запас, который не использовался [2].На изменение трудового потенциала региона влияют различные социальноэкономических процессы, протекающих в регионе. Выделим основные показатели, влияющие на изменение трудового потенциала Ставропольского края. К показателям естественного пополнения трудового потенциала региона за определенный период времени отнесем: 1)число неработающих людей трудоспособного возраста, нашедших работу;2)величину иммиграции населения;3)число лиц до и после трудоспособного возраста.К показателям естественного выбытия отнесем: 1)число лиц, умерших в трудоспособном возрасте;
2)величину эмиграции населения;3)число лиц, вышедших на пенсию; 4)число лиц трудоспособного возраста, ушедших в армию или поступивших учиться в учебные заведения на очную форму обучения.Пусть функция a(t), значения которой в каждый моментt,t[t0, T], совпадает с объемом трудового потенциала в момент времени t, известна;разность между значениямиa(t+t), (t+t)[t0, T], t≥0, иa(t)характеризует изменение величины трудового потенциала за промежуток времени t. Обозначим в момент времени t[t0, T] черезb1(t)
количество безработных трудоспособного возраста, устроившихся на работу;b2(t)
количество безработных трудоспособного возраста, не нашедших работу;b1(t) + b2(t) = I, I= const≥ 0,c(t) количество людей, умерших в трудоспособном возрасте;d(t) число лиц до и после трудоспособного возраста, устроившихся на работу;e1(t) количество иммигрантов, e2(t) количество эмигрантов в регионе;g(t) количество людей трудоспособного возраста, вышедших на пенсию и нигде не работающих (например, из числа военнослужащих);h(t)
число лиц трудоспособного возраста, ушедших в армию или поступивших учиться на очную форму обучения в учебные заведения.Тогда, a(t+t)a(t) [a(t) + b1(t) +b2(t) c(t) + d(t) + e1(t)e2(t) + g(t) + h(t)]t.(1)Разделим левую и правую часть равенства (1) на t, в результате получим. (2)Переходя к пределу в (2) при t→0и предполагая, что производная в левой части этого равенства существует, будем иметь:. (3)К дифференциальному уравнению (3) присоединим начальное условие , которому удовлетворяет решение a(t) уравнения (3).Будем предполагать, что переменная величина b2(t) является регулируемой, а остальные c(t), d(t), e1(t), e2(t), g(t), h(t) нерегулируемыми величинами на [t0, T]. Функции c(t), d(t), e1(t), e2(t), g(t), h(t) можно построить методами регрессионногоанализа, используя известные статистические данные об этих функциях, b2(t)удовлетворяет условиям:,α1=const�0, α2=const�0, допустимые максимальный и минимальный уровень безработицы в регионе (заметим, что α1 0, так как безработица, например, скрытая, всегда существует даже при самых благоприятных экономических условиях).Величину b2(t) будем стремиться выбрать таким образом, чтобы на [t0,T] ее суммарное значение (интеграл) (4)было минимальным.Данная задача представляет собой задачу оптимального управления динамическим объектом. Найдем ее решение, воспользовавшись принципом максимума Понтрягина.Введем в рассмотрениефункцию Гамильтона .Тогда
,φ1(t)=ect, c= const.Следовательно,.Так как , то Hдостигает максимума по b2(t) приb2(t)α1. Подставляя оптимальное b2(t)α1 в уравнение (3) и решая полученное уравнение с начальным условием a(t0)= a0, будем иметь:, (5)где . (6)По заданному виду функции a(t) из (5)(6) легко спрогнозировать объем трудового потенциала в момент T: он равен значению a(T).
Ссылки на источники1.Трунин, С. Н. Экономика труда: учебник / С. Н. Трунин. М.: ЗАО «Издательство «Экономика, 2009. 496 с.2.Зайцева, И.В. Развитие понятия «трудовой потенциал как социальноэкономической категории/И.В. Зайцева, М.В. Попова, Я.В. Ворохобина // Управление экономическими системами: электронный научный журнал, 2013. № 1. Режим доступа: http://www.uecs.ru/index.php.3.Зайцева, И.В. Математическая модель оптимального распределения трудового потенциала региона поотраслям экономики / И.В. Зайцева, Е.А. Семенчин, В.А. Гимбицкий // Фундаментальные исследования, 2013. №8 (2). С. 413416.4.Труд и занятость в Ставропольском крае. 2012: Стат.сб. /Ставропольстат. Ставрополь, 2012. 137 с.
Irina ZaitsevaPhD, associate professor, SGAU, SKFU , Stavropolziki@mail.ruEugene Semenchin,
DhD,Professor, SKFU , Stavropoles14@mail.ruA mathematical model of optimal control of the labor potential of the regionAbstract. This article highlights the main factors affectingthe change in the employment potential of the Stavropol Territory . Function studies consisting of selected indicators is a problem of optimal control of dynamic objects. Found its solution using Pontryagin maximum principle.
Keywords: Labor potential , mathematical model , optimal control, the Pontryagin maximum principle.
Семенчин Евгений Андреевич,доктор физикоматематических наук, профессор, СКФУ, г. Ставропольes14@mail.ru
Математическая модель оптимальногоуправления
трудовым потенциалом региона
Аннотация. В данной статье выделены основные показатели, влияющие на изменение трудового потенциала Ставропольского края.Исследование функции, составленной из выделенных показателей, представляет собой задачу оптимального управления динамическим объектом. Найдено ее решение, используя принципом максимума Понтрягина.Ключевые слова: Трудовой потенциал, математическая модель, оптимальное управление,принципом максимума Понтрягина.
В работе [1] указано на то, что численность трудовых ресурсов является динамической величиной, которая подразделяется на показатели естественного пополнения и естественного выбытия. К показателям естественного пополнения на данный момент времени в [1] относят: число лиц трудоспособного возраста, число лиц до и после трудоспособного возраста, число лиц из системы учебных заведений и армии. К показателям естественноговыбытия относятся: число лиц пенсионного возраста, число лиц, умерших в трудоспособном возрасте, число лиц, ушедших в армию или поступивших учиться в учебные заведения на очную форму обучения.Категорию «трудовой потенциал следует рассматривать как расширение понятия «трудовые ресурсы. «Трудовой потенциал содержит как уже существующие ресурсы, так и скрытые, а «трудовые ресурсы содержат только запас, который не использовался [2].На изменение трудового потенциала региона влияют различные социальноэкономических процессы, протекающих в регионе. Выделим основные показатели, влияющие на изменение трудового потенциала Ставропольского края. К показателям естественного пополнения трудового потенциала региона за определенный период времени отнесем: 1)число неработающих людей трудоспособного возраста, нашедших работу;2)величину иммиграции населения;3)число лиц до и после трудоспособного возраста.К показателям естественного выбытия отнесем: 1)число лиц, умерших в трудоспособном возрасте;
2)величину эмиграции населения;3)число лиц, вышедших на пенсию; 4)число лиц трудоспособного возраста, ушедших в армию или поступивших учиться в учебные заведения на очную форму обучения.Пусть функция a(t), значения которой в каждый моментt,t[t0, T], совпадает с объемом трудового потенциала в момент времени t, известна;разность между значениямиa(t+t), (t+t)[t0, T], t≥0, иa(t)характеризует изменение величины трудового потенциала за промежуток времени t. Обозначим в момент времени t[t0, T] черезb1(t)
количество безработных трудоспособного возраста, устроившихся на работу;b2(t)
количество безработных трудоспособного возраста, не нашедших работу;b1(t) + b2(t) = I, I= const≥ 0,c(t) количество людей, умерших в трудоспособном возрасте;d(t) число лиц до и после трудоспособного возраста, устроившихся на работу;e1(t) количество иммигрантов, e2(t) количество эмигрантов в регионе;g(t) количество людей трудоспособного возраста, вышедших на пенсию и нигде не работающих (например, из числа военнослужащих);h(t)
число лиц трудоспособного возраста, ушедших в армию или поступивших учиться на очную форму обучения в учебные заведения.Тогда, a(t+t)a(t) [a(t) + b1(t) +b2(t) c(t) + d(t) + e1(t)e2(t) + g(t) + h(t)]t.(1)Разделим левую и правую часть равенства (1) на t, в результате получим. (2)Переходя к пределу в (2) при t→0и предполагая, что производная в левой части этого равенства существует, будем иметь:. (3)К дифференциальному уравнению (3) присоединим начальное условие , которому удовлетворяет решение a(t) уравнения (3).Будем предполагать, что переменная величина b2(t) является регулируемой, а остальные c(t), d(t), e1(t), e2(t), g(t), h(t) нерегулируемыми величинами на [t0, T]. Функции c(t), d(t), e1(t), e2(t), g(t), h(t) можно построить методами регрессионногоанализа, используя известные статистические данные об этих функциях, b2(t)удовлетворяет условиям:,α1=const�0, α2=const�0, допустимые максимальный и минимальный уровень безработицы в регионе (заметим, что α1 0, так как безработица, например, скрытая, всегда существует даже при самых благоприятных экономических условиях).Величину b2(t) будем стремиться выбрать таким образом, чтобы на [t0,T] ее суммарное значение (интеграл) (4)было минимальным.Данная задача представляет собой задачу оптимального управления динамическим объектом. Найдем ее решение, воспользовавшись принципом максимума Понтрягина.Введем в рассмотрениефункцию Гамильтона .Тогда
,φ1(t)=ect, c= const.Следовательно,.Так как , то Hдостигает максимума по b2(t) приb2(t)α1. Подставляя оптимальное b2(t)α1 в уравнение (3) и решая полученное уравнение с начальным условием a(t0)= a0, будем иметь:, (5)где . (6)По заданному виду функции a(t) из (5)(6) легко спрогнозировать объем трудового потенциала в момент T: он равен значению a(T).
Ссылки на источники1.Трунин, С. Н. Экономика труда: учебник / С. Н. Трунин. М.: ЗАО «Издательство «Экономика, 2009. 496 с.2.Зайцева, И.В. Развитие понятия «трудовой потенциал как социальноэкономической категории/И.В. Зайцева, М.В. Попова, Я.В. Ворохобина // Управление экономическими системами: электронный научный журнал, 2013. № 1. Режим доступа: http://www.uecs.ru/index.php.3.Зайцева, И.В. Математическая модель оптимального распределения трудового потенциала региона поотраслям экономики / И.В. Зайцева, Е.А. Семенчин, В.А. Гимбицкий // Фундаментальные исследования, 2013. №8 (2). С. 413416.4.Труд и занятость в Ставропольском крае. 2012: Стат.сб. /Ставропольстат. Ставрополь, 2012. 137 с.
Irina ZaitsevaPhD, associate professor, SGAU, SKFU , Stavropolziki@mail.ruEugene Semenchin,
DhD,Professor, SKFU , Stavropoles14@mail.ruA mathematical model of optimal control of the labor potential of the regionAbstract. This article highlights the main factors affectingthe change in the employment potential of the Stavropol Territory . Function studies consisting of selected indicators is a problem of optimal control of dynamic objects. Found its solution using Pontryagin maximum principle.
Keywords: Labor potential , mathematical model , optimal control, the Pontryagin maximum principle.
