Модели напряжённо-деформированного состояния толстостенных цилиндров
Международная
публикация
В.
Ю. ЗайцевБиблиографическое описание статьи для цитирования:
Зайцев
В.
Ю.,
Порунов
Д.
С. Модели напряжённо-деформированного состояния толстостенных цилиндров // Научно-методический электронный журнал «Концепт». –
2014. – Т. 20. – С.
1771–1775. – URL:
http://e-koncept.ru/2014/54618.htm.
Аннотация. В статье рассматриваются двухслойная и трехслойная модели напряженно-деформированного состояния составных цилиндров, построенные на основе задачи Ламе. Полученные модели позволяют оценить напряжения и перемещения во внутреннем объеме цилиндрических изделий под воздействием различных механических нагрузок и выбрать оптимальное конструкторско-технологическое исполнение цилиндрических систем.
Ключевые слова:
модель, модели напряженно-деформированного состояния, составной цилиндр, механические нагрузки
Текст статьи
ЗайцевВладимир Юрьевич,кандидат технических наук, заведующий кафедрой «Теоретическая и прикладная механика, ФГБОУ ВПО "Пензенский государственный технологический университет", ПензГТУ, г.Пензаvluzai@gmail.com
ПоруновДмитрий Сергеевич,
студент го курса, факультет биомедицинских и пищевых технологий и систем, ФГБОУ ВПО "Пензенский государственный технологический университет", ПензГТУ, г.Пенза
Модели напряжённодеформированного состояния
толстостенных цилиндров
Аннотация.В статье рассматриваются двухслойная и трехслойная модели напряженнодеформированного состояния составных цилиндров, построенные на основе задачи Ламе. Полученные модели позволяют оценить напряжения и перемещения во внутреннем объеме цилиндрических изделийпод воздействием различных механических нагрузок и выбрать оптимальное конструкторскотехнологического исполнение цилиндрических систем.Ключевые слова:модель, модели напряженнодеформированного состояния, составной цилиндр, механические нагрузки.
Как показывает опыт эксплуатации и проведенные исследования, основными факторами, определяющими долговечность цилиндрических изделий, являются: внешние механические нагрузки; нагрузки, связанные с совершением рабочего цикла; воздействие рабочей и окружающей среды; длительная эксплуатация и хранение.Исследования отказов изделий цилиндрических формпоказывают, с одной стороны, что 9% отказов изделий происходят вследствие механическихи тепловых воздействий при эксплуатации и 8% вследствие воздействия на компоненты изделий агрессивных газовых и жидких сред[2, 3, 4].Традиционно применяемыми при производстве цилиндрических изделий монтажносборочными технологиями являются технологии пайки, сварки, свинчивания, заформовки, зачеканки, заливки, намотки, обволакивания, лакировки, окраски, герметизации[2, 3, 4].Большинство отказов происходит в местах контактирования двух и более различных сред или в непосредственной близости к зоне контактирования, т.е. в местах концентрации напряжения. Поэтому моделирование напряженнодеформированнго состояния толстостенных цилиндровпредставляет значительный интерес с точки зрения обеспечения работоспособности.Для оценки напряжений, в общем случае, рассмотрим цилиндр с внутренним радиусом bи внешним радиусом cрисунок1. Будем полагать, что цилиндр нагружен одновременно и внутренним и внешним давлениями. В дальнейшем,принимая либо , можно будет проанализировать случай действия только внутреннего или только внешнего давления. При расчётах будем полагать, что .
Рисунок 1. Расчетная схема двухслойного цилиндра.Задача определения напряжений и перемещений в толстостенном цилиндре носит название задачи Ламе, которая сводится к следующим уравнениям [1] (1)где С1и С2–произвольные постоянные, r–текущий радиус; (2)где Eи
Модуль упругости и коэффициент Пуассона соответственно. Постоянные интегрирования С1и С2определяем из следующих граничных условий: при , при , т.о. откуда В результате вместо 1 и 2 получим (3) (4)Т.к. большинство изделийконструктивно выполняютсяиз нескольких цилиндров, то для оценки напряжений следует рассмотреть следующие частные случаи:
корпус представляет собой двухслойный цилиндр;
корпус педставляет собой трёхслойный составной цилиндр.Рассмотрим первый частный случай.Допущение. Нагрузка является осесиметричной и вдоль оси цилиндра не меняется.Расчётная схема представлена на рисунке1.Для определения напряжений, возникающих в цилиндре, разобъём его на составные части.Допущение. Посадочные напряжения между цилиндрами отсутствуют.Поддействием статической эквивалентной нагрузки на границе соприкосновения цилиндров возникает контактное давление .Запишем граничные условия:при при Условие сопряжение цилиндровпри Используя формулу 4 и граничные условия, а также учитывая, что;, для первого цилиндра запишем выражение перемещений (5)где ,
модуль упругости и коэффициент Пуассона материала первого цилиндра.Аналогично запишем выражение перемещений для второго цилиндра (6)где и
модуль упругости, и коэффициент Пуассона материала второго цилиндра.Из условия сопряжения определим контактное давление, приравняв 5 и (6) Обозначив через:
Получим выражение для контактного давления в виде: Определим напряжения, возникающие в цилиндрах.Для первого цилиндра .Для определениянапряжений, возникающих во втором цилиндре, воспользуемся формулой 3 и подставив реальные значения радиусов получим , .Рассмотрим второй частный случай. Допущения:1.Нагрузка является осесимметричной и вдоль оси цилиндра не меняется.2.Посадочные напряжения между цилиндрами отсутствуют.Расчетная схема представлена на рисунке2.
Рисунок 2. Расчетная схема составного трехслойного цилиндра.
Для определения напряжений возникающих в цилиндре разобьём его на составные части.Под действием эквивалентной статической нагрузки на границах соприкосновения цилиндров возникают контактные давления , .Запишем граничные условия:
при r=b ,
при r=c ,
при r=d .Условия сопряжения цилиндров:при r=b , U1=U2 , при r=c , U2=U3 , Используя формулу(4, граничные условия, а также учитывая, что Рa=0, запишем выражение перемещений для первого цилиндра: . (7)Аналогично запишем выражение для перемещений второго цилиндра (8)Аналогично для третьего цилиндра, причем Pb= P . (9)Используя граничное условие при r=b, U1=U2приравняем 7 и 8 заменив rна bи выразим контактное давление Pk2 через Pk1; или , (10)где
. Используя граничное условие при r=c U2=U3приравняем 8 и 9 заменив rна си выразим контактное давление Pk2через Pk1
.Обозначим через: ; ; ; ;,, или , (11)где , , .Приравнивая 10 и 11 находим Pk1: , Определение напряжений возникающих в цилиндрахДля первого цилиндра Для определения напряжений возникающих во втором цилиндре, воспользуемся формулами 3 и подставив реальные значения радиусов получим:,.Для определения напряжений третьего цилиндра формулы 3 приобретают вид:,.Полученные модели позволяют оценить напряжения и перемещения во внутреннем объеме цилиндрапод воздействием различных механических нагрузок и выбрать оптимальное конструкторскотехнологического исполнение цилиндрическихсистем в частности трубопроводов.
Ссылки на источники1.В.И. Феодосьев. Сопротивление материалов. –М., Физматгиз, 96. –56 с.2.Зайцев В.Ю. Корпусирование гетерогенных систем мехатроники, работающих в экстремальных условиях. // НТЖ. Мехатроника, автоматизация, управление. Москва, 004, №5. –с. 445.3.Зайцев В.Ю. Модели тепловых процессов в электромонтажных соединениях. // Научнометодический журнал. «XXIвек: итоги прошлого и проблемы настоящегоплюс. ISSN: 2221951X–Пенза: ПГТА, 0.№6 0. С. 776.4.Зайцев В.Ю., Бородин Е.М. Методыобеспеченияработоспособностиизделий приборостроения. // Научнометодический электронный журнал «Концепт ISSN: 2304120X.
Vladimir Zaitsev,
candidate of technical sciences, managing "Theoretical and Applied Mechanics" chairs, FGBOU VPO "The Penza state technological university", PENZGTU, PenzaDmitry Porunov, student of 3rd course,faculty of biomedical and food technologies and systems, FGBOU VPO "Penza state technological University", PenzaMODELS OF THE IS INTENSEDEFORMED STATUS OF COMPOSITE CYLINDER Abstract.Twolayer and threelayer models of the is intensedeformed status of composite cylinder, constructed on the basis of a problem to the Lame are considered. The models allow us to estimate the stress and displacement in the internal volume of cylindrical articles under the influence of different mechanical loads and to choose optimum technological performance of cylindrical systems.Key words:a model, models of the is intensedeformed status, composite cylinder,mechanic loads is intense.
ПоруновДмитрий Сергеевич,
студент го курса, факультет биомедицинских и пищевых технологий и систем, ФГБОУ ВПО "Пензенский государственный технологический университет", ПензГТУ, г.Пенза
Модели напряжённодеформированного состояния
толстостенных цилиндров
Аннотация.В статье рассматриваются двухслойная и трехслойная модели напряженнодеформированного состояния составных цилиндров, построенные на основе задачи Ламе. Полученные модели позволяют оценить напряжения и перемещения во внутреннем объеме цилиндрических изделийпод воздействием различных механических нагрузок и выбрать оптимальное конструкторскотехнологического исполнение цилиндрических систем.Ключевые слова:модель, модели напряженнодеформированного состояния, составной цилиндр, механические нагрузки.
Как показывает опыт эксплуатации и проведенные исследования, основными факторами, определяющими долговечность цилиндрических изделий, являются: внешние механические нагрузки; нагрузки, связанные с совершением рабочего цикла; воздействие рабочей и окружающей среды; длительная эксплуатация и хранение.Исследования отказов изделий цилиндрических формпоказывают, с одной стороны, что 9% отказов изделий происходят вследствие механическихи тепловых воздействий при эксплуатации и 8% вследствие воздействия на компоненты изделий агрессивных газовых и жидких сред[2, 3, 4].Традиционно применяемыми при производстве цилиндрических изделий монтажносборочными технологиями являются технологии пайки, сварки, свинчивания, заформовки, зачеканки, заливки, намотки, обволакивания, лакировки, окраски, герметизации[2, 3, 4].Большинство отказов происходит в местах контактирования двух и более различных сред или в непосредственной близости к зоне контактирования, т.е. в местах концентрации напряжения. Поэтому моделирование напряженнодеформированнго состояния толстостенных цилиндровпредставляет значительный интерес с точки зрения обеспечения работоспособности.Для оценки напряжений, в общем случае, рассмотрим цилиндр с внутренним радиусом bи внешним радиусом cрисунок1. Будем полагать, что цилиндр нагружен одновременно и внутренним и внешним давлениями. В дальнейшем,принимая либо , можно будет проанализировать случай действия только внутреннего или только внешнего давления. При расчётах будем полагать, что .
Рисунок 1. Расчетная схема двухслойного цилиндра.Задача определения напряжений и перемещений в толстостенном цилиндре носит название задачи Ламе, которая сводится к следующим уравнениям [1] (1)где С1и С2–произвольные постоянные, r–текущий радиус; (2)где Eи
Модуль упругости и коэффициент Пуассона соответственно. Постоянные интегрирования С1и С2определяем из следующих граничных условий: при , при , т.о. откуда В результате вместо 1 и 2 получим (3) (4)Т.к. большинство изделийконструктивно выполняютсяиз нескольких цилиндров, то для оценки напряжений следует рассмотреть следующие частные случаи:
корпус представляет собой двухслойный цилиндр;
корпус педставляет собой трёхслойный составной цилиндр.Рассмотрим первый частный случай.Допущение. Нагрузка является осесиметричной и вдоль оси цилиндра не меняется.Расчётная схема представлена на рисунке1.Для определения напряжений, возникающих в цилиндре, разобъём его на составные части.Допущение. Посадочные напряжения между цилиндрами отсутствуют.Поддействием статической эквивалентной нагрузки на границе соприкосновения цилиндров возникает контактное давление .Запишем граничные условия:при при Условие сопряжение цилиндровпри Используя формулу 4 и граничные условия, а также учитывая, что;, для первого цилиндра запишем выражение перемещений (5)где ,
модуль упругости и коэффициент Пуассона материала первого цилиндра.Аналогично запишем выражение перемещений для второго цилиндра (6)где и
модуль упругости, и коэффициент Пуассона материала второго цилиндра.Из условия сопряжения определим контактное давление, приравняв 5 и (6) Обозначив через:
Получим выражение для контактного давления в виде: Определим напряжения, возникающие в цилиндрах.Для первого цилиндра .Для определениянапряжений, возникающих во втором цилиндре, воспользуемся формулой 3 и подставив реальные значения радиусов получим , .Рассмотрим второй частный случай. Допущения:1.Нагрузка является осесимметричной и вдоль оси цилиндра не меняется.2.Посадочные напряжения между цилиндрами отсутствуют.Расчетная схема представлена на рисунке2.
Рисунок 2. Расчетная схема составного трехслойного цилиндра.
Для определения напряжений возникающих в цилиндре разобьём его на составные части.Под действием эквивалентной статической нагрузки на границах соприкосновения цилиндров возникают контактные давления , .Запишем граничные условия:
при r=b ,
при r=c ,
при r=d .Условия сопряжения цилиндров:при r=b , U1=U2 , при r=c , U2=U3 , Используя формулу(4, граничные условия, а также учитывая, что Рa=0, запишем выражение перемещений для первого цилиндра: . (7)Аналогично запишем выражение для перемещений второго цилиндра (8)Аналогично для третьего цилиндра, причем Pb= P . (9)Используя граничное условие при r=b, U1=U2приравняем 7 и 8 заменив rна bи выразим контактное давление Pk2 через Pk1; или , (10)где
. Используя граничное условие при r=c U2=U3приравняем 8 и 9 заменив rна си выразим контактное давление Pk2через Pk1
.Обозначим через: ; ; ; ;,, или , (11)где , , .Приравнивая 10 и 11 находим Pk1: , Определение напряжений возникающих в цилиндрахДля первого цилиндра Для определения напряжений возникающих во втором цилиндре, воспользуемся формулами 3 и подставив реальные значения радиусов получим:,.Для определения напряжений третьего цилиндра формулы 3 приобретают вид:,.Полученные модели позволяют оценить напряжения и перемещения во внутреннем объеме цилиндрапод воздействием различных механических нагрузок и выбрать оптимальное конструкторскотехнологического исполнение цилиндрическихсистем в частности трубопроводов.
Ссылки на источники1.В.И. Феодосьев. Сопротивление материалов. –М., Физматгиз, 96. –56 с.2.Зайцев В.Ю. Корпусирование гетерогенных систем мехатроники, работающих в экстремальных условиях. // НТЖ. Мехатроника, автоматизация, управление. Москва, 004, №5. –с. 445.3.Зайцев В.Ю. Модели тепловых процессов в электромонтажных соединениях. // Научнометодический журнал. «XXIвек: итоги прошлого и проблемы настоящегоплюс. ISSN: 2221951X–Пенза: ПГТА, 0.№6 0. С. 776.4.Зайцев В.Ю., Бородин Е.М. Методыобеспеченияработоспособностиизделий приборостроения. // Научнометодический электронный журнал «Концепт ISSN: 2304120X.
Vladimir Zaitsev,
candidate of technical sciences, managing "Theoretical and Applied Mechanics" chairs, FGBOU VPO "The Penza state technological university", PENZGTU, PenzaDmitry Porunov, student of 3rd course,faculty of biomedical and food technologies and systems, FGBOU VPO "Penza state technological University", PenzaMODELS OF THE IS INTENSEDEFORMED STATUS OF COMPOSITE CYLINDER Abstract.Twolayer and threelayer models of the is intensedeformed status of composite cylinder, constructed on the basis of a problem to the Lame are considered. The models allow us to estimate the stress and displacement in the internal volume of cylindrical articles under the influence of different mechanical loads and to choose optimum technological performance of cylindrical systems.Key words:a model, models of the is intensedeformed status, composite cylinder,mechanic loads is intense.
