Готовимся к экзамену по математике
В.
Н. АлексеевБиблиографическое описание статьи для цитирования:
Алексеев
В.
Н. Готовимся к экзамену по математике // Научно-методический электронный журнал «Концепт». –
2014. – Т. 20. – С.
3471–3475. – URL:
http://e-koncept.ru/2014/54958.htm.
Аннотация. Обсуждается качество официальных пособий для подготовки школьников к сдаче Единого государственного экзамена по математике.
Ключевые слова:
егэ по математике, задачи повышенного уровня сложности, ошибка решения, ошибка формулировки
Текст статьи
Алексеев Виктор Николаевич,кандидат физикоматематических наук; доцент кафедры математики, информатики и методики их преподавания; ФГБОУ ВПО Ишимский государственный педагогический институт им. П.П. Ершова; г. Ишимalexvn_54@mail.ru
Готовимся к экзамену по математике
Аннотация.Обсуждается качество официальных пособий для подготовки школьниковк сдаче единого государственного экзамена по математике.Ключевые слова:ЕГЭ по математике, задачи повышенного уровня сложности, ошибка решения, ошибка формулировки.
Обратимся к теме, о которой не раз писали в печати –качество пособий для подготовки школьников к ЕГЭ. В частности, автор данной статьи также касался этой темы [1]. Сейчас мы приведем краткий обзор ошибок различного типа ошибки решений и ошибки формулировок из изданий, которые вышли в свет под эгидой ФИПИ Федеральный институт педагогических измерений [2, 3]и МИОО Московский институт открытого образования [4]в 2012 году. Отметим, что пособие [4] приказом №729 Министерства образования и науки Российской Федерации допущено к использованию в общеобразовательных учреждениях сведения из аннотации.Здесь мыбудем рассматривать только задания повышенного уровня сложностичасть С, приведенные в этих пособиях.Анализ всевозможных ошибок этих пособий подтверждает факт снижения общего уровня подготовки по математике. В противовес заверениям из аннотаций к пособиям о возможности их использования учащимися и учителями при подготовке к ЕГЭ возникает желание не рекомендовать такие пособия в процессе подготовки к решению заданий части С.ЕГЭ2012. Математика: 30 вариантов. ФИПИ –школе [2]Рассмотрим вариантызаданий сборника [2].С6, вариант 1. Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. Перед десятичной запятой стоит нуль. После запятой подряд выписаны члены возрастающей последовательности натуральных чисел . В результате получилось рациональное число, которое выражается несократимой дробью, знаменатель которой меньше 100. Найдите наименьшее возможное значение .В авторском решении этой задачи [2, с. 15 159] в качестве ответа приведено число . Выражая это число десятичной дробью получим.Возникает несколько претензий. Из периодической дроби далеко не очевидно разложение в исходно рассматриваемый ряд.Далее по поводу предлагаемого решенияследует сделать авторамвесьма существенный упрек и в вычислении суммы. Это вычисление опирается на интуицию работы с конечными суммами перестановка и группировка слагаемых, а школьник не знает, к чему это может привести. Авторы, повидимому, пользовалисьтеоремой о возможности таких преобразований для абсолютно сходящихся рядов, но не обосновали, что данный ряд абсолютно сходится. А, например, для условно сходящихся рядов по теореме Римана этими операциями можно получить любую сумму. Таким образом, эта задача наносит вред и дальнейшему образованию школьника. Она точнее, предложенное решение формирует представление о том, что свойства конечных сумм смело можно переносить на бесконечные суммы, что не верно. И уж если авторы пользуются такими свойствами рядов, то еще "проще" воспользоваться теоремой о возможности почленного дифференцирования, это ведь тоже распространение свойствпроизводной с конечных сумм на ряды. На самом деле, возьмем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию и ее сумму при . Теперь продифференцируем возьмем производную от самой суммы и почленно, получим , откуда . Подставив в последнее равенство x= 0,1 = 101получим равенство, которое авторытак долго "вымучивали".Коротко отметим еще неприятные моменты рассматриваемого издания. C5, вариант 2. Найдите все значения параметра a, большие 1, при каждом из которых уравнение имеет 6 решений, где f–нечетная периодическая функция с периодом T 4, определенная на всей числовой прямой, причем , если .В данной задаче речь идет о функции f(x, которая по условию нечетная периодическая с периодом Т 4. Но если , то вовсе и не является функцией, ибо при она, в силу нечетности, должна иметь два разных значения, что противоречит определению функции. Повидимому, аналитическое выражение следует заменить на . В этом случае ответ будет совпадать с ответом пособия, но обоснование единственности решения составит трудную задачу для школьника.С6, вариант 3: Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. Перед десятичной запятой стоит нуль. После запятой подряд выписаны члены арифметической прогрессии (d
целое. Из полученной записи удалены минусы, если они есть. В результате получается рациональное число. Найдите это число.Очевидным достаточным признаком иррациональности числапредставленного бесконечной десятичной дробью является, например, наличие в дробной части последовательностей нулей любой наперед заданной длины. Тогда дробь не будет периодической, и, следовательно, не будет соответствовать рациональному числу. Задача С6 варианта 3, если учесть сформулированный достаточный признак иррациональности, уже не является задачей повышенного уровня сложности. На самом деле, если предположить, что d0, то при d 0 выбирая n= 10k, а при d 0, беря n= 10k 1, мы получаем последовательности нулей любой длины, то естьиррациональное число. А так как по условию число рационально, то d 0, и это число равно . Аналогичные рассуждения в задаче С6 варианта 5 также быстро приводят к ответу.По поводу задачи С6 варианта 7и всех аналогичных следует заметить, что авторы либо считают, что школьники знают теорему о линейной форме НОД, либо надеются на их интуицию. Сформулируем эту задачу.С6, вариант 7. Перед каждым из чисел 6, 7, , 11 и 9, 10, , 17 произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего к каждому из образовавшихся чисел первого набора прибавляют каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 54 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю сумму, и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?Здесь очевидно, что , где S–сумма всех 54 чисел, a–сумма образовавшихся чисел первого набора, а b–сумма образовавшихся чисел второго набора.С1, вариант 14 [2, с. 64]. Решите уравнение . Укажите корни, принадлежащие отрезку .Легко видеть, что это уравнение не имеет решений. А в пособии приведен ответ: ". Отрезку принадлежат корни ". Причем упомянутые в ответе частные значения корней, как это ни странно, не принадлежат ни одной из перечисленных серий.С5, вариант 16. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система неравенств имеет единственное решение.В пособии приведен ответ. Более того, имеется решение части С этого варианта. Причем в "эталоне решения" повторена формулировка задания и далее идет само решение [2, с. 175 176]. Но в приведенном решении второе неравенство не эквивалентно неравенству, записанному в условии. Если же решать именно то задание, которое сформулировано, то анализ приводит нас к поиску решения системы , у которой решения нет.С1, вариант 17. Решите уравнение . Укажите корни, принадлежащие отрезку .В ответе к этой задаче неверно указан один из частных корней, принадлежащих отрезку. Вместо корня следует указать . Также, повидимому, надо было привести как вариант, ответ, выраженный через арккотангенс.С2, вариант 1. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, угол между плоскостью SADи плоскостью, проходящей через точку Bперпендикулярно прямой AS.Задача сформулирована так, как она приведена в пособии. Но кроме не корректности формулировки эта задача должна быть перемещена в часть B. Действительно, поскольку плоскость SADсодержит прямую AS, перпендикулярную заданной плоскости, то по достаточному признаку перпендикулярности эти две плоскости перпендикулярны и угол между ними равен 90.С6, вариант 19. Ученик должен был умножить двузначное число на трехзначное иразделить их произведение на пятизначное. Однако он не заметил знака умножения и принял записанные рядом двузначное и трехзначное числа за одно пятизначное. Поэтому полученное частное натуральное оказалось в семь раз больше истинного. Найдите все три числа.После соответствующих рассуждений, легко убедиться, что условиям задачи могут удовлетворять только числа 1 и 144. Но их произведение 1144=2592 не имеет пятизначных делителей. В формулировке следовало бы заменить слово "пятизначное" см. выделение курсивом на "четырехзначное".С1, вариант 23. Решите уравнение .В ответе к этой задаче допущена ошибка. Вместо серии решений следует указать .С1, вариант 24. Решите уравнение .Здесь в ответе, как и в предыдущем случае, допущена ошибка в указании одной из серий решений. Но если в варианте 23 была нарушена область допустимых значений, то в данном случае нарушено условие обращения в нуль первого из множителей. Именно, вместо следовало записать .С1, вариант 25. Решите уравнение .Здесь ошибка такая же, как в варианте 23. Серия корней не входит в область допустимых значений. Вместо нее должна быть указана серия .С5, вариант 26. Найти все пары , удовлетворяющие системе , где f–периодическая функция с периодом T 2, определенная на всей числовой прямой,причем при .Этот вариант в пособии также имеет решение. Но в формулировке, приведенной в решении [2, с. 17], почемуто первое уравнение системы заменено уравнением . При такой замене система имеет решение. Исходная же система решений не имеет, так как из нее следует, что . Из определения функции легко установить, что , то есть .Далее для этого же пособия [2] отметим общую проблему для указания ответов к заданию С3 вариантов 27 –30. Во всех этих ответах вместо интервалов, являющихся решениями систем неравенств, указаны их концевые точки.С5, вариант 2. Найти все пары , удовлетворяющие системе , где f
периодическая функция с периодом T 2, определенная на всей числовой прямой, причем при .Ответ, приведенный в пособии [2, с. 150], не верен, так как очевидно, что указанные значения для x(и не входят в область допустимых значений. На самом деле из системы , равносильной исходной, получаем следующий ответ:
или .Требование вытекает из условия и .С5, вариант 29. (Формулировка из пособия. Найти все пары , удовлетворяющие системе , где f–периодическая функция с периодом T=2, определенная на всей числовой прямой, причем при .Поскольку первое уравнение системы записано с нарушением паритета скобок, то можно либо закрыть скобку , либо убрать лишнюю скобку . Второй способ внесения исправлений приводит к авторскому ответу [2, с. 151], но более естественный первый способ даст другой ответ.С5, вариант 30. (Формулировка из пособия. Найти все пары , удовлетворяющие системе , где f–периодическая функция с периодом T=2, определенная на всей числовой прямой, причем при .Здесь, в отличие от предыдущего варианта, повидимому, ошибка в записи второго уравнения, ибо в приведенной формулировке система решений не имеет. Если второе уравнение системы заменить уравнением , то получим ответ, приведенный в пособии.ЕГЭ: 2012: Математика. ФИПИ [3]Рассмотримзадачи части С сборника [3]. В этомпособии размещены более "классические" задачи повышенного уровня сложности по сравнению с [2] и [4]. Поэтому здесь отсутствуют "катастрофические" ошибки. Вновь будем формулировать задачи, по поводу которых возникли замечания и сопровождать их краткими комментариями.С5, вариант 2. Найти все значения a, такие, что для любого xвыполняется неравенство .В ответе к данному заданию [3, с.]написано . Возьмем конкретное значениеa, удовлетворяющее приведенному ответу и укажем для него значение x, для которого неравенство не выполняется. Подставим в заданное неравенство следующие значения: . После соответствующих вычислений получим ложное числовое неравенство 4,5 � 5. На самом деле правильным ответом является .С6, вариант 4. Каждое из чисел 4, 5, , 10 умножают на каждое из чисел 10, 11, , 1 и перед каждым из полученных произведений ставят знак плюс или минус, после чего все 63 полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?В ответе [3, с.]указаны числа 1 и 6174. Как получен ответ 6174 достаточно очевидно. А вот ответ "1" нельзя получить никаким образом. Дело в том, чтопри изменении знака у одного слагаемого а, значит, и у любого их количества в конечной алгебраической сумме целых чисел ее четность не изменится Поскольку максимальная сумма 6174 четна, то при любой смене знаков у слагаемых мы будем получать только четные суммы. А так как 0 четное число, то потенциально минимальным значением суммы по абсолютной величине является 0. Остается убедиться, что это значение достижимо. Поскольку сумма чисел первого набора 4+5 10 49 нечетна, то следует рассматривать сумму чисел второго набора 10 11 1 126. Покажем, что можно подобрать знаки слагаемых так, что можно будет получить 0 сумма положительных 63. Действительно, например, .Поэтому . Раскрывая скобки перемножив "каждое на каждое" получим сумму 0, составленную из нужных шестидесяти трех слагаемых.С1, вариант 6. Решите уравнение . Укажите корни, принадлежащие отрезку .В ответе к этому заданию [3, с.6]пропущена серия корней, являющихся решением уравнения , то есть . Ее необходимо добавить в решение уравнения, так как.С3, вариант 6. Решите систему неравенств
Для этого задания в ответе допущена опечатка. В пособии [3, с.7]написано , а нужно .С4, вариант 6. Дан прямоугольный треугольник ABCс прямым углом при вершине Bи углом при вершине A. Точка D–середина гипотенузы. Точка C1симметрична точке Cотносительно прямой BD. Найдите угол AC1B.Ответ к этой задаче [3, с.7]выглядит так: 90+, если 45; , если � 45. Сомнение в этом ответе связано со значением = 45. Дело в том, что указанное в ответе значение является "односторонним пределом", когда точка C1"приближается" по окружности с диаметром AC к точке Aс одной стороны. Считаю, что в ответе следовало бы написать: при = 45угол не определен, так как точки Aи C1совпадают.Также на всякий случай, чтобы не рассматривать ситуации подробно следовало бы исключить случай вырожденных треугольников. Таким образом, ответ можно записать так:.С5, вариант 6. Найдите наименьшеезначение параметра a, при котором система неравенств
имеет решения.В ответе [3, с.]указано . Подставим в исходную систему значения и получим Таким образом, значение a, заявленное в ответе –ошибочно. Скорее всего, авторами допущена ошибка в формулировке задания. В такой форме как оно сформулировано в пособии и приведено здесь школьникам вряд ли удастся справиться с ним. Для этой ситуации правильный ответ .С6, вариант . Произведение нескольких различных простых чисел делится на каждое из этих чисел, уменьшенное на 1. Чему может быть равно это произведение?Ответ [3, с.]содержит перечень 6, 42, 106. На мой взгляд, выражение "нескольких различных" не исключает случай одного множителя. В таком понимании к ответу следует присоединить число 2, которое и позволяет найти остальные числа ответа. Иначе в условии надо явно указать, что необходимо рассматривать не менее двух простых множителей.С5, вариант 10. Найти все значения параметра a, при каждом из которых система
имеет ровно 4 решения.В ответе к этому заданию [3, с.]допущена "техническая" ошибка. Приведенный там ответ воспринимается как три разных числа 1, и 2. На самом деле, в ответе должны присутствовать два числа, и его надо было записать отчетливее: 1,; 2.ЕГЭ 2012. Математика. 30 вариантовтиповых тестовых заданий[4]Как и для выше рассмотренных пособий будем разбирать возникающие вопросы, связанные с решениями заданий части С книги [4]. При этом ограничимся тридцатью вариантами тренировочных работ и тремя типовыми вариантами части 2 С, не рассматривая дополнительных 00 заданий. Аббревиатура ТР означает "тренировочная работа" –название принятое в пособии.С1, ТР 1. Решите уравнение . Укажите корни, принадлежащие отрезку .Правильный ответ с указанием частных значений почемуто вместо тренировочной работы 1 размещен в ответах тренировочной работы5 [4, с. 12 –183]. Кстати, сразу же отметим факт и "обратной" замены. То есть правильный ответ к задаче С1 варианта 5 расположен в ответах первого варианта.С5, ТР 1. Найдите все значения параметра a, при которых система имеет ровно два решения.В качестве ответа [4, с. 12]авторы записали . Для школьника подобная ошибка –свидетельство поверхностности его знаний о свойствах элементарных функций. Приведем кратко рассуждения, позволяющие обнаружить пару пропущенныхзначений.Из второго уравнения системы получаем или, иначе . Это означает, что , то есть всякому значению соответствует два разных значения x. Далее.Тогда, учитывая выше приведенные рассуждения, нам достаточно обнаружить все значения a, при которых первое уравнение последней системы имеет единственное решение, принадлежащее . Очевидный случай и заявлен авторами в качестве ответа. Но авторами не учтена ситуация, которая графически представлена на рисунке 1. Найдем значения a, при которых возможна такая ситуация.
Рис. 1. К задаче С5 ТР 1.Поскольку очевидно, что для каждого найденного значения aпротивоположное ему также является искомым, то будем при решении считать, что . Для анализа ситуации, изображенной на рисунке 1, считаем . Перепишем первое уравнение вследующем виде . К этому условию совпадения значений добавим условие касания. Условие касания может быть записано как равенство производныхи равенство значений. Таким образом, ситуация рисунка 1 будет описана системой.Из второго уравнения системы получаем . Подставив это соотношение в первое уравнение системы и упростив, найдем , откуда . Теперь подставим значение yв соотношение . После очевидных преобразований получаем , то есть . Далее нужно отметить, что при найденном значении a, система относительно yимеет единственное решение большее 1, которому соответствует два разных значения x. То есть система имеет два разных решения, следовательно, это искомое значение a. Окончательно подводя итоги решения, можем записать следующий правильный ответ .С5, ТР 9. Найдите все значения параметра a, при которых система
имеет ровно два решения.Авторами пособия к данной задаче в качестве "правильного" ответа приведен ответ следующего вида , что опятьтаки свидетельствует об отсутствии полного представления о свойствахлогарифмической и показательной функций. Указанный ответ "катастрофически" ошибочен.Действительно, из второго уравнения системы находим , откуда получаем, что для всех значений существует два различных значения x. То есть такие значения yпорождают два различных решения исходной системы. Переписав первое уравнение системы в виде , мы замечаем, что для решения поставленной задачи надо найти такие значения параметра a, при которых набор корней этого уравнения содержит только один корень меньший 9, а остальные если они есть должны быть больше 9. Рассматривая значения , легко получаем часть авторского решения . Теперь проанализируем значения aиз диапазона 0; 1. Судя по ответу, авторы считают, что графики функций и пересекаются только в точке при всех значениях . В этой точке пересечение действительно есть и это именно пересечение, а не касание, так как производная не равна значению производной в точке 0. Причем , поэтому слева от 0 график функции расположен выше графика . Но при малых значениях aу графиков может быть еще две точки пересечения, соответствующих значениям , рисунок 2 а. Например, при имеем , то есть на определенном участке график функции опускается ниже графика . Тогда понятно, что есть три точки пересечения, которые определяют шесть разных решений исходной системы. Имеется некоторое "граничное" значение a0, при котором две точки пересечения сливаются в одну, то есть происходит касание графиков. Ситуация изображена на рисунке 2 б. В этом случае исходная система имеет четыре решения, что не удовлетворяет условию задачи. Таким образом, в ответ вместо 0; 1 следует внести интервал , где вытекает из примера.
Рис. 2. К задаче С5 ТР 9Для поиска точного значения поступим как при решении предыдущей задачи. Система, описывающая ситуацию рисунка 2б, имеет вид:.Исключая из первого уравнения системы очевидное решение , получим . Точного решения этого уравнения школьники найти не смогут. Приближенноечисленное значение . Этому значению yсоответствует некоторое значение , найти которое возможно только приближенно. И это приближение с точностью до тысячных долей есть . Итак, мы видим,что данную задачу школьники могут решить только "качественно", то есть не находя значения , даже выраженного через элементарные функции как в предыдущем случае.Далее отметим, что для задач второй части части С в рассматриваемомпособии [4] на самом деле вместо обещанных 30 вариантов имеется только 10 вариантов тренировочных работ. Задачи части С в тренировочных работах 11 –30 являются повторениями задач из первых десяти тренировочных работ. При этом в ответах сохраняются "принципиальные" ошибки.Рассмотрим теперь еще тритиповых варианта части 2 С [4, с. 134 13]. При этом первый из этих вариантов снабжен решением [4, с. 134 136]. Тем не менее, решение задачи С4 этого варианта –ошибочно. Прежде чем произвести необходимый разбор, сформулируем одно достаточно простое утверждение, которое может оказаться полезным при решении этой и некоторых других задач.
Рис. 3. Теорема о полупериметреПусть дан треугольник ABCсо сторонами a, bи cрисунок 3. Втреугольник вписана окружность, касающаяся сторон треугольника в точках , и . Положим , и . Тогда , и . Найдем полупериметр треугольника, имеем:.Произведем группировку слагаемых различными способами и получим:.Таким образом, полупериметр равен длине любой стороны треугольника плюс длина отрезка касательной к вписанной окружности, проведенного из вершины противоположной выбранной стороне.Теперь вернемся к исходной задаче.С4, вариант 1[4, с. 134]. В треугольнике ABC, , . Точка Dлежит на прямой BCтак, что . Окружности, вписанные в каждый из треугольников ABDи ACDкасаются стороны ADв точках Eи F. Найдите длину отрезка EF.
Рис. 4.К задаче С4 варианта 1На рисунке 4 а изображена ситуация, рассмотренная в решении пособия.В этом решении [4, с. 135] приняты обозначения , , , и . В пункте 2, по свойству касательных допущена описка дальнейшие вычисления правильны. В записи нужно вместо AFнаписать AE. Далее получен правильный ответ . Это значение и размещено в качестве единственного ответа [4, с.192].На самом деле, так как в условии указано, что Dлежит на прямой BCа не на стороне или отрезке, то возможно внешнее расположение точки D. Эта ситуация изображена на рисунке 4 б учитель может вспомнить курс элементарной геометрии и окружность Аполлония. В данной ситуации легко понять, что . Приведем решение для этого случая.1. Рассмотрим треугольник ABD. Применим к нему выше полученную теорему о полупериметре, согласно которой получим:.2. Аналогично из треугольника ACDнаходим:.3. Тогда . Этот ответ и следует разместить в качестве второго варианта ответа к этой задаче.С6, вариант 2[4, с. 137]. Каждое из чисел 4, 5, , 10 умножают на каждое из чисел 10, 11, , 1 и перед каждым из полученных произведений ставят знак плюс или минус, после чего все 63 полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?Эта задача полностью совпадает с задачей С6 варианта 4 [3, с. 54]. Ответ [4, с. 192]содержит ту же саму ошибку, которая уже рассмотрена выше.В данной статье мы не рассматривали задачи части В, ошибки в ответах к которым легко обнаруживаются и больших сомнений не вызывают, хотя и их желательно не допускатьв изданиях для школьников. Сделаем исключение для одной из задач рассматриваемого пособия как для задачи нового раздела.В10, ТР 2. Монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что первые два броска окончатся одинаково.Ответ авторов [4, с. 12] равный 0,25 показывает, что авторы вычислили вероятность совсем другого события. Следует внимательно относиться к формулировкам. Повидимому, авторы вычислили вероятность события "первые два броска окончились одинаково, а третий другим исходом". Для события же, заявленного в условии правильным ответом является 0,5.
Ссылки на источники1.Алексеев, В.Н. О "типовых" заданиях по математике [Текст] // Математика: методическая газета для учителей математики. –2005. № 21. –С.4648.2.ЕГЭ –2012. Математика: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов [Текст] / под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. –М.: Национальное образование, 2011. –192 с. –ЕГЭ2012. ФИПИ школе.3.Самое полное издание типовых вариантов заданий ЕГЭ: 2012: Математика [Текст] / под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. –М.: АСТ: Астрель, 2012. –96 с. –Федеральный институт педагогических измерений.4.ЕГЭ 2012. Математика. 30 вариантов типовых тестовых заданий и 00 заданий части 2 С [Текст] / под ред. А.Л. Семенова,И.В. Ященко. –М.: Экзамен, 2012. –216 с. Серия "ЕГЭ. Типовые тестовые задания".
Viktor Alekseev, Candidate of physicomathematical sciences; assistant professor of mathematics, computer science and teaching methods; VPO Ishim State Pedagogical Institute. PP Yershov; Ishim alexvn_54@mail.ruPREPARING FOR THE EXAM IN MATHEMATICSAbstract:Discusses the quality of the official manuals for training school students to pass the unified State exam in mathematics.Key words:Unified State Examination in mathematics, the tasks of the raised level of complexity, on error of the solution, on error of the formulation.
Готовимся к экзамену по математике
Аннотация.Обсуждается качество официальных пособий для подготовки школьниковк сдаче единого государственного экзамена по математике.Ключевые слова:ЕГЭ по математике, задачи повышенного уровня сложности, ошибка решения, ошибка формулировки.
Обратимся к теме, о которой не раз писали в печати –качество пособий для подготовки школьников к ЕГЭ. В частности, автор данной статьи также касался этой темы [1]. Сейчас мы приведем краткий обзор ошибок различного типа ошибки решений и ошибки формулировок из изданий, которые вышли в свет под эгидой ФИПИ Федеральный институт педагогических измерений [2, 3]и МИОО Московский институт открытого образования [4]в 2012 году. Отметим, что пособие [4] приказом №729 Министерства образования и науки Российской Федерации допущено к использованию в общеобразовательных учреждениях сведения из аннотации.Здесь мыбудем рассматривать только задания повышенного уровня сложностичасть С, приведенные в этих пособиях.Анализ всевозможных ошибок этих пособий подтверждает факт снижения общего уровня подготовки по математике. В противовес заверениям из аннотаций к пособиям о возможности их использования учащимися и учителями при подготовке к ЕГЭ возникает желание не рекомендовать такие пособия в процессе подготовки к решению заданий части С.ЕГЭ2012. Математика: 30 вариантов. ФИПИ –школе [2]Рассмотрим вариантызаданий сборника [2].С6, вариант 1. Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. Перед десятичной запятой стоит нуль. После запятой подряд выписаны члены возрастающей последовательности натуральных чисел . В результате получилось рациональное число, которое выражается несократимой дробью, знаменатель которой меньше 100. Найдите наименьшее возможное значение .В авторском решении этой задачи [2, с. 15 159] в качестве ответа приведено число . Выражая это число десятичной дробью получим.Возникает несколько претензий. Из периодической дроби далеко не очевидно разложение в исходно рассматриваемый ряд.Далее по поводу предлагаемого решенияследует сделать авторамвесьма существенный упрек и в вычислении суммы. Это вычисление опирается на интуицию работы с конечными суммами перестановка и группировка слагаемых, а школьник не знает, к чему это может привести. Авторы, повидимому, пользовалисьтеоремой о возможности таких преобразований для абсолютно сходящихся рядов, но не обосновали, что данный ряд абсолютно сходится. А, например, для условно сходящихся рядов по теореме Римана этими операциями можно получить любую сумму. Таким образом, эта задача наносит вред и дальнейшему образованию школьника. Она точнее, предложенное решение формирует представление о том, что свойства конечных сумм смело можно переносить на бесконечные суммы, что не верно. И уж если авторы пользуются такими свойствами рядов, то еще "проще" воспользоваться теоремой о возможности почленного дифференцирования, это ведь тоже распространение свойствпроизводной с конечных сумм на ряды. На самом деле, возьмем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию и ее сумму при . Теперь продифференцируем возьмем производную от самой суммы и почленно, получим , откуда . Подставив в последнее равенство x= 0,1 = 101получим равенство, которое авторытак долго "вымучивали".Коротко отметим еще неприятные моменты рассматриваемого издания. C5, вариант 2. Найдите все значения параметра a, большие 1, при каждом из которых уравнение имеет 6 решений, где f–нечетная периодическая функция с периодом T 4, определенная на всей числовой прямой, причем , если .В данной задаче речь идет о функции f(x, которая по условию нечетная периодическая с периодом Т 4. Но если , то вовсе и не является функцией, ибо при она, в силу нечетности, должна иметь два разных значения, что противоречит определению функции. Повидимому, аналитическое выражение следует заменить на . В этом случае ответ будет совпадать с ответом пособия, но обоснование единственности решения составит трудную задачу для школьника.С6, вариант 3: Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. Перед десятичной запятой стоит нуль. После запятой подряд выписаны члены арифметической прогрессии (d
целое. Из полученной записи удалены минусы, если они есть. В результате получается рациональное число. Найдите это число.Очевидным достаточным признаком иррациональности числапредставленного бесконечной десятичной дробью является, например, наличие в дробной части последовательностей нулей любой наперед заданной длины. Тогда дробь не будет периодической, и, следовательно, не будет соответствовать рациональному числу. Задача С6 варианта 3, если учесть сформулированный достаточный признак иррациональности, уже не является задачей повышенного уровня сложности. На самом деле, если предположить, что d0, то при d 0 выбирая n= 10k, а при d 0, беря n= 10k 1, мы получаем последовательности нулей любой длины, то естьиррациональное число. А так как по условию число рационально, то d 0, и это число равно . Аналогичные рассуждения в задаче С6 варианта 5 также быстро приводят к ответу.По поводу задачи С6 варианта 7и всех аналогичных следует заметить, что авторы либо считают, что школьники знают теорему о линейной форме НОД, либо надеются на их интуицию. Сформулируем эту задачу.С6, вариант 7. Перед каждым из чисел 6, 7, , 11 и 9, 10, , 17 произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего к каждому из образовавшихся чисел первого набора прибавляют каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 54 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю сумму, и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?Здесь очевидно, что , где S–сумма всех 54 чисел, a–сумма образовавшихся чисел первого набора, а b–сумма образовавшихся чисел второго набора.С1, вариант 14 [2, с. 64]. Решите уравнение . Укажите корни, принадлежащие отрезку .Легко видеть, что это уравнение не имеет решений. А в пособии приведен ответ: ". Отрезку принадлежат корни ". Причем упомянутые в ответе частные значения корней, как это ни странно, не принадлежат ни одной из перечисленных серий.С5, вариант 16. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система неравенств имеет единственное решение.В пособии приведен ответ. Более того, имеется решение части С этого варианта. Причем в "эталоне решения" повторена формулировка задания и далее идет само решение [2, с. 175 176]. Но в приведенном решении второе неравенство не эквивалентно неравенству, записанному в условии. Если же решать именно то задание, которое сформулировано, то анализ приводит нас к поиску решения системы , у которой решения нет.С1, вариант 17. Решите уравнение . Укажите корни, принадлежащие отрезку .В ответе к этой задаче неверно указан один из частных корней, принадлежащих отрезку. Вместо корня следует указать . Также, повидимому, надо было привести как вариант, ответ, выраженный через арккотангенс.С2, вариант 1. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, угол между плоскостью SADи плоскостью, проходящей через точку Bперпендикулярно прямой AS.Задача сформулирована так, как она приведена в пособии. Но кроме не корректности формулировки эта задача должна быть перемещена в часть B. Действительно, поскольку плоскость SADсодержит прямую AS, перпендикулярную заданной плоскости, то по достаточному признаку перпендикулярности эти две плоскости перпендикулярны и угол между ними равен 90.С6, вариант 19. Ученик должен был умножить двузначное число на трехзначное иразделить их произведение на пятизначное. Однако он не заметил знака умножения и принял записанные рядом двузначное и трехзначное числа за одно пятизначное. Поэтому полученное частное натуральное оказалось в семь раз больше истинного. Найдите все три числа.После соответствующих рассуждений, легко убедиться, что условиям задачи могут удовлетворять только числа 1 и 144. Но их произведение 1144=2592 не имеет пятизначных делителей. В формулировке следовало бы заменить слово "пятизначное" см. выделение курсивом на "четырехзначное".С1, вариант 23. Решите уравнение .В ответе к этой задаче допущена ошибка. Вместо серии решений следует указать .С1, вариант 24. Решите уравнение .Здесь в ответе, как и в предыдущем случае, допущена ошибка в указании одной из серий решений. Но если в варианте 23 была нарушена область допустимых значений, то в данном случае нарушено условие обращения в нуль первого из множителей. Именно, вместо следовало записать .С1, вариант 25. Решите уравнение .Здесь ошибка такая же, как в варианте 23. Серия корней не входит в область допустимых значений. Вместо нее должна быть указана серия .С5, вариант 26. Найти все пары , удовлетворяющие системе , где f–периодическая функция с периодом T 2, определенная на всей числовой прямой,причем при .Этот вариант в пособии также имеет решение. Но в формулировке, приведенной в решении [2, с. 17], почемуто первое уравнение системы заменено уравнением . При такой замене система имеет решение. Исходная же система решений не имеет, так как из нее следует, что . Из определения функции легко установить, что , то есть .Далее для этого же пособия [2] отметим общую проблему для указания ответов к заданию С3 вариантов 27 –30. Во всех этих ответах вместо интервалов, являющихся решениями систем неравенств, указаны их концевые точки.С5, вариант 2. Найти все пары , удовлетворяющие системе , где f
периодическая функция с периодом T 2, определенная на всей числовой прямой, причем при .Ответ, приведенный в пособии [2, с. 150], не верен, так как очевидно, что указанные значения для x(и не входят в область допустимых значений. На самом деле из системы , равносильной исходной, получаем следующий ответ:
или .Требование вытекает из условия и .С5, вариант 29. (Формулировка из пособия. Найти все пары , удовлетворяющие системе , где f–периодическая функция с периодом T=2, определенная на всей числовой прямой, причем при .Поскольку первое уравнение системы записано с нарушением паритета скобок, то можно либо закрыть скобку , либо убрать лишнюю скобку . Второй способ внесения исправлений приводит к авторскому ответу [2, с. 151], но более естественный первый способ даст другой ответ.С5, вариант 30. (Формулировка из пособия. Найти все пары , удовлетворяющие системе , где f–периодическая функция с периодом T=2, определенная на всей числовой прямой, причем при .Здесь, в отличие от предыдущего варианта, повидимому, ошибка в записи второго уравнения, ибо в приведенной формулировке система решений не имеет. Если второе уравнение системы заменить уравнением , то получим ответ, приведенный в пособии.ЕГЭ: 2012: Математика. ФИПИ [3]Рассмотримзадачи части С сборника [3]. В этомпособии размещены более "классические" задачи повышенного уровня сложности по сравнению с [2] и [4]. Поэтому здесь отсутствуют "катастрофические" ошибки. Вновь будем формулировать задачи, по поводу которых возникли замечания и сопровождать их краткими комментариями.С5, вариант 2. Найти все значения a, такие, что для любого xвыполняется неравенство .В ответе к данному заданию [3, с.]написано . Возьмем конкретное значениеa, удовлетворяющее приведенному ответу и укажем для него значение x, для которого неравенство не выполняется. Подставим в заданное неравенство следующие значения: . После соответствующих вычислений получим ложное числовое неравенство 4,5 � 5. На самом деле правильным ответом является .С6, вариант 4. Каждое из чисел 4, 5, , 10 умножают на каждое из чисел 10, 11, , 1 и перед каждым из полученных произведений ставят знак плюс или минус, после чего все 63 полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?В ответе [3, с.]указаны числа 1 и 6174. Как получен ответ 6174 достаточно очевидно. А вот ответ "1" нельзя получить никаким образом. Дело в том, чтопри изменении знака у одного слагаемого а, значит, и у любого их количества в конечной алгебраической сумме целых чисел ее четность не изменится Поскольку максимальная сумма 6174 четна, то при любой смене знаков у слагаемых мы будем получать только четные суммы. А так как 0 четное число, то потенциально минимальным значением суммы по абсолютной величине является 0. Остается убедиться, что это значение достижимо. Поскольку сумма чисел первого набора 4+5 10 49 нечетна, то следует рассматривать сумму чисел второго набора 10 11 1 126. Покажем, что можно подобрать знаки слагаемых так, что можно будет получить 0 сумма положительных 63. Действительно, например, .Поэтому . Раскрывая скобки перемножив "каждое на каждое" получим сумму 0, составленную из нужных шестидесяти трех слагаемых.С1, вариант 6. Решите уравнение . Укажите корни, принадлежащие отрезку .В ответе к этому заданию [3, с.6]пропущена серия корней, являющихся решением уравнения , то есть . Ее необходимо добавить в решение уравнения, так как.С3, вариант 6. Решите систему неравенств
Для этого задания в ответе допущена опечатка. В пособии [3, с.7]написано , а нужно .С4, вариант 6. Дан прямоугольный треугольник ABCс прямым углом при вершине Bи углом при вершине A. Точка D–середина гипотенузы. Точка C1симметрична точке Cотносительно прямой BD. Найдите угол AC1B.Ответ к этой задаче [3, с.7]выглядит так: 90+, если 45; , если � 45. Сомнение в этом ответе связано со значением = 45. Дело в том, что указанное в ответе значение является "односторонним пределом", когда точка C1"приближается" по окружности с диаметром AC к точке Aс одной стороны. Считаю, что в ответе следовало бы написать: при = 45угол не определен, так как точки Aи C1совпадают.Также на всякий случай, чтобы не рассматривать ситуации подробно следовало бы исключить случай вырожденных треугольников. Таким образом, ответ можно записать так:.С5, вариант 6. Найдите наименьшеезначение параметра a, при котором система неравенств
имеет решения.В ответе [3, с.]указано . Подставим в исходную систему значения и получим Таким образом, значение a, заявленное в ответе –ошибочно. Скорее всего, авторами допущена ошибка в формулировке задания. В такой форме как оно сформулировано в пособии и приведено здесь школьникам вряд ли удастся справиться с ним. Для этой ситуации правильный ответ .С6, вариант . Произведение нескольких различных простых чисел делится на каждое из этих чисел, уменьшенное на 1. Чему может быть равно это произведение?Ответ [3, с.]содержит перечень 6, 42, 106. На мой взгляд, выражение "нескольких различных" не исключает случай одного множителя. В таком понимании к ответу следует присоединить число 2, которое и позволяет найти остальные числа ответа. Иначе в условии надо явно указать, что необходимо рассматривать не менее двух простых множителей.С5, вариант 10. Найти все значения параметра a, при каждом из которых система
имеет ровно 4 решения.В ответе к этому заданию [3, с.]допущена "техническая" ошибка. Приведенный там ответ воспринимается как три разных числа 1, и 2. На самом деле, в ответе должны присутствовать два числа, и его надо было записать отчетливее: 1,; 2.ЕГЭ 2012. Математика. 30 вариантовтиповых тестовых заданий[4]Как и для выше рассмотренных пособий будем разбирать возникающие вопросы, связанные с решениями заданий части С книги [4]. При этом ограничимся тридцатью вариантами тренировочных работ и тремя типовыми вариантами части 2 С, не рассматривая дополнительных 00 заданий. Аббревиатура ТР означает "тренировочная работа" –название принятое в пособии.С1, ТР 1. Решите уравнение . Укажите корни, принадлежащие отрезку .Правильный ответ с указанием частных значений почемуто вместо тренировочной работы 1 размещен в ответах тренировочной работы5 [4, с. 12 –183]. Кстати, сразу же отметим факт и "обратной" замены. То есть правильный ответ к задаче С1 варианта 5 расположен в ответах первого варианта.С5, ТР 1. Найдите все значения параметра a, при которых система имеет ровно два решения.В качестве ответа [4, с. 12]авторы записали . Для школьника подобная ошибка –свидетельство поверхностности его знаний о свойствах элементарных функций. Приведем кратко рассуждения, позволяющие обнаружить пару пропущенныхзначений.Из второго уравнения системы получаем или, иначе . Это означает, что , то есть всякому значению соответствует два разных значения x. Далее.Тогда, учитывая выше приведенные рассуждения, нам достаточно обнаружить все значения a, при которых первое уравнение последней системы имеет единственное решение, принадлежащее . Очевидный случай и заявлен авторами в качестве ответа. Но авторами не учтена ситуация, которая графически представлена на рисунке 1. Найдем значения a, при которых возможна такая ситуация.
Рис. 1. К задаче С5 ТР 1.Поскольку очевидно, что для каждого найденного значения aпротивоположное ему также является искомым, то будем при решении считать, что . Для анализа ситуации, изображенной на рисунке 1, считаем . Перепишем первое уравнение вследующем виде . К этому условию совпадения значений добавим условие касания. Условие касания может быть записано как равенство производныхи равенство значений. Таким образом, ситуация рисунка 1 будет описана системой.Из второго уравнения системы получаем . Подставив это соотношение в первое уравнение системы и упростив, найдем , откуда . Теперь подставим значение yв соотношение . После очевидных преобразований получаем , то есть . Далее нужно отметить, что при найденном значении a, система относительно yимеет единственное решение большее 1, которому соответствует два разных значения x. То есть система имеет два разных решения, следовательно, это искомое значение a. Окончательно подводя итоги решения, можем записать следующий правильный ответ .С5, ТР 9. Найдите все значения параметра a, при которых система
имеет ровно два решения.Авторами пособия к данной задаче в качестве "правильного" ответа приведен ответ следующего вида , что опятьтаки свидетельствует об отсутствии полного представления о свойствахлогарифмической и показательной функций. Указанный ответ "катастрофически" ошибочен.Действительно, из второго уравнения системы находим , откуда получаем, что для всех значений существует два различных значения x. То есть такие значения yпорождают два различных решения исходной системы. Переписав первое уравнение системы в виде , мы замечаем, что для решения поставленной задачи надо найти такие значения параметра a, при которых набор корней этого уравнения содержит только один корень меньший 9, а остальные если они есть должны быть больше 9. Рассматривая значения , легко получаем часть авторского решения . Теперь проанализируем значения aиз диапазона 0; 1. Судя по ответу, авторы считают, что графики функций и пересекаются только в точке при всех значениях . В этой точке пересечение действительно есть и это именно пересечение, а не касание, так как производная не равна значению производной в точке 0. Причем , поэтому слева от 0 график функции расположен выше графика . Но при малых значениях aу графиков может быть еще две точки пересечения, соответствующих значениям , рисунок 2 а. Например, при имеем , то есть на определенном участке график функции опускается ниже графика . Тогда понятно, что есть три точки пересечения, которые определяют шесть разных решений исходной системы. Имеется некоторое "граничное" значение a0, при котором две точки пересечения сливаются в одну, то есть происходит касание графиков. Ситуация изображена на рисунке 2 б. В этом случае исходная система имеет четыре решения, что не удовлетворяет условию задачи. Таким образом, в ответ вместо 0; 1 следует внести интервал , где вытекает из примера.
Рис. 2. К задаче С5 ТР 9Для поиска точного значения поступим как при решении предыдущей задачи. Система, описывающая ситуацию рисунка 2б, имеет вид:.Исключая из первого уравнения системы очевидное решение , получим . Точного решения этого уравнения школьники найти не смогут. Приближенноечисленное значение . Этому значению yсоответствует некоторое значение , найти которое возможно только приближенно. И это приближение с точностью до тысячных долей есть . Итак, мы видим,что данную задачу школьники могут решить только "качественно", то есть не находя значения , даже выраженного через элементарные функции как в предыдущем случае.Далее отметим, что для задач второй части части С в рассматриваемомпособии [4] на самом деле вместо обещанных 30 вариантов имеется только 10 вариантов тренировочных работ. Задачи части С в тренировочных работах 11 –30 являются повторениями задач из первых десяти тренировочных работ. При этом в ответах сохраняются "принципиальные" ошибки.Рассмотрим теперь еще тритиповых варианта части 2 С [4, с. 134 13]. При этом первый из этих вариантов снабжен решением [4, с. 134 136]. Тем не менее, решение задачи С4 этого варианта –ошибочно. Прежде чем произвести необходимый разбор, сформулируем одно достаточно простое утверждение, которое может оказаться полезным при решении этой и некоторых других задач.
Рис. 3. Теорема о полупериметреПусть дан треугольник ABCсо сторонами a, bи cрисунок 3. Втреугольник вписана окружность, касающаяся сторон треугольника в точках , и . Положим , и . Тогда , и . Найдем полупериметр треугольника, имеем:.Произведем группировку слагаемых различными способами и получим:.Таким образом, полупериметр равен длине любой стороны треугольника плюс длина отрезка касательной к вписанной окружности, проведенного из вершины противоположной выбранной стороне.Теперь вернемся к исходной задаче.С4, вариант 1[4, с. 134]. В треугольнике ABC, , . Точка Dлежит на прямой BCтак, что . Окружности, вписанные в каждый из треугольников ABDи ACDкасаются стороны ADв точках Eи F. Найдите длину отрезка EF.
Рис. 4.К задаче С4 варианта 1На рисунке 4 а изображена ситуация, рассмотренная в решении пособия.В этом решении [4, с. 135] приняты обозначения , , , и . В пункте 2, по свойству касательных допущена описка дальнейшие вычисления правильны. В записи нужно вместо AFнаписать AE. Далее получен правильный ответ . Это значение и размещено в качестве единственного ответа [4, с.192].На самом деле, так как в условии указано, что Dлежит на прямой BCа не на стороне или отрезке, то возможно внешнее расположение точки D. Эта ситуация изображена на рисунке 4 б учитель может вспомнить курс элементарной геометрии и окружность Аполлония. В данной ситуации легко понять, что . Приведем решение для этого случая.1. Рассмотрим треугольник ABD. Применим к нему выше полученную теорему о полупериметре, согласно которой получим:.2. Аналогично из треугольника ACDнаходим:.3. Тогда . Этот ответ и следует разместить в качестве второго варианта ответа к этой задаче.С6, вариант 2[4, с. 137]. Каждое из чисел 4, 5, , 10 умножают на каждое из чисел 10, 11, , 1 и перед каждым из полученных произведений ставят знак плюс или минус, после чего все 63 полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?Эта задача полностью совпадает с задачей С6 варианта 4 [3, с. 54]. Ответ [4, с. 192]содержит ту же саму ошибку, которая уже рассмотрена выше.В данной статье мы не рассматривали задачи части В, ошибки в ответах к которым легко обнаруживаются и больших сомнений не вызывают, хотя и их желательно не допускатьв изданиях для школьников. Сделаем исключение для одной из задач рассматриваемого пособия как для задачи нового раздела.В10, ТР 2. Монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что первые два броска окончатся одинаково.Ответ авторов [4, с. 12] равный 0,25 показывает, что авторы вычислили вероятность совсем другого события. Следует внимательно относиться к формулировкам. Повидимому, авторы вычислили вероятность события "первые два броска окончились одинаково, а третий другим исходом". Для события же, заявленного в условии правильным ответом является 0,5.
Ссылки на источники1.Алексеев, В.Н. О "типовых" заданиях по математике [Текст] // Математика: методическая газета для учителей математики. –2005. № 21. –С.4648.2.ЕГЭ –2012. Математика: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов [Текст] / под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. –М.: Национальное образование, 2011. –192 с. –ЕГЭ2012. ФИПИ школе.3.Самое полное издание типовых вариантов заданий ЕГЭ: 2012: Математика [Текст] / под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. –М.: АСТ: Астрель, 2012. –96 с. –Федеральный институт педагогических измерений.4.ЕГЭ 2012. Математика. 30 вариантов типовых тестовых заданий и 00 заданий части 2 С [Текст] / под ред. А.Л. Семенова,И.В. Ященко. –М.: Экзамен, 2012. –216 с. Серия "ЕГЭ. Типовые тестовые задания".
Viktor Alekseev, Candidate of physicomathematical sciences; assistant professor of mathematics, computer science and teaching methods; VPO Ishim State Pedagogical Institute. PP Yershov; Ishim alexvn_54@mail.ruPREPARING FOR THE EXAM IN MATHEMATICSAbstract:Discusses the quality of the official manuals for training school students to pass the unified State exam in mathematics.Key words:Unified State Examination in mathematics, the tasks of the raised level of complexity, on error of the solution, on error of the formulation.
