Л.
В. Караулова
Полный текст статьи
Караулова Лариса Владимировна,
кандидат педагогических наук, преподаватель Кировского филиала ФГБОУ ВПО РАНХиГС при Президенте РФ, г. Киров
Аннотация. В статье обозначена проблема формирования у студентов-бакалавров умений анализа и разрешения проблемных ситуаций в области экономики с помощью стохастических моделей. Показано, что важным условием разрешения данной проблемы является целостность курса «Теория вероятностей и математическая статистика».
Ключевые слова: теория вероятностей и математическая статистика, стохастическое моделирование, обучение математике в вузе.
Одной из основных целей изучения математических дисциплин (в частности, теории вероятностей и математической статистики) студентами-бакалаврами экономического направления является формирование у них умения применять математический аппарат для разрешения проблемных ситуаций экономического характера. Поэтому на занятиях по математике необходимо демонстрировать практическое применение изучаемых математических методов и предлагать задачи, имитирующие реальные проблемные ситуации.
Дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика» (или соответствующий раздел дисциплины «Математика») в обязательном порядке изучается студентами экономического направления, поскольку математические модели, описывающие экономические объекты и процессы, в большинстве случаев являются стохастическими, а не детерминированными. Это объясняется тем, что на практике обычно невозможно учесть все факторы, оказывающие влияние на уровень развития явления или его динамику. Поэтому возникает случайная составляющая (под которой понимается совокупное влияние неучтенных факторов), благодаря чему статистические показатели, характеризующие экономическое явление, объект или процесс, необходимо рассматривать как случайные величины.
Поскольку на практике информация о случайной величине (ее возможном диапазоне значений, законе распределения и т. п.) обычно представляет собой результаты статистического наблюдения, то в настоящее время ни одно серьезное исследование в области экономики не обходится без обработки и анализа статистических данных.
Таким образом, для анализа и разрешения экономических проблем с помощью стохастических моделей нужны и вероятностные (на этапе построения модели и ее теоретического анализа), и статистические (на этапе сбора данных, их обработки и статистического анализа) знания и умения. Студенты должны понять, что эти знания и умения неотделимы друг от друга, поскольку, с одной стороны, только статистический эксперимент позволяет проверить адекватность вероятностной модели реальному процессу, а с другой стороны, без осознания вероятностной природы изучаемого явления невозможно осуществить его качественный статистический анализ. Главный эффект исследовательской работы заключается в том, что нужно не только анализировать результаты эксперимента, но и оптимально их планировать. Поэтому без осознания взаимосвязи между вероятностными и статистическими методами невозможно овладение общей математической теорией эксперимента, необходимой квалифицированному исследователю-экономисту. Следовательно, на занятиях по теории вероятностей и математической статистике у студентов нужно сформировать четкое представление о взаимосвязи этих дисциплин.
Однако на практике целостность курса теории вероятностей и математической статистики обеспечивается далеко не всегда. Часто наблюдается нарушение баланса между вероятностной и статистической составляющими курса. Это проявляется в смещении акцента в сторону изучения элементов классической вероятности, когда студенты подробно разбирают методы решения комбинаторных задач, задач на вычисление классической и геометрической вероятности, использование теорем суммы и произведения и т. п. В то же время вопросы, связанные с законами распределения случайных величин и их систем, рассматриваются поверхностно, а изучение математической статистики сводится к знакомству с понятиями генеральной совокупности и выборки, а также вычислению некоторых выборочных характеристик. Происходит подмена изучения математической статистики знакомством со способами обработки результатов наблюдений (причем, самыми примитивными).
Иногда поверхностное изучение математической статистики мотивируется тем, что для бакалавров экономического направления предусматривается курс общей (или социально-экономической) статистики. Однако в курсе общей статистики (в отличие от статистики математической) основное внимание уделяется рассмотрению способов и видов статистического наблюдения и изучению специфических статистических показателей и методов обработки статистических данных (методе сводки и группировки, индексном методе, методах анализа динамических рядов и т. п.). Разумеется, в курсе общей статистики используются методы математической статистики (расчет выборочных числовых характеристик, оценка генеральных числовых характеристик, анализ корреляционной зависимости между признаками, дисперсионный анализ и т. д.), но формулы для расчетов приводятся в виде готовых алгоритмов без обоснования их с вероятностной точки зрения.
Поэтому, если в рамках изучения математических дисциплин студенты не получают «добротных» знаний по математической статистике, то у них создается впечатление, что статистические методы оторваны от теории вероятностей. В результате студенты имеют слабое представление о практическом использовании результатов, полученных при реализации вероятностных моделей, и о том, как на основании статистических данных построить вероятностную (стохастическую) модель, оценить ее погрешность, проверить практическую значимость результатов от реализации этой модели, обосновать адекватность модели реальной проблемной ситуации или необходимость модификации. Часто студенты задают вопрос, зачем изучать теорию вероятностей, если на практике им нужна только статистика.
Но даже в том случае, когда студенты в достаточном объеме изучают и теорию вероятностей, и математическую статистику, целостность курса достигается не всегда. Объясняется это несколькими причинами. Прежде всего, при переходе от теории вероятности к математической статистике меняется терминология. На занятиях по теории вероятностей студенты оперируют терминами: случайная величина, эксперимент, закон распределения, многоугольник распределения, функция и плотность распределения случайной величины, математическое ожидание и т. п. При изучении математической статистики вместо перечисленных выше терминов используются понятия: количественный признак, статистическое наблюдение, вариационный ряд, полигон и гистограмма, кумулятивная кривая, выборочное и генеральное среднее значение и т. п.
Меняется также тип задач. В теории вероятностей на основании известной вероятности появления некоторого события или закона распределения (числовых характеристиках) случайной величины требуется найти вероятности появления других событий или дать новую информацию о случайной величине. В статистике требуется обработать результаты наблюдений и описать свойства количественного признака (или признаков), присущих изучаемому объекту. Создается впечатление, что вероятностные и статистические методы не взаимосвязаны друг с другом и применяются в различных практических ситуациях.
Чтобы сформировать у студентов представление о взаимосвязях вероятностных и статистических методов, нужно показать, что эти методы являются необходимыми составляющими при решении многих практических задач. После изучения курса теории вероятностей следует объяснить студентам, что на практике только статистические данные могут дать исходную информацию для построения вероятностных моделей, и тем самым обосновать необходимость изучения математической статистики (отметим, что в большинстве учебников этому уделяется мало внимания).
Подобное обоснование может звучать приблизительно так: «Вы изучаете математику для того, чтобы уметь применять на практике математические методы. Вы научились работать со случайными величинами, поэтому, если известен закон распределения случайной величины, то можно получить о ней различные сведения: значения числовых характеристик, вероятность что она примет определенные значения и т. п. Однако, когда вам придется столкнуться со случайной величиной (спросом на продукцию, ценой на товар в будущем году и т. п.) в процессе своей профессиональной деятельности, то закон ее распределения никто заранее не сообщит. Значит, вы должны сами каким-то образом добыть интересующую информацию. Единственными средством получения этой информации является проведение статистического наблюдения, состоящего из определенного числа опытов, в результате которых фиксируются наблюдаемые значения случайной величины. Результаты этих наблюдений нужно представить в удобной для работы форме, в том числе графической, а затем вычислить некоторые числовые характеристики (впоследствии мы будем называть их выборочными). После этого возникнет вопрос: можно ли на основании этих данных найти числовые характеристики случайной величины или определить ее закон распределения, и если «да», то большая ли погрешность при этом допускается? На этот вопрос вы найдете ответ, изучив математическую статистику».
Становится обоснованным переход к статистическим терминам, описывающим свойства наблюдаемых значений случайной величины. При введении статистического термина необходимо уделять особое внимание тому, аналогом какого вероятностного термина он является (например, полигон – многоугольник распределения, гистограмма – график плотности распределения, кумулята – график функции распределения, среднее значение – математическое ожидание и т. д.).
Студенты должны иметь представление, как с помощью выборочных числовых характеристик оценить значения числовых характеристик случайной величины и объяснить возможные различия между ними. Приведем примеры задач, способствующих формированию такого представления.
Пример 1. «Известно, что вероятность (классическая) выпадения герба при подбрасывании монеты равна 1/2. Монета подброшена 20 (200, 2 000 и т. д.) раз. Герб выпал в 60% случаев. Как можно объяснить расхождение между классической и статистической вероятностью?»
Пример 2. «Пусть несколько человек играют в карты, причем игра такова, что выигрыш зависит только от расклада карт, а не от умения игрока. Один из игроков утверждает, что «сегодня не его день» (т. е. он сыграл несколько игр и практически все проиграл) и решает прекратить игру. Другой, наоборот, считает, что «сегодня его день» (т. е. практически во всех сыгранных партиях ему сопутствовала удача) и поэтому хочет продолжать играть. Как вы считаете, разумно ли они поступают?»
Связь числовых характеристик случайной величины с их статистическими аналогами позволяет сформировать у студентов представление об их практическом смысле, т. е. использовании на практике результата, полученного при решении вероятностной задачи. Разумеется, интерпретации полученного ответа следует уделять внимание при решении любой вероятностной задачи, но имеет смысл предлагать задачи, в которых использование результата на практике выражено в явной форме. Приведем пример такой задачи. «Имеется возможность сыграть несколько раз на игральном автомате (попробовать угадать комбинацию из трех цифр). Стоимость каждой игры – 5 рублей, выигрыш при угадывании комбинации составляет 1 000 рублей. Найти числовые характеристики случайной величины, отражающей возможный выигрыш, и с помощью их значений ответить на вопрос, имеет ли смысл играть. Рассмотреть ситуации: игра ведется один раз; игра ведется некоторое фиксированное число раз; игра ведется до первого выигрыша».
Желательно предлагать студентам задачи, в которых они должны не только построить вероятностную модель на основании статистического наблюдения и объяснить, как использовать полученные результаты, но и иметь возможность проверить адекватность полученных результатов реальному процессу. Например, можно предложить следующую задачу. «Имеются данные о доходах населения г. Кирова за определенный год (такие данные опубликованы в статистических сборниках). Найти закон распределения случайной величины, отражающей доходы (на практике обычно используется логнормальное распределение), определить с его помощью размер доходов части населения, относящихся к двум первым децильным группам (т. е. у 20% наименее обеспеченного населения), а затем сравнить полученные результаты с опубликованными в статистическом сборнике». Задачу можно усложнить и предложить: по данным о доходах населения за несколько лет проследить за динамикой числовых характеристик выбранного закона распределения и спрогнозировать доходы 20% наименее обеспеченного населения в следующем году.
Описанный подход к изучению теории вероятностей и математической статистики для бакалавров экономического направления позволит сформировать представление о том, каким образом математико-статистический аппарат может быть применен к разрешению профессиональных проблемных ситуаций, а значит, повысит качество их подготовки.
кандидат педагогических наук, преподаватель Кировского филиала ФГБОУ ВПО РАНХиГС при Президенте РФ, г. Киров
Аннотация. В статье обозначена проблема формирования у студентов-бакалавров умений анализа и разрешения проблемных ситуаций в области экономики с помощью стохастических моделей. Показано, что важным условием разрешения данной проблемы является целостность курса «Теория вероятностей и математическая статистика».
Ключевые слова: теория вероятностей и математическая статистика, стохастическое моделирование, обучение математике в вузе.
Одной из основных целей изучения математических дисциплин (в частности, теории вероятностей и математической статистики) студентами-бакалаврами экономического направления является формирование у них умения применять математический аппарат для разрешения проблемных ситуаций экономического характера. Поэтому на занятиях по математике необходимо демонстрировать практическое применение изучаемых математических методов и предлагать задачи, имитирующие реальные проблемные ситуации.
Дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика» (или соответствующий раздел дисциплины «Математика») в обязательном порядке изучается студентами экономического направления, поскольку математические модели, описывающие экономические объекты и процессы, в большинстве случаев являются стохастическими, а не детерминированными. Это объясняется тем, что на практике обычно невозможно учесть все факторы, оказывающие влияние на уровень развития явления или его динамику. Поэтому возникает случайная составляющая (под которой понимается совокупное влияние неучтенных факторов), благодаря чему статистические показатели, характеризующие экономическое явление, объект или процесс, необходимо рассматривать как случайные величины.
Поскольку на практике информация о случайной величине (ее возможном диапазоне значений, законе распределения и т. п.) обычно представляет собой результаты статистического наблюдения, то в настоящее время ни одно серьезное исследование в области экономики не обходится без обработки и анализа статистических данных.
Таким образом, для анализа и разрешения экономических проблем с помощью стохастических моделей нужны и вероятностные (на этапе построения модели и ее теоретического анализа), и статистические (на этапе сбора данных, их обработки и статистического анализа) знания и умения. Студенты должны понять, что эти знания и умения неотделимы друг от друга, поскольку, с одной стороны, только статистический эксперимент позволяет проверить адекватность вероятностной модели реальному процессу, а с другой стороны, без осознания вероятностной природы изучаемого явления невозможно осуществить его качественный статистический анализ. Главный эффект исследовательской работы заключается в том, что нужно не только анализировать результаты эксперимента, но и оптимально их планировать. Поэтому без осознания взаимосвязи между вероятностными и статистическими методами невозможно овладение общей математической теорией эксперимента, необходимой квалифицированному исследователю-экономисту. Следовательно, на занятиях по теории вероятностей и математической статистике у студентов нужно сформировать четкое представление о взаимосвязи этих дисциплин.
Однако на практике целостность курса теории вероятностей и математической статистики обеспечивается далеко не всегда. Часто наблюдается нарушение баланса между вероятностной и статистической составляющими курса. Это проявляется в смещении акцента в сторону изучения элементов классической вероятности, когда студенты подробно разбирают методы решения комбинаторных задач, задач на вычисление классической и геометрической вероятности, использование теорем суммы и произведения и т. п. В то же время вопросы, связанные с законами распределения случайных величин и их систем, рассматриваются поверхностно, а изучение математической статистики сводится к знакомству с понятиями генеральной совокупности и выборки, а также вычислению некоторых выборочных характеристик. Происходит подмена изучения математической статистики знакомством со способами обработки результатов наблюдений (причем, самыми примитивными).
Иногда поверхностное изучение математической статистики мотивируется тем, что для бакалавров экономического направления предусматривается курс общей (или социально-экономической) статистики. Однако в курсе общей статистики (в отличие от статистики математической) основное внимание уделяется рассмотрению способов и видов статистического наблюдения и изучению специфических статистических показателей и методов обработки статистических данных (методе сводки и группировки, индексном методе, методах анализа динамических рядов и т. п.). Разумеется, в курсе общей статистики используются методы математической статистики (расчет выборочных числовых характеристик, оценка генеральных числовых характеристик, анализ корреляционной зависимости между признаками, дисперсионный анализ и т. д.), но формулы для расчетов приводятся в виде готовых алгоритмов без обоснования их с вероятностной точки зрения.
Поэтому, если в рамках изучения математических дисциплин студенты не получают «добротных» знаний по математической статистике, то у них создается впечатление, что статистические методы оторваны от теории вероятностей. В результате студенты имеют слабое представление о практическом использовании результатов, полученных при реализации вероятностных моделей, и о том, как на основании статистических данных построить вероятностную (стохастическую) модель, оценить ее погрешность, проверить практическую значимость результатов от реализации этой модели, обосновать адекватность модели реальной проблемной ситуации или необходимость модификации. Часто студенты задают вопрос, зачем изучать теорию вероятностей, если на практике им нужна только статистика.
Но даже в том случае, когда студенты в достаточном объеме изучают и теорию вероятностей, и математическую статистику, целостность курса достигается не всегда. Объясняется это несколькими причинами. Прежде всего, при переходе от теории вероятности к математической статистике меняется терминология. На занятиях по теории вероятностей студенты оперируют терминами: случайная величина, эксперимент, закон распределения, многоугольник распределения, функция и плотность распределения случайной величины, математическое ожидание и т. п. При изучении математической статистики вместо перечисленных выше терминов используются понятия: количественный признак, статистическое наблюдение, вариационный ряд, полигон и гистограмма, кумулятивная кривая, выборочное и генеральное среднее значение и т. п.
Меняется также тип задач. В теории вероятностей на основании известной вероятности появления некоторого события или закона распределения (числовых характеристиках) случайной величины требуется найти вероятности появления других событий или дать новую информацию о случайной величине. В статистике требуется обработать результаты наблюдений и описать свойства количественного признака (или признаков), присущих изучаемому объекту. Создается впечатление, что вероятностные и статистические методы не взаимосвязаны друг с другом и применяются в различных практических ситуациях.
Чтобы сформировать у студентов представление о взаимосвязях вероятностных и статистических методов, нужно показать, что эти методы являются необходимыми составляющими при решении многих практических задач. После изучения курса теории вероятностей следует объяснить студентам, что на практике только статистические данные могут дать исходную информацию для построения вероятностных моделей, и тем самым обосновать необходимость изучения математической статистики (отметим, что в большинстве учебников этому уделяется мало внимания).
Подобное обоснование может звучать приблизительно так: «Вы изучаете математику для того, чтобы уметь применять на практике математические методы. Вы научились работать со случайными величинами, поэтому, если известен закон распределения случайной величины, то можно получить о ней различные сведения: значения числовых характеристик, вероятность что она примет определенные значения и т. п. Однако, когда вам придется столкнуться со случайной величиной (спросом на продукцию, ценой на товар в будущем году и т. п.) в процессе своей профессиональной деятельности, то закон ее распределения никто заранее не сообщит. Значит, вы должны сами каким-то образом добыть интересующую информацию. Единственными средством получения этой информации является проведение статистического наблюдения, состоящего из определенного числа опытов, в результате которых фиксируются наблюдаемые значения случайной величины. Результаты этих наблюдений нужно представить в удобной для работы форме, в том числе графической, а затем вычислить некоторые числовые характеристики (впоследствии мы будем называть их выборочными). После этого возникнет вопрос: можно ли на основании этих данных найти числовые характеристики случайной величины или определить ее закон распределения, и если «да», то большая ли погрешность при этом допускается? На этот вопрос вы найдете ответ, изучив математическую статистику».
Становится обоснованным переход к статистическим терминам, описывающим свойства наблюдаемых значений случайной величины. При введении статистического термина необходимо уделять особое внимание тому, аналогом какого вероятностного термина он является (например, полигон – многоугольник распределения, гистограмма – график плотности распределения, кумулята – график функции распределения, среднее значение – математическое ожидание и т. д.).
Студенты должны иметь представление, как с помощью выборочных числовых характеристик оценить значения числовых характеристик случайной величины и объяснить возможные различия между ними. Приведем примеры задач, способствующих формированию такого представления.
Пример 1. «Известно, что вероятность (классическая) выпадения герба при подбрасывании монеты равна 1/2. Монета подброшена 20 (200, 2 000 и т. д.) раз. Герб выпал в 60% случаев. Как можно объяснить расхождение между классической и статистической вероятностью?»
Пример 2. «Пусть несколько человек играют в карты, причем игра такова, что выигрыш зависит только от расклада карт, а не от умения игрока. Один из игроков утверждает, что «сегодня не его день» (т. е. он сыграл несколько игр и практически все проиграл) и решает прекратить игру. Другой, наоборот, считает, что «сегодня его день» (т. е. практически во всех сыгранных партиях ему сопутствовала удача) и поэтому хочет продолжать играть. Как вы считаете, разумно ли они поступают?»
Связь числовых характеристик случайной величины с их статистическими аналогами позволяет сформировать у студентов представление об их практическом смысле, т. е. использовании на практике результата, полученного при решении вероятностной задачи. Разумеется, интерпретации полученного ответа следует уделять внимание при решении любой вероятностной задачи, но имеет смысл предлагать задачи, в которых использование результата на практике выражено в явной форме. Приведем пример такой задачи. «Имеется возможность сыграть несколько раз на игральном автомате (попробовать угадать комбинацию из трех цифр). Стоимость каждой игры – 5 рублей, выигрыш при угадывании комбинации составляет 1 000 рублей. Найти числовые характеристики случайной величины, отражающей возможный выигрыш, и с помощью их значений ответить на вопрос, имеет ли смысл играть. Рассмотреть ситуации: игра ведется один раз; игра ведется некоторое фиксированное число раз; игра ведется до первого выигрыша».
Желательно предлагать студентам задачи, в которых они должны не только построить вероятностную модель на основании статистического наблюдения и объяснить, как использовать полученные результаты, но и иметь возможность проверить адекватность полученных результатов реальному процессу. Например, можно предложить следующую задачу. «Имеются данные о доходах населения г. Кирова за определенный год (такие данные опубликованы в статистических сборниках). Найти закон распределения случайной величины, отражающей доходы (на практике обычно используется логнормальное распределение), определить с его помощью размер доходов части населения, относящихся к двум первым децильным группам (т. е. у 20% наименее обеспеченного населения), а затем сравнить полученные результаты с опубликованными в статистическом сборнике». Задачу можно усложнить и предложить: по данным о доходах населения за несколько лет проследить за динамикой числовых характеристик выбранного закона распределения и спрогнозировать доходы 20% наименее обеспеченного населения в следующем году.
Описанный подход к изучению теории вероятностей и математической статистики для бакалавров экономического направления позволит сформировать представление о том, каким образом математико-статистический аппарат может быть применен к разрешению профессиональных проблемных ситуаций, а значит, повысит качество их подготовки.
