Некоторые обобщенные модели рыночного равновесия
Международная
публикация
Выпуск: № 6 (кафедра общих математических и естественнонаучных дисциплин РЭУ им. Г.В. Плеханова, г. Тула)
ART 75103
УДК
339.13
С.
В. ЮдинБиблиографическое описание статьи для цитирования:
Юдин
С.
В.,
Степанов
В.
Г.,
Степанова
Т.
В.,
Румянцева
И.
И.,
Архипов
И.
К.,
Якушин
Д.
И.,
Абрамова
В.
И. Некоторые обобщенные модели рыночного равновесия // Научно-методический электронный журнал «Концепт». –
2015. – № S6. – С.
31–35. – URL:
http://e-koncept.ru/2015/75103.htm.
Аннотация. Произведены некоторые обобщения классической модели рыночного равновесия (модели Вальраса). Учтены нелинейность законов спроса и предложения, зависимость этих законов от скорости изменения цены. Рассмотрены конкретные примеры применения моделей.
Ключевые слова:
цена, спрос, предложение, разностное уравнение, частное решение, рыночное равновесие
Похожие статьи
Текст статьи
Архипов Игорь Константинович, доктор технических наук, профессор, профессор кафедры общих математических и естественнонаучных дисциплин ФГБОУ ВПО «Российский экономический университетим. Г. В. Плеханова», Тульский филиал, г. Тулаiarh@list.ru
Абрамова Влада Игоревна,кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры экономики и предпринимательской деятельности ФГБОУ ВПО «Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого», г. Тулаiarh@list.ru
Румянцева Инна Ивановна,кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры общих математических и естественнонаучных дисциплин ФГБОУ ВПО «Российский экономический университет им. Г. В. Плеханова», Тульский филиал, г. Тулаinivna@mail.ru
Степанов Вадим Григорьевич,кандидат экономических наук, доцент, директор по исследованиям и разработкам, руководитель проектовINFORT Group, заведующий кафедрой общих математических и естественнонаучных дисциплин ФГБОУ ВПО «Российский экономический университет им. Г. В. Плеханова», Тульский филиал, г. Тулаsvg@infortgroup.ru
Степанова Татьяна Викторовна,руководитель консалтинговой фирмы :?F@CE Group, старший преподаватель кафедры общих математических и естественнонаучных дисциплин ФГБОУ ВПО «Российский экономический университет им. Г. В. Плеханова», Тульский филиал, г. Тулаstv@infortgroup.ru
Юдин Сергей Владимирович,доктор технических наук, профессор, профессор кафедры общих математических и естественнонаучных дисциплин ФГБОУ ВПО «Российский экономический университет им. Г. В. Плеханова», Тульский филиал, г. Тулаsvjudin@rambler.ru
Якушин Дмитрий Иванович,кандидат технических наук, доцент кафедры общих математических и естественнонаучных дисциплин ФГБОУ ВПО «Российский экономический университет им. Г. В. Плеханова», Тульский филиал, г. Тулаyd220174@yandex.ru
Некоторые обобщенные модели рыночного равновесия
Аннотация. Произведены некоторые обобщения классической модели рыночного равновесия (модели Вальраса). Учтены нелинейность законов спроса и предложения, зависимость этих законов от скорости изменения цены. Рассмотрены конкретные примеры применения моделей.Ключевые слова: спрос, предложение, разностное уравнение, частное решение, цена, рыночное равновесие.Раздел: (04) экономика.
Известны несколько моделей рыночного равновесия. Наиболее распространенной является модель Вальраса (паутинная модель рынка) 1, 2. Регулирование рынка происходит под действием механизма изменения цен. Предложение на рынке ориентировано на спрос, и в идеале должно быть обеспечено равенство предложения и спроса. Это равенство достигается через цены. Если спрос превышает предложение, то цены начинают рости до тех пор, пока не будет удовлетворен спрос. Если же предложение превышает спрос, то цены начинают снижаться до тех пор, пока не установится равенство спроса и предложения.Предлагаются некоторые новые модифицированные модели рыночного равновесия, которые учитывают нелинейность соотношений между объемами спроса, предложения и ценами. При этом предлагаема модификация сравнивается с классической моделью Вальраса, в которой выполняются следующие предположения:1.Объем товара, поставляемого на рынок и купленного на нем, детерминирован и не имеет случайных составляющих.2.Объем товара (для спроса и предложения) зависит только от его цены и не зависит от скорости изменения цены.3.Предложение ориентировано на предыдущий период времени, в то время как спрос ориентирован на текущий момент.4.Коэффициенты в законах спроса и предложения постоянны.В данной работе последовательные отказываемся от этих гипотез, при этом рассматриваются особенности изменения равновесной и текущей цены в зависимости от факторов нелинейности, случайности и зависимости цены от скорости ее изменения.1.Нелинейные законы спроса и предложенияПринимаем следующие законы спроса и предложения:а)Спрос D:�=�1ሾ�(�)ሿ
(1.1)б)Предложение S:
(1.2)где k=1,2…�1ǡи�2−известные функции цены.Для определения текущей цены p(k) используемзакон рыночного равновесия:�1ሾ�(�)ሿ=�2ሾ�(�−1)ሿ
(1.3)Это нелинейное разностное уравнение первого порядка 1. Для его решения предлагается обычный итерационный процесс: При k=1 имеем �1ሾ�(1)ሿ=�2ሾ�(0)ሿ=�2(�0)(1.4)�(1)=�1−1ሼ�2(�0)ሽ,где �1−1–обратная функция для �1ǤДля следующей итерации имеем:�(2)=�1−1ሾ�2(�1)ሿ
(1.5)И для любой итерации:�(�)=�1−1ሾ�2(�(�−1))ሿ
(1.6)Процесс вычисления в стационарном случае заканчивается, когда p(k) при неограниченном росте kстремится к пределу (равновесной цене) �∗, которая определяется из равенства:�1(�∗)=�2(�∗)
(1.7)Таким образом:�∗=limk→∞p(k)
(1.8)Нестационарный (инфляционный) рост цены будет наблюдаться при определенных соотношениях между функциями �1и�2и зависит от конкретного вида этих функций.Рассмотрим в качестве примера квадратичные законы спроса и предложения:ܦǣ�=ܽ−ܣ�(�)−ܣ1�2(�)
(1.9)�ǣ�=ܾ+ܤ�(�−1)+ܤ1�2(�−1)
(1.10)Приравнивая (1.9) и (1.10), получим квадратное уравнение для цены p(k):ܣ1�2(�)+ܣ�(�)=ܽ−ܾ−ܤ�(�−1)−ܤ1�2(�−1)(1.11)Решая (1.11) и учитывая неотрицательность цены p(k), получим единственный корень:
(1.13)При ܣ1=ܤ1=0получим линейную модель (модель Вальраса 2):ܣ�(�)=ܽ−ܾ−ܤ�(�−1)
(1.13)Это линейное разностное уравнение имеет точное решение 1:�(�)=(−)�+−+
(1.14)При <1ǡ�(�)→�∗=−+Проведем анализ соотношения (1.12).Это выражение имеет смысл только при соблюдении условия:ܽ−ܾ−ܤ�(�−1)−ܤ1�2(�−1)>0ǡтак как в противоположном случае цена p(k) принимает отрицательное значение. Найдем теперь равновесную цену �∗в нелинейной модели. Для этого считаем, что �(�−1)=�(�)при �→∞соотношения (1.11) заменится в виде:ܣ1�∗2+ܣ�∗=ܽ−ܾ−ܤ�∗−ܤ1�∗2(ܣ1+ܤ1)�∗2+(ܣ+ܤ)�∗=ܽ−ܾ
(1.15)Решая это квадратное уравнение, получим:�∗=−(+)+√(+)2+4(1+1)(−)2(1+1)
(1.16)Если отношение , то �∗из формулы (1.16) практически совпадает с этим жезначением из линейной модели. Это соответствует малой нелинейности кривых спроса и предложения.В заключениезаметим, что кривые спроса и предложения (1.9) и (1.10) можно получить из соответствующей регрессивной модели, полученной из экспериментальной выборки , где –квадратичная функция 2.2.Спрос и предложение зависят от скорости изменения цены.Основные уравнения модели:Спрос:
(2.1) Предложение:
(2.2)Заменим производные на отношения приращений:Поскольку ∆�=�−(�−1)=1, то ��(�)��=∆�(�)Ǣ��(�−1)��=∆�(�−1)(2.3)Соотношения для приращений ∆�(�)∆�(�−1)следующие:∆�(�)=�(�)−�(�−1)
(2.4)∆�(�−1)=�(�−1)−�(�−2)
(2.5)С учетом соотношений (2.1)–(2.5) получим разностное линейное уравнение 2го порядка для p(k)(ܣ+ܣ1)�(�)+(ܤ−ܣ1+ܤ1)�(�−1)−ܤ1�(�−2)=ܽ−ܾ(2.6)Решение этого уравнения получим в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.p(k)C1�1�+ܥ2�2�+�̅
(2.7)Здесь ܥ1иܥ2–произвольные постоянные, определяемые из начальных условий:�(0)=�0Ǣ∆�(1)=�1
(2.8)�1ǡ2–корни характеристического уравнения:(ܣ+ܣ1)�2+(ܤ+ܤ1−ܣ1)�−ܤ1=0
(2.9)Решая это уравнение, получим:�1ǡ2=−(+1−1)+√(+1−1)2+41(+1)2(+1)
(2.10)При ܣ1=ܤ1=0, т.е. если цена не зависит от скорости ее изменения, имеем из (2.10)�1=0Ǣ�2=−ܤܣЧастное решение неоднородного уравнения получим при условии �(�)=�(�−1)=�(�−2)=�∗при�→∞ǤИз (2.6) получим:�∗(ܣ+ܣ1+ܤ−ܣ1+ܤ1−ܤ1)=ܽ−ܾ�∗=−+
(2.11)Это соответствует равновесной цене в классической линейной модели рыночного равновесия 1. Найдем теперь произвольные постоянные ܥ1иܥ2из начальных условий (2.8){�0=ܥ1+ܥ2+�∗�1=�(1)−�0=ܥ1�1+ܥ2�2+�∗−�0Или иначе:
Решая эту систему,получим:ܥ1=�1+(�∗−�0)(�2−1)�1−�2(2Ǥ12)
(2.13)Решение задачи рыночного равновесия будет устойчивым, если |�1|<1Ǣ|�2|<1ǤВ противном случае рост цены будет неограниченным, т.е. имеет место инфляция.
Ссылки на источники1.Солодовников А.С., БабайцевВ.А., БраиловА.В., ШандраИ.Г. Математика в экономике.Ч.2. –М.: Финансы и статистика, 2003.–540c.2.ЗудинВ.И., АрхиповИ.К., КочетыговА. А. Исследование операций. Экономикоматематические методы. –Тула: Издво РГТЭУ, 2009.3.Гмурман В.Г. Теория вероятности и математическая статистика. –М.:Высш.шк., 1998.
Igor Archipov, Doctor of Engineering, professor, professor of the department of the General mathematical and naturalscience disciplines Plekhanov Russian University of Economics, Tula branch, Tulaiarh@list.ruAbramova Vlada Igorevna,Candidate of Technical Sciences, the associate professor, the associate professor of economy and business activity of the Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University, Tulaiarh@list.ruInna Rumyantseva,Candidate of Technical Sciences, associate professor, associate professor of the department of the General mathematical and naturalscience disciplines Plekhanov Russian University of Economics, Tula branch, Tulainivna@mail.ruVadim Stepanov,Candidate of Economic Sciences, associate professor, director of researchand to developments, project manager of INFORT Groupconsulting, head of the department of the General mathematical and naturalscience disciplines Plekhanov Russian University of Economics, Tula branch, Tulasvg@infortgroup.ruTatyana Stepanova,head of INFORT Groupconsulting, senior teacher of the department of the General mathematical and naturalscience disciplines Plekhanov Russian University of Economics, Tula branch, Tulastv@infortgroup.ruSergey Yudin,Doctor of Engineering, professor, professor of the department of the General mathematical and naturalscience disciplines Plekhanov Russian University of Economics, Tula branch, Tulasvjudin@rambler.ruDmitry Yakushin,Candidate of Technical Sciences, associate professor of the department of the General mathematical and naturalscience disciplines Plekhanov Russian University of Economics, Tula branch, Tulayd220174@yandex.ruSome generalized models of market balanceAbstract.. Some generalization of classical model of market balance (Valras's models) are made. Nonlinearity of laws of the demand and supply, dependence of these laws on change in price speed are considered. Specific examples of application of models are reviewed.Keywords: demand, offer, differential equation, separate judgment, price, market balance.
Рекомендовано к публикации:
Юдиным С. В., доктором технических наук, профессором ФГБОУ ВПО «Российский экономический университет им. Г. В. Плеханова», Тульский филиал
Абрамова Влада Игоревна,кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры экономики и предпринимательской деятельности ФГБОУ ВПО «Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого», г. Тулаiarh@list.ru
Румянцева Инна Ивановна,кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры общих математических и естественнонаучных дисциплин ФГБОУ ВПО «Российский экономический университет им. Г. В. Плеханова», Тульский филиал, г. Тулаinivna@mail.ru
Степанов Вадим Григорьевич,кандидат экономических наук, доцент, директор по исследованиям и разработкам, руководитель проектовINFORT Group, заведующий кафедрой общих математических и естественнонаучных дисциплин ФГБОУ ВПО «Российский экономический университет им. Г. В. Плеханова», Тульский филиал, г. Тулаsvg@infortgroup.ru
Степанова Татьяна Викторовна,руководитель консалтинговой фирмы :?F@CE Group, старший преподаватель кафедры общих математических и естественнонаучных дисциплин ФГБОУ ВПО «Российский экономический университет им. Г. В. Плеханова», Тульский филиал, г. Тулаstv@infortgroup.ru
Юдин Сергей Владимирович,доктор технических наук, профессор, профессор кафедры общих математических и естественнонаучных дисциплин ФГБОУ ВПО «Российский экономический университет им. Г. В. Плеханова», Тульский филиал, г. Тулаsvjudin@rambler.ru
Якушин Дмитрий Иванович,кандидат технических наук, доцент кафедры общих математических и естественнонаучных дисциплин ФГБОУ ВПО «Российский экономический университет им. Г. В. Плеханова», Тульский филиал, г. Тулаyd220174@yandex.ru
Некоторые обобщенные модели рыночного равновесия
Аннотация. Произведены некоторые обобщения классической модели рыночного равновесия (модели Вальраса). Учтены нелинейность законов спроса и предложения, зависимость этих законов от скорости изменения цены. Рассмотрены конкретные примеры применения моделей.Ключевые слова: спрос, предложение, разностное уравнение, частное решение, цена, рыночное равновесие.Раздел: (04) экономика.
Известны несколько моделей рыночного равновесия. Наиболее распространенной является модель Вальраса (паутинная модель рынка) 1, 2. Регулирование рынка происходит под действием механизма изменения цен. Предложение на рынке ориентировано на спрос, и в идеале должно быть обеспечено равенство предложения и спроса. Это равенство достигается через цены. Если спрос превышает предложение, то цены начинают рости до тех пор, пока не будет удовлетворен спрос. Если же предложение превышает спрос, то цены начинают снижаться до тех пор, пока не установится равенство спроса и предложения.Предлагаются некоторые новые модифицированные модели рыночного равновесия, которые учитывают нелинейность соотношений между объемами спроса, предложения и ценами. При этом предлагаема модификация сравнивается с классической моделью Вальраса, в которой выполняются следующие предположения:1.Объем товара, поставляемого на рынок и купленного на нем, детерминирован и не имеет случайных составляющих.2.Объем товара (для спроса и предложения) зависит только от его цены и не зависит от скорости изменения цены.3.Предложение ориентировано на предыдущий период времени, в то время как спрос ориентирован на текущий момент.4.Коэффициенты в законах спроса и предложения постоянны.В данной работе последовательные отказываемся от этих гипотез, при этом рассматриваются особенности изменения равновесной и текущей цены в зависимости от факторов нелинейности, случайности и зависимости цены от скорости ее изменения.1.Нелинейные законы спроса и предложенияПринимаем следующие законы спроса и предложения:а)Спрос D:�=�1ሾ�(�)ሿ
(1.1)б)Предложение S:
(1.2)где k=1,2…�1ǡи�2−известные функции цены.Для определения текущей цены p(k) используемзакон рыночного равновесия:�1ሾ�(�)ሿ=�2ሾ�(�−1)ሿ
(1.3)Это нелинейное разностное уравнение первого порядка 1. Для его решения предлагается обычный итерационный процесс: При k=1 имеем �1ሾ�(1)ሿ=�2ሾ�(0)ሿ=�2(�0)(1.4)�(1)=�1−1ሼ�2(�0)ሽ,где �1−1–обратная функция для �1ǤДля следующей итерации имеем:�(2)=�1−1ሾ�2(�1)ሿ
(1.5)И для любой итерации:�(�)=�1−1ሾ�2(�(�−1))ሿ
(1.6)Процесс вычисления в стационарном случае заканчивается, когда p(k) при неограниченном росте kстремится к пределу (равновесной цене) �∗, которая определяется из равенства:�1(�∗)=�2(�∗)
(1.7)Таким образом:�∗=limk→∞p(k)
(1.8)Нестационарный (инфляционный) рост цены будет наблюдаться при определенных соотношениях между функциями �1и�2и зависит от конкретного вида этих функций.Рассмотрим в качестве примера квадратичные законы спроса и предложения:ܦǣ�=ܽ−ܣ�(�)−ܣ1�2(�)
(1.9)�ǣ�=ܾ+ܤ�(�−1)+ܤ1�2(�−1)
(1.10)Приравнивая (1.9) и (1.10), получим квадратное уравнение для цены p(k):ܣ1�2(�)+ܣ�(�)=ܽ−ܾ−ܤ�(�−1)−ܤ1�2(�−1)(1.11)Решая (1.11) и учитывая неотрицательность цены p(k), получим единственный корень:
(1.13)При ܣ1=ܤ1=0получим линейную модель (модель Вальраса 2):ܣ�(�)=ܽ−ܾ−ܤ�(�−1)
(1.13)Это линейное разностное уравнение имеет точное решение 1:�(�)=(−)�+−+
(1.14)При <1ǡ�(�)→�∗=−+Проведем анализ соотношения (1.12).Это выражение имеет смысл только при соблюдении условия:ܽ−ܾ−ܤ�(�−1)−ܤ1�2(�−1)>0ǡтак как в противоположном случае цена p(k) принимает отрицательное значение. Найдем теперь равновесную цену �∗в нелинейной модели. Для этого считаем, что �(�−1)=�(�)при �→∞соотношения (1.11) заменится в виде:ܣ1�∗2+ܣ�∗=ܽ−ܾ−ܤ�∗−ܤ1�∗2(ܣ1+ܤ1)�∗2+(ܣ+ܤ)�∗=ܽ−ܾ
(1.15)Решая это квадратное уравнение, получим:�∗=−(+)+√(+)2+4(1+1)(−)2(1+1)
(1.16)Если отношение , то �∗из формулы (1.16) практически совпадает с этим жезначением из линейной модели. Это соответствует малой нелинейности кривых спроса и предложения.В заключениезаметим, что кривые спроса и предложения (1.9) и (1.10) можно получить из соответствующей регрессивной модели, полученной из экспериментальной выборки , где –квадратичная функция 2.2.Спрос и предложение зависят от скорости изменения цены.Основные уравнения модели:Спрос:
(2.1) Предложение:
(2.2)Заменим производные на отношения приращений:Поскольку ∆�=�−(�−1)=1, то ��(�)��=∆�(�)Ǣ��(�−1)��=∆�(�−1)(2.3)Соотношения для приращений ∆�(�)∆�(�−1)следующие:∆�(�)=�(�)−�(�−1)
(2.4)∆�(�−1)=�(�−1)−�(�−2)
(2.5)С учетом соотношений (2.1)–(2.5) получим разностное линейное уравнение 2го порядка для p(k)(ܣ+ܣ1)�(�)+(ܤ−ܣ1+ܤ1)�(�−1)−ܤ1�(�−2)=ܽ−ܾ(2.6)Решение этого уравнения получим в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.p(k)C1�1�+ܥ2�2�+�̅
(2.7)Здесь ܥ1иܥ2–произвольные постоянные, определяемые из начальных условий:�(0)=�0Ǣ∆�(1)=�1
(2.8)�1ǡ2–корни характеристического уравнения:(ܣ+ܣ1)�2+(ܤ+ܤ1−ܣ1)�−ܤ1=0
(2.9)Решая это уравнение, получим:�1ǡ2=−(+1−1)+√(+1−1)2+41(+1)2(+1)
(2.10)При ܣ1=ܤ1=0, т.е. если цена не зависит от скорости ее изменения, имеем из (2.10)�1=0Ǣ�2=−ܤܣЧастное решение неоднородного уравнения получим при условии �(�)=�(�−1)=�(�−2)=�∗при�→∞ǤИз (2.6) получим:�∗(ܣ+ܣ1+ܤ−ܣ1+ܤ1−ܤ1)=ܽ−ܾ�∗=−+
(2.11)Это соответствует равновесной цене в классической линейной модели рыночного равновесия 1. Найдем теперь произвольные постоянные ܥ1иܥ2из начальных условий (2.8){�0=ܥ1+ܥ2+�∗�1=�(1)−�0=ܥ1�1+ܥ2�2+�∗−�0Или иначе:
Решая эту систему,получим:ܥ1=�1+(�∗−�0)(�2−1)�1−�2(2Ǥ12)
(2.13)Решение задачи рыночного равновесия будет устойчивым, если |�1|<1Ǣ|�2|<1ǤВ противном случае рост цены будет неограниченным, т.е. имеет место инфляция.
Ссылки на источники1.Солодовников А.С., БабайцевВ.А., БраиловА.В., ШандраИ.Г. Математика в экономике.Ч.2. –М.: Финансы и статистика, 2003.–540c.2.ЗудинВ.И., АрхиповИ.К., КочетыговА. А. Исследование операций. Экономикоматематические методы. –Тула: Издво РГТЭУ, 2009.3.Гмурман В.Г. Теория вероятности и математическая статистика. –М.:Высш.шк., 1998.
Igor Archipov, Doctor of Engineering, professor, professor of the department of the General mathematical and naturalscience disciplines Plekhanov Russian University of Economics, Tula branch, Tulaiarh@list.ruAbramova Vlada Igorevna,Candidate of Technical Sciences, the associate professor, the associate professor of economy and business activity of the Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University, Tulaiarh@list.ruInna Rumyantseva,Candidate of Technical Sciences, associate professor, associate professor of the department of the General mathematical and naturalscience disciplines Plekhanov Russian University of Economics, Tula branch, Tulainivna@mail.ruVadim Stepanov,Candidate of Economic Sciences, associate professor, director of researchand to developments, project manager of INFORT Groupconsulting, head of the department of the General mathematical and naturalscience disciplines Plekhanov Russian University of Economics, Tula branch, Tulasvg@infortgroup.ruTatyana Stepanova,head of INFORT Groupconsulting, senior teacher of the department of the General mathematical and naturalscience disciplines Plekhanov Russian University of Economics, Tula branch, Tulastv@infortgroup.ruSergey Yudin,Doctor of Engineering, professor, professor of the department of the General mathematical and naturalscience disciplines Plekhanov Russian University of Economics, Tula branch, Tulasvjudin@rambler.ruDmitry Yakushin,Candidate of Technical Sciences, associate professor of the department of the General mathematical and naturalscience disciplines Plekhanov Russian University of Economics, Tula branch, Tulayd220174@yandex.ruSome generalized models of market balanceAbstract.. Some generalization of classical model of market balance (Valras's models) are made. Nonlinearity of laws of the demand and supply, dependence of these laws on change in price speed are considered. Specific examples of application of models are reviewed.Keywords: demand, offer, differential equation, separate judgment, price, market balance.
Рекомендовано к публикации:
Юдиным С. В., доктором технических наук, профессором ФГБОУ ВПО «Российский экономический университет им. Г. В. Плеханова», Тульский филиал
