Использование рациональных приемов вычислений в начальном курсе математики
ART 85555
Автор:
А.
К. Мендыгалиева
А.
К. Мендыгалиева Библиографическое описание статьи для цитирования:
Мендыгалиева
А.
К. Использование рациональных приемов вычислений в начальном курсе математики // Научно-методический электронный журнал «Концепт». –
2015. – Т. 13. – С.
2771–2775. – URL:
http://e-koncept.ru/2015/85555.htm.
Аннотация. В статье автор обращается к проблеме формирования у учащихся начальной школы прочных вычислительных навыков, основой которых является усвоение устных и письменных приемов вычисления. Рассматривает рациональные приемы вычислений, связанных с округлением одного или нескольких слагаемых, которые можно использовать в процессе изучения математики в начальной школе.
Ключевые слова:
рациональные приемы вычисления, устные и письменные приемы
Текст статьи
Мендыгалиева Алтнай Кенесовна,Кандидат педагогических наук, доцент кафедры теории и методики начального дошкольного образования, ФГБОУ «Оренбургский государственный педагогический университет», г. Оренбургtimnido@yandex.ru
Использование рациональных приемов вычислений в начальном курсе математики
Аннотация.В статье автор обращается к проблеме формирования у учащихся начальной школы прочных вычислительных навыков, основой которых является усвоение устных и письменных приемов вычисления. Рассматривает рациональные приемы вычислений связанных с округлением одного или нескольких слагаемых, которые можно использовать в процессе изучения математики в начальной школе.Ключевые слова:рациональные приемы вычисления, устные и письменные приемы.
Одна из основныхзадач
математического образования учащихся начальной школына современном этапе в условиях внедрения ФГОС НОО формирование у учащихся осознанных, прочных вычислительных навыков, основой которых является усвоение устных и письменныхприемов вычисления.Основным требованием образовательного стандарта к уровню подготовки учащихся в начальной школе при изучении математики является умениеиспользовать вычислительные навыкив повседневной жизни, в практической деятельности для устныхвычислений, проверки результата вычислений с использованием различныхметодическихприемов.
Навыки рациональных приемов вычислений способствуютповышению темпа вычислений, способствуют снижению общей утомляемости, развитию памятии внимания, логического мышления, более прочному усвоению не только предмета математики, но и других учебных дисциплин.Усвоение рациональных приемов вычисления происходит в результате длительного выполнения учебных заданий. Решение
многочисленных, однотипныхучебных заданий, бесспорно, способствует овладениювычислительного приема, но вместе с тем понижаетпознавательную активностьучащихся и у них пропадает интереск выполнению учебных заданий, ослабеваетвнимание, увеличиваетсячисло ошибок и т.п.В условиях внедрения стандарта второго поколения комплекс
учебных заданий, направленныйна освоениевычислительных умений и навыков, способствует формированию
универсальные учебные действия, побуждает учащихся к самостоятельному поиску новых рациональных приемов вычислений, рассмотрению различныхспособов нахождения значения
выраженийи оцениваниюих с точки зрения рациональности. Использование рациональных приемов, помогающих во многих случаях значительно облегчить процесс вычислений, способствует формированию положительной мотивации к учебной деятельностив целом. Работа надрациональными приемамивычислений
при нахождении значения выражения в процессе изучения математики в начальной школе должна проводиться постоянно, систематически и органически согласовыватьсяс изучаемым программным материалом.Существуют объективные и субъективные причины, которые не позволяют добиться этой цели.Выделимих:
неумение школьников использовать рациональные приемы вычислений;
недостаточная математическая подготовка учителей(учителюнеобходимо знатьтеоретические основы рациональных вычислений, научиться их использовать, а затем уже овладеть умениями, связанными с обучением учащихся рациональным вычислениям).Рассмотрим рациональныеприемы
вычисленийсвязанных с округлением одного или нескольких слагаемых, которые можно использовать в процессе изучения математики
в начальной школе.Прием округленияодного или несколькихслагаемыхЗамени одно или нескольких слагаемых«круглым» числом. Найдисумму «круглых» чисел.Дополнидо «круглого» числа(прибавить к полученной суммеили вычестьиз нее.Задание:а) 283+59=(283+(59+1))1=(283+60)1=3431=342б) 582+197=(582+(197+3))3=(582+200)3=7823=779в) 67+464=464+67=(460+60)+11=520+11=531Прием округления слагаемых состоит в том, что:
округляют
одно из слагаемых(обычно до большего круглого числа); находят сумму;
вычитают из суммы столько, на сколько всего увеличивали слагаемоепри округлении:а + 29 = (а + 30) –158 + а + 19 = (60 + а + 20) –2 –1Прием округления вычитаемогоa)Если вычитаемое заменяют меньшим круглым числом, то из результата надо вычесть столько, на сколько уменьшили вычитаемое при округлении:а–42 = (а –40) –2b –84 = (b–80) –4Задание:28143=(28140)3=(281 40)3=2413=238(вычитаемое округлили до 40, вычли из уменьшаемого, из результата вычли 3)b)
Если вычитаемое заменяют большим круглым числом, то к результату надо прибавить столько, на сколько увеличили вычитаемое при округлении:а –49 = (а –50) + 1b –98 = (b –100) + 2Задание: 28349=(28350)+1=(28350)+1=233+1=234(число 49 округляют до 50 , и вычитают из уменьшаемого, затем к результатуприбавляют 1)
Прием вынесение общего множителяПри сложении нескольких чисел, имеющих общий множитель, находят сумму чисел в скобках, а затем находят произведение общего множителя и полученной суммы.Задание:28+20+36+16=4×(7+5+9+4)=4×25=100(общий множитель 4,его выносят за скобку, затем умножают на сумму чисел в скобке)
Прием увеличенияили уменьшенияуменьшаемого и вычитаемого на одно и то же число единицСуть приема поясним на конкретных заданиях.Задание:34226=(3422)(262)=34024=316
Этот прием используют тогда, когда вычитаемое близкое число к «круглому» числу.Задание:1285296=(1285+4)(296+4)=1289300=1289(200+100)=(1289200)1001089100=989(число 296 близкое к круглому числу 300)
Прием округлениявычитаемогоВычитаемое заменяют ближайшим к нему «круглым» числом, находят разность, а затем соответствующее дополнение до «круглого» числа прибавляют к полученной разности или вычитают из нее.Задание:1285296=1285((296+4)=1285(3004)=(1285300)+4==1285(200+100)+4=(1085100)+4=985+4=989
Прием группировки вокруг одного и того же «корневого» числаЗадание:Найти сумму чисел 57+54+53+55+54+52+54+50.Можно заметить, что все эти числав сумме близки к числу 54, поэтомуего называют«корневым», а значение суммынаходят
по алгоритму:1)найдисумму «корневых» чисел: 54×8=432 ( умножаем на 8, так какслагаемых8);2)найдисумму отклонений каждого числа от «корневого»,при этом, если число больше «корневого», отклонение берется со знаком «+», если число меньше «корневого»–со знаком «»: 3+01+1+02+04=3;3)получившуюся сумму прибавьк результату первого пункта: 432+(3)=4323=429.На окончательный результат выбор «корневого» числа не влияет. Так, если считать, что «корневое» число не 54, а 55, то вычисления будут выглядеть следующимобразом:1)55×8=440,2)212+01315=11,3)44011=429«Корневое» число необходимо брать таким образом, чтобы наиболее просто находилась сумма отклонений.Все рассмотренные выше приемы рациональных вычислений можно рассмотреть с учащимися начальных классов, кроме последнего приема, так как отрицательные числа не изучаются в начальной школе.Рассмотрим некоторые рациональные приемы вычислений связанных с действием умножение, которые можно предложить учащимся в процессе изучения табличных и внетабличных случаев умножения в начальной школе.
Прием умножения на 2Умножение на 2 поочередно удваиваем каждую цифру данного числа.136×2=272124×2=248
Прием умноженияна 4 (8, 16)Умножение на 4 (8, 16)сводится к двукратному (трехкратному, четырехкратному) умножению на 2.Примеры:а) 948×4=(948×2) ×2=(900×2+40×2+8×2) ×2)=(1800+80+16)×2=1896×2=1000×2+800×2+90×2+6×2=2000+1600+180+12=3792;
б) 474 ×8=(474×2)×4=948×4=(948×2)×2=1896×2=3792;в) 237×16=(237×2)×8=474×8=(474×2)×4=948×4=(948×2)×2=1896×2=3792
Умножение однозначных чисел на 8 происходи по следующей простой схеме:
Прием умноженияна 5 (50, 500)Чтобы умножить число на 5 (50, 500), достаточно умножить его на 10 (100, 1000) и результат разделить на 2.Пример:
а)387×5=(387×10):2=3870:2=3000:2+800:2+70:2=1500+400+35=1935б) 347×50=(347×100):2=34700:2=30000:2+4000:2+700:2=15000+2000+350=17350в) 237×500=(237×1000):2=237000:2=200000:2+30000:2+7000:2=100000+15000+3500=1185
Умножение однозначных чисел на 9 происходи по следующей простой схеме:
Прием умноженияна 9Чтобы умножить число на 9, достаточно вычесть из этого числа число его десятков, увеличенное на единицу, и к полученной разности приписать дополнение его цифры единиц до десяти.Пример:176×9=(17618)×10+(106)=158×10+4=1584Прием умноженияна 9 (99, 999)Чтобы умножить число на 9 (99, 999), достаточно увеличить его в 10 (100, 1000) раз и из полученного результата вычесть само число.Пример:а) 87×9=87×1087=87087=783;8 (х 8)Вычесть 2Вычесть из 1064удвоить5 (х 8)Вычесть 2Вычесть из 1040удвоить8 (х 8)Вычесть 2Вычесть из 1064удвоить5 (х 8)Вычесть 2Вычесть из 1040удвоить7 (х 9)Вычесть 1Вычесть из 10638 (х 9)Вычесть 1Вычесть из 1072
б) 469×99=469×100469=46900469=46431;в) 3726×999=3726×10003726=37260003726=3722274.Прием умноженияна 11 (101, 1001)Чтобы умножить число на 11 (101, 1001), достаточно увеличить его в 10 раз и к полученному результату прибавить это число.Пример:а) 87×11=87×10+87=870+87=957;б) 294×101=294×100+294=29400+294=29694;в) 6397×1001=6397×1000+6397=6397000+6397=641397.Прием умножениячетного числа на 55Чтобы умножить четное число на 55, достаточно разделить его на 2, частное умножить на 100 и на 10, а затем оба результата сложить.Пример:968×55=968:2×(100+10)=484×(100+10)=48400+4840=53240.Прием умножениядвузначного числа на 11Чтобы умножить двузначное число на 11, достаточно раздвинуть его цифры и вставить между ними их сумму. Причем, если эта сумма сама является двузначной, то ее единицы вставляются между цифрами данного числа, а десятки прибавляются к первой цифре.Пример:Для нахождения значения произведения 53×11 проделаем следующее:1)находим сумму 5+3=8;2)раздвигаем цифры числа 53, вставив между нимицифру 8, получим ответ: 53×11=583.Для нахождения значения произведения 58×11 проделаем следующее:3)находим сумму 5+8=13;4)раздвигаем цифры числа 58, вставив между ними цифру 3, десятки увеличиваем на 1 (5+1=6), получим ответ: 58×11=633.Прием умножениядвузначного числа на 101Чтобы умножить двузначное число на 101, достаточно справа к нему приписать само число.Пример:72×101=7272Прием умножениядвузначного числа на 99Чтобы умножить двузначное число на 99, достаточно к предшествующему числу приписать егодополнение до 100.Пример:73×99=7227
Надеемся, что предложенные рациональные приемы займут достойное место в математической подготовке будущих учителей начальных классов, а работающие учителя будут постоянно их использовать в своей практике, формируя соответствующие навыки рациональных вычислений у школьников.
Ссылки на источники
1. Андронов И.К. Арифметика натуральных чисел. –М.: Гос. уч.пед. издво Министерства просвещения РСФСР, 1954. 2. Берман Г. Н. Приемы быстрого счета. –М.: Гос. Издво техникотеоретической литературы, 1942.
Использование рациональных приемов вычислений в начальном курсе математики
Аннотация.В статье автор обращается к проблеме формирования у учащихся начальной школы прочных вычислительных навыков, основой которых является усвоение устных и письменных приемов вычисления. Рассматривает рациональные приемы вычислений связанных с округлением одного или нескольких слагаемых, которые можно использовать в процессе изучения математики в начальной школе.Ключевые слова:рациональные приемы вычисления, устные и письменные приемы.
Одна из основныхзадач
математического образования учащихся начальной школына современном этапе в условиях внедрения ФГОС НОО формирование у учащихся осознанных, прочных вычислительных навыков, основой которых является усвоение устных и письменныхприемов вычисления.Основным требованием образовательного стандарта к уровню подготовки учащихся в начальной школе при изучении математики является умениеиспользовать вычислительные навыкив повседневной жизни, в практической деятельности для устныхвычислений, проверки результата вычислений с использованием различныхметодическихприемов.
Навыки рациональных приемов вычислений способствуютповышению темпа вычислений, способствуют снижению общей утомляемости, развитию памятии внимания, логического мышления, более прочному усвоению не только предмета математики, но и других учебных дисциплин.Усвоение рациональных приемов вычисления происходит в результате длительного выполнения учебных заданий. Решение
многочисленных, однотипныхучебных заданий, бесспорно, способствует овладениювычислительного приема, но вместе с тем понижаетпознавательную активностьучащихся и у них пропадает интереск выполнению учебных заданий, ослабеваетвнимание, увеличиваетсячисло ошибок и т.п.В условиях внедрения стандарта второго поколения комплекс
учебных заданий, направленныйна освоениевычислительных умений и навыков, способствует формированию
универсальные учебные действия, побуждает учащихся к самостоятельному поиску новых рациональных приемов вычислений, рассмотрению различныхспособов нахождения значения
выраженийи оцениваниюих с точки зрения рациональности. Использование рациональных приемов, помогающих во многих случаях значительно облегчить процесс вычислений, способствует формированию положительной мотивации к учебной деятельностив целом. Работа надрациональными приемамивычислений
при нахождении значения выражения в процессе изучения математики в начальной школе должна проводиться постоянно, систематически и органически согласовыватьсяс изучаемым программным материалом.Существуют объективные и субъективные причины, которые не позволяют добиться этой цели.Выделимих:
неумение школьников использовать рациональные приемы вычислений;
недостаточная математическая подготовка учителей(учителюнеобходимо знатьтеоретические основы рациональных вычислений, научиться их использовать, а затем уже овладеть умениями, связанными с обучением учащихся рациональным вычислениям).Рассмотрим рациональныеприемы
вычисленийсвязанных с округлением одного или нескольких слагаемых, которые можно использовать в процессе изучения математики
в начальной школе.Прием округленияодного или несколькихслагаемыхЗамени одно или нескольких слагаемых«круглым» числом. Найдисумму «круглых» чисел.Дополнидо «круглого» числа(прибавить к полученной суммеили вычестьиз нее.Задание:а) 283+59=(283+(59+1))1=(283+60)1=3431=342б) 582+197=(582+(197+3))3=(582+200)3=7823=779в) 67+464=464+67=(460+60)+11=520+11=531Прием округления слагаемых состоит в том, что:
округляют
одно из слагаемых(обычно до большего круглого числа); находят сумму;
вычитают из суммы столько, на сколько всего увеличивали слагаемоепри округлении:а + 29 = (а + 30) –158 + а + 19 = (60 + а + 20) –2 –1Прием округления вычитаемогоa)Если вычитаемое заменяют меньшим круглым числом, то из результата надо вычесть столько, на сколько уменьшили вычитаемое при округлении:а–42 = (а –40) –2b –84 = (b–80) –4Задание:28143=(28140)3=(281 40)3=2413=238(вычитаемое округлили до 40, вычли из уменьшаемого, из результата вычли 3)b)
Если вычитаемое заменяют большим круглым числом, то к результату надо прибавить столько, на сколько увеличили вычитаемое при округлении:а –49 = (а –50) + 1b –98 = (b –100) + 2Задание: 28349=(28350)+1=(28350)+1=233+1=234(число 49 округляют до 50 , и вычитают из уменьшаемого, затем к результатуприбавляют 1)
Прием вынесение общего множителяПри сложении нескольких чисел, имеющих общий множитель, находят сумму чисел в скобках, а затем находят произведение общего множителя и полученной суммы.Задание:28+20+36+16=4×(7+5+9+4)=4×25=100(общий множитель 4,его выносят за скобку, затем умножают на сумму чисел в скобке)
Прием увеличенияили уменьшенияуменьшаемого и вычитаемого на одно и то же число единицСуть приема поясним на конкретных заданиях.Задание:34226=(3422)(262)=34024=316
Этот прием используют тогда, когда вычитаемое близкое число к «круглому» числу.Задание:1285296=(1285+4)(296+4)=1289300=1289(200+100)=(1289200)1001089100=989(число 296 близкое к круглому числу 300)
Прием округлениявычитаемогоВычитаемое заменяют ближайшим к нему «круглым» числом, находят разность, а затем соответствующее дополнение до «круглого» числа прибавляют к полученной разности или вычитают из нее.Задание:1285296=1285((296+4)=1285(3004)=(1285300)+4==1285(200+100)+4=(1085100)+4=985+4=989
Прием группировки вокруг одного и того же «корневого» числаЗадание:Найти сумму чисел 57+54+53+55+54+52+54+50.Можно заметить, что все эти числав сумме близки к числу 54, поэтомуего называют«корневым», а значение суммынаходят
по алгоритму:1)найдисумму «корневых» чисел: 54×8=432 ( умножаем на 8, так какслагаемых8);2)найдисумму отклонений каждого числа от «корневого»,при этом, если число больше «корневого», отклонение берется со знаком «+», если число меньше «корневого»–со знаком «»: 3+01+1+02+04=3;3)получившуюся сумму прибавьк результату первого пункта: 432+(3)=4323=429.На окончательный результат выбор «корневого» числа не влияет. Так, если считать, что «корневое» число не 54, а 55, то вычисления будут выглядеть следующимобразом:1)55×8=440,2)212+01315=11,3)44011=429«Корневое» число необходимо брать таким образом, чтобы наиболее просто находилась сумма отклонений.Все рассмотренные выше приемы рациональных вычислений можно рассмотреть с учащимися начальных классов, кроме последнего приема, так как отрицательные числа не изучаются в начальной школе.Рассмотрим некоторые рациональные приемы вычислений связанных с действием умножение, которые можно предложить учащимся в процессе изучения табличных и внетабличных случаев умножения в начальной школе.
Прием умножения на 2Умножение на 2 поочередно удваиваем каждую цифру данного числа.136×2=272124×2=248
Прием умноженияна 4 (8, 16)Умножение на 4 (8, 16)сводится к двукратному (трехкратному, четырехкратному) умножению на 2.Примеры:а) 948×4=(948×2) ×2=(900×2+40×2+8×2) ×2)=(1800+80+16)×2=1896×2=1000×2+800×2+90×2+6×2=2000+1600+180+12=3792;
б) 474 ×8=(474×2)×4=948×4=(948×2)×2=1896×2=3792;в) 237×16=(237×2)×8=474×8=(474×2)×4=948×4=(948×2)×2=1896×2=3792
Умножение однозначных чисел на 8 происходи по следующей простой схеме:
Прием умноженияна 5 (50, 500)Чтобы умножить число на 5 (50, 500), достаточно умножить его на 10 (100, 1000) и результат разделить на 2.Пример:
а)387×5=(387×10):2=3870:2=3000:2+800:2+70:2=1500+400+35=1935б) 347×50=(347×100):2=34700:2=30000:2+4000:2+700:2=15000+2000+350=17350в) 237×500=(237×1000):2=237000:2=200000:2+30000:2+7000:2=100000+15000+3500=1185
Умножение однозначных чисел на 9 происходи по следующей простой схеме:
Прием умноженияна 9Чтобы умножить число на 9, достаточно вычесть из этого числа число его десятков, увеличенное на единицу, и к полученной разности приписать дополнение его цифры единиц до десяти.Пример:176×9=(17618)×10+(106)=158×10+4=1584Прием умноженияна 9 (99, 999)Чтобы умножить число на 9 (99, 999), достаточно увеличить его в 10 (100, 1000) раз и из полученного результата вычесть само число.Пример:а) 87×9=87×1087=87087=783;8 (х 8)Вычесть 2Вычесть из 1064удвоить5 (х 8)Вычесть 2Вычесть из 1040удвоить8 (х 8)Вычесть 2Вычесть из 1064удвоить5 (х 8)Вычесть 2Вычесть из 1040удвоить7 (х 9)Вычесть 1Вычесть из 10638 (х 9)Вычесть 1Вычесть из 1072
б) 469×99=469×100469=46900469=46431;в) 3726×999=3726×10003726=37260003726=3722274.Прием умноженияна 11 (101, 1001)Чтобы умножить число на 11 (101, 1001), достаточно увеличить его в 10 раз и к полученному результату прибавить это число.Пример:а) 87×11=87×10+87=870+87=957;б) 294×101=294×100+294=29400+294=29694;в) 6397×1001=6397×1000+6397=6397000+6397=641397.Прием умножениячетного числа на 55Чтобы умножить четное число на 55, достаточно разделить его на 2, частное умножить на 100 и на 10, а затем оба результата сложить.Пример:968×55=968:2×(100+10)=484×(100+10)=48400+4840=53240.Прием умножениядвузначного числа на 11Чтобы умножить двузначное число на 11, достаточно раздвинуть его цифры и вставить между ними их сумму. Причем, если эта сумма сама является двузначной, то ее единицы вставляются между цифрами данного числа, а десятки прибавляются к первой цифре.Пример:Для нахождения значения произведения 53×11 проделаем следующее:1)находим сумму 5+3=8;2)раздвигаем цифры числа 53, вставив между нимицифру 8, получим ответ: 53×11=583.Для нахождения значения произведения 58×11 проделаем следующее:3)находим сумму 5+8=13;4)раздвигаем цифры числа 58, вставив между ними цифру 3, десятки увеличиваем на 1 (5+1=6), получим ответ: 58×11=633.Прием умножениядвузначного числа на 101Чтобы умножить двузначное число на 101, достаточно справа к нему приписать само число.Пример:72×101=7272Прием умножениядвузначного числа на 99Чтобы умножить двузначное число на 99, достаточно к предшествующему числу приписать егодополнение до 100.Пример:73×99=7227
Надеемся, что предложенные рациональные приемы займут достойное место в математической подготовке будущих учителей начальных классов, а работающие учителя будут постоянно их использовать в своей практике, формируя соответствующие навыки рациональных вычислений у школьников.
Ссылки на источники
1. Андронов И.К. Арифметика натуральных чисел. –М.: Гос. уч.пед. издво Министерства просвещения РСФСР, 1954. 2. Берман Г. Н. Приемы быстрого счета. –М.: Гос. Издво техникотеоретической литературы, 1942.
