Полный текст статьи
Печать

Аннотация. В статье рассматриваются возможные подходы к информационной поддержке курса «Численные методы» в техническом вузе, исходя из методологии вычислительного эксперимента. Один из подходов основан на программировании численных методов с помощью языков высокого уровня. Второй – состоит в применении численных методов с использованием математических пакетов. Показана необходимость сближения двух подходов для эффективного обучения студентов.
Ключевые слова: информационные технологии, вычислительный эксперимент, системы компьютерной математики. 

Подход к  реализации численных методов зависит от выбора преподавателя: обучать студентов программировать численные методы или обучать их применять численные методы? 

Совершенствование  многоуровневой системы высшего профессионального образования России приводит к изменению приоритетов инженерной подготовки. Значительно повышается потребность самостоятельного приобретения части профессиональных знаний, способности быстро ориентироваться в различных сферах науки и техники, а также иметь опыт учебно-исследовательской  деятельности и группового проектирования.

Определенный потенциал для такой подготовки студентов заложен в математических дисциплинах. Однако повсеместно преобладающая классическая  методика их преподавания не всегда позволяет  успешно решать задачи улучшения математической подготовки выпускников технических специальностей вуза. Усиление информационной компоненты в математической подготовке студентов во многом обновляет концепции преподавания  дисциплин математического цикла, делает учебные дисциплины более современными и конкурентно способными и, что немаловажно, привлекательными для студентов.

Возрастающие влияние роли информационной среды и быстрое распространение новейших информационных технологий и средств коммуникации характеризует все области науки и техники, а также современный этап развития общества. Поэтому стратегически важной частью указанных процессов является информатизация  образования, как сфера, работающая на будущее развитие и  общества,  и науки.

Информатизация образования позволяет совершенствовать методологию и формы обучения студентов всех форм обучения, включая иностранных студентов. Обоснованное и грамотное использование средств информационных технологий на сегодня является обязательным качеством выпускника любой области деятельности. Компьютеризация обучения также характерна для всех направлений подготовки студентов, но особенно актуальна для студентов направлений Информатика и вычислительная техника (Computer Scince и Computer Engineering).

Наиболее органично использование информационных технологий при преподавании математических дисциплин [1]. Это объясняется математическими основами самой информатики и значительным развитием вычислительной техники. Современная вычислительная техника требует от инженера знаний основ вычислительной математики и применения этих знаний к решению научно-технических задач. Широкое внедрение кластерных вычислительных систем и многоядерных компьютеров позволяет исследовать сложные проблемы и явления с помощью соответствующей математической модели. При этом эксперименты проводят не с самим объектом исследования, а с заменяющей его математической моделью. Такой метод исследования назван вычислительным экспериментом [2].

Схема вычислительного эксперимента выглядит следующим образом: формулируются основные законы, описывающие объект исследования (процесс или явление), и на их основе строится математическая модель. Решение большого количества инженерных задач начинается с построения математической модели исследуемого объекта. Модель представляет собой запись законов управления объектом в форме системы уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных и др.) и является формализованным описанием инженерной задачи. Методы решения такой задачи можно разделить на два класса: точные и приближенные.  Точные методы позволяют получить решение в виде аналитического выражения (формулы), что весьма привлекательно для исследователя с точки зрения дальнейшего использования решения. Однако точные методы применимы только для ограниченного круга задач.

Использование сложных математических моделей, позволяет исследовать многие физические процессы с использованием вычислительной техники: кластера или персонального компьютера. Реализация полученных моделей с использованием любого компьютера требует создания численных методов их решения. Численный метод (алгоритм) позволяет  получить частное решение на основе дискретной математической модели с использованием компьютера. Результатом реализации численного метода является приближенное решение задачи в виде числа или массива чисел. После анализа решения при необходимости вносятся уточнения в математическую модель и изменения в численный метод, и описанные выше этапы повторяются.

Вычислительный эксперимент позволяет заменить дорогостоящий натурный эксперимент расчетами на компьютере, тем самым   уменьшает рутинные расчеты и экономит время решения исходной задачи.

Таким образом, технологическая цепочка вычислительного эксперимента включает в себя следующие этапы:

  • § построение математической модели исследуемого объекта, анализ модели, проверка ее адекватности;
  • § выбор и обоснование численного решения поставленной задачи;
  • § построение вычислительного алгоритма;
  • § создание программы для вычислительной системы и ее тестирование;
  • § проведение серии вычислений с варьированием основных параметров исходной задачи и алгоритма;
  • § анализ полученных результатов и итерационная корректировка математической модели. 

Учебный курс численных методов, с одной стороны, базируется на методологии вычислительного эксперимента и использует сложное математическое моделирование, а также  и методы вычислительной математики. С другой стороны, учебный курс тесно связан с рядом математических дисциплин, изучаемыми ранее в вузе.

При обучении студентов численным методам основными формами занятий являются лекции и лабораторные работы. Лабораторная работа является активной формой обучения, использующей различные информационные технологии, включая обучающие программы и электронные учебники. Изучение теоретических основ любого учебного курса базируется на специальной методической литературе [3]. К сожалению, нередко классическая литература, посвящённая численным методам, морально устарела именно из-за  отсутствия современной информационной поддержки.

Надо отметить, что в любом фундаментальном учебнике по численным методам основной объем занимают не алгоритмы и вычислительные схемы, а строгие обоснования используемых методов, получение оценок решения, сходимости метода и его устойчивости. Это объясняется тем, что вычислительная математика строгая математическая дисциплина, которая появилась задолго до компьютеров и информатики. Но при получении решения прикладной задачи с использованием компьютерных технологий на первый план выступают вопросы выбора методов решения, их алгоритмизации и программирования.

Таким образом, дисциплина «Численные методы», с одной стороны, излагает математическую теорию методов вычислений, с другой – аккумулирует возможности компьютерных информационных подходов для изучения процессов и явлений реальной действительности в ходе инженерной практики [4]. Дисциплина явно имеет компьютерно-  ориентированный характер.

Дисциплина «Численные методы» в структуре образовательной программы, как правило, изучается следом за курсами «Информатика», «Высшая математика» и имеет явно выраженные межпредметные связи [5]. Это позволяет систематизировать и закрепить знания, полученные в таких разделах информатики, как «Теория алгоритмов», «Языки программирования», «Структуры данных», «Информационные технологии», «Основы алгоритмизации», и применять эти знания к решению различных прикладных задач. Также необходимы знания курса математического анализа и линейной алгебры, математической логики и математического моделирования.

Однако существующая практика изучения численных методов в вузе показывает, что обучение студентов привязано к изучению  определенного количества численных задач, так называемых классических задач,  с использованием разных методов и средств. Такой подход позволяет эффективно обучать только решению типовых задач вошедших в учебную программу и фактически не имеет связей с  практическими задачами инженерной деятельности.

 При выполнении лабораторных работ большой упор делается на программирование разработанного алгоритма и последующего анализа результатов. При этом в настоящее время, в технических вузах  России преобладают две крайние тенденции реализации численных алгоритмов [6]. Одна из них основана на  программировании численных методов с использованием современных алгоритмических языков типа C/C++. При этом до 90% учебного времени затрачивается на разработку, отладку и тестирование программ, а не анализ результатов и исследование параметров и эффективности алгоритма. В другом подходе, наоборот, вся прикладная часть курса перекладывается на реализацию методов в математических программных пакетах, избавляя при этом студента от необходимости осознанного выбора и понимания реализованных в компьютерных программах математических идей и методов. Подход к  реализации численных методов зависит от выбора преподавателя: обучать студентов программировать численные методы или обучать их применять численные методы?  Хотя в последние годы отчетливо проявляется тенденция интенсивного использования математических программных продуктов и вычислительных систем, только оба подхода обеспечат полноценную подготовку специалиста .

Подход с использованием алгоритмических языков высокого уровня, во-первых, является традиционным при обучении численным методам, а, во-вторых, усиливает активность студентов при изучении методов [7]. За многие годы накоплены обширные библиотеки научных подпрограмм на различных алгоритмических языках, предназначенных для решения типовых задач вычислительной математики.

При этом имеется целый ряд различных математических пакетов, называемых системами компьютерной математики (СКМ). Подобные системы уникальны по своим возможностям, в том числе реализуют разнообразные численные методы и производят аналитические математические преобразования. Наиболее известными сегодня являются программные продукты и математические библиотеки: Mathematica (фирма Wolfram Research), Maple (фирма Waterloo Maple Inc), MatLab (фирма The MathWorks), MathCAD (фирма MathSoft Inc).

Хотя в  последнее время имеется тенденция к сближению различных СМК, каждый из этих пактов имеет собственные особенности и области использования [8, 9].

Так, математический пакет Maple весьма популярен при проведении научных исследований. Он имеет возможности  аналитических преобразований и численного решения задачи.  Еще одна полезная опция пакета - преобразование кодов Maple в коды алгоритмического языка  C, что особенно ценно при создания численных алгоритмов. Пакет удобен для подготовки научных публикаций, так как позволяет конвертировать файлы  в формат LaTeX – стандартный формат большинства научных издательств.

Пакет MatLab -  один из самых мощных и распространенных математических программных продуктов. Он фактически является мировым стандартом технических вычислений. MatLab представляет собой своеобразный язык программирования высокого уровня и операционную среду, ориентированные на решение научных задач. Среда MatLab позволяет объединять математические вычисления, визуализацию результатов и  программы, написанные на языках высокого уровня (C, C++, Java и др.). Основным объектом Matlab является матрица, поэтому при решении многих векторно-матричных задач ему нет равных. Одним из преимуществ системы является также то, что на языке Matlab пользователь может сам написать специализированные функции и программы, которые оформляются в виде М-файлов. Коллекции М-файлов объединены для решения определенной задачи или проблемы, подобно пакетам прикладных программ. Например,  Symbolic Mathematics Toolbox, Control Systems Toolbox, Signal Processing

Пакет Mathematica также популярен в научном сообществе, особенно среди исследователей - теоретиков.  При этом система команд пакета во многом напоминает обычный язык программирования. Он обладает инструментарием, переводящим сложные алгоритмы в программы. Пакет Mathematica имеет, пожалуй, самые мощные графические средства визуализации. Многие научные школы, особенно зарубежные, десятилетиями приводят исследования с использованием этого программного продукта. Значительно реже он используется в сфере образования.

Пакет MathCAD более популярен в инженерной практике, чем в научной работе. Большим его достижением является наличие привычных математических нотаций, т.е. на рабочем листе  MathCAD документ выглядит точно как обычный математический расчет. Это есть реализация принципа WYSIWYG – What You See Is What You Get. Пакет прост в использовании и не вызывает проблем при обучении, так как является средой визуального программирования и не требуется изучения специфической системы команд, как, в случае пакетов Mathematica или Maple. Пакет ориентирован в первую очередь на проведение численных расчетов, но также имеет встроенный символический процессор Maple.

Для выбора системы компьютерной математики необходимо  сформировать основные требования к  программному продукту, наиболее отвечающему идеям численного анализа. Применительно к учебной дисциплине «Численные методы» эти требования следующие:

  • наличие относительно несложного языка программирования для реализации численных алгоритмов;
  • наличие современного графического интерфейса, не требующего дополнительного программирования;
  • возможность объединять в одном рабочем документе графическую, табличную, текстовую информацию, программы пользователя и встроенные функции пакета;
  • наглядные средства для представления алгоритма решения задачи;
  • возможность отображать промежуточные вычисления в табличном виде;
  • возможность автоматического обновления вычислений при изменении исходных данных.

Пакет MathCAD наиболее отвечает приведенным к вычислительной среде требованиям: привычные стандартные математические обозначения, возможность символьных вычислений, среда визуального программирования, дружественный интерфейс, относительная непритязательность к возможностям компьютера. Так, что система MathCAD вполне оправдывают аббревиатуру CAD (Computer Aided Disign), говорящую о принадлежности к сложным системам автоматизированного проектирования – САПР. MathCAD своего рода САПР в математике. Поэтому именно пакет MathCAD чаще других используется для обучения студентов численным методам.

Использование математических пакетов не лишает студента возможности создания собственных программ, реализующих численные методы и алгоритмы. Так как большинство пакетов (в том числе и наиболее популярные MatLab, MathCAD) имеют встроенные алгоритмические языки. Кроме этого в математических пакетах имеется инструментарий для графической интерпретации решений и получения решений с помощью встроенных (библиотечных) функций самого пакета. Таким образом, в одном файле студент получает, как минимум, решение задачи тремя способами, которые можно сопоставить, провести оценку погрешности и сделать выводы об эффективности методов и алгоритмов.

 Еще один аргумент в пользу использования математических пакетов – отсутствие необходимости хорошего владения алгоритмическими языками. Алгоритмическая культура формируется довольно длительно, а дисциплина «Численные методы» изучается обычно на младших курсах. Значительная часть времени лабораторных работ при использовании современных алгоритмических языков отводится отладке программ, а не исследованию параметров алгоритмов и их эффективности. Математические пакеты в разной степени отвечают требованиям вычислительной среды при изучении численных методов. Особенно обоснованно использование математических пакетов при численном решении инженерных задач, когда возникает необходимость перераспределения времени теоретического и практического обучения, например для иностранных студентов или обучающихся по индивидуальной траектории.

В заключении хочется отметить, что при выборе компьютерных средств обучения в дисциплине «Численные методы» нельзя ограничиваться только одним подходом: либо только использование языков программирования, либо  - системы компьютерной математики. Необходимо использовать все средства обучения, чтобы выпускник технического вуза мог в дальнейшем самостоятельно сделать выбор программных систем при решении задач в своей инженерной практике.

 Кроме того, при изучении собственно самой дисциплины «Численные методы» в большей мере побуждать студентов к созданию собственных программ, обоснованному выбору методов, исследованию эффективности алгоритмов, представлению и анализу результатов. При этом многочисленные электронные учебники и программы удаленного доступа использовать только, как справочный материал. 

Ссылки на источники 

 

  1. Бешенков С.А., Кузнецова Л.Г., Шутикова М.И. Математика и информатика: поиск точек соприкосновения //Информатика и образование. – №10. – 2006. – С.3-5.
  2. Шкляр М.Ф. Основы научных исследований: Учебное пособие / М. Ф. Шкляр. - 5-е изд. - М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°», 2013. - 244 с.
  3. Степанова Т.А. Методическая система обучения курсу «Численные методы» в условиях информационно-коммуникационной предметной среды: Автореф. дисс. ... канд. пед. наук. — Красноярск, 2003.
  4. Бидайбеков Е.Ы., Камалова Г.Б.Вычислительная информатика в фундаментальной подготовке учителей информатики  // Информатизация образования – 2007: Материалы Международной научно-практической конференции. – Калуга, 2007. – С.125-139.
  5. Беликов В.В. Инструментарий анализа содержания обучения дисциплине «Численные методы» // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия «Информатизация образования». – 2009. – № 2. – С.60–63.
  6. Холмогорова Е.И. Изучение курса «Численные методы» в ВУЗе // Ученые записки Забайкальского государственного университета. Серия: Физика, математика, техника, технология. – 2010. - Выпуск№ 2. – С. 139-141.
  7. Ляхов А. Ф. Современные IT технологии и проблемы преподавания курса «Численные методы» на ма-тематических факультетах/ URL: http://www.it-education.ru/2008/reports/Lyakhov.htm. – [Дата обращения 17.04.2015].
  8. Тарасевич Ю. Ю. Численные методы на Mathcad’е: Учебное пособие / Ю.Ю. Тарасевич. - Астрахань.: Астраханский гос. пед. ун-т, 2000. - 70 с.
  9. Юрий Морзеев Современные системы компьютерной математики // КомпьютерПресс. – 2001. - №12   – URL: http://compress.ru/ article.aspx?id=12530 . .  – [Дата обращения 20.04.2015]. 

Elena A. Kochegurova,
Candidate of technical sciences, Associate professor of Automatics and computer systems Department,  National Research Tomsk Polytechnic University, Tomsk, Russia
Ekaterina S. Gorokhova
Student,  National Research Tomsk Polytechnic University, Tomsk, Russia 

Informational aspects of teaching computational mathematics for technical universities students
Abstract.The article deals with possible approaches to information support of the course "Numerical methods" in a technical university, based on the simulation experiment methodology. One approach is based on the programming of numerical methods using high-level languages. The second - is to apply numerical methods using mathematical software. The necessity of the two approaches convergence for the effective training was shown .
Key words: information technology, simulation experiment, the computer mathematics system.