Решение задачи по выборке шаров из системы урн при помощи математического ожидания
ART 86665
Автор:
П.
О. Александров
П.
О. Александров Библиографическое описание статьи для цитирования:
Александров
П.
О. Решение задачи по выборке шаров из системы урн при помощи математического ожидания // Научно-методический электронный журнал «Концепт». –
2016. – Т. 11. – С.
3146–3150. – URL:
http://e-koncept.ru/2016/86665.htm.
Аннотация. В статье приведено оригинальное решение вероятностной задачи на классическую схему без использования комбинаторных формул, основанное на применении математического ожидания. Получена количественная оценка вычислительных затрат в рамках нестандартного алгоритма решения. Проанализированы факторы , ускоряющие процесс вычислений.
Ключевые слова:
теория вероятности, математическое ожидание, оптимизация вычислений, задача с урнами
Текст статьи
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ɽɾɼɺɶɬ, ɹɬ ɶɺɾɺɼɺɵ ɸʇ ɹɬʁɺɰɴɸɽʋ, v ɽɾɺɷɭɱʂ.ɞɬɶ ɶɬɶ ɽɾɺɷɭʂʇ ɸɬɾɼɴʂʇ Mɸɺɯɿɾ ɭʇɾʈ ɺʃɱɹʈ ɰɷɴɹɹʇɸɴ, ɾɺ ɽɶɷɬɰʇɮɬɾʈ ɴʁ ɻɺɽɾɺʋɹɹɺ ɳɬɹɴɸɬɱɾ ɸɹɺɲɱɽɾɮɺ ɮɼɱɸɱɹɴ. ɛɺʉɾɺɸɿ ɰɷʋ ʁɼɬɹɱɹɴʋ ɽɿɸɸʇ ɮɮɱɰʌɸ ɻɱɼɱɸɱɹɹɿʊ S, ɬ ɴɳɳɬ ɾɺɯɺ, ʃɾɺ ɴɳɸɱɹʋɱɾɽʋ ɮɽɱɯɺ ɺɰɹɺ ɳɹɬʃɱɹɴɱ ɻɼɴ ɻɱɼɱʁɺɰɱ ɶ ɹɺɮɺɸɿ ɽɺɽɾɺʋɹɴʊ ɽɴɽɾɱɸʇ, ɻɱɼɱɽʃʌɾ Sɮʇɻɺɷɹʋɱɾɽʋ ɮ ɰɮɱ ɺɻɱɼɬʂɴɴ: ɮʇʃɱɽɾʈ ɽɾɬɼɺɱ ɳɹɬʃɱɹɴɱ, ɻɼɴɭɬɮɴɾʈ ɹɺɮɺɱ. Ɍ ɰɷʋ ɭɺɷɱɱ ɭʇɽɾɼɺɯɺ ɮɺɽɽɾɬɹɺɮɷɱɹɴʋ ɳɹɬʃɱɹɴɵ Sɻɼɴ ɻɱɼɱʁɺɰɱ ɹɬɮɱɼʁ ɭɿɰɱɸ ɴɽɻɺɷʈɳɺɮɬɾʈ ɮɱɶɾɺɼ R ɼɬɳɸɱɼɹɺɽɾʈʊ n1.ɛɱɼɮʇɸ ɰɱɵɽɾɮɴɱɸ ɹɬɵɰʌɸ ɽɿɸɸɿ ɻɱɼɮɺɯɺ ɽɾɺɷɭʂɬ ɸɬɾɼɴʂʇ M:݇൞ෟ݁௮dzେ௰௮େɔ ɳɬɻɺɸɹɴɸ ɱʌ, ʃɾɺɭʇ ɳɬɹɺɮɺ ɹɱ ɽʃɴɾɬɾʈ, ɶɺɯɰɬ ɻɺɰɹɴɸɱɸɽʋ ɹɬ ɻɱɼɮɿʊ ɽɾɼɺɶɿ ɸɬɾɼɴʂʇ Z:݆େ൞݇Ɍ ɮɱɶɾɺɼ Vɳɬɻɺɷɹɴɸ ɱɰɴɹɴʂɬɸɴ, ɾɬɶ ɶɬɶ ɽɶɷɬɰʇɮɬɷɴɽʈ ɳɹɬʃɱɹɴʋ ɻɱɼɮɺɯɺ ɽɾɺɷɭʂɬ ɶɬɲɰɺɵ ɽɾɼɺɶɴ. Ɏɱɶɾɺɼ Uɾɬɶɲɱ ɳɬɻɺɷɹʋɱɾɽʋ ɱɰɴɹɴʂɬɸɴ. ɩɾɺ ɳɹɬʃɴɾ, ʃɾɺ ɸʇ ɮ ɶɬɲɰɺɵ ɽɾɼɺɶɱɸɬɾɼɴʂʇ Qɹɬʁɺɰɴɸɽʋ ɮ ɻɱɼɮɺɸ ɽɾɺɷɭʂɱ.
ɛɱɼɮɬʋ ɽɾɼɺɶɬ ɸɬɾɼɴʂʇ Qɳɬɻɺɷɹʋɱɾɽʋ ɽɷɱɰɿʊʅɴɸ ɺɭɼɬɳɺɸ ɴ ɮ ɰɬɷʈɹɱɵʄɱɸ ɹɱ ɸɱɹʋɱɾɽʋ:݅େdz௯൞݁௯dzେ݇ɐɷʋ ɻɱɼɮɺɯɺ ʄɬɼɬ ɺɭʅɱɱ ɶɺɷɴʃɱɽɾɮɺ ɿɲɱ ɹɬɵɰɱɹɺ ɮʇʄɱ:ܹେ൞݇Ɍ ɰɷʋ ɰɬɷʈɹɱɵʄɴʁ ɳɹɬʃɱɹɴɵ ɹɬʃɴɹɬɱɾ ʁɺɰɴɾʈ ɻɺ ɸɬɾɼɴʂɱ Q. Ɏ ɽɬɸɺɸ ɹɬʃɬɷɱ ɸʇ ɹɬʁɺɰɴɸɽʋ ɮ ɽɬɸɺɵ ɻɱɼɮɺɵ ɶɷɱɾɶɱ. ɩɾɺ ɳɹɬʃɴɾ, ʃɾɺ ©൞΅; ª൞΅.ɛɼɴ ɺɭʁɺɰɱ ɸɬɾɼɴʂɱ ɸʇ ɴɰʌɸ ɮɽɱɯɰɬ ɮɹɴɳ, ɶɺɯɰɬ ʉɾɺ ɮɺɳɸɺɲɹɺ. ɛɼɴ ɶɬɲɰɺɸ ʄɬɯɱ ɮɹɴɳ, ɻɼɺɴɽʁɺɰʋɾ ɽɷɱɰɿʊʅɴɱ ɰɱɵɽɾɮɴʋ:uɿɮɱɷɴʃɴɮɬɱɾɽʋ ɹɬ ɱɰɴɹɴʂɿ;vʇɵʉɷɱɸɱɹɾ ɮɱɶɾɺɼɬ Vɿɮɱɷɴʃɴɮɬɱɾɽʋ ɹɬ ɱɰɴɹɴʂɿ;ɛɱɼɱɽʃɴɾʇɮɬɱɾɽʋ ɽɿɸɸɬ: ݇൞݇−݁dzೳେ+݁dzೳ;ɔ ɳɬɻɺɸɴɹɬɱɾɽʋ ɮ݆அ;ɝɷɬɯɬɱɸɺɱ S, ɿɸɹɺɲɱɹɹɺɱ ɹɬ ɮɱɼɺʋɾɹɺɽɾʈ, ɽ ɶɺɾɺɼɺɵ ʉɾɬ ɽɿɸɸɬ ɽɾɬɹɱɾ ɬɶɾɿɬɷʈɹɺɵ,ɻɼɴɭɬɮɷʋɱɾɽʋ ɮ ɽɺɺɾɮɱɾɽɾɮɿʊʅɴɵ ʉɷɱɸɱɹɾ ɮɱɶɾɺɼɬE: ܹ௺൞ܹ௺+݅௺େdzπ݇;ɜɬɽʃʌɾ ɹɬ ɺɽɹɺɮɱ ɽɷɬɯɬɱɸɺɯɺ Sɮɽɱ ɮɱɼɺʋɾɹɺɽɾɴ, ɶɺɾɺɼʇɱ ɴɳ ɹɱɯɺ ɮʇɾɱɶɬʊɾ: ݎ௺dz௮൞ݎ௺େdz೦dz೦.ɝɺɮɱɼʄɬʋ ɶɬɲɰʇɵ ɼɬɳ ʄɬɯ ɮɹɴɳ ɸʇ ɰɺɷɲɹʇ ɺɶɬɳɬɾʈɽʋ ɮ ɻɱɼɮɺɸ ɽɾɺɷɭʂɱ, ɻɺʉɾɺɸɿɮ ɶɺɹʂɱ ɶɬɲɰɺɯɺ ʄɬɯɬ ɮɹɴɳ vɽɾɬɹɺɮɴɾɽʋ ɼɬɮɹʇɸ ɱɰɴɹɴʂɱ. ɖɬɶ ɾɺɷʈɶɺ ɰɺʁɺɰɴɸ ɰɺ ɽɬɸɺɯɺ ɹɴɳɬ, ɹɬʃɴɹɬɱɸ ʄɬɯɬɾʈ ɮɻɼɬɮɺ, ɻɼɴ ʉɾɺɸ, ɽɹɬʃɬɷɬ ɻɱɼɱɽʃɴɾʇɮɬɱɸ nʇɵ ʉɷɱɸɱɹɾ ɮɱɶɾɺɼɬ E: ܹ௳൞ܹ௳+݅௺dzπൽ݇−݁dzೳ+݁dzೳେඁ, ɬ ɻɺɾɺɸ ɽɺɮɱɼʄɬɱɾɽʋ ɽɬɸ ʄɬɯ ɹɬɻɼɬɮɺ (v ɿɮɱɷɴʃɴɮɬɱɾɽʋ ɹɬ ɱɰɴɹɴʂɿ).ɑɽɷɴ ʄɬɯɬɾʈ ɮɻɼɬɮɺ ɭɺɷʈʄɱ ɹɱɶɿɰɬ, ɾɺ ɰɱɷɬɱɸ ʄɬɯ ɹɬɮɱɼʁ, ɻɼɴ ʉɾɺɸ:ɚɾɸɱʃɬɱɾɽʋ ɽɾɼɺɶɬ, ɽ ɶɺɾɺɼɺɵ ɻɼɴʄɷɴ,ɽɮɺɭɺɰɹɺɵ: ݉௺൞΅;Ɏɺɾ ɾɱɻɱɼʈ ɽɺɮɱɼʄɬɱɾɽʋ ɽɬɸ ʄɬɯ ɹɬɮɱɼʁ (u ɿɸɱɹʈʄɬɱɾɽʋ ɹɬ ɱɰɴɹɴʂɿ);݉௺ʇɵ ʉɷɱɸɱɹɾ ɮɱɶɾɺɼɬ V ɿɸɱɹʈʄɬɱɾɽʋ ɹɬ ɱɰɴɹɴʂɿ, ɾɬɶ ɶɬɶɻɺ ݉௺ɽɾɺɷɭʂɿ ɽɻɿɽɶɬɷɴɽʈɮɹɴɳ;Ɏɺɽɽɾɬɹɬɮɷɴɮɬɱɾɽʋɻɺɽɷɱɰɹɱɱ ɳɹɬʃɱɹɴɱ S ɰɬɹɹɺɵ ɽɾɼɺɶɴ: ݇൞݆௺;ɛɱɼɱʁɺɰ ɹɬɮɱɼʁ ɺɽɿʅɱɽɾɮɷʋɱɾɽʋ ɮ ɽɷɱɰɿʊʅɴɵ ɽɾɺɷɭɱʂ ɻɺɽɷɱ ɾɺɯɺ, cɶɺɾɺɼɺɯɺ ɽɻɿɽɾɴɷɴɽʈ, ɻɺʉɾɺɸɿ ݉௺ɿɮɱɷɴʃɴɮɬɱɸ ɹɬ ɱɰɴɹɴʂɿ ɴ ɳɬɻɴɽʇɮɬɱɸ ɱɯɺ ɮ v.ɑɽɷɴ ɻɺɽɷɱ ɿɮɱɷɴʃɱɹɴʋ ݉௺ɸʇ ɻɺɻɬɰɬɱɸ ɳɬ ɯɼɬɹɴʂʇ ɸɬɾɼɴʂʇ Q, ɾɺ ɰɱɷɬɱɸ ɱʅʌ ɺɰɴɹ ʄɬɯ ɹɬɮɱɼʁ. ɖɺɯɰɬ ʄɬɯɬɾʈ ɹɬɮɱɼʁ ɭɿɰɱɾ ɿɲɱ ɹɱɶɿɰɬ, ɬɷɯɺɼɴɾɸ ɳɬɮɱɼʄɬɱɾɽʋ, ɬ ɮɱɶɾɺɼ E ɭɿɰɱɾ ɽɺɰɱɼɲɬɾʈ ɮɽɱ ɹɱɺɭʁɺɰɴɸʇɱ ɰɬɹɹʇɱ. Ɍ ɶɬɶ ɴɳ ɹɱɯɺ ɴʅɱɾɽʋ ɮɱɼɺʋɾɹɺɽɾʈ ɴ ɸɬɾɱɸɬɾɴʃɱɽɶɺɱ ɺɲɴɰɬɹɴɱ ɮʇʄɱ ɼɬɽɽɶɬɳʇɮɬɷɺɽʈ.Ɍɷɯɺɼɴɾɸ ɴɸɱɱɾ ɽɮɺɵɽɾɮɺɽɿɲɬɱɸɺɽɾɴ, ɶɺɾɺɼɺɱɹɬɭɷʊɰɬɱɾɽʋ ɺɾ ɶɺɼɹɱɮɺɯɺ ɿɳɷɬ ɶ ɷɴɽɾʈʋɸ. ɑɽɷɴ ɶɺɷɴʃɱɽɾɮɺ ʄɬɼɺɮ, ɻɱɼɱɶɷɬɰʇɮɬɱɸʇʁ ɴɳ ɰɺʃɱɼɹɱɯɺ ɿɳɷɬ ɮ ɼɺɰɴɾɱɷʈɽɶɴɵ, ɸɱɹʈʄɱ, ʃɱɸ ʃɴɽɷɺ ʄɬɼɺɮ, ɰɺɽɾɬɮɬɱɸʇʁ ɴɳ ɼɺɰɴɾɱɷʈɽɶɺɯɺ, ɾɺ ɰɷʋ ɰɺʃɱɼɹɱɯɺ ɿɳɷɬ ɴ ɮɽɱʁ ɱɯɺ ɰɺʃɱɼɹɴʁ ɿɳɷɺɮ ɹɱɾ ɹɱɺɭʁɺɰɴɸɺɽɾɴ ɮʇɽʃɴɾʇɮɬɾʈɮɽɱ nɸɬɾɱɸɬɾɴʃɱɽɶɴʁ ɺɲɴɰɬɹɴɵ. ɩɾɺ ɳɹɬʃɴɾɱɷʈɹɺ ɸɺɲɱɾ ɿɽɶɺɼɴɾʈ ɻɼɺʂɱɽɽ ɮʇʃɴɽɷɱɹɴɵ.ɝɶɺɼɺɽɾʈ ɼɺɽɾɬ ɰɬɹɹɺɯɺ ɬɷɯɺɼɴɾɸɬ ϕŸnmେ.ɩʀʀɱɶɾɴɮɹɺɽɾʈ ɰɬɹɹɺɯɺ ɬɷɯɺɼɴɾɸɬ ɮ ɻɱɼɮɿʊ ɺʃɱɼɱɰʈ ɳɬɮɴɽɴɾ ɺɾ ɶɺɷɴʃɱɽɾɮɬ ɴɳɮɷɱɶɬɱɸʇʁʄɬɼɺɮ ɴɳ ɶɺɹɱʃɹɺɯɺ ɿɳɷɬ, ɮ ɾɺ ɮɼɱɸʋ, ɶɬɶ ɿ ɽɾɬɹɰɬɼɾɹɺɯɺ ɸɱɾɺɰɬ ɺɾ ɶɺɷɴʃɱɽɾɮɬ ɻɱɼɱɶɷɬɰʇɮɬɱɸʇʁ ɸɱɲɰɿ ɻɼɺɸɱɲɿɾɺʃɹʇɸɴ ɿɳɷɬɸɴ.ɛɺʉɾɺɸɿ ɮ ɳɬɮɴɽɴɸɺɽɾɴ ɺɾ ɽɴɾɿɬʂɴɴ ɷɿʃʄɱ ɴɽɻɺɷʈɳɺɮɬɾʈ ɻɼɴɮɱɰʌɹɹʇɵ ɸɱɾɺɰ ʃɱɼɱɳ ɸɬɾɱɸɬɾɴʃɱɽɶɺɱ ɺɲɴɰɬɹɴɱ ɷɴɭɺ ɽɾɬɹɰɬɼɾɹʇɵ ɸɱɾɺɰɻɱɼɱɭɺɼɬ ɮɽɱʁ ɯɴɻɺɾɱɳ.
ɝɽʇɷɶɴ ɹɬ ɴɽɾɺʃɹɴɶɴQ. Ɍɷɱɶɽɬɹɰɼɺɮɛ.ɚ., ɘɬɼɾʇɹɺɮ ɝ.ɗ., ɚɼɷɴɶ ɗ.ɖ. ɖɺɷɴʃɱɽɾɮɱɹɹɬʋ ɺʂɱɹɶɬ ɮʇʃɴɽɷɴɾɱɷʈɹʇʁ ɳɬɾɼɬɾ ɻɼɴ ɺɻɾɴɸɴɳɬʂɴɴ ɬɷɯɺɼɴɾɸɺɮ ɼɱʄɱɹɴʋ ɽɾɬɹɰɬɼɾɹʇʁ ɳɬɰɬʃ ɾɱɺɼɴɴ ɮɱɼɺʋɾɹɺɽɾɱɵ //əɬɿɶɬ ɴ ɽɺɮɼɱɸɱɹɹɺɽɾʈ. 20Q5. ʝ 36. ɝ. Q34140.2. ɘɬɼɶɴɹɬ ɘ.ɝ., ɚɼɷɴɶ ɗ.ɖ. ɚɻʇɾ ʀɺɼɸɴɼɺɮɬɹɴʋ ɻɼɴɸɱɼɺɮ ɼɱʄɱɹɴʋ ɹɱɽɾɬɹɰɬɼɾɹʇʁ ɳɬɰɬʃ ɻɼɴ ɴɳɿʃɱɹɴɴ ɶɿɼɽɬ ɮʇɽʄɱɵ ɸɬɾɱɸɬɾɴɶɴ//Ɏ ɽɭɺɼɹɴɶɱ: ɘɬɾɱɸɬɾɴʃɱɽɶɺɱ ɸɺɰɱɷɴɼɺɮɬɹɴɱ ɽɺʂɴɬɷʈɹʇʁ ɻɼɺʂɱɽɽɺɮ ɴ ɽɺɮɼɱɸɱɹɹʇɱ ɺɭɼɬɳɺɮɬɾɱɷʈɹʇɱ ɾɱʁɹɺɷɺɯɴɴ 2007. ɝ. 212218.
ɜɱʄɱɹɴɱ ɳɬɰɬʃɴ ɻɺ ɮʇɭɺɼɶɱʄɬɼɺɮ ɴɳ ɽɴɽɾɱɸʇ ɿɼɹ
ɻɼɴ ɻɺɸɺʅɴ ɸɬɾɱɸɬɾɴʃɱɽɶɺɯɺ ɺɲɴɰɬɹɴʋ.
Ɍɹɹɺɾɬʂɴʋ. Ɏ ɽɾɬɾʈɱ ɻɼɴɮɱɰɱɹɺ ɺɼɴɯɴɹɬɷʈɹɺɱ ɼɱʄɱɹɴɱ ɮɱɼɺʋɾɹɺɽɾɹɺɵ ɳɬɰɬʃɴ ɹɬ ɶɷɬɽɽɴʃɱɽɶɿʊ ɽʁɱɸɿ ɭɱɳ ɴɽɻɺɷʈɳɺɮɬɹɴʋ ɶɺɸɭɴɹɬɾɺɼɹʇʁ ʀɺɼɸɿɷ, ɺɽɹɺɮɬɹɹɺɱ ɹɬ ɻɼɴɸɱɹɱɹɴɴ ɸɬɾɱɸɬɾɴʃɱɽɶɺɯɺ ɺɲɴɰɬɹɴʋ. ɛɺɷɿʃɱɹɬ ɶɺɷɴʃɱɽɾɮɱɹɹɬʋ ɺʂɱɹɶɬ ɮʇʃɴɽɷɴɾɱɷʈɹʇʁ ɳɬɾɼɬɾ ɮ ɼɬɸɶɬʁ ɹɱɽɾɬɹɰɬɼɾɹɺɯɺ ɬɷɯɺɼɴɾɸɬ ɼɱʄɱɹɴʋ. ɛɼɺɬɹɬɷɴɳɴɼɺɮɬɹʇ ʀɬɶɾɺɼʇ , ɿɽɶɺɼʋʊʅɴɱ ɻɼɺʂɱɽɽ ɮʇʃɴɽɷɱɹɴɵ.ɖɷʊʃɱɮʇɱ ɽɷɺɮɬ:ɾɱɺɼɴʋ ɮɱɼɺʋɾɹɺɽɾɴ, ɸɬɾɱɸɬɾɴʃɱɽɶɺɱ ɺɲɴɰɬɹɴɱ, ɺɻɾɴɸɴɳɬʂɴʋ ɮʇʃɴɽɷɱɹɴɵ, ɳɬɰɬʃɬ ɽ ɿɼɹɬɸɴ.
ɐɬɹɹɬʋ ɽɾɬɾʈʋ ɻɼɴɸʇɶɬɱɾ ɶ ɻɿɭɷɴɶɬʂɴɴ PQR, ɮ ɶɺɾɺɼɺɵ ɴɳɷɬɯɬɷɽʋ ɸɱɾɺɰ ɮʇʃɴɽɷɱɹɴʋ ɶɺɷɴʃɱɽɾɮɬ ɶɺɸɻʈʊɾɱɼɹʇʁ ɺɻɱɼɬʂɴɵ, ɴɽɻɺɷʈɳɿɱɸʇʁ ɰɷʋ ɼɱʄɱɹɴʋ ɶɷɬɽɽɴʃɱɽɶɺɵ ɳɬɰɬʃɴ ɾɱɺɼɴɴ ɮɱɼɺʋɾɹɺɽɾɱɵ. ɖɺɷɴʃɱɽɾɮɺ ɺɻɱɼɬʂɴɵ ɺɻɼɱɰɱɷʋɷɺɽʈ ɹɱɽɾɬɹɰɬɼɾɹʇɸ ɬɷɯɺɼɴɾɸɺɸ ɼɱʄɱɹɴʋ ʉɾɺɵ ɽɾɬɹɰɬɼɾɹɺɵ ɳɬɰɬʃɴP2R. Ɏɬɲɹɺɽɾʈ ɻɺɽɾɬɹɺɮɶɴ ɮɺɻɼɺɽɬ ɽɮʋɳɬɹɬ ɽ ɻɼɺɭɷɱɸɺɵ ɺʂɱɹɶɴ ɳɬɾɼɬɾ ɸɬʄɴɹɹɺɯɺ ɮɼɱɸɱɹɴ.ɜɬɽɽɸɬɾɼɴɮɬɷɬɽʈ ɽɷɱɰɿʊʅɬʋ ɳɬɰɬʃɬ. ɔɸɱɱɾɽʋ m� 2ɿɼɹ, ɮ ɶɬɲɰɺɵ ɴɳ ɶɺɾɺɼʇʁ ɻɼɴɽɿɾɽɾɮɿɱɾ ɽɮɺɵ ɶɺɷɴʃɱɽɾɮɱɹɹʇɵ ɹɬɭɺɼ ɽɴɹɴʁ ɴ ɶɼɬɽɹʇʁ ʄɬɼɺɮ. ɔɳ ɻɱɼɮɺɵ ɿɼɹʇ ɴɳɮɷɱɶɬɱɾɽʋ ɹɱɽɶɺɷʈɶɺ ʄɬɼɺɮ: g1Ãɶɼɬɽɹʇʁ ɴ W1ɽɴɹɴʁ ɴ ɻɱɼɱɶɷɬɰʇɮɬʊɾɽʋ ɮɺ ɮɾɺɼɿʊ ɿɼɹɿ. ɔɳ ɮɾɺɼɺɵ ɴɳɮɷɱɶɬɱɾɽʋ g2ɴ W2ʄɬɼɺɮ ɴ ɾ. ɰ. ɛɼɺʂɱɰɿɼɬ ɳɬɶɬɹʃɴɮɬɱɾɽʋ ɴɳɮɷɱʃɱɹɴɱɸ ɺɰɹɺɯɺ ʄɬɼɬ ɴɳ mɺɵ ɿɼɹʇ. əɬɽ ɴɹɾɱɼɱɽɺɮɬɷɬ ɮɱɼɺʋɾɹɺɽɾʈ ɴɳɮɷɱʃɱɹɴʋ ʄɬɼɬ ɺɻɼɱɰɱɷɱɹɹɺɯɺ ʂɮɱɾɬ ɹɬ ɻɺɽɷɱɰɹɱɸ ʉɾɬɻɱ.əɺɮɬʋɻɺɽɾɬɹɺɮɶɬ ɳɬɰɬʃɴ ɺɭɺɭʅɬɱɾ ɻɼɱɰʇɰɿʅɿʊ.ɑɽɷɴ ɮ ɭɬɳɺɮɺɵ ɽʁɱɸɱ ɿɼɹ ɴɳ ɻɺɽɷɱɰɹɱɵ ɿɼɹʇ ɴɳɮɷɱɶɬɱɾɽʋ ɺɰɴɹ ʄɬɼ, ɾɱɻɱɼʈ Ãɹɱɽɶɺɷʈɶɺ ʄɬɼɺɮ ɺɰɹɺɯɺ ʂɮɱɾɬ.Ɍɷɯɺɼɴɾɸ ɼɱʄɱɹɴʋ ɳɬɰɬʃɴ ɭɿɰɱɸ ɴɳɷɬɯɬɾʈ ɮ ɾɱɼɸɴɹɬʁ ɾɱɺɼɴɴ ɯɼɬʀɺɮ. ɟɼɹʇ Ãɿɳɷʇ. ɔʁ ɽɺɮɺɶɿɻɹɺɽɾʈ ɺɭɼɬɳɿɱɾ ɰɱɼɱɮɺ. ɞɼɬɱɶɾɺɼɴʋ ɰɮɴɲɱɹɴʋ ɺɾ ɷɴɽɾʈɱɮ ɶ ɶɺɼɹʊ.ɔɾɬɶ, ɸʇ ɸɺɲɱɸ ɿɳɹɬɾʈʃɱɼɱɳ ɸɬɾɱɸɬɾɴʃɱɽɶɴɱ ɺɲɴɰɬɹɴʋɮɱɼɺʋɾɹɺɽɾʈ ɾɺɯɺ, ʃɾɺ ɻɱɼɮʇɵ ʄɬɼ ɶɼɬɽɹʇɵ, ɬɷɯɺɼɴɾɸɺɸ ɴɳɽɾɬɾʈɴ[1]. əɺ ɰɬɷʈʄɱ ɮɺɳɹɴɶɬɱɾɻɼɺɭɷɱɸɬ, ɱɽɷɴ ɻɱɼɮʇɵ ʄɬɼ ɴɳ ɶɺɼɹɱɮɺɯɺ ɿɳɷɬ, ɾɺ ɮɱɼɺʋɾɹɺɽɾʈ ɮɾɺɼʇɸ ɮʇɾɬʅɴɾʈ ɶɼɬɽɹʇɵ ʄɬɼ ɭɿɰɱɾ ɺɰɹɬ, ɱɽɷɴ ɴɳ ɶɬɶɺɯɺɹɴɭɿɰʈ ɰɼɿɯɺɯɺ ɿɳɷɬ, ɾɺ ɮɾɺɼɬʋ. ɖɬɲɰʇɵ ɿɳɱɷ ɻɺ ɽɮɺɱɸɿ ɮɷɴʋɱɾ ɹɬ ɮɱɼɺʋɾɹɺɽɾʈ ɮʇɾɬʅɴɾʈ ɻɺɽɷɱɰɿʊʅɴɵ ʄɬɼ ɶɼɬɽɹʇɸ.
ɜɬɽɽɸɺɾɼɴɸ ɮɬɼɴɬɹɾ ʉɾɺɵ ɳɬɰɬʃɴ ʃɱɼɱɳ ɻɱɼɱɭɺɼ ɮɽɱʁ ɮɺɳɸɺɲɹʇʁ ɽɺɽɾɺʋɹɴɵ ɽɴɽɾɱɸʇ. ɞɬɶ ɶɬɶɽɴɽɾɱɸɬ ɽɺɽɾɺɴɾ ɴɳ mɿɳɷɺɮ, ɾɺ ɻɺɽɷɱ ɮʇɾɬɽɶɴɮɬɹɴʋ ɺɰɹɺɯɺ ʄɬɼɬ, ɺɹɬ ɸɺɲɱɾ ɻɱɼɱɵɾɴ ɮ mɽɺɽɾɺʋɹɴɵ. ɐɷʋ ɹɬʁɺɲɰɱɹɴʋ ɮɱɼɺʋɾɹɺɽɾɴ ɰɺɽɾɬɾʈ ɮɾɺɼʇɸɾɺɲɱɶɼɬɽɹʇɵ ɹɿɲɹɺ ɼɬɽɽɸɺɾɼɱɾʈ ɮɽɱ mɽɺɽɾɺʋɹɴɵ. ɞɺɯɰɬ ɰɷʋ ɹɬʁɺɲɰɱɹɴʋ nɺɯɺ ʄɬɼɬ ɹɿɲɹɺ ɼɬɽɽɸɺɾɼɱɾʈ ¡nେɽɺɽɾɺʋɹɴɵ, ɾɬɶ ɶɬɶ n1ʄɬɼ ɸɺɲɹɺ ɮʇɾɬʅɴɾʈ ¡nେɽɻɺɽɺɭɬɸɴ.ɐɷʋ ɽɼɬɮɹɱɹɴʋ, ɽɾɬɹɰɬɼɾɹʇɵ ɬɷɯɺɼɴɾɸ ɻɺɾɼɱɭɿɱɾ ɼɬɽɽɸɺɾɼɱɾʈ ϔݑ௮௲େɶɺɷɴʃɱɽɾɮɺ ɮɬɼɴɬɹɾɺɮ, ɯɰɱ —
ɶɺɷɴʃɱɽɾɮɺ ɻɱɼɱɶɷɬɰʇɮɬɱɸʇʁ ʄɬɼɺɮ ɴɳ iɺɯɺ ɿɳɷɬ ɮ ɼɺɰɴɾɱɷʈɽɶɴɵ.ɛɼɱɲɰɱ, ʃɱɸ ɼɱʄɬɾʈ ɳɬɰɬʃɿ, ɹɱɸɹɺɯɺ ɿɻɼɺɽɾɴɸ ɱʌ. ɘʇ ɹɱ ɭɿɰɱɸ ɼɬɽɽɸɬɾɼɴɮɬɾʈ ɽɼɬɳɿ ɮɽʊ ɽɴɽɾɱɸɿ, ɬ ɻɺɵɰʌɸ ɽɹɴɳɿ ɮɮɱɼʁ ɺɾ ɷɴɽɾʈɱɮ ɶ ɶɺɼɹʊ. ɗɴɽɾʈʋ ɹɱ ɴɸɱʊɾ ɻɺɾɺɸɶɺɮ, ɻɺʉɾɺɸɿ ɮʇʃɴɽɷɱɹɴɱ ɮɱɼɺʋɾɹɺɽɾɱɵ ɴ ɸɬɾɱɸɬɾɴʃɱɽɶɴʁ ɺɲɴɰɬɹɴɵ ɹɱ ɾɼɱɭɿɱɾ ɭɺɷʈʄɴʁ ɿɽɴɷɴɵ.ɣɾɺɭʇ ɿɳɹɬɾʈ ɮɱɼɺʋɾɹɺɽɾʈ ɾɺɯɺ, ʃɾɺ ɻɱɼɮʇɵ ʄɬɼ
ɶɼɬɽɹʇɵ, ɻɺɰɱɷɴɸ ɶɺɷɴʃɱɽɾɮɺ ɶɼɬɽɹʇʁ ʄɬɼɺɮ (r) ɹɬ ɶɺɷɴʃɱɽɾɮɺ ʄɬɼɺɮ ɮ ɿɳɷɱ (r+b). Ɍ ɹɬʁɺɲɰɱɹɴɱ ɸɬɾɱɸɬɾɴʃɱɽɶɺɯɺ ɺɲɴɰɬɹɴɱ ɱʅʌ ɻɺɸɹɺɲɬɱɾɽʋ ɹɬ ɶɺɷɴʃɱɽɾɮɺ ɮʇɾɬɽɶɴɮɬɱɸʇʁ ʄɬɼɺɮ (X).݄େ൞ݠݠ+ݐ݁େ൞݄େݑɞɺɯɰɬ ɰɷʋ iɺɯɺ ʄɬɼɬ:݄௮൞ݠ−(ݗ−΅)ݠ+ݐ−(ݗ−΅)݁௮൞݄௮(ݑ−(ݗ−΅))əɴʃɱɯɺ ɽɷɺɲɹɺɯɺ. ɞɬɶɴɸ ɺɭɼɬɳɺɸ ɽʀɺɼɸɴɼɿɱɾɽʋ ɮɱɶɾɺɼ M, ɶɺɾɺɼʇɵ ɭɿɰɱɾ ɽɺɰɱɼɲɬɾʈ ɮɽɱ ɮɺɳɸɺɲɹʇɱ ɸɬɾɱɸɬɾɴʃɱɽɶɴɱ ɺɲɴɰɬɹɴʋ. ɚɹɴɹɬɸ ɻɺɾɼɱɭɿʊɾɽʋ ɮ ɰɬɷʈɹɱɵʄɱɸ ɻɼɴ ɼɬɽɽɸɺɾɼɱɹɴɱ ɼɬɳɷɴʃɹʇʁ ɽɺɽɾɺʋɹɴɵ ɽɴɽɾɱɸʇ. ɜɬɽɽɸɺɾɼɴɸ ɿɳɱɷ, ɶɺɾɺɼʇɵ ɴɸɱɱɾ k1ɰɺʃɱɼɹɴʁ ɿɳɷɺɮ, ʋɮɷʋʊʅɴɱɽʋ ɷɴɽɾʈʋɸɴ. ɐɷʋ ɰɺʃɱɼɹɴʁ ɿɳɷɺɮ ɸʇ ɬɷɯɺɼɴɾɸɺɸ ɮʇʄɱ ɸɺɲɱɸ ɻɺɰɽʃɴɾɬɾʈ ɮɽɱ ɮɺɳɸɺɲɹʇɱ ɸɬɾɱɸɬɾɴʃɱɽɶɴɱ ɺɲɴɰɬɹɴʋ, ɶɺɾɺɼʇɱ ɸɺɯɿɾ ɶɺɯɰɬɷɴɭɺ ɮɺɳɹɴɶɹɿɾʈ ɮ ɽɴɽɾɱɸɱ. əɬ ɺɽɹɺɮɱ ʉɾɴʁ ɰɬɹɹʇʁ ɽɺɽɾɬɮɴɸ ɸɬɾɼɴʂɿ Mɼɬɳɸɱɼɹɺɽɾʈʊ kɹɬn.݁൞ۛۚۙݠେǷݠ௳ݛେdzେǷݛେdz௳ݛୈdzେǷݛୈdz௳ǷǷǷݛ௰େdzେǷݛ௰େdz௳۞ۜ,
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ɛɺɽɷɱ ɳɬɸɱɹʇ ɮɽɱʁ ݁dz௯ɮ ܹୈɻɺɷɿʃɴɸ:ܹ൞݄େ(݄େdzେൽ݁େdz+݁ୈdzେ+ۀ+݁௰dzେඁ+ۀ+݄େdz௰ൽ݁େdzୈ+݁ୈdzେ+ۀ+݁௰dzୈඁ)+݄ୈ(݄ୈdzେൽ݁େdzୈ+݁ୈdzୈ+ۀ+݁௰dzେඁ+ۀ+݄ୈdz௰ൽ݁େdzେ+݁ୈdzୈ+ۀ+݁௰dzୈඁ)+ۀ+݄௰(݄௰dzେൽ݁େdzୈ+݁ୈdzେ+ۀ+݁௰dzୈඁ+ۀ+݄௰dz௰ൽ݁େdzୈ+݁ୈdzେ+ۀ+݁௰dzୈඁ)ɔ ɹɱ ɳɬɭʇɮɬɱɸ, ʃɾɺ ɻɼɴ ɳɬɸɱɹɱ ݁dz௯ɮɸɱɽɾɺ ݁dz௯ɭɱɼʌɾɽʋ ݁dz௯େ, ɬ ɺɽɾɬɷʈɹʇɱ ɽɷɬɯɬɱɸʇɱ ɽɺʁɼɬɹʋʊɾ ɽɮɺʌ ɳɹɬʃɱɹɴɱ.Ɍɹɬɷɺɯɴʃɹʇɸ ɸɱɾɺɰɺɸ ɹɬɵɰɿɾɽʋ ɮɽɱ ɺɽɾɬɷʈɹʇɱɳɹɬʃɱɹɴʋ ɮɱɶɾɺɼɬ E.əɺ ʉɾɺ ɹɬʄɷɴ ɷɴʄʈ ɶɺɷɴʃɱɽɾɮɺ ʄɬɼɺɮ, ɬ ɺɾ ɹɬɽ ɾɼɱɭɿɱɾɽʋ ɹɬɵɾɴ ɮɱɼɺʋɾɹɺɽɾɴ. Ɏɱɼɺʋɾɹɺɽɾɴ ɷɱɯɶɺ ɹɬʁɺɰʋɾɽʋ ɼɬɳɰɱɷɴɮ E௮ɹɬ ɶɺɷɴʃɱɽɾɮɺ ʄɬɼɺɮ ɮ ɼɬɽɽɸɬɾɼɴɮɬɱɸɺɸ ɿɳɷɱ, ɻɺɽɷɱ ɻɱɼɱɶɷɬɰʇɮɬɹɴʋ ɮ ɹɱɯɺ ʄɬɼɺɮ ɴɳ ɰɺʃɱɼɹɴʁ. ɚɭɺɳɹɬʃɴɸ ʉɾɺɳɹɬʃɱɹɴɱ ɭɿɶɮɺɵ t.ɞɺɯɰɬ ɮɱɼɺʋɾɹɺɽɾɴ ɻɺɷɿʃɬɾɽʋ ɴɳ ɽɷɱɰɿʊʅɱɯɺ ɮʇɼɬɲɱɹɴʋ:݄௮൞ܹ௮ݢ−(ݗ−΅)Ɍ ɱɽɷɴ ʉɾɺɾ ɿɳɱɷ ɹɱ ʋɮɷʋɱɾɽʋ ɶɺɼɹɱɮʇɸ, ɾɺ ɿɸɹɺɲɴɸ ʉɾɴ ɮɱɼɺʋɾɹɺɽɾɴ ɹɬ ɶɺɷɴʃɱɽɾɮɺ ɮʇɾɬɽɶɴɮɬɱɸʇʁ ʄɬɼɺɮ ɴ ɻɺɷɿʃɴɸ ɸɬɾɱɸɬɾɴʃɱɽɶɺɱ ɺɲɴɰɬɹɴʋ, ɴɳ ɶɺɾɺɼʇʁ ɴ ɭɿɰɱɾ ʀɺɼɸɴɼɺɮɬɾʈɽʋ ɸɬɾɼɴʂɬ Mɼɺɰɴɾɱɷʈɽɶɺɯɺ ɿɳɷɬ:݁௮൞݄௮(ݑ−(ݗ−΅))ɝɷɱɰɿʋ ʉɾɺɸɿ ɬɷɯɺɼɴɾɸɿ ɻɺɽɾɱɻɱɹɹɺ ɺɾ ɷɴɽɾʈɱɮ ɰɺɭɱɼʌɸɽʋ ɰɺ ɶɺɼɹʋ ɴ ɻɺɷɿʃɴɸ ɮɱɶɾɺɼ P ɰɷʋ ɶɺɼɹɱɮɺɯɺ ɿɳɷɬ. Ɍ ɰɬɷʈʄɱ ɽɾɬɹɰɬɼɾɹɬʋ ʀɺɼɸɿɷɬ ɰɷʋ ɹɬʁɺɲɰɱɹɴʋ ɮɱɼɺʋɾɹɺɽɾɴ:݄ˣ˖ˮ൞݄௮௳௮େɝɷɺɲɹɺɽɾʈ ɬɷɯɺɼɴɾɸʇ ɰɷʋ ɶɬɲɰɺɯɺ ɾɬɶɺɯɺ ɿʃɬɽɾɶɬ ɾɴɻɬ ɳɮɱɳɰɬ, ɯɰɱ ɶɺɼɹɱɮɺɵ ɿɳɱɷ ɮ ʂɱɹɾɼɱ ݙ௳.ɛɼɺɯɼɬɸɸɴɼɿɱɾɽʋ ʉɾɺɾ ɸɱɾɺɰ ɺʃɱɹʈ ɷɱɯɶɺ, ɹɺ ɻɺɾɼɱɭɿɱɾɽʋ ɺɯɼɺɸɹɺɱ ɶɺɷɴʃɱɽɾɮɺ ɻɬɸʋɾɴ ɰɷʋ ʁɼɬɹɱɹɴʋ ݙ௳େɻɼɺɸɱɲɿɾɺʃɹʇʁ ɮɬɼɴɬɹɾɺɮ. ɐɷʋ ɼɱʄɱɹɴʋ ʉɾɺ ɻɼɺɭɷɱɸʇ, ɻɼɱɰɷɬɯɬʊ ɴɽɻɺɷʈɳɺɮɬɾʈ ɸɬɾɼɴʂɿ Qɼɬɳɸɱɼɹɺɽɾʈʊ (n1)ɹɬk. Ɏ ʉɾɺɵ ɸɬɾɼɴʂɱ ɭɿɰɿɾ ʁɼɬɹɴɾʈɽʋ ɮɱɼɺʋɾɹɺɽɾɴ ɹɬɽɾɿɻɷɱɹɴʋ ɶɬɲɰɺɯɺ ɴɳ ɽɺɽɾɺʋɹɴʋ ɽɴɽɾɱɸʇ. ɔɰɱʋ ɳɬɶɷʊʃɬɱɾɽʋ ɮ ɾɺɸ, ʃɾɺ ɶɬɲɰʇɵ ʉɷɱɸɱɹɾ ɮɱɶɾɺɼɬ Eɮʇʃɴɽɷʋɱɾɽʋ ɴɳɺɯɼɺɸɹɺɯɺ ɶɺɷɴʃɱɽɾɮɬɽɷɬɯɬɱɸʇʁ. əɬʁɺɰʋ ɻɺ ɺɰɹɺɸɿ ɽɷɬɯɬɱɸɺɸɿ ɳɬ ɼɬɳ,ɻɼɴɭɬɮɷʋʋ ɶ ɽɺɺɾɮɱɾɽɾɮɿʊʅɱɸɿ ʉɷɱɸɱɹɾɿ ɮɱɶɾɺɼɬ Eɴ ɹɬ ɱɯɺ ɺɽɹɺɮɱ ɮʇʃɴɽɷʋʋ ɮɽɱ ɹɱɺɭʁɺɰɴɸʇɱ ɰɬɹɹʇɱ ɰɷʋ ɰɬɷʈɹɱɵʄɴʁ ɼɬɽʃʌɾɺɮ, ɸʇ ɸɺɲɱɸ ɹɱ ʁɼɬɹɴɾʈ ʉɾɺ ɽɷɬɯɬɱɸɺɱ ɾɬɶ ɰɺɷɯɺ ɮ ɻɬɸʋɾɴ. ɞɬɶɴɸ ɺɭɼɬɳɺɸɻɺɽɾɱɻɱɹɹɺ ɭɿɰɿɾ ɽɷɺɲɱɹʇ ɮɽɱ ɽɷɬɯɬɱɸʇɱ ɴɹɱ ɻɼɴɰʌɾɽʋ ʁɼɬɹɴɾʈ ɾɬɶ ɸɹɺɯɺ ɽɷɬɯɬɱɸʇʁ ɮ ɻɬɸʋɾɴ.
ɐɷʋ ɿɻɼɬɮɷɱɹɴʋ ʉɾɺɵɸɬɾɼɴʂɱɵ ɻɺɾɼɱɭɿɱɾɽʋ ɰɮɬ ɮɽɻɺɸɺɯɬɾɱɷʈɹʇʁ ɮɱɶɾɺɼɬ Vɴ U.Ɏɱɶɾɺɼ V ɴɸɱɱɾ ɼɬɳɸɱɼɹɺɽɾʈ kɴ ɺɾɮɱʃɬɱɾ ɳɬ ɾɺ, ɶɬɶɴɱ ʉɷɱɸɱɹɾʇ ɸɬɾɼɴʂʇ Mɹɿɲɹɺ ɽɷɺɲɴɾʈ ɹɬ ɰɬɹɹɺɸ ʄɬɯɱ. Ɏɱɶɾɺɼ Uɼɬɳɸɱɼɹɺɽɾʈʊ n1, ɺɾɮɱʃɬɱɾ ɳɬ ɾɺ, ɶɿɰɬ ɹɿɲɹɺ ɻɱɼɱɵɾɴ ɮ ɸɬɾɼɴʂɱ Q, ɶɺɯɰɬ ɽɺɮɱɼʄɬɱɾɽʋ ʄɬɯ ɹɬɮɱɼʁ.ɔ ɰɮɱ ɻɱɼɱɸɱɹɹʇɱ: u
ɽɾɼɺɶɬ, ɹɬ ɶɺɾɺɼɺɵ ɸʇ ɹɬʁɺɰɴɸɽʋ, v ɽɾɺɷɭɱʂ.ɞɬɶ ɶɬɶ ɽɾɺɷɭʂʇ ɸɬɾɼɴʂʇ Mɸɺɯɿɾ ɭʇɾʈ ɺʃɱɹʈ ɰɷɴɹɹʇɸɴ, ɾɺ ɽɶɷɬɰʇɮɬɾʈ ɴʁ ɻɺɽɾɺʋɹɹɺ ɳɬɹɴɸɬɱɾ ɸɹɺɲɱɽɾɮɺ ɮɼɱɸɱɹɴ. ɛɺʉɾɺɸɿ ɰɷʋ ʁɼɬɹɱɹɴʋ ɽɿɸɸʇ ɮɮɱɰʌɸ ɻɱɼɱɸɱɹɹɿʊ S, ɬ ɴɳɳɬ ɾɺɯɺ, ʃɾɺ ɴɳɸɱɹʋɱɾɽʋ ɮɽɱɯɺ ɺɰɹɺ ɳɹɬʃɱɹɴɱ ɻɼɴ ɻɱɼɱʁɺɰɱ ɶ ɹɺɮɺɸɿ ɽɺɽɾɺʋɹɴʊ ɽɴɽɾɱɸʇ, ɻɱɼɱɽʃʌɾ Sɮʇɻɺɷɹʋɱɾɽʋ ɮ ɰɮɱ ɺɻɱɼɬʂɴɴ: ɮʇʃɱɽɾʈ ɽɾɬɼɺɱ ɳɹɬʃɱɹɴɱ, ɻɼɴɭɬɮɴɾʈ ɹɺɮɺɱ. Ɍ ɰɷʋ ɭɺɷɱɱ ɭʇɽɾɼɺɯɺ ɮɺɽɽɾɬɹɺɮɷɱɹɴʋ ɳɹɬʃɱɹɴɵ Sɻɼɴ ɻɱɼɱʁɺɰɱ ɹɬɮɱɼʁ ɭɿɰɱɸ ɴɽɻɺɷʈɳɺɮɬɾʈ ɮɱɶɾɺɼ R ɼɬɳɸɱɼɹɺɽɾʈʊ n1.ɛɱɼɮʇɸ ɰɱɵɽɾɮɴɱɸ ɹɬɵɰʌɸ ɽɿɸɸɿ ɻɱɼɮɺɯɺ ɽɾɺɷɭʂɬ ɸɬɾɼɴʂʇ M:݇൞ෟ݁௮dzେ௰௮େɔ ɳɬɻɺɸɹɴɸ ɱʌ, ʃɾɺɭʇ ɳɬɹɺɮɺ ɹɱ ɽʃɴɾɬɾʈ, ɶɺɯɰɬ ɻɺɰɹɴɸɱɸɽʋ ɹɬ ɻɱɼɮɿʊ ɽɾɼɺɶɿ ɸɬɾɼɴʂʇ Z:݆େ൞݇Ɍ ɮɱɶɾɺɼ Vɳɬɻɺɷɹɴɸ ɱɰɴɹɴʂɬɸɴ, ɾɬɶ ɶɬɶ ɽɶɷɬɰʇɮɬɷɴɽʈ ɳɹɬʃɱɹɴʋ ɻɱɼɮɺɯɺ ɽɾɺɷɭʂɬ ɶɬɲɰɺɵ ɽɾɼɺɶɴ. Ɏɱɶɾɺɼ Uɾɬɶɲɱ ɳɬɻɺɷɹʋɱɾɽʋ ɱɰɴɹɴʂɬɸɴ. ɩɾɺ ɳɹɬʃɴɾ, ʃɾɺ ɸʇ ɮ ɶɬɲɰɺɵ ɽɾɼɺɶɱɸɬɾɼɴʂʇ Qɹɬʁɺɰɴɸɽʋ ɮ ɻɱɼɮɺɸ ɽɾɺɷɭʂɱ.
ɛɱɼɮɬʋ ɽɾɼɺɶɬ ɸɬɾɼɴʂʇ Qɳɬɻɺɷɹʋɱɾɽʋ ɽɷɱɰɿʊʅɴɸ ɺɭɼɬɳɺɸ ɴ ɮ ɰɬɷʈɹɱɵʄɱɸ ɹɱ ɸɱɹʋɱɾɽʋ:݅େdz௯൞݁௯dzେ݇ɐɷʋ ɻɱɼɮɺɯɺ ʄɬɼɬ ɺɭʅɱɱ ɶɺɷɴʃɱɽɾɮɺ ɿɲɱ ɹɬɵɰɱɹɺ ɮʇʄɱ:ܹେ൞݇Ɍ ɰɷʋ ɰɬɷʈɹɱɵʄɴʁ ɳɹɬʃɱɹɴɵ ɹɬʃɴɹɬɱɾ ʁɺɰɴɾʈ ɻɺ ɸɬɾɼɴʂɱ Q. Ɏ ɽɬɸɺɸ ɹɬʃɬɷɱ ɸʇ ɹɬʁɺɰɴɸɽʋ ɮ ɽɬɸɺɵ ɻɱɼɮɺɵ ɶɷɱɾɶɱ. ɩɾɺ ɳɹɬʃɴɾ, ʃɾɺ ©൞΅; ª൞΅.ɛɼɴ ɺɭʁɺɰɱ ɸɬɾɼɴʂɱ ɸʇ ɴɰʌɸ ɮɽɱɯɰɬ ɮɹɴɳ, ɶɺɯɰɬ ʉɾɺ ɮɺɳɸɺɲɹɺ. ɛɼɴ ɶɬɲɰɺɸ ʄɬɯɱ ɮɹɴɳ, ɻɼɺɴɽʁɺɰʋɾ ɽɷɱɰɿʊʅɴɱ ɰɱɵɽɾɮɴʋ:uɿɮɱɷɴʃɴɮɬɱɾɽʋ ɹɬ ɱɰɴɹɴʂɿ;vʇɵʉɷɱɸɱɹɾ ɮɱɶɾɺɼɬ Vɿɮɱɷɴʃɴɮɬɱɾɽʋ ɹɬ ɱɰɴɹɴʂɿ;ɛɱɼɱɽʃɴɾʇɮɬɱɾɽʋ ɽɿɸɸɬ: ݇൞݇−݁dzೳେ+݁dzೳ;ɔ ɳɬɻɺɸɴɹɬɱɾɽʋ ɮ݆அ;ɝɷɬɯɬɱɸɺɱ S, ɿɸɹɺɲɱɹɹɺɱ ɹɬ ɮɱɼɺʋɾɹɺɽɾʈ, ɽ ɶɺɾɺɼɺɵ ʉɾɬ ɽɿɸɸɬ ɽɾɬɹɱɾ ɬɶɾɿɬɷʈɹɺɵ,ɻɼɴɭɬɮɷʋɱɾɽʋ ɮ ɽɺɺɾɮɱɾɽɾɮɿʊʅɴɵ ʉɷɱɸɱɹɾ ɮɱɶɾɺɼɬE: ܹ௺൞ܹ௺+݅௺େdzπ݇;ɜɬɽʃʌɾ ɹɬ ɺɽɹɺɮɱ ɽɷɬɯɬɱɸɺɯɺ Sɮɽɱ ɮɱɼɺʋɾɹɺɽɾɴ, ɶɺɾɺɼʇɱ ɴɳ ɹɱɯɺ ɮʇɾɱɶɬʊɾ: ݎ௺dz௮൞ݎ௺େdz೦dz೦.ɝɺɮɱɼʄɬʋ ɶɬɲɰʇɵ ɼɬɳ ʄɬɯ ɮɹɴɳ ɸʇ ɰɺɷɲɹʇ ɺɶɬɳɬɾʈɽʋ ɮ ɻɱɼɮɺɸ ɽɾɺɷɭʂɱ, ɻɺʉɾɺɸɿɮ ɶɺɹʂɱ ɶɬɲɰɺɯɺ ʄɬɯɬ ɮɹɴɳ vɽɾɬɹɺɮɴɾɽʋ ɼɬɮɹʇɸ ɱɰɴɹɴʂɱ. ɖɬɶ ɾɺɷʈɶɺ ɰɺʁɺɰɴɸ ɰɺ ɽɬɸɺɯɺ ɹɴɳɬ, ɹɬʃɴɹɬɱɸ ʄɬɯɬɾʈ ɮɻɼɬɮɺ, ɻɼɴ ʉɾɺɸ, ɽɹɬʃɬɷɬ ɻɱɼɱɽʃɴɾʇɮɬɱɸ nʇɵ ʉɷɱɸɱɹɾ ɮɱɶɾɺɼɬ E: ܹ௳൞ܹ௳+݅௺dzπൽ݇−݁dzೳ+݁dzೳେඁ, ɬ ɻɺɾɺɸ ɽɺɮɱɼʄɬɱɾɽʋ ɽɬɸ ʄɬɯ ɹɬɻɼɬɮɺ (v ɿɮɱɷɴʃɴɮɬɱɾɽʋ ɹɬ ɱɰɴɹɴʂɿ).ɑɽɷɴ ʄɬɯɬɾʈ ɮɻɼɬɮɺ ɭɺɷʈʄɱ ɹɱɶɿɰɬ, ɾɺ ɰɱɷɬɱɸ ʄɬɯ ɹɬɮɱɼʁ, ɻɼɴ ʉɾɺɸ:ɚɾɸɱʃɬɱɾɽʋ ɽɾɼɺɶɬ, ɽ ɶɺɾɺɼɺɵ ɻɼɴʄɷɴ,ɽɮɺɭɺɰɹɺɵ: ݉௺൞΅;Ɏɺɾ ɾɱɻɱɼʈ ɽɺɮɱɼʄɬɱɾɽʋ ɽɬɸ ʄɬɯ ɹɬɮɱɼʁ (u ɿɸɱɹʈʄɬɱɾɽʋ ɹɬ ɱɰɴɹɴʂɿ);݉௺ʇɵ ʉɷɱɸɱɹɾ ɮɱɶɾɺɼɬ V ɿɸɱɹʈʄɬɱɾɽʋ ɹɬ ɱɰɴɹɴʂɿ, ɾɬɶ ɶɬɶɻɺ ݉௺ɽɾɺɷɭʂɿ ɽɻɿɽɶɬɷɴɽʈɮɹɴɳ;Ɏɺɽɽɾɬɹɬɮɷɴɮɬɱɾɽʋɻɺɽɷɱɰɹɱɱ ɳɹɬʃɱɹɴɱ S ɰɬɹɹɺɵ ɽɾɼɺɶɴ: ݇൞݆௺;ɛɱɼɱʁɺɰ ɹɬɮɱɼʁ ɺɽɿʅɱɽɾɮɷʋɱɾɽʋ ɮ ɽɷɱɰɿʊʅɴɵ ɽɾɺɷɭɱʂ ɻɺɽɷɱ ɾɺɯɺ, cɶɺɾɺɼɺɯɺ ɽɻɿɽɾɴɷɴɽʈ, ɻɺʉɾɺɸɿ ݉௺ɿɮɱɷɴʃɴɮɬɱɸ ɹɬ ɱɰɴɹɴʂɿ ɴ ɳɬɻɴɽʇɮɬɱɸ ɱɯɺ ɮ v.ɑɽɷɴ ɻɺɽɷɱ ɿɮɱɷɴʃɱɹɴʋ ݉௺ɸʇ ɻɺɻɬɰɬɱɸ ɳɬ ɯɼɬɹɴʂʇ ɸɬɾɼɴʂʇ Q, ɾɺ ɰɱɷɬɱɸ ɱʅʌ ɺɰɴɹ ʄɬɯ ɹɬɮɱɼʁ. ɖɺɯɰɬ ʄɬɯɬɾʈ ɹɬɮɱɼʁ ɭɿɰɱɾ ɿɲɱ ɹɱɶɿɰɬ, ɬɷɯɺɼɴɾɸ ɳɬɮɱɼʄɬɱɾɽʋ, ɬ ɮɱɶɾɺɼ E ɭɿɰɱɾ ɽɺɰɱɼɲɬɾʈ ɮɽɱ ɹɱɺɭʁɺɰɴɸʇɱ ɰɬɹɹʇɱ. Ɍ ɶɬɶ ɴɳ ɹɱɯɺ ɴʅɱɾɽʋ ɮɱɼɺʋɾɹɺɽɾʈ ɴ ɸɬɾɱɸɬɾɴʃɱɽɶɺɱ ɺɲɴɰɬɹɴɱ ɮʇʄɱ ɼɬɽɽɶɬɳʇɮɬɷɺɽʈ.Ɍɷɯɺɼɴɾɸ ɴɸɱɱɾ ɽɮɺɵɽɾɮɺɽɿɲɬɱɸɺɽɾɴ, ɶɺɾɺɼɺɱɹɬɭɷʊɰɬɱɾɽʋ ɺɾ ɶɺɼɹɱɮɺɯɺ ɿɳɷɬ ɶ ɷɴɽɾʈʋɸ. ɑɽɷɴ ɶɺɷɴʃɱɽɾɮɺ ʄɬɼɺɮ, ɻɱɼɱɶɷɬɰʇɮɬɱɸʇʁ ɴɳ ɰɺʃɱɼɹɱɯɺ ɿɳɷɬ ɮ ɼɺɰɴɾɱɷʈɽɶɴɵ, ɸɱɹʈʄɱ, ʃɱɸ ʃɴɽɷɺ ʄɬɼɺɮ, ɰɺɽɾɬɮɬɱɸʇʁ ɴɳ ɼɺɰɴɾɱɷʈɽɶɺɯɺ, ɾɺ ɰɷʋ ɰɺʃɱɼɹɱɯɺ ɿɳɷɬ ɴ ɮɽɱʁ ɱɯɺ ɰɺʃɱɼɹɴʁ ɿɳɷɺɮ ɹɱɾ ɹɱɺɭʁɺɰɴɸɺɽɾɴ ɮʇɽʃɴɾʇɮɬɾʈɮɽɱ nɸɬɾɱɸɬɾɴʃɱɽɶɴʁ ɺɲɴɰɬɹɴɵ. ɩɾɺ ɳɹɬʃɴɾɱɷʈɹɺ ɸɺɲɱɾ ɿɽɶɺɼɴɾʈ ɻɼɺʂɱɽɽ ɮʇʃɴɽɷɱɹɴɵ.ɝɶɺɼɺɽɾʈ ɼɺɽɾɬ ɰɬɹɹɺɯɺ ɬɷɯɺɼɴɾɸɬ ϕŸnmେ.ɩʀʀɱɶɾɴɮɹɺɽɾʈ ɰɬɹɹɺɯɺ ɬɷɯɺɼɴɾɸɬ ɮ ɻɱɼɮɿʊ ɺʃɱɼɱɰʈ ɳɬɮɴɽɴɾ ɺɾ ɶɺɷɴʃɱɽɾɮɬ ɴɳɮɷɱɶɬɱɸʇʁʄɬɼɺɮ ɴɳ ɶɺɹɱʃɹɺɯɺ ɿɳɷɬ, ɮ ɾɺ ɮɼɱɸʋ, ɶɬɶ ɿ ɽɾɬɹɰɬɼɾɹɺɯɺ ɸɱɾɺɰɬ ɺɾ ɶɺɷɴʃɱɽɾɮɬ ɻɱɼɱɶɷɬɰʇɮɬɱɸʇʁ ɸɱɲɰɿ ɻɼɺɸɱɲɿɾɺʃɹʇɸɴ ɿɳɷɬɸɴ.ɛɺʉɾɺɸɿ ɮ ɳɬɮɴɽɴɸɺɽɾɴ ɺɾ ɽɴɾɿɬʂɴɴ ɷɿʃʄɱ ɴɽɻɺɷʈɳɺɮɬɾʈ ɻɼɴɮɱɰʌɹɹʇɵ ɸɱɾɺɰ ʃɱɼɱɳ ɸɬɾɱɸɬɾɴʃɱɽɶɺɱ ɺɲɴɰɬɹɴɱ ɷɴɭɺ ɽɾɬɹɰɬɼɾɹʇɵ ɸɱɾɺɰɻɱɼɱɭɺɼɬ ɮɽɱʁ ɯɴɻɺɾɱɳ.
ɝɽʇɷɶɴ ɹɬ ɴɽɾɺʃɹɴɶɴQ. Ɍɷɱɶɽɬɹɰɼɺɮɛ.ɚ., ɘɬɼɾʇɹɺɮ ɝ.ɗ., ɚɼɷɴɶ ɗ.ɖ. ɖɺɷɴʃɱɽɾɮɱɹɹɬʋ ɺʂɱɹɶɬ ɮʇʃɴɽɷɴɾɱɷʈɹʇʁ ɳɬɾɼɬɾ ɻɼɴ ɺɻɾɴɸɴɳɬʂɴɴ ɬɷɯɺɼɴɾɸɺɮ ɼɱʄɱɹɴʋ ɽɾɬɹɰɬɼɾɹʇʁ ɳɬɰɬʃ ɾɱɺɼɴɴ ɮɱɼɺʋɾɹɺɽɾɱɵ //əɬɿɶɬ ɴ ɽɺɮɼɱɸɱɹɹɺɽɾʈ. 20Q5. ʝ 36. ɝ. Q34140.2. ɘɬɼɶɴɹɬ ɘ.ɝ., ɚɼɷɴɶ ɗ.ɖ. ɚɻʇɾ ʀɺɼɸɴɼɺɮɬɹɴʋ ɻɼɴɸɱɼɺɮ ɼɱʄɱɹɴʋ ɹɱɽɾɬɹɰɬɼɾɹʇʁ ɳɬɰɬʃ ɻɼɴ ɴɳɿʃɱɹɴɴ ɶɿɼɽɬ ɮʇɽʄɱɵ ɸɬɾɱɸɬɾɴɶɴ//Ɏ ɽɭɺɼɹɴɶɱ: ɘɬɾɱɸɬɾɴʃɱɽɶɺɱ ɸɺɰɱɷɴɼɺɮɬɹɴɱ ɽɺʂɴɬɷʈɹʇʁ ɻɼɺʂɱɽɽɺɮ ɴ ɽɺɮɼɱɸɱɹɹʇɱ ɺɭɼɬɳɺɮɬɾɱɷʈɹʇɱ ɾɱʁɹɺɷɺɯɴɴ 2007. ɝ. 212218.
