Учебник А. П. Киселева по началам дифференциального и интегрального исчисления
ART 86846
Автор:
Ю.
Е. Дворникова
Ю.
Е. Дворникова Библиографическое описание статьи для цитирования:
Дворникова
Ю.
Е. Учебник А. П. Киселева по началам дифференциального и интегрального исчисления // Научно-методический электронный журнал «Концепт». –
2016. – Т. 11. – С.
4036–4040. – URL:
http://e-koncept.ru/2016/86846.htm.
Аннотация. В статье раскрываются новые факты об истории создания учебника по началам математического анализа для средней школы. Среди авторов, написавших учебник, следует особо отметить А. П. Киселева, который в отличие от других к моменту написания книги имел колоссальный опыт учебно-литературной деятельности. Составленный А. П. Киселевым учебник по дифференциальному и интегральному исчислению неоднократно перерабатывался и переиздавался.
Ключевые слова:
история школьного учебника математики, педагог-математик а. п. киселев
Текст статьи
Дворникова Юлия Евгеньевна,студентка института математики, естествознания и техникиЕлецкого государственного университета им. И.А.Бунина, г. Елецkariglazka48@gmail.com
Учебник А.П.Киселевапо началам дифференциального и интегрального исчисления
Аннотация.В статье раскрываются новые факты об истории создания учебника по началам математического анализа для средней школы. Среди авторов, написавших учебник, следует особо отметить А.П.Киселева, который в отличие от других к моменту написания книги имел колоссальный опыт учебнолитературной деятельности. Составленный А.П.Киселевым учебник по дифференциальному и интегральному исчислению неоднократно перерабатывался и переиздавался.Ключевые слова:история школьного учебника математики, педагогматематик А.П.Киселев
Дореволюционный и советский педагогматематик Андрей Петрович Киселев (1852–1940) широко известен как автор учебников по арифметике, алгебре, геометрии и физики. Гораздо менее известен тот факт, что он работал над созданием еще одной учебной книги —по дифференциальному и интегральному исчислениям.Андрей Петрович Киселев родился в городе Мценске —районном центре Орловской области, в небогатой купеческой семье. Первоначальное образование Андрей Киселев получил в церковноприходском и уездном училищах. Благодаря трудолюбию и тяге к знаниям, мальчик добился блестящих успехов в учебе. Будучи учеником уездного училища, он стал подрабатывать преподаванием. Мальчик обучал овдовевшую соседкулавочницу чтению, счету и письму, за что ©та платила ему пачкой чая и двумя фунтами сахара в месяцª [1].В 1865 году Андрей Киселев поступил в Орловскую мужскую гимназию. Обучение в гимназии оплачивал родственник –меценат. Но делал он это не просто так: Киселев должен был учить его детей, с чем он хорошо справлялся.Можно сказать, что именно такой ранний опыт преподавания помог ему в будущем создать учебники, отличающиеся наглядностью и доступностью представленного материала.В 1881 году он окончил гимназию с отличием. Несмотря на то, что Орловская гимназия находилась в ведении Московского учебного округа, Андрей Киселев по не известным нам причинам поступил в Петербургский университет. Там Киселев слушал лекции таких ученых как П.Л. Чебышев, О.И. Сомов, Ю.В. Сохоцкий, А.Н. Коркин и Д.И. Менделеев. А в 1875 году, после окончания университета, был переведен в Воронеж, где преподавал математику в Кадетском корпусе и реальном училище. Именно в это время Андрей Петрович стал составлять свои учебники. Так, в 1884 г. вышло первое издание его учебной книги по арифметике, в 1888 г. –по алгебре, в 1892 г. –по геометрии, в 1902г. –по физике.Эти учебные книги были востребованы в гимназиях, автор их постоянно перерабатывал и дополнял. Книги получили ©зеленый светª у Министерства народного просвещения и были включены в каталоги рекомендованных для преподавания в школе. Таким образом, к началу ХХ века у А.П.Киселева определись методические предпочтения, ограниченные созданием учебников по элементарной математике для гимназий. Однако неутомимый труженик и успешный автор учебников на этомне остановился. На рубеже XIXXXвв. в России как и на Западе активизировалось движение за обновление школьного математического образования. Как пишут О.А.Саввина и Г.Л.Луканкин, ©в ответ на настоятельные требования педагогов Министерство народного просвещения 30 июня 1906 г. утвердило новую программу по математикеª, по которой семиклассники реальных училищ стали знакомится с основами аналитической геометрии и анализом бесконечно малых [4, с. 73].Преподаватель реального училища А.П.Киселев не остался встороне от этих нововведений. В 1908 г. появился его учебное руководство ©Начальное учение о производныхª, которое потом несколько раз перерабатывалось и переиздавалось под другим названием ©Начала дифференциального и интегрального исчисленийª и был адресован ученикам 7го класса реальных училищ.Рассмотрим обзорно все четыре издания этой книги.©Начала дифференциального и интегрального исчисленийª А.П.Киселева состоит из введения и трех глав: ©Начала учения о производных (дифференциально исчисление)ª, ©Некоторые применения производныхª, ©Понятие о дифференциале. Начала интегрального исчисленияª. Во введении приводились сведения о бесконечно малых и больших числах, а также о пределах. В заключение даны упражнения по различным параграфам и ответы к ним. Во втором издании автор исключил ©теорию несоизмеримых чиселª [2], так как она доставляла больше всего трудностей у учащихся, особенно в условиях малого количества времени. А.П.Киселев добавил также основные формулы, показал самые распространенные способыи приложение интегрального исчисления к геометрии. От издания к изданию автор постоянно пополнял набор упражнений (в первом издании их 98, а в четвертом —уже 214). Причем, А.П. Киселев привел не только ответы, но и подсказки к их выполнению. Для большейнаглядности сначала автором давалось геометрическое ©истолкование той или другой истиныª, а уже потом аналитическое доказательство. Более полно во втором издании были освещены главы ©Наибольшее и наименьшее значение функцииª, ©Изучение процесса изменения функцииª. Полностью переделана глава ©Нахождение наибольших и наименьших значений некоторых сумм и произведенийª.В третьем издании автор поменял порядок параграфов, а некоторые изъяты и присоединены к другим главам. Более строго определено понятие показательной функции.В четвертом издании даны более строгие определения алгебраических и трансцендентных функций, более точно представлены графики показательной и логарифмической функций и изложена зависимость между ними. Если раньше определение дифференциала давалось непосредственно после определения производной, то в этом издании его можно найти в самом конце дифференциального исчисления (перед интегральным исчислением). Киселев обуславливает это тем, что ©потребность в этом отвлеченном понятии ощущается лишь в интегральном исчислении, а не в дифференциальном и потому всего естественнее помещать определение и разъяснение дифференциала на рубеже этих двух ветвей анализаª [2].Этот труд А.П. Киселева разительно отличается от современных учебников. Например, сначала рассматривается бесконечно малая величина, а потом только предел. Поэтому для определения бесконечно малой величины понятие предела не используется. Это определение дается так: ©Переменное число называется бесконечно малым, если абсолютная величина его при своем изменении дается и остается меньше всякого постоянного положительного числа, как бы мало это число ни былоª [2]. Сформулировав определение бесконечно малой величины, А.П.Киселев помещает определение предела: ©Если переменное число x, изменяющееся по некоторому закону, приближается к постоянному числу a таким образом, что абсолютная величина разности ax делается и остается меньше всякого постоянного числа (как бы мало это число ни было), то a называется пределом x; другими словами, постоянное число a наз. пределом переменного числа x, если при изменении x разность ax есть бесконечно малое числоª [2].В учебнике не только рассмотрена теория пределов, но и нашли место её приложения.При производной степенной функции А.П.Киселев пользуется дедуктивным методом: рассматривает сначала общие случаи, что с точки зрения современной науки выглядит довольно спорно. Так, например, в пункте ©Нахождение производной одночленаª сразу приводится следующий факт: ©Чтобы получить производную от одночлена Axn(при n целом положительном) для любого значения x, достаточно коэффициент его умножить на показатель аргумента, а показатель аргумента уменьшить на одинª [2].Рассматривая правила нахождения производной суммы и производной произведения, автор рассматривает сразу сумму и произведения нескольких функций: ©Производная от алгебраической суммы нескольких функций равна алгебраической сумме производных этих функций.ª[2] ©Производная от произведения нескольких функций равна сумме произведений, полученных от умножения производной каждой функции на произведение всех остальных функций; т.е. если ݕ=ݑݒݓ…, то ݕ=ݑ′ݒݓ…+ݒ′ݑݓ…+ݓ′ݑݒ…+...ª[2].Производная от корня дается так: ©Производная от функции ݕ=√ݑ, представляющей собою корень с постоянным целым и положительным показателем, равна ݕ′=௨′√௨−1 при условии, что u≠0 и при nчетном u�0.В современных школьных учебниках отсутствуют такие понятия как бесконечно малая величина, непрерывность функции, дифференциал и неопределенный интеграл, а определенныйинтеграл не имеет четкого определения, также нет деления на алгебраическую и тренсцендентную функции. Обращение к математическому тексту, представленному в учебнике ©Начала дифференциального и интегрального исчисленияª А.П.Киселева показывает, что эти понятия могут быть изложены понятно и доступно, поэтому допустимо их включить в качестве пропедевтики уже в средней школе.Упражнения, представленные в конце учебника, разделены по темам, можно рассмотреть некоторые из них.Свойства производной: Функция y=x2–3xизображена кривой. Определить угол, образованный с осью Oxкасательной к этой кривой, проведенной через точку с абсциссой 2. [2]ݕ′=2ݔ−3, ݕ′(2)=4−3=1, �4=45°Нахождениепроизводнойот функции:ݕ=(��)�, ݕ′=(��)�(log��−1)[2].Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции:©Два железнодорожные пути сходятся в городе под углом 60º. Со станции, находящейся на первом пути врасстоянии 32 верст от города, вышел по направлению к нему поезд А.В то же время со станции, находящейся на расстоянии 50 верст от города, вышел другой поезд В по направлению к тому же городу, со скоростью вдвое большейскорости первого поезда. Найти где будет поезд В во время наименьшего расстояния между ними и поездом А и определить это расстояние.ª[2] К этой задаче автор дает указание, в котором предлагает взять tза неизвестное время, прошедшее от выхода поезда В со станции, до момента, когда расстояние между поездами минимально. Скорость первого поезда А примем за v, а второго В за 2v. ©Расстояние между поездами есть сторона такого треугольника, у которого противолежащий угол равен 60º, а две другие стороны равны 502vtи 32vt. Составить формулу, определяющую длину стороны треугольника по данным двум другим сторонам и углу между ними, найдем затем наименьшее значение получившегося выражения.ª[2]Ответ к этой задачи такой: поезд В будет находиться в самом городе, а наименьшее расстояние равно 7 верстам.Проследить изменение функции:ݕ=1�. В области (∞;0)функция убывает от 0 до −∞; в области (0;+∞)функция убывает от +∞до 0.Найти интегралы.I.Интегрирование степени: ∫ݔ2݀ݔ=13ݔ3+С.II.Интегрирование по средством введения вспомогательной переменной: ∫ௗ�1+�=[ݐ=1+ݔ,݀ݔ=݀ݐ]=∫ௗ௧௧=lnݐ+�=ln(1+ݔ)+�.III. Интегрирование по частям: ∫ݔ݁�݀ݔ=[ݔ=ݑ,݁�݀ݔ=݀ݒ]=��−�2+�.Нахождение площадей и объемов:©Дана синусоида y=sinx. Найти площадь, образованную одной петлей с осью Хов.ª[2] Площадь, которую требуется найти, это площадь взятая в пределах от 0 до π, таким образом: �=∫sinݔ݀ݔ�0=2.
Как видим, содержание прикладных задач в книге А.П.Киселева представлено богаче, чем в текстах современных учебников. Уже первые издания учебной книги А.П.Киселевапроизвели хорошее впечатление на современников. Так, дореволюционныйпедагогматематик Н.В.Оглоблин отмечал ©...нужно признать весьма удачно выполненным желание г. Киселева удовлетворить требованиям научности и доступности изложения, не выходя за пределы объема, обусловленного ограниченным временем, уделяемым на предмет...ª [5].Довольно высокую оценку учебной книге дает и современный исследователь О.А.Саввина, которая отмечает: ©известны трудности, возникающие при формировании у учащихся понятия производной, связанные с некоторой его двусмысленностью: с одной стороны, производная –число (так как это предел, к которому стремится разностное отношение, а конечный предел есть число), с другой стороны, производная есть функция (с этим сталкиваемся мы при решении конкретных примеров (к примеру, при отыскании производных разных функций:y=x3, у =sin2xи т.п.). А.П.Киселев нашел схему введения понятия производной, при которой удалось избежать этой расплывчатостиª [5, с.239].Стоит отметить, что составленный А.П.Киселевымучебник по дифференциальному и интегральному исчислению до Октябрьской революции 1917 г. переиздавался 7 раз, чего нельзя сказать об учебниках других авторов. Так, учебники Н.И.Билибина, И.Горского, И.В.Ипатова были изданы всего один раз, а ©Начала анализаª первого русского методиста в области преподавания математического анализа М.Г.Попруженко переиздавался три раза (в 1913, 1918 и 1922 гг.) [2].В конце 1911 –начале 1912 гг. в Петербурге прошел IВсероссийский съезд преподавателей математики, в котором Киселев принимал непосредственное участие в прениях по докладу. На этом съезде, кроме всего прочего, активно обсуждалась целесообразность введения элементов высшей математики в программу средних классов. Ф.В. Филиппович предлагал перестроить весь курс математики так, чтобы элементы анализа вводили раньше, а не только в 5 или 7 классах. А.Г. Пичугин в своем докладе говорил: ©Она [школьная математика] должна непрерывно преобразовываться соответственно медленно изменяющимся общим запросам жизни и, конечно, в пределах понимания учащейся молодежиª[4].В 1901 году Андрей Петрович решил закончить свою педагогическую карьеру и полностью посвятить свое время созданию учебников. Однако привычка к труду не давала покоя неутомимому автору А.П.Киселевуи все время он посвящал редактированию своих многочисленных учебников. В 1918 году он возобновил педагогическую деятельность, заняв место преподавателя математики в Ямской школе взрослых в Воронеже. Андрею Петровичу была поручена организация летних курсов для переподготовки учителей, на которые приглашались лучшие педагоги из Москвы и Петрограда.С 1921 г. А.П. Киселев работал в Ленинградской Высшей военнопедагогической школе; в 1925 г. –на Смольнинских военных курсах; в 1926г. –в Ленинградкой школе военных сообщений.Будучи семидесятилетним стариком, Андрей Петрович не мог спокойно усидеть на месте: он всегда был в работе, в обществе благодарных учеников и своих друзей и всегда был рад поделиться своими знаниями. После смерти жены только работа помогала ему справиться с горем. В то время весь дом подчинялся его распорядку дня, который не нарушался ни в какую погоду. Если ко времени не был готов обед, просил подать сырым, а потом в любую погоду ходил на прогулку по Васильевскому острову. Такой стиль жизни и такая черта характера отразились и в его работах: логическая строгость, немногословность, простота, четкость и полнота.
2 июня 1940 года Андрей Петрович Киселев умер.За свою долгую педагогическую карьеру Андрей Петрович получил множество наград: ордена Святой Анны 3й степени (1894), Святого Станислава 2й степени (1896), Святой Анны 2й степени (1899), орден Трудового Красного Знамени (1934). Его похоронили на Волковом кладбище в Ленинграде. Могила Андрея Петровича открывает аллею Академиков, на которой также покоится Д.И. Менделеев. УчебникиА.П. Киселевапо алгебре, арифметике и геометрии продолжали использоваться в обучении, а недавно были снова переизданы.Остаетсянадеяться, что и учебник А.П.Киселева ©Начала дифференциального и интегрального исчисленийª также будет по достоинству оценен и переиздан.
Ссылки на источники1.Авдеев Ф.С., Авдеева Т.К. Андрей Петрович Киселев. Орел: Издательство Орловской телерадиовещательной компании, 2002. с. 268.2.Киселев А.П. Начала дифференциального и интегрального исчислений. –М.: В.В.Думнов, 1913.–189с.3.Саввина О.А. М.Г.Попруженко учитель и воин // Математика в школе. 2003. №1. С.5559/4.Cаввина О.А., ЛуканикнГ.Л. Опыт преподавания высшей математики в реальном училище в начале ХХ в // Педагогика. 2002. №9. С.72765.Саввина О.А. Становление и развитие обучения высшей математике в отечественной средней школе . Дисс. …. дра пед. н. Елец, 2002. 485 с.6.Труды I Всероссийского съезда преподавателей математики 27.12.1911–03.01.1912 Том первый. СПб: Тип. ©Северª, Невский пр., 1913. –608с.
Учебник А.П.Киселевапо началам дифференциального и интегрального исчисления
Аннотация.В статье раскрываются новые факты об истории создания учебника по началам математического анализа для средней школы. Среди авторов, написавших учебник, следует особо отметить А.П.Киселева, который в отличие от других к моменту написания книги имел колоссальный опыт учебнолитературной деятельности. Составленный А.П.Киселевым учебник по дифференциальному и интегральному исчислению неоднократно перерабатывался и переиздавался.Ключевые слова:история школьного учебника математики, педагогматематик А.П.Киселев
Дореволюционный и советский педагогматематик Андрей Петрович Киселев (1852–1940) широко известен как автор учебников по арифметике, алгебре, геометрии и физики. Гораздо менее известен тот факт, что он работал над созданием еще одной учебной книги —по дифференциальному и интегральному исчислениям.Андрей Петрович Киселев родился в городе Мценске —районном центре Орловской области, в небогатой купеческой семье. Первоначальное образование Андрей Киселев получил в церковноприходском и уездном училищах. Благодаря трудолюбию и тяге к знаниям, мальчик добился блестящих успехов в учебе. Будучи учеником уездного училища, он стал подрабатывать преподаванием. Мальчик обучал овдовевшую соседкулавочницу чтению, счету и письму, за что ©та платила ему пачкой чая и двумя фунтами сахара в месяцª [1].В 1865 году Андрей Киселев поступил в Орловскую мужскую гимназию. Обучение в гимназии оплачивал родственник –меценат. Но делал он это не просто так: Киселев должен был учить его детей, с чем он хорошо справлялся.Можно сказать, что именно такой ранний опыт преподавания помог ему в будущем создать учебники, отличающиеся наглядностью и доступностью представленного материала.В 1881 году он окончил гимназию с отличием. Несмотря на то, что Орловская гимназия находилась в ведении Московского учебного округа, Андрей Киселев по не известным нам причинам поступил в Петербургский университет. Там Киселев слушал лекции таких ученых как П.Л. Чебышев, О.И. Сомов, Ю.В. Сохоцкий, А.Н. Коркин и Д.И. Менделеев. А в 1875 году, после окончания университета, был переведен в Воронеж, где преподавал математику в Кадетском корпусе и реальном училище. Именно в это время Андрей Петрович стал составлять свои учебники. Так, в 1884 г. вышло первое издание его учебной книги по арифметике, в 1888 г. –по алгебре, в 1892 г. –по геометрии, в 1902г. –по физике.Эти учебные книги были востребованы в гимназиях, автор их постоянно перерабатывал и дополнял. Книги получили ©зеленый светª у Министерства народного просвещения и были включены в каталоги рекомендованных для преподавания в школе. Таким образом, к началу ХХ века у А.П.Киселева определись методические предпочтения, ограниченные созданием учебников по элементарной математике для гимназий. Однако неутомимый труженик и успешный автор учебников на этомне остановился. На рубеже XIXXXвв. в России как и на Западе активизировалось движение за обновление школьного математического образования. Как пишут О.А.Саввина и Г.Л.Луканкин, ©в ответ на настоятельные требования педагогов Министерство народного просвещения 30 июня 1906 г. утвердило новую программу по математикеª, по которой семиклассники реальных училищ стали знакомится с основами аналитической геометрии и анализом бесконечно малых [4, с. 73].Преподаватель реального училища А.П.Киселев не остался встороне от этих нововведений. В 1908 г. появился его учебное руководство ©Начальное учение о производныхª, которое потом несколько раз перерабатывалось и переиздавалось под другим названием ©Начала дифференциального и интегрального исчисленийª и был адресован ученикам 7го класса реальных училищ.Рассмотрим обзорно все четыре издания этой книги.©Начала дифференциального и интегрального исчисленийª А.П.Киселева состоит из введения и трех глав: ©Начала учения о производных (дифференциально исчисление)ª, ©Некоторые применения производныхª, ©Понятие о дифференциале. Начала интегрального исчисленияª. Во введении приводились сведения о бесконечно малых и больших числах, а также о пределах. В заключение даны упражнения по различным параграфам и ответы к ним. Во втором издании автор исключил ©теорию несоизмеримых чиселª [2], так как она доставляла больше всего трудностей у учащихся, особенно в условиях малого количества времени. А.П.Киселев добавил также основные формулы, показал самые распространенные способыи приложение интегрального исчисления к геометрии. От издания к изданию автор постоянно пополнял набор упражнений (в первом издании их 98, а в четвертом —уже 214). Причем, А.П. Киселев привел не только ответы, но и подсказки к их выполнению. Для большейнаглядности сначала автором давалось геометрическое ©истолкование той или другой истиныª, а уже потом аналитическое доказательство. Более полно во втором издании были освещены главы ©Наибольшее и наименьшее значение функцииª, ©Изучение процесса изменения функцииª. Полностью переделана глава ©Нахождение наибольших и наименьших значений некоторых сумм и произведенийª.В третьем издании автор поменял порядок параграфов, а некоторые изъяты и присоединены к другим главам. Более строго определено понятие показательной функции.В четвертом издании даны более строгие определения алгебраических и трансцендентных функций, более точно представлены графики показательной и логарифмической функций и изложена зависимость между ними. Если раньше определение дифференциала давалось непосредственно после определения производной, то в этом издании его можно найти в самом конце дифференциального исчисления (перед интегральным исчислением). Киселев обуславливает это тем, что ©потребность в этом отвлеченном понятии ощущается лишь в интегральном исчислении, а не в дифференциальном и потому всего естественнее помещать определение и разъяснение дифференциала на рубеже этих двух ветвей анализаª [2].Этот труд А.П. Киселева разительно отличается от современных учебников. Например, сначала рассматривается бесконечно малая величина, а потом только предел. Поэтому для определения бесконечно малой величины понятие предела не используется. Это определение дается так: ©Переменное число называется бесконечно малым, если абсолютная величина его при своем изменении дается и остается меньше всякого постоянного положительного числа, как бы мало это число ни былоª [2]. Сформулировав определение бесконечно малой величины, А.П.Киселев помещает определение предела: ©Если переменное число x, изменяющееся по некоторому закону, приближается к постоянному числу a таким образом, что абсолютная величина разности ax делается и остается меньше всякого постоянного числа (как бы мало это число ни было), то a называется пределом x; другими словами, постоянное число a наз. пределом переменного числа x, если при изменении x разность ax есть бесконечно малое числоª [2].В учебнике не только рассмотрена теория пределов, но и нашли место её приложения.При производной степенной функции А.П.Киселев пользуется дедуктивным методом: рассматривает сначала общие случаи, что с точки зрения современной науки выглядит довольно спорно. Так, например, в пункте ©Нахождение производной одночленаª сразу приводится следующий факт: ©Чтобы получить производную от одночлена Axn(при n целом положительном) для любого значения x, достаточно коэффициент его умножить на показатель аргумента, а показатель аргумента уменьшить на одинª [2].Рассматривая правила нахождения производной суммы и производной произведения, автор рассматривает сразу сумму и произведения нескольких функций: ©Производная от алгебраической суммы нескольких функций равна алгебраической сумме производных этих функций.ª[2] ©Производная от произведения нескольких функций равна сумме произведений, полученных от умножения производной каждой функции на произведение всех остальных функций; т.е. если ݕ=ݑݒݓ…, то ݕ=ݑ′ݒݓ…+ݒ′ݑݓ…+ݓ′ݑݒ…+...ª[2].Производная от корня дается так: ©Производная от функции ݕ=√ݑ, представляющей собою корень с постоянным целым и положительным показателем, равна ݕ′=௨′√௨−1 при условии, что u≠0 и при nчетном u�0.В современных школьных учебниках отсутствуют такие понятия как бесконечно малая величина, непрерывность функции, дифференциал и неопределенный интеграл, а определенныйинтеграл не имеет четкого определения, также нет деления на алгебраическую и тренсцендентную функции. Обращение к математическому тексту, представленному в учебнике ©Начала дифференциального и интегрального исчисленияª А.П.Киселева показывает, что эти понятия могут быть изложены понятно и доступно, поэтому допустимо их включить в качестве пропедевтики уже в средней школе.Упражнения, представленные в конце учебника, разделены по темам, можно рассмотреть некоторые из них.Свойства производной: Функция y=x2–3xизображена кривой. Определить угол, образованный с осью Oxкасательной к этой кривой, проведенной через точку с абсциссой 2. [2]ݕ′=2ݔ−3, ݕ′(2)=4−3=1, �4=45°Нахождениепроизводнойот функции:ݕ=(��)�, ݕ′=(��)�(log��−1)[2].Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции:©Два железнодорожные пути сходятся в городе под углом 60º. Со станции, находящейся на первом пути врасстоянии 32 верст от города, вышел по направлению к нему поезд А.В то же время со станции, находящейся на расстоянии 50 верст от города, вышел другой поезд В по направлению к тому же городу, со скоростью вдвое большейскорости первого поезда. Найти где будет поезд В во время наименьшего расстояния между ними и поездом А и определить это расстояние.ª[2] К этой задаче автор дает указание, в котором предлагает взять tза неизвестное время, прошедшее от выхода поезда В со станции, до момента, когда расстояние между поездами минимально. Скорость первого поезда А примем за v, а второго В за 2v. ©Расстояние между поездами есть сторона такого треугольника, у которого противолежащий угол равен 60º, а две другие стороны равны 502vtи 32vt. Составить формулу, определяющую длину стороны треугольника по данным двум другим сторонам и углу между ними, найдем затем наименьшее значение получившегося выражения.ª[2]Ответ к этой задачи такой: поезд В будет находиться в самом городе, а наименьшее расстояние равно 7 верстам.Проследить изменение функции:ݕ=1�. В области (∞;0)функция убывает от 0 до −∞; в области (0;+∞)функция убывает от +∞до 0.Найти интегралы.I.Интегрирование степени: ∫ݔ2݀ݔ=13ݔ3+С.II.Интегрирование по средством введения вспомогательной переменной: ∫ௗ�1+�=[ݐ=1+ݔ,݀ݔ=݀ݐ]=∫ௗ௧௧=lnݐ+�=ln(1+ݔ)+�.III. Интегрирование по частям: ∫ݔ݁�݀ݔ=[ݔ=ݑ,݁�݀ݔ=݀ݒ]=��−�2+�.Нахождение площадей и объемов:©Дана синусоида y=sinx. Найти площадь, образованную одной петлей с осью Хов.ª[2] Площадь, которую требуется найти, это площадь взятая в пределах от 0 до π, таким образом: �=∫sinݔ݀ݔ�0=2.
Как видим, содержание прикладных задач в книге А.П.Киселева представлено богаче, чем в текстах современных учебников. Уже первые издания учебной книги А.П.Киселевапроизвели хорошее впечатление на современников. Так, дореволюционныйпедагогматематик Н.В.Оглоблин отмечал ©...нужно признать весьма удачно выполненным желание г. Киселева удовлетворить требованиям научности и доступности изложения, не выходя за пределы объема, обусловленного ограниченным временем, уделяемым на предмет...ª [5].Довольно высокую оценку учебной книге дает и современный исследователь О.А.Саввина, которая отмечает: ©известны трудности, возникающие при формировании у учащихся понятия производной, связанные с некоторой его двусмысленностью: с одной стороны, производная –число (так как это предел, к которому стремится разностное отношение, а конечный предел есть число), с другой стороны, производная есть функция (с этим сталкиваемся мы при решении конкретных примеров (к примеру, при отыскании производных разных функций:y=x3, у =sin2xи т.п.). А.П.Киселев нашел схему введения понятия производной, при которой удалось избежать этой расплывчатостиª [5, с.239].Стоит отметить, что составленный А.П.Киселевымучебник по дифференциальному и интегральному исчислению до Октябрьской революции 1917 г. переиздавался 7 раз, чего нельзя сказать об учебниках других авторов. Так, учебники Н.И.Билибина, И.Горского, И.В.Ипатова были изданы всего один раз, а ©Начала анализаª первого русского методиста в области преподавания математического анализа М.Г.Попруженко переиздавался три раза (в 1913, 1918 и 1922 гг.) [2].В конце 1911 –начале 1912 гг. в Петербурге прошел IВсероссийский съезд преподавателей математики, в котором Киселев принимал непосредственное участие в прениях по докладу. На этом съезде, кроме всего прочего, активно обсуждалась целесообразность введения элементов высшей математики в программу средних классов. Ф.В. Филиппович предлагал перестроить весь курс математики так, чтобы элементы анализа вводили раньше, а не только в 5 или 7 классах. А.Г. Пичугин в своем докладе говорил: ©Она [школьная математика] должна непрерывно преобразовываться соответственно медленно изменяющимся общим запросам жизни и, конечно, в пределах понимания учащейся молодежиª[4].В 1901 году Андрей Петрович решил закончить свою педагогическую карьеру и полностью посвятить свое время созданию учебников. Однако привычка к труду не давала покоя неутомимому автору А.П.Киселевуи все время он посвящал редактированию своих многочисленных учебников. В 1918 году он возобновил педагогическую деятельность, заняв место преподавателя математики в Ямской школе взрослых в Воронеже. Андрею Петровичу была поручена организация летних курсов для переподготовки учителей, на которые приглашались лучшие педагоги из Москвы и Петрограда.С 1921 г. А.П. Киселев работал в Ленинградской Высшей военнопедагогической школе; в 1925 г. –на Смольнинских военных курсах; в 1926г. –в Ленинградкой школе военных сообщений.Будучи семидесятилетним стариком, Андрей Петрович не мог спокойно усидеть на месте: он всегда был в работе, в обществе благодарных учеников и своих друзей и всегда был рад поделиться своими знаниями. После смерти жены только работа помогала ему справиться с горем. В то время весь дом подчинялся его распорядку дня, который не нарушался ни в какую погоду. Если ко времени не был готов обед, просил подать сырым, а потом в любую погоду ходил на прогулку по Васильевскому острову. Такой стиль жизни и такая черта характера отразились и в его работах: логическая строгость, немногословность, простота, четкость и полнота.
2 июня 1940 года Андрей Петрович Киселев умер.За свою долгую педагогическую карьеру Андрей Петрович получил множество наград: ордена Святой Анны 3й степени (1894), Святого Станислава 2й степени (1896), Святой Анны 2й степени (1899), орден Трудового Красного Знамени (1934). Его похоронили на Волковом кладбище в Ленинграде. Могила Андрея Петровича открывает аллею Академиков, на которой также покоится Д.И. Менделеев. УчебникиА.П. Киселевапо алгебре, арифметике и геометрии продолжали использоваться в обучении, а недавно были снова переизданы.Остаетсянадеяться, что и учебник А.П.Киселева ©Начала дифференциального и интегрального исчисленийª также будет по достоинству оценен и переиздан.
Ссылки на источники1.Авдеев Ф.С., Авдеева Т.К. Андрей Петрович Киселев. Орел: Издательство Орловской телерадиовещательной компании, 2002. с. 268.2.Киселев А.П. Начала дифференциального и интегрального исчислений. –М.: В.В.Думнов, 1913.–189с.3.Саввина О.А. М.Г.Попруженко учитель и воин // Математика в школе. 2003. №1. С.5559/4.Cаввина О.А., ЛуканикнГ.Л. Опыт преподавания высшей математики в реальном училище в начале ХХ в // Педагогика. 2002. №9. С.72765.Саввина О.А. Становление и развитие обучения высшей математике в отечественной средней школе . Дисс. …. дра пед. н. Елец, 2002. 485 с.6.Труды I Всероссийского съезда преподавателей математики 27.12.1911–03.01.1912 Том первый. СПб: Тип. ©Северª, Невский пр., 1913. –608с.
