Методические аспекты изложения темы «Векторная алгебра» в курсе «Аналитическая геометрия»

Библиографическое описание статьи для цитирования:
Ефремова С. Н., Косова А. В., Ласковая Т. А. Методические аспекты изложения темы «Векторная алгебра» в курсе «Аналитическая геометрия» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». – 2017. – № 4 (апрель). – URL: http://e-koncept.ru/2017/170089.htm.
Аннотация. В статье предлагается вариант изложения материала по теме «Векторная алгебра». Для удобства восприятия теоретическая часть представлена в виде таблицы. Задачи по данной теме подобраны таким образом, чтобы при их решении студентам необходимо было использовать весь изученный материал. Особое внимание уделяется воспитанию самоконтроля учащихся в процессе решения задач.
Раздел: Педагогика; история педагогики и образования; теория и методика обучения и воспитания (по предметным областям)
Комментарии
Нет комментариев
Оставить комментарий
Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы комментировать.
Текст статьи
Ефремова С. Н., Косова А. В.,Ласковая Т. А.Методические аспекты изложения темы «Векторная алгебра» в курсе «Аналитическая геометрия»// Научнометодический электронный журнал «Концепт». –2017. –№ 4(апрель).–0,2п.л. –URL: http://ekoncept.ru/2017/170089.htm.1

ART170089УДК 378.147

Ефремова Светлана Николаевна,

старший преподаватель ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москваefremova.sn@gmail.ru

Косова Анна Владимировна,старший преподаватель ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москваanna.v.kosova@mail.ru

Ласковая Татьяна Алексеевна,старший преподаватель ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москваtalaskovy@mail.ru

Методические аспекты изложения темы «Векторная алгебра» в курсе «Аналитическая геометрия»

Аннотация. В статье предлагается вариант изложения материала по теме «Векторная алгебра». Для удобства восприятия теоретическая часть представлена в виде таблицы. Задачи по данной теме подобраны таким образом, чтобы при их решении студентам необходимо было использовать весь изученный материал. Особое внимание уделяется воспитанию самоконтроля учащихся в процессе решения задач.Ключевые слова: свободные векторы, скалярное произведение, векторное произведение, смешанное произведение.Раздел: 01 педагогика; история педагогики и образования; теория и методика обучения и воспитания по предметным областям.

Прежде всего, необходимо обратить внимание студентов на то, что в курсе аналитической геометрии рассматриваются так называемые свободные векторы.Под свободным вектором понимается множество направленных отрезков, расположенных на параллельных прямых и имеющих одинаковую длину и направление. При таком подходе все множество направленных отрезков в пространстве разбивается на множество классов равных направленных отрезков. Любой направленный отрезок может быть представителем вектора . Таким образом, для любого вектора точка приложения может быть выбрана произвольно.Коллинеарныминазываются векторы, лежащие на одной или на параллельных прямых.Компланарныминазываются векторы, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях.Рассмотрим три вектора и, имеющих общее начало. Тройка векторов называетсяправой,еслииз конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму виден совершающимся против часовой стрелки. В противном случае тройка векторов левая.Осью называется прямая, на которой установлено положительное направление.Ефремова С. Н., Косова А. В.,Ласковая Т. А.Методические аспекты изложения темы «Векторная алгебра» в курсе «Аналитическая геометрия»// Научнометодический электронный журнал «Концепт». –2017. –№ 4(апрель).–0,2п.л. –URL: http://ekoncept.ru/2017/170089.htm.2

Проекцией точки Ана ось называется точка А1пересечения этой оси и перпендикуляра, опущенного на эту ось из точки А.Проекцией вектора на ось называется алгебраическая величина отрезка , где –проекции точекАи Вна данную ось т.е. длина отрезка , взятая со знаком , если направление совпадает с положительным направлением оси , и со знаком в противном случае.В курсе векторной алгебры особое внимание уделяют трем основным понятиям:скалярному, векторному и смешанному произведению векторов[1–5. Определения и свойства этих произведений при проведении занятий целесообразно представить в виде табл. 1. Изложение теории в таком варианте более компактно, структурированно, наглядно показывает общее и различия в свойствах векторов, что позволяет облегчить запоминание данного материала.Наиболее наглядным является представление свойства скалярного, векторного и смешанного произведений векторов в виде табл. 1.Таблица 1

Скалярное произведениеВекторное произведениеСмешанное произведениеОбозначениеили или , илиОпределениеЧИСЛО, равное , где –угол между векторами

и ВЕКТОР, удовлетворяющий условиям: 1) ;1)2) , где –угол между и ;2)3) –упорядоченная правая тройка векторовЧИСЛО, равное скалярному произведению векторного произведения на вектор Свойстваалгебраические

Свойства геометрические



;.

острыйтупой

1)компланарные;

–правая тройка;

–левая тройкаПриложения произведений векторов1.Нахождение угла между векторами: 2.Нахождение проекции вектора: 3.Вычисление длины вектора:1)

Нахождение площадей параллелограмма и треугольника:1),где и–смежные стороны

Нахождение объемов параллелепипеда и пирамиды: ,,2)где –смежные ребра

Ефремова С. Н., Косова А. В.,Ласковая Т. А.Методические аспекты изложения темы «Векторная алгебра» в курсе «Аналитическая геометрия»// Научнометодический электронный журнал «Концепт». –2017. –№ 4(апрель).–0,2п.л. –URL: http://ekoncept.ru/2017/170089.htm.3

Скалярное произведениеВекторное произведениеСмешанное произведениеВычисление в ортонормированном базисе:

,







Рассмотрим некоторые примеры.Задача 1. Даны векторы и. Найти угол между ними.Решение. По табл. 1видно, что угол между векторами возникает и в определении скалярного и векторного произведений. Но этот угол . Поэтомупри нахождении угла между двумя векторами определением векторного произведения не пользуются, так какнельзя понять,острый угол между векторами или тупой..Задачао нахождениидлины вектора в произвольном базисе, как правило, вызывает затруднение у студентов, поскольку привычные формулы, использующие теорему Пифагора, неприменимы. При решениитакой задачи нужно обратить внимание учащихся на использование всех свойств скалярного произведения.Задача 2.Найти проекцию вектора на вектор , если угол между векторами и равен .Решение. Воспользуемся формулой для нахождения проекции вектора .Начнем решение задачи с нахождения скалярного произведения, при этом используем его алгебраические свойства:

Вычислим длину вектора с помощью формулы : .Подставляя все в формулу, получим:.Задача 3. Найти высоту BDтреугольника АВС, заданного координатами своих вершин: .Решение. Очевидно,. Однако, чтобы не ошибиться с коэффициентами, обычно пользуются Ефремова С. Н., Косова А. В.,Ласковая Т. А.Методические аспекты изложения темы «Векторная алгебра» в курсе «Аналитическая геометрия»// Научнометодический электронный журнал «Концепт». –2017. –№ 4(апрель).–0,2п.л. –URL: http://ekoncept.ru/2017/170089.htm.4

стандартным приемом и достраиваюттреугольник до параллелограмма см. рис. 1). Высота BDявляется общей для треугольника и параллелограмма ABA1C. С одной стороны,, а с другой –. В итоге получаем .Найдем . Здесь необходимо сделать проверку правильности вычисления векторного произведения. По определению векторного произведения перпендикулярен каждому из сомножителей. Воспользуемся критерием ортогональности двух векторов ):. Проверка сошлась, можно переходить к вычислению длины векторного произведения:.Найдем длину вектора .Подставим все в формулу и получим: .Для проверки в данной задаче мы воспользовались критерием ортогональности двух векторов. Не лишним будет напомнить студентам, что критерий –это теорема, которая формулируется и доказывается в две стороны. Поэтому в формулировке используются речевые конструкции «тогда и только тогда, когда» или «необходимо и достаточно». Формулируя необходимое условие, мы считаем, что событие произошло. Составим табл.2.Таблица 2

ДаноДоказатьНеобходимость

Достаточность

Задача 4. Найти объем тетраэдра ABCD, его высоту и вектор , совпадающий с высотой, опущенной из вершины А на плоскость BCD, если .Решение. В этой задаче используем тот же прием, что и задаче 3,и достроим наш тетраэдр до параллелепипеда с той же высотой, в основании которого лежит параллелограмм со сторонами BCиBDрис. 2.Тогда для нахождения высоты воспользуемся формулой: , где , а .Ефремова С. Н., Косова А. В.,Ласковая Т. А.Методические аспекты изложения темы «Векторная алгебра» в курсе «Аналитическая геометрия»// Научнометодический электронный журнал «Концепт». –2017. –№ 4(апрель).–0,2п.л. –URL: http://ekoncept.ru/2017/170089.htm.5

Найдем смешанное произведение векторов , используя формулу вычисления смешанного произведения в ортонормированном базисе и свойства определителей:.Поскольку смешанное произведение отрицательно, то тройка векторов –левая.Теперь вычислим векторное произведение : .Обязательно снова предложите студентам сделать проверку правильности нахождения векторного произведения, используя критерий ортогональности векторов:. Поскольку проверка сошлась, можно продолжить решение задачи.Найдем высоту параллелепипеда: .Осталось найти вектор , совпадающий с высотой. Поскольку перпендикулярен плоскости основания параллелепипеда, а перпендикулярен и а эти векторы и лежат в основании параллелепипеда, то .Зная высоту параллелепипеда, находим:.Величину мы нашли. Как же выбрать знак? Как уже было отмечено, поскольку , то эта упорядоченная тройка векторов левая. Поэтому упорядоченная тройка векторов тоже левая, а–правая. По определению векторного произведения упорядоченная тройка векторов –правая. Из этого заключаем, что сонаправлен с вектором . Отсюда понятно, что .Структурирование теоретических сведений позволяет упростить процессвосприятия, облегчить усвоение данной информации. Сведение материала в таблицу помогает в поиске необходимых свойств, формул и теорем.Предложенный вариант проверки правильности решения задачи ограниченный самоконтроль позволяет в дальнейшем избежать ошибок при решении задач по темам «Прямая и плоскость в пространстве», «Взаимное расположение прямых и плоскостей».

Ефремова С. Н., Косова А. В.,Ласковая Т. А.Методические аспекты изложения темы «Векторная алгебра» в курсе «Аналитическая геометрия»// Научнометодический электронный журнал «Концепт». –2017. –№ 4(апрель).–0,2п.л. –URL: http://ekoncept.ru/2017/170089.htm.6

Ссылки на источники1.Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия. –М.:Издво МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2014. –408с.2.Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. –М.:Физматлит, 2008. –312с.3.Беклемишева Л.А. и др. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре: учеб.пособие. –М.:Изд.группа URSS, 2016. –384с.4.Гусак А.А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра: справ.пособие к решению задач.–Минск: НТООО «ТетраСистемс», 2001. –288с. 5.Сборник задач по математике для втузов. Ч.1. Линейная алгебра и основы математического анализа: учеб.пособие для втузов /под ред. А.В.Ефимова, Б.П.Демидовича. –М.:Наука, 1993.–478с.

Svetlana Efremova,Senior lecturer, Bauman Moscow State Technical University, Moscowefremova.sn@gmail.ruAnna Kosova,Senior lecturer, Bauman Moscow State Technical University, Moscowanna.v.kosova@mail.ruTatiana Laskovaya,Senior lecturer, Bauman Moscow State Technical University, Moscowtalaskovy@mail.ruMethodical aspects of the presentation of the theme “Vector agebra” in the course “Anaytica geometry”Abstract. In this article, we propose a version of the material on the subject "Vector algebra." For convenience of perception, the theoretical part is presented in the form of a table. The tasks on this topic are selected in such a way that, when solving them, students should use all the studied material. Particular attention is paid to the upbringing of students' selfcontrol in the process of solving problems.Key words: free vectors, scalar product, vector product, mixed product.References1.Kanatnikov, A. N. &Krishhenko,A. P. (2014). Analiticheskaja geometrija,Izdvo MGTU im. N. Je. Baumana, Moscow,408 p.(in Russian).2.Beklemishev,D. V. (2008). Kurs analiticheskoj geometrii i linejnoj algebry,Fizmatlit, Moscow,312 p.(in Russian).3.Beklemisheva,L. A. et al. (2016). Sbornik zadach po analiticheskoj geometrii i linejnoj algebre: ucheb. posobie,Izd. gruppa URSS, Moscow,384 p.(in Russian).4.Gusak,A. A. (2001). Analiticheskaja geometrija i linejnaja algebra: sprav. posobie k resheniju zadach,NTOOO “TetraSistems”, Minsk,288 p.(in Russian).5.Efimov, A. V. & Demidovich, B. P. (eds.) (1993). Sbornik zadach po matematike dlja vtuzov. Ch. 1. Linejnaja algebra i osnovy matematicheskogo analiza: ucheb. posobie dlja vtuzov,Nauka, Moscow,478p.(in Russian).

Рекомендованокпубликации:

Ахметовой Ф. Х., кандидатом физикоматематических наук;Горевым П. М.,кандидатомпедагогических наук, главным редактором журнала «Концепт»

Поступила в редакциюReceived28.03.17Получена положительная рецензияReceived a positivereview29.03.17ПринятакпубликацииAccepted for publication29.03.17ОпубликованаPublished05.04.17

© Концепт, научнометодический электронный журнал, 2017©Ефремова С. Н., Косова А. В., Ласковая Т. А.,2017

www.ekoncept.ru