Методические особенности темы «Вычисление площадей плоских фигур в случае параметрического задания функции и в полярных координатах»

Библиографическое описание статьи для цитирования:
Вергазова О. Б. Методические особенности темы «Вычисление площадей плоских фигур в случае параметрического задания функции и в полярных координатах» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». – 2017. – № 5 (май). – URL: http://e-koncept.ru/2017/170114.htm.
Аннотация. Работа предлагает методику изложения темы «Решение задач на вычисление площадей плоских фигур» в курсе «Интегральное исчисление». Статья написана на основе опыта преподавания математического анализа во втузе и будет полезна как преподавателям при проведении практических занятий, так и студентам для самостоятельной работы по указанной теме. Цель работы – помочь студентам приобрести и развить навыки применения методов интегрирования к решению различных задач. При решении задач на вычисление площадей студенты, как правило, испытывают затруднения при работе с полярными координатами и функциями, заданными параметрически. В этом случае полезно рассмотреть решение задачи разными способами. В работе кратко изложены основные теоретические сведения, рассмотрены примеры и типовые задачи, необходимые для совершенствования навыков интегрирования, а также приводятся сведения из истории математики с целью развития познавательного интереса к изучаемому вопросу.
Раздел: Педагогика; история педагогики и образования; теория и методика обучения и воспитания (по предметным областям)
Комментарии
Нет комментариев
Оставить комментарий
Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы комментировать.
Текст статьи
Вергазова О. Б. Методические особенности темы «Вычисление площадей плоских фигур в случае параметрического задания функции и в полярных ко0ординатах»// Научнометодический электронный журнал «Концепт».22017. 2№ 4(май).20,6п.л. 2URL: http://ekoncept.ru/2017/170114.htm.1

ART170114УДК 372.851

Вергазова Ольга Бухтияровна,кандидат философских наук, доцент πГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москваolga.aika@yandex.ru

Методические особенности темы «Вычисление площадей плоских фигур в случае параметрического задания функции и в полярных координатах»

Аннотация. Работа предлагает методику изложения темы «Решение задач на вычисление площадей плоских фигур» в курсе «Интегральное исчисление». Статья написана на основе опыта преподавания математического анализаво втузе и будет полезна как преподавателям при проведении практических занятий, так и студентам для самостоятельной работы по указанной теме. Цель работы –помочь студентам приобрести и развить навыки применения методов интегрированияк решению различных задач. При решении задач на вычисление площадейстуденты, как правило, испытывают затруднения при работе с полярными координатами ифункциями, заданными параметрически.В этом случае полезно рассмотреть решение задачи разными способами. В работе кратко изложены основные теоретические сведения, рассмотрены примеры и типовые задачи, необходимые для совершенствования навыков интегрирования, а также приводятся сведения из истории математики с целью развития познавательного интереса к изучаемому вопросу.Ключевые слова: геометрические приложения определенного интеграла, вычисление площади фигуры, методические особенности. Раздел: (01) педагогика; история педагогики и образования; теория и методика обучения и воспитания (по предметным областям).

Площадь криволинейной трапеции, заданной условиями вида {0≤ݕ≤݂(ݔ),ܽ≤ݔ≤ܾ,равна S=∫݂(ݔ)݀ݔ௕௔(1)(рис. 1).

Рис. 1Если функция y=y(x) задана параметрическими уравнениями {x=x(t),y=y(t),причем t1иt2таковы, что x(t1)=a, x(t2)=b, то нужно в формуле (1) перейти к переменной t. S=∫y(x)dxba=∫y(t)∙x′(t)dtt2t1. Заметим, что из неравенства a˂bне следует, что t1˂t2.Вергазова О. Б. Методические особенности темы «Вычисление площадей плоских фигур в случае параметрического задания функции и в полярных ко0ординатах»// Научнометодический электронный журнал «Концепт».22017. 2№ 4(май).20,6п.л. 2URL: http://ekoncept.ru/2017/170114.htm.2

Рассмотримпример решения задачи на вычисление площади разными способами. В качестве такой фигуры рассмотрим эллипс. При этом отметим ряд исторических фактов, касающихся истории открытия и изучения свойств указанной кривой.



Рис. 2

Эллипс –фигура (кривая), образованная точками, у которых сумма расстояний от двух заданных точек фиксирована (и больше расстояния между двумя указанными точками). Иными словами,если F1,F2 –данные точки, то эллипс образован точками М, для которыхF1М+ F2М=const˃ F1F2.Свойство эллипса, выраженное условием F1М+ F2М=const, называют фокальным свойством эллипса(рис. 2). Благодаря фокальному свойству можно быстро и просто начертить эллипс: достаточно закрепить в фокусах эллипса на листе бумаги две булавки, прикрепить к ним нитку длиной в две большие полуоси, затем, оттягивая нить острием карандаша, обвести одну половину эллипса, потом –вторую (рис. 3 [1]).

Рис. 3

Знаменитый ученый древности Менехм (IVв. до н.э.), ученик Евдокса, прославился работами по астрономии и математике, ипрежде всегорешением делосской Вергазова О. Б. Методические особенности темы «Вычисление площадей плоских фигур в случае параметрического задания функции и в полярных ко0ординатах»// Научнометодический электронный журнал «Концепт».22017. 2№ 4(май).20,6п.л. 2URL: http://ekoncept.ru/2017/170114.htm.3

задачи об удвоении куба. Изучение конуса привело Менехма к открытию конических сечений –кривых, полученных путем пересечения конуса секущей плоскостью.Менехм рассматривал исключительно конусы вращения. Конусы вращения в зависимости от величины угла при вершине (угла, составленного двумя образующими, расположенными в плоскости осевого сечения)Менехм делил на прямоугольные, тупоугольные и остроугольные. Для получения конических сечений рассматривалась плоскость, перпендикулярная образующей. Коническое сечение прямоугольного конуса дает параболу, тупоугольного конуса –гиперболу, остроугольного конуса –эллипс. Саминазвания кривых, которые были введены Аполлонием Пергским (III в. до н. э.), связаны как раз с упомянутым выше углом при вершине конуса. Так, эллипс (έλλείψίς–изъян, недостаток угла конуса до прямого), гипербола (ύπέρβωλη–преувеличение, преобладание угла конуса над прямым), парабола (παραβολη–приближение, то есть равенство угла конуса прямому углу). Позже было установлено, что все данные кривые можно получить на одном конусе, изменяя наклон секущей плоскости, независимо от угла при вершине. При этом следует брать конус, состоящий из двух полостей,и полагать, что они простираются в бесконечность[2, 3] (см. рис. 4).

Рис. 4

Задача. Найти площадь, ограниченную эллипсом.РешениеРассмотрим в данном случае два способа вычисления площадифигуры.1.Пусть эллипс задан каноническим уравнением:

ݔ2ܽ2+ݕ2ܾ2=1.

Вычислим четвертуючасть площади:y=b√1−x2a2,x∈[0;a].

S=4ba∫√a2−x2a0dx=4ba(x2√a2−x2│a0+a22arcsinxa│a0)=4baa22(arcsin1−arcsin0)==2abπ2=πab.Отметим, что интеграл ∫√a2−x2a0dx вычисляется методом интегрирования по частям.Ответ: πab.Вергазова О. Б. Методические особенности темы «Вычисление площадей плоских фигур в случае параметрического задания функции и в полярных ко0ординатах»// Научнометодический электронный журнал «Концепт».22017. 2№ 4(май).20,6п.л. 2URL: http://ekoncept.ru/2017/170114.htm.4

2.Рассмотрим параметрическое задание эллипса–{x=acost,y=bsint.Определим значения t1и t2. t1–решение системы {0=ܽܿ݋ݏݐ,ܾ=ܾݏ�݊ݐ.t2–найдем, решив систему {ܽ=ܽܿ݋ݏݐ,0=ܾݏ�݊ݐ.S=4ܾܽ∫ݏ�݊ݐ(−ݏ�݊ݐ)0�2dt=4ܾܽ∫ݏ�݊2ݐ�20݀ݐ=4ܾܽ∫1−௖௢௦2௧2�20݀ݐ=2ܾܽ(ݐ−12ݏ�݊2ݐ)│�20=πab.Ответ: ߨܾܽ.Следует также рассмотреть решение задачи, в которой требуется найти площадь фигуры, которая не является криволинейной трапецией.

Задача.Найти площадь фигуры, ограниченной кривымиy=1 и {ݔ=√3ܿ݋ݏ3ݐ,ݕ=8ݏ�݊3ݐ.РешениеСделаем чертеж (рис. 5).

Рис. 5

Запишем формулу для нахождения площади этой фигуры в декартовой системе координат:S=2(∫ݕ1(ݔ)݀ݔ−∫1݀ݔ)௕0௕0,

где ݕ=ݕ1(ݔ)–уравнение астроиды в декартовой системе координат. Под знаком первого интеграла перейдем к новой переменной –параметру t. Тогда:

S=2∫8ݏ�݊3ݐ∙(√3∙3ܿ݋ݏ2ݐ∙(−ݏ�݊ݐ))݀ݐ−2∫1݀ݔ.௕0௧2௧1

Вергазова О. Б. Методические особенности темы «Вычисление площадей плоских фигур в случае параметрического задания функции и в полярных ко0ординатах»// Научнометодический электронный журнал «Концепт».22017. 2№ 4(май).20,6п.л. 2URL: http://ekoncept.ru/2017/170114.htm.5

Найдем значения ݐ1,ݐ2и b.Из системы {ݔ=√3ܿ݋ݏ3ݐ,ݕ=8ݏ�݊3ݐ,ݕ=1получим 8ݏ�݊3ݐ=1, тогда ݐ2=�6. Подставим ݐ2=�6в первое уравнение и найдем b=√3ܿ݋ݏ3�6=98. Из системы {0=√3ܿ݋ݏ3ݐ,8=8ݏ�݊3ݐнайдем ݐ1=�2.Таким образом,�=2∫(−24√3ݏ�݊4ݐ∙ܿ݋ݏ2ݐ)݀ݐ�6�2−2∫݀ݔ=980=48√3∫ݏ�݊4ݐ∙ܿ݋ݏ2ݐ݀ݐ−94=�2�6=48√3∫14ݏ�݊22ݐ∙ݏ�݊2ݐ݀ݐ−94=�2�6=12√3∫ݏ�݊22ݐ∙1−ܿ݋ݏ2ݐ2݀ݐ−94=�2�6=3√3(∫1−௖௢௦4௧2݀ݐ−12∫ݏ�݊22ݐ∙݀(ݏ�݊2ݐ))−94=�2�6�2�6=3√3((�2–�6)–14ݏ�݊4ݐ│�2�6–13ݏ�݊32ݐ│�2�6)–94= π√3.Ответ: π√3.

Вычисление площади плоской фигуры в полярной системе координат

Криволинейным секторомназывается фигура, ограниченная графиком функции ρ=ρ(φ) и лучами φ=α и φ=β(рис. 6).

S=12∫ߩ2݀�ఉఈ.

Рис. 6

Если фигура не является криволинейным сектором,ее площадь находится как сумма или разность площадей криволинейных секторов.Вергазова О. Б. Методические особенности темы «Вычисление площадей плоских фигур в случае параметрического задания функции и в полярных ко0ординатах»// Научнометодический электронный журнал «Концепт».22017. 2№ 4(май).20,6п.л. 2URL: http://ekoncept.ru/2017/170114.htm.6

Например, площадьS1:

S1=12∫ߩ12(�)݀�ఉఈ12∫ߩ22(�)݀�ఉఈ=12∫(ߩ12(�)−ߩ22(�))݀�ఉఈ,

где α и β –решения системы уравнений {ߩ=ߩ1(�),ߩ=ߩ2(�)(рис. 7).

Рис. 7

Задача.Найти площадь фигуры, заданной неравенствами:

{ߩ≤4,ߩ≥2ݏ�݊�.

РешениеПостроим кривые ρ=4, ρ=2௦�௡�(см. рис. 8).Определим лучи, проходящие через точки пересечения кривых, решив систему:

{ߩ=4,ߩ=2ݏ�݊�.

Получим φ=�6, φ=5�6.Проведем указанные лучи. Получим фигуру, площадь которой надо найти,–круговой сегмент. Учитывая, что фигура симметрична относительно φ=�2,составим интеграл для вычисления площади.S=212∫(42−�2�6(2௦�௡�)2)dφ=16�│�2�6+4ܿݐ݃�│�2�6=16(�2−�6)+4(ctg�2−ctg�6)=16�3−4√3.Ответ: 16�3−4√3.Аналогично, площадь S2 = 12∫ߩ12(�)݀�ఉఈ+12∫ߩ22(�)݀�ఊఉ, β –решение системы уравнений {ߩ=ߩ1(�),ߩ=ߩ2(�),α и γ находятся из уравнений ߩ1(�)=0,ߩ2(�)=0соответственно, лучи φ=α, φ=γ–касательные лучи в полюсе (см. рис. 9).Вергазова О. Б. Методические особенности темы «Вычисление площадей плоских фигур в случае параметрического задания функции и в полярных ко0ординатах»// Научнометодический электронный журнал «Концепт».22017. 2№ 4(май).20,6п.л. 2URL: http://ekoncept.ru/2017/170114.htm.7

Рис. 8

Рис. 9

Вергазова О. Б. Методические особенности темы «Вычисление площадей плоских фигур в случае параметрического задания функции и в полярных ко0ординатах»// Научнометодический электронный журнал «Концепт».22017. 2№ 4(май).20,6п.л. 2URL: http://ekoncept.ru/2017/170114.htm.8

Задача.Найти площадь фигуры, заданной неравенствами:

{ߩ≤ݏ�݊�,ߩ≤√3ܿ݋ݏ�.РешениеПостроим кривые ρ=ݏ�݊�, ρ=√3ܿ݋ݏ�.Определим лучи, проходящие через точки пересечения кривых, решив систему:

{ߩ=ݏ�݊�,ߩ=√3ܿ݋ݏ�.

Получим φ=�3.Проведем указанный луч. Получим фигуру, площадь которой надо найти (рис. 10).

Рис. 10

Составим интеграл для вычисления площади.

Вергазова О. Б. Методические особенности темы «Вычисление площадей плоских фигур в случае параметрического задания функции и в полярных ко0ординатах»// Научнометодический электронный журнал «Концепт».22017. 2№ 4(май).20,6п.л. 2URL: http://ekoncept.ru/2017/170114.htm.9

S=12∫(√3ܿ݋ݏ�)2�30)dφ+12∫(ݏ�݊�)2�2�3)dφ=32∫1+௖௢௦2�2�30dφ+12∫1−௖௢௦2�2�2�3dφ==34(�|�30+12ݏ�݊2�|�30)+14(�|�2�3−12ݏ�݊2�|�2�3)=7�24+√34.Ответ: 7�24+√34.В заключение следует добавить, что для самостоятельной работы по данной теме можно рекомендовать задачи из источников[4–8].

Ссылки на источники1.Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. –М.: Наука,1990. –669 с.2.Там же.3.Чистяков В.Д. Три знаменитые задачи древности. –М.,1963. –94 с.4.Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах: в2 ч. Ч. 1.–М.: Изд. дом «ОНИКС 21 век»,2003. –304 с.5.Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах: в2 ч. Ч. 2.–М.:Изд. дом «ОНИКС 21 век». 2003. –416 с.6.Лунгу К.Н. Систематизация приемов учебной деятельности при обучении математике.–М.:КомКнига,2007. –424 с.7.Малыгина О.А. Изучение математического анализа на основе системнодеятельностного подхода.–М.: Изд. ЛКИ,2008. –416 с.8.Ляшко И.Я. и др. Математический анализ в примерах и задачах. –Киев,1974. –678 с.

Olga Vergazova,Candidate of Philosophical Sciences, Associate Professor, Moscow State Technical Bauman University, Moscowolga.aika@yandex.ruMethodological features of the topic “Calculatingofthe plane figures area in case of functionsparametrizationand in polar coordinates”Abstract. This work suggests a methodology for the presentation of the topic "Solution of plane figuresareascalculatingproblems " in the course "Integral calculus". The article is based on experience of mathematical analysis teaching in technical universityanditwill be usefulbothto teachers in conducting practical classes andtostudents in theirindependent work on the topic. The aim of this work is to help students to acquire and develop skills ofintegration methodsapplication for various problemssolving. When solving taskson the areas calculation students have as a ruledifficulties working with polar coordinates and functions defined parametrically. In this case, it is useful to consider theproblemsolution in different ways. The basic theoretical informationis briefly stated in this article. The author givesexamples and standardtasks that are necessary to improveintegratingskills and provides information fromthe history of mathematics which helps todevelopcognitive interest to theexploredsubject.Key words: geometrical applications of definite integral, figures area calculation, the methodological features.References1.Aleksandrov, A. D. &Necvetaev,N. Ju. (1990). Geometrija,Nauka, Moscow,669 p.(in Russian).2.Ibid.3.Chistjakov,V. D. (1963). Tri znamenitye zadachi drevnosti,Moscow,94 p.(in Russian).4.Danko,P. E. et al. (2003). Vysshaja matematika v uprazhnenijah i zadachah: v 2 ch. Ch. 1, Izd. dom “ONIKS 21 vek”, Moscow,304 p. (in Russian).5.Danko,P. E. et al. (2003). Vysshaja matematika v uprazhnenijah i zadachah: v 2 ch. Ch. 2,Izd. dom “ONIKS 21 vek”, Moscow, 416 p.(in Russian).6.Lungu,K. N. (2007). Sistematizacija priemov uchebnoj dejatel'nosti pri obuchenii matematike,KomKniga, Moscow,424 p.(in Russian).7.Malygina,O. A. (2008). Izuchenie matematicheskogo analiza na osnove sistemnodejatel'nostnogo podhoda,Izd. LKI, Moscow,416 p.(in Russian).8.Ljashko,I. Ja. et al. (1974). Matematicheskij analiz v primerah i zadachah,Kiev,678 p.(in Russian).



Вергазова О. Б. Методические особенности темы «Вычисление площадей плоских фигур в случае параметрического задания функции и в полярных ко0ординатах»// Научнометодический электронный журнал «Концепт».22017. 2№ 4(май).20,6п.л. 2URL: http://ekoncept.ru/2017/170114.htm.10

Рекомендованокпубликации:

Горевым П. М.,кандидатом педагогических наук, главным редакторомжурнала «Концепт»

Поступила в редакциюReceived11.05.17Получена положительная рецензияReceived a positivereview12.05.17ПринятакпубликацииAccepted for publication12.05.17ОпубликованаPublished15.05.17

© Концепт, научнометодический электронный журнал, 2017©Вергазова О. Б.,2017

www.ekoncept.ru