Моделирование динамических систем
ART 970160
М.
А. ГоринаБиблиографическое описание статьи для цитирования:
Горина
М.
А.,
Горин
А.
В.,
Козырев
Д.
Л. Моделирование динамических систем // Научно-методический электронный журнал «Концепт». –
2017. – Т. 31. – С.
726–730. – URL:
http://e-koncept.ru/2017/970160.htm.
Аннотация. Статья посвящена методу моделирования динамических систем. Авторы предлагают для решения поставленной задачи использование структурных схем. При этом общая система представляется в виде нескольких элементарных подсистем, которые легко описываются дифференциальными уравнениями первого порядка.
Текст статьи
Козырев Дмитрий Леонидович,инженер кафедры «Техническая механика и инженерная графика» ФГБОУ ВО «Орловский государственный университет имени И.С. Тургенева», г.Орелkozyrev.dd@yandex.ru
Горин Андрей Владимирович,кандидат технических наук, доцент кафедры «Техническая механика и инженерная графика» ФГБОУ ВО «Орловскийгосударственный университетимени И.С.Тургенева», г.Орелgorin57@mail.ru
Горина Мария Андреевна,студентФГБОУ ВО «Орловскийгосударственный университетимени И.С. Тургенева», г.Орелgorin57@mail.ru
Моделирование динамических систем
Аннотация.Статья посвящена методу моделирования динамических систем.Авторы предлагают для решения поставленной задачи использование структурных схем. При этом общая система представляется в виде нескольких элементарных подсистем, которые легко описываются дифференциальными уравнениями первого порядка.Ключевые слова:динамическая система, моделирование структурная схема, дифференциальное уравнение.
Математическая модель позволяет описать с приемлемой точностью интересующие параметры реального объекта. Следует четко представлять условия, при которых ту или иную модель целесообразно применить. Любая модель ограничена и не может учитывать все многообразие внешних факторов. Напротив, несущественные аспекты должны быть отброшены, что упростит описание и реализацию модели. Можно определить несколько целей создания матмоделей [1] [2]:
объяснить строение исследуемого объекта и выявить взаимосвязи между его отдельными частями;
спрогнозировать поведение объекта в различных условиях, выработать на основании этого прогноза управляющее воздействие;
облегчить проектирование, поиск оптимальных соотношений и параметров.На сегодняшний день разработано множество подходов для математического описания разнообразных объектов и процессов. Существует масса литературы, описывающей как чисто математические подходы [3] [4], так и реализацию этих алгоритмов навычислительной технике [5] [6] [7] [8]. Для рассматриваемой нами виброзащитной системы необходимо определить перемещения отдельных ее узлов. То есть возможно мысленно разбить рассматриваемую систему на компоненты и описать перемещение каждого в отдельности. Затем определить взаимосвязи между компонентами. Окончательную модель можно графически представить в виде структурной схемы, где каждое звено задает дифференциальное уравнение движения определенного узла.При этом целесообразно применить к рассматриваемым дифференциальным уравнениям преобразование Лапласа или другие интегральные преобразования.
Преобразование Лапласа ставит в соответствие функцииоригиналу действительной переменной функциюизображение комплексной переменной. Таблицы преобразований Лапласа для различных функций можно найти в математических справочниках, например в [9]. Различные системы компьютерного моделирования также часто оперируют не оригиналами функций, а их изображениями или передаточными функциями. Передаточная функция представляет из себя оператор, преобразующий входное воздействие в выходной параметр [10]. Более подробно процесс составления передаточных функций показан в главе 2. Если каждое звено структурной схемы задано передаточной функцией, то, пользуясь правилами преобразования структурных схем [10], можно свести модель к единственному звену и единственной передаточной функции. Однако наличие в схеме принципиальных нелинейностей (петли гистерезиса, мертвый ход, релейные переключения) делает это не всегда возможным и целесообразным [11]. В таких случаях применяются различные методы линеаризации [11] [12] [13] [14].Для примера рассмотрим простейшую колебательную систему, представленную на рисунке1. Натело массой, соединенное с основанием пружиной жесткостью Cи гидравлическим демпфером с коэффициентом демпфирования, действует возмущающая сила. Также в системе присутствует сухое трение между телом и основанием.
Рис. 1.Колебательная система
Дифференциальное уравнение, описывающее движение системы [15].Передаточная функция, определяющая перемещение груза под воздействием внешней силы при наличаи упругого и вязкого сопративления [16].Составленная, исходя из выше сказанного, структурная схема представлена на рисунке 2.
Рис. 2.Структурная схема колебательной системы
Релейное звено, включенное в отрицительную обратную связь, описывает трение в системе.В современных системах компьютерного моделирования (MATLAB, SciLab) математическая модель часто задается подобными структурными схемами, то есть возможно построение математической модели на графическом языке программирования [17] [18] [19] [20].На практике широкое распространение для решения на заданном конечном отрезке дифференциального уравнения вида
получило семейство численных итерационных методов Рунге –Кутты [21]. Наиболее часто при решении прикладныхзадач применяется метод Рунге –Кутты четвертого порядка. Значения функции на каждом шаге определяется по формуле
А коэффициенты и вычисляются соответственно по формулам
Исходя из вышесказанного, можно сформулировать общие принципы моделирования динамических систем:
сложная механическая система разбивается на несколько взаимосвязанных звеньев;
каждое звено описывается простейшим дифференциальным уравнением или зависимостью (звенья со сложными зависимостями также можно разбить по правилам преобразования структурных схем);
используя численные методы, согласно структурной схеме последовательно производятся необходимые вычисления.Возвращаясь к предыдущему примеру, отметим, что для упрощения построения алгоритма вычисления структурную схему на рисунке 0.0возможно преобразовать в эквивалентную представленную на рисунке 3.
Рис.3. Эквивалентная структурная схема
Включенные в отрицательную обратную связь звенья можно объединить в звено с передаточной функцией, так как передаточные функции последовательно расположенных звеньев при преобразовании перемножаются [10]. Затем свернув звенья, охваченные внутренней обратной связью, получим звено с передаточной функцией
Умножив числитель и знаменатель дробина Cполучим первоначальную передаточную функцию.В эквивалентной схеме уже нет звеньев, заданных дифференциальным уравнением второй степени, присутствуют только три дифференцирующих звена, три пропорциональных звена и одно релейное.
Выводы:1. Моделирование динамических систем достаточно сложный процесс, с решением сложных систем уравнений.2.Применение структурных схем существенно упрощает процесс моделирования динамических систем. 3. Предложенный метод позволяет уйти от сложных дифференциальных уравнений и перейти к уравнениям первого порядка.
Ссылки на источники1.Бенькович, Е.С. Практическое моделирование динамических систем / Е.С. Бенькович, Ю.Б. Колесов, Ю.Б. Сениченков. –СПб.: ВХБПетербург, 2002. –464 с.2.ГерманГалкилн, С.Г. Matlab & Simulink. Проектирование мехатронных систем на ПК/С.Г. ГерманГалкилн. –СПб.: КОРОНАВек, 2008. –368 с3.Волгин, Л.Н. Оптимальное дискретное управление динамическими системами / Л.Н. Волгин. –М.: Наука, 1986. –250 с.4.Блехман, И. И. Вибрационная механика / И.И. Блехман.–М.: Физматлит, 1994. –400 с.5.Ануфриев, И.Е. MATLAB7/ И.Е. Ануфриев, А.В. Смирнов, Е.Н. Смирнова. –СПб.: БХВПетербург, 2005. –1104 с.6.Черных, В.И. SIMULINK: Среда создания инженерных приложений / В.И. Черных; под общ. ред. В.Г. Потемкина. –М.: ДИАЛОГМИФИ, 2003. –496 с7.Макаров, Е. Инженерные расчеты в Mathcad 15: Учебный курс / Е. Макаров. –СПб.: Питер, 2011. –400 с.8.Кетков, Ю.Л. MATLAB7: программирование, численные методы / Ю.Л. Кетков, А.Ю. Кетков, М.М. Шульц. –СПб.: БХВПетербург, 2005. –752 с.9.Бёрд, Дж. Инженерная матеметика: Карманный справочник: Пер. с англ/Дж. Бёрд. –М.: Издательский дом "ДодэкаXXI", 2008. –544 с.10.Теория автоматического управления: Учеб. для вузов по спец. "Автоматика и телеиеханика". В 2х ч. Ч. I. Теория линейных систем автоматического управления / Н.А. Бабаков, А.А. Воронов, А.А. Воронова; под ред. А.А. Воронова. –М.: Высшая школа, 1986. –367 с.11.Теория автоматического управления: Учеб. для вузов по спец. "Автоматика и телеиеханика". В 2х ч. Ч. II. Теория нелинейных и специальныхсистем автоматического управления / А.А. Воронов, Д.П. Ким, М.В. Лохин; под ред. А.А. Воронова. –М.: Высшая школа, 1986. –504 с.12.Алифов, А. А. Взаимодействие нелинейных колебательных систем с источниками энергии / А. А. Алифов, К. А. Фролов. –М.: Наука, 1985. –327 с.13.Воротников, В.И. Устойчивость и управления по части координат фазового вектора динамических смстем: теория, меьоды и приложения / В.И. Воротников, В.В. Румянцев. –М.: Научный мир, 2001. –320 с.14.Половко, А.М. Интерполяция. Методика и компьютерные технологии их реализации / А.М. Половко, П.Н. Бутусов. –СПб.: БХВПетербург, 2004.15.Бидерман, В.Л. Теория механических колебаний: Учебник для вузов / В.Л. Бидерман. –М.: Высшая школа, 1980. –408 с.16.Топчеев, Ю.И. Атлас для проектирования систем автоматического регулирования. –М.: Машиностроение, 1989. –752 с.17.Алексеев, Е.Р. Scilab: Решение инженерных и математических задач / Е.Р. Алексеев, О.В. Чеснокова, Е.А. Рудченко. –М: ATL Linux; БИНОМ. Лаболатория знаний, 2008. –269 с.18.Дьяконов, В.П. MATLAB. Анализ, идентификация и моделирование систем. Специальный справочник / В.П. Дьяконов, В.В. Круглов. –СПб.: Питер, 2002. –448 с.19.Дэбни, Дж. Simulink 4: Секреты мастерства / Дж. Дэбни, Т. Хартман Т. –М.: БИНОМ, 2003. –403 с20.Кондрашов, В. Е. MATLAB как система программирования научнотехнических расчетов / В.Е. Кондрашов, С.Б. Королев. –М.: Мир, 2002. –350 с.21.Метод Рунге –Кутты // Википедия. [2016]. URL: http://ru.wikipedia.org/?oldid=70640988 (дата обращения: 21.05.2016).
Горин Андрей Владимирович,кандидат технических наук, доцент кафедры «Техническая механика и инженерная графика» ФГБОУ ВО «Орловскийгосударственный университетимени И.С.Тургенева», г.Орелgorin57@mail.ru
Горина Мария Андреевна,студентФГБОУ ВО «Орловскийгосударственный университетимени И.С. Тургенева», г.Орелgorin57@mail.ru
Моделирование динамических систем
Аннотация.Статья посвящена методу моделирования динамических систем.Авторы предлагают для решения поставленной задачи использование структурных схем. При этом общая система представляется в виде нескольких элементарных подсистем, которые легко описываются дифференциальными уравнениями первого порядка.Ключевые слова:динамическая система, моделирование структурная схема, дифференциальное уравнение.
Математическая модель позволяет описать с приемлемой точностью интересующие параметры реального объекта. Следует четко представлять условия, при которых ту или иную модель целесообразно применить. Любая модель ограничена и не может учитывать все многообразие внешних факторов. Напротив, несущественные аспекты должны быть отброшены, что упростит описание и реализацию модели. Можно определить несколько целей создания матмоделей [1] [2]:
объяснить строение исследуемого объекта и выявить взаимосвязи между его отдельными частями;
спрогнозировать поведение объекта в различных условиях, выработать на основании этого прогноза управляющее воздействие;
облегчить проектирование, поиск оптимальных соотношений и параметров.На сегодняшний день разработано множество подходов для математического описания разнообразных объектов и процессов. Существует масса литературы, описывающей как чисто математические подходы [3] [4], так и реализацию этих алгоритмов навычислительной технике [5] [6] [7] [8]. Для рассматриваемой нами виброзащитной системы необходимо определить перемещения отдельных ее узлов. То есть возможно мысленно разбить рассматриваемую систему на компоненты и описать перемещение каждого в отдельности. Затем определить взаимосвязи между компонентами. Окончательную модель можно графически представить в виде структурной схемы, где каждое звено задает дифференциальное уравнение движения определенного узла.При этом целесообразно применить к рассматриваемым дифференциальным уравнениям преобразование Лапласа или другие интегральные преобразования.
Преобразование Лапласа ставит в соответствие функцииоригиналу действительной переменной функциюизображение комплексной переменной. Таблицы преобразований Лапласа для различных функций можно найти в математических справочниках, например в [9]. Различные системы компьютерного моделирования также часто оперируют не оригиналами функций, а их изображениями или передаточными функциями. Передаточная функция представляет из себя оператор, преобразующий входное воздействие в выходной параметр [10]. Более подробно процесс составления передаточных функций показан в главе 2. Если каждое звено структурной схемы задано передаточной функцией, то, пользуясь правилами преобразования структурных схем [10], можно свести модель к единственному звену и единственной передаточной функции. Однако наличие в схеме принципиальных нелинейностей (петли гистерезиса, мертвый ход, релейные переключения) делает это не всегда возможным и целесообразным [11]. В таких случаях применяются различные методы линеаризации [11] [12] [13] [14].Для примера рассмотрим простейшую колебательную систему, представленную на рисунке1. Натело массой, соединенное с основанием пружиной жесткостью Cи гидравлическим демпфером с коэффициентом демпфирования, действует возмущающая сила. Также в системе присутствует сухое трение между телом и основанием.
Рис. 1.Колебательная система
Дифференциальное уравнение, описывающее движение системы [15].Передаточная функция, определяющая перемещение груза под воздействием внешней силы при наличаи упругого и вязкого сопративления [16].Составленная, исходя из выше сказанного, структурная схема представлена на рисунке 2.
Рис. 2.Структурная схема колебательной системы
Релейное звено, включенное в отрицительную обратную связь, описывает трение в системе.В современных системах компьютерного моделирования (MATLAB, SciLab) математическая модель часто задается подобными структурными схемами, то есть возможно построение математической модели на графическом языке программирования [17] [18] [19] [20].На практике широкое распространение для решения на заданном конечном отрезке дифференциального уравнения вида
получило семейство численных итерационных методов Рунге –Кутты [21]. Наиболее часто при решении прикладныхзадач применяется метод Рунге –Кутты четвертого порядка. Значения функции на каждом шаге определяется по формуле
А коэффициенты и вычисляются соответственно по формулам
Исходя из вышесказанного, можно сформулировать общие принципы моделирования динамических систем:
сложная механическая система разбивается на несколько взаимосвязанных звеньев;
каждое звено описывается простейшим дифференциальным уравнением или зависимостью (звенья со сложными зависимостями также можно разбить по правилам преобразования структурных схем);
используя численные методы, согласно структурной схеме последовательно производятся необходимые вычисления.Возвращаясь к предыдущему примеру, отметим, что для упрощения построения алгоритма вычисления структурную схему на рисунке 0.0возможно преобразовать в эквивалентную представленную на рисунке 3.
Рис.3. Эквивалентная структурная схема
Включенные в отрицательную обратную связь звенья можно объединить в звено с передаточной функцией, так как передаточные функции последовательно расположенных звеньев при преобразовании перемножаются [10]. Затем свернув звенья, охваченные внутренней обратной связью, получим звено с передаточной функцией
Умножив числитель и знаменатель дробина Cполучим первоначальную передаточную функцию.В эквивалентной схеме уже нет звеньев, заданных дифференциальным уравнением второй степени, присутствуют только три дифференцирующих звена, три пропорциональных звена и одно релейное.
Выводы:1. Моделирование динамических систем достаточно сложный процесс, с решением сложных систем уравнений.2.Применение структурных схем существенно упрощает процесс моделирования динамических систем. 3. Предложенный метод позволяет уйти от сложных дифференциальных уравнений и перейти к уравнениям первого порядка.
Ссылки на источники1.Бенькович, Е.С. Практическое моделирование динамических систем / Е.С. Бенькович, Ю.Б. Колесов, Ю.Б. Сениченков. –СПб.: ВХБПетербург, 2002. –464 с.2.ГерманГалкилн, С.Г. Matlab & Simulink. Проектирование мехатронных систем на ПК/С.Г. ГерманГалкилн. –СПб.: КОРОНАВек, 2008. –368 с3.Волгин, Л.Н. Оптимальное дискретное управление динамическими системами / Л.Н. Волгин. –М.: Наука, 1986. –250 с.4.Блехман, И. И. Вибрационная механика / И.И. Блехман.–М.: Физматлит, 1994. –400 с.5.Ануфриев, И.Е. MATLAB7/ И.Е. Ануфриев, А.В. Смирнов, Е.Н. Смирнова. –СПб.: БХВПетербург, 2005. –1104 с.6.Черных, В.И. SIMULINK: Среда создания инженерных приложений / В.И. Черных; под общ. ред. В.Г. Потемкина. –М.: ДИАЛОГМИФИ, 2003. –496 с7.Макаров, Е. Инженерные расчеты в Mathcad 15: Учебный курс / Е. Макаров. –СПб.: Питер, 2011. –400 с.8.Кетков, Ю.Л. MATLAB7: программирование, численные методы / Ю.Л. Кетков, А.Ю. Кетков, М.М. Шульц. –СПб.: БХВПетербург, 2005. –752 с.9.Бёрд, Дж. Инженерная матеметика: Карманный справочник: Пер. с англ/Дж. Бёрд. –М.: Издательский дом "ДодэкаXXI", 2008. –544 с.10.Теория автоматического управления: Учеб. для вузов по спец. "Автоматика и телеиеханика". В 2х ч. Ч. I. Теория линейных систем автоматического управления / Н.А. Бабаков, А.А. Воронов, А.А. Воронова; под ред. А.А. Воронова. –М.: Высшая школа, 1986. –367 с.11.Теория автоматического управления: Учеб. для вузов по спец. "Автоматика и телеиеханика". В 2х ч. Ч. II. Теория нелинейных и специальныхсистем автоматического управления / А.А. Воронов, Д.П. Ким, М.В. Лохин; под ред. А.А. Воронова. –М.: Высшая школа, 1986. –504 с.12.Алифов, А. А. Взаимодействие нелинейных колебательных систем с источниками энергии / А. А. Алифов, К. А. Фролов. –М.: Наука, 1985. –327 с.13.Воротников, В.И. Устойчивость и управления по части координат фазового вектора динамических смстем: теория, меьоды и приложения / В.И. Воротников, В.В. Румянцев. –М.: Научный мир, 2001. –320 с.14.Половко, А.М. Интерполяция. Методика и компьютерные технологии их реализации / А.М. Половко, П.Н. Бутусов. –СПб.: БХВПетербург, 2004.15.Бидерман, В.Л. Теория механических колебаний: Учебник для вузов / В.Л. Бидерман. –М.: Высшая школа, 1980. –408 с.16.Топчеев, Ю.И. Атлас для проектирования систем автоматического регулирования. –М.: Машиностроение, 1989. –752 с.17.Алексеев, Е.Р. Scilab: Решение инженерных и математических задач / Е.Р. Алексеев, О.В. Чеснокова, Е.А. Рудченко. –М: ATL Linux; БИНОМ. Лаболатория знаний, 2008. –269 с.18.Дьяконов, В.П. MATLAB. Анализ, идентификация и моделирование систем. Специальный справочник / В.П. Дьяконов, В.В. Круглов. –СПб.: Питер, 2002. –448 с.19.Дэбни, Дж. Simulink 4: Секреты мастерства / Дж. Дэбни, Т. Хартман Т. –М.: БИНОМ, 2003. –403 с20.Кондрашов, В. Е. MATLAB как система программирования научнотехнических расчетов / В.Е. Кондрашов, С.Б. Королев. –М.: Мир, 2002. –350 с.21.Метод Рунге –Кутты // Википедия. [2016]. URL: http://ru.wikipedia.org/?oldid=70640988 (дата обращения: 21.05.2016).
