О почти дуально-рекуррентном простом изотропном бивекторе
Е.
В. ШубинаБиблиографическое описание статьи для цитирования:
Шубина
Е.
В. О почти дуально-рекуррентном простом изотропном бивекторе // Научно-методический электронный журнал «Концепт». –
2017. – Т. 39. – С.
4232–4236. – URL:
http://e-koncept.ru/2017/971173.htm.
Аннотация. В данной статье предлагается вариант четырехмерной записи условия почти дуальной рекуррентности. Получены уравнения на полевые функции электромагнитного поля для статического пространства и пространства Фридмана, которые аналогичны трехмерным условиям почти дуальной рекуррентности.
Ключевые слова:
тензор электромагнитного поля, простой изотропный бивектор, почти дуальная рекуррентность, пространство фридмана
Текст статьи
Шубина Екатерина Вячеславовна, студенткафизикоматематического факультетаФГБОУ ВО «Марийский государственный университет», г.ЙошкарОлаekaterina.shubina.95@mail.ru
О почти дуальнорекуррентном простом изотропном бивекторе
Аннотация.В данной статье предлагается вариант четырехмерной записи условия почти дуальной рекуррентности. Получены уравнения на полевые функции электромагнитного поля для статического пространства и пространства Фридмана, которые аналогичны трехмерным условиям почти дуальной рекуррентности.Ключевые слова:Тензор электромагнитного поля, простой изотропный бивектор, почти дуальная рекуррентность, пространство Фридмана.
Решение задач электродинамики в пространствах отличных от евклидовых приводит к необходимости выделения инвариантным образом простейших решений. При этом возникает вопрос о том, какие решения являются простейшими. В евклидовом пространстве такими решениями являются,например,плоские электромагнитные волны. В качестве аналога таких решений для пространства с кривизной С.П.Гавриловым[1]было предложено рассматривать электромагнитные поля, описываемые простым изотропным дуальнорекуррентным тензором электромагнитного поля ,где условие дуальной рекуррентности:
,
(1)здесь запятой обозначена ковариантная производнаяв метрике по ,
дуальный тензор к. В статическом пространстве времени уравнения(1) можно представить в виде:
(2)
Здесь символ ковариантной производной в связности пространства ,
Условие простоты и изотропности имеют вид
(3)Греческие индексы пробегают значения 1, 2, 3, 4, а латинские –1, 2, 3.
В работе [2] показано,что система 2 не имеетненулевыхрешений, например, в случае пространствапостоянной кривизны. Тамжебыло предложено рассмотреть вместо системы 2 систему более общего вида:
(4)Следствие из системы 4 может быть записано в виде 4х мерного соотношения (5):
.
(5)
Представимвыражение 5 в пространстве Фридмана, метрика которого имеет вид:
где ,
(6)
Для развертывания системы 5 для метрики 6 найдем символы Кристоффеля 1го рода:
.
(7)
где символ Кристоффеля в связности метрики
Формула для вычисления символа Кристоффеля2го рода:.
.Вычислим значенияковариантных производных,
,
(8)
.
(9)В метрике 6 данные производные имеют вид:,
,,,, ,,.Тогда выражение 5 в пространстве Фридмана запишетсядля
(10)для
(11)для
(12)для
(13),дискриминантные тензоры метрики ,и дискриминантные тензоры метрики Условия почти дуальной рекуррентности могут быть записаны в виде соотношения на комплекснозначный вектор, что соотносится с принципом перенесения КотельниковаШтуди, для этого второе уравнение из систем 10 (13) умножим на иприбавим егок первому уравнению данных систем:
для
(14)для
(15)для
(16)для
(17)
Введем обозначения
(18)Получим:для
(19)для
(20)для
(21)для
(22)Таким образом, условие почти дуальной рекуррентности может быть записано в виде 5, которое для пространства Фридмана имеют вид 10 13. Эти же уравнения допускают комплексификацию, то есть могут быть записаны в виде уравнения на комплексный вектор 18, что соотносится с принципом перенесения КотельниковаШтуди.
Ссылки на источники1.Гаврилов, С.П. Римановы пространства с дуальнорекуррентным бивектором характеристики [13]. Сборник статей «Гравитация и теория относительности»/С.П. Гаврилов.
Казань, 1977.2.Трепалин, А.М. Дуальнорекуррентные и почти дуальнорекуррентные электромагнитные волны в пространстве ФридманаЛобачевского/А.М. Трепалин. –Казань, Известия ВУЗ, №3 –1984.
О почти дуальнорекуррентном простом изотропном бивекторе
Аннотация.В данной статье предлагается вариант четырехмерной записи условия почти дуальной рекуррентности. Получены уравнения на полевые функции электромагнитного поля для статического пространства и пространства Фридмана, которые аналогичны трехмерным условиям почти дуальной рекуррентности.Ключевые слова:Тензор электромагнитного поля, простой изотропный бивектор, почти дуальная рекуррентность, пространство Фридмана.
Решение задач электродинамики в пространствах отличных от евклидовых приводит к необходимости выделения инвариантным образом простейших решений. При этом возникает вопрос о том, какие решения являются простейшими. В евклидовом пространстве такими решениями являются,например,плоские электромагнитные волны. В качестве аналога таких решений для пространства с кривизной С.П.Гавриловым[1]было предложено рассматривать электромагнитные поля, описываемые простым изотропным дуальнорекуррентным тензором электромагнитного поля ,где условие дуальной рекуррентности:
,
(1)здесь запятой обозначена ковариантная производнаяв метрике по ,
дуальный тензор к. В статическом пространстве времени уравнения(1) можно представить в виде:
(2)
Здесь символ ковариантной производной в связности пространства ,
Условие простоты и изотропности имеют вид
(3)Греческие индексы пробегают значения 1, 2, 3, 4, а латинские –1, 2, 3.
В работе [2] показано,что система 2 не имеетненулевыхрешений, например, в случае пространствапостоянной кривизны. Тамжебыло предложено рассмотреть вместо системы 2 систему более общего вида:
(4)Следствие из системы 4 может быть записано в виде 4х мерного соотношения (5):
.
(5)
Представимвыражение 5 в пространстве Фридмана, метрика которого имеет вид:
где ,
(6)
Для развертывания системы 5 для метрики 6 найдем символы Кристоффеля 1го рода:
.
(7)
где символ Кристоффеля в связности метрики
Формула для вычисления символа Кристоффеля2го рода:.
.Вычислим значенияковариантных производных,
,
(8)
.
(9)В метрике 6 данные производные имеют вид:,
,,,, ,,.Тогда выражение 5 в пространстве Фридмана запишетсядля
(10)для
(11)для
(12)для
(13),дискриминантные тензоры метрики ,и дискриминантные тензоры метрики Условия почти дуальной рекуррентности могут быть записаны в виде соотношения на комплекснозначный вектор, что соотносится с принципом перенесения КотельниковаШтуди, для этого второе уравнение из систем 10 (13) умножим на иприбавим егок первому уравнению данных систем:
для
(14)для
(15)для
(16)для
(17)
Введем обозначения
(18)Получим:для
(19)для
(20)для
(21)для
(22)Таким образом, условие почти дуальной рекуррентности может быть записано в виде 5, которое для пространства Фридмана имеют вид 10 13. Эти же уравнения допускают комплексификацию, то есть могут быть записаны в виде уравнения на комплексный вектор 18, что соотносится с принципом перенесения КотельниковаШтуди.
Ссылки на источники1.Гаврилов, С.П. Римановы пространства с дуальнорекуррентным бивектором характеристики [13]. Сборник статей «Гравитация и теория относительности»/С.П. Гаврилов.
Казань, 1977.2.Трепалин, А.М. Дуальнорекуррентные и почти дуальнорекуррентные электромагнитные волны в пространстве ФридманаЛобачевского/А.М. Трепалин. –Казань, Известия ВУЗ, №3 –1984.
