Ключевое слово: «предел функции в точке»

Топический подход к дифференцированию основан на топическом определении предела функции в точке, который предполагает лишь, что точка является точкой прикосновения (предельной или изолированной точкой) области определения функции. Это означает, что точка, в которой определяется предел функции, может, в частности, принадлежать области ее определения. Топическое определение предела позволяет избежать множественные дублирования построений в курсе математического анализа, например, при изучении непрерывных функций. В данной статье рассмотрен вопрос влияния топического подхода к понятию предела на процедуру дифференцирования функций одной или нескольких действительных переменных.

При изучении математического анализа в вузе одна из первых тем, с которой подробно знакомятся студенты на лекционных и практических занятиях, – предел функции вещественной переменной. Первые трудности в изучении математики также ожидают первокурсников при освоении данной темы, включая освоение нового для них математического языка обозначений и терминов. Различные учебники трактуют по-разному эту, казалось бы, давно и полностью освоенную преподавателями и методистами тему. Поэтому актуален выбор правильного подхода к теме «Предел и непрерывность функции» в зависимости от направления обучения, уровня подготовки и мотивированности студентов, времени, отведенного на изучение темы. Цель исследования – анализ и классификация подходов к определению предела функции в точке в зависимости от требований, наложенных на эту точку по отношению к области определения функции. Методология исследования: сравнительный анализ учебной литературы по математическому анализу (теоретический метод); создание подборки учебных задач, иллюстрирующих теоретические положения статьи, обсуждение их решений в контексте полученных теоретических результатов (эмпирический метод). Результаты статьи: обзор и анализ определений предела, содержащихся в различных источниках, приводят к теоретическому результату – классификации определений предела по указанному признаку, а разбор на основе полученной классификации учебных примеров на вычисление пределов и исследование поведения функций в окрестности точки обеспечивает возможное практическое применение полученного результата на занятиях со студентами. Теоретическая значимость статьи: четко сформулированы принципы классификации условий рассмотрения предела функции в точке, проведена классификация (три способа формулировки условий). Практическая значимость статьи: используя результаты статьи, преподаватели могут проводить занятия, а студенты прилагать теорию к решению задач по теме «Предел и непрерывность функции» более осознанно. Помимо методического значения для изучения данной конкретной темы, полученные результаты важны для установления адекватного уровня строгости и детализации при изучении математического анализа в целом студентами разных учебных направлений и уровней подготовки: именно потому, что данная тема – одна из первых в большинстве курсов математического анализа или высшей математики, реакция на нее студентов, их вопросы, трудности, более или менее успешное преодоление трудностей послужат преподавателю камертоном для выбора дальнейшей стратегии работы со студентами. В этом дополнительная практико-методическая ценность полученных результатов.