Геодезические на поверхностях вращения в трехмерном псевдоевклидовом пространстве.
ART 53039
Автор:
Н.
А. Кузменкова
Н.
А. Кузменкова Библиографическое описание статьи для цитирования:
Кузменкова
Н.
А. Геодезические на поверхностях вращения в трехмерном псевдоевклидовом пространстве. // Научно-методический электронный журнал «Концепт». –
2013. – Т. 3. – С.
186–190. – URL:
http://e-koncept.ru/2013/53039.htm.
Аннотация. В работе найдены законы сохранения геодезического
потока поверхности вращения. В качестве примера рассматривается параболоид вращения x² + y² = z в псевдоевклидовом пространстве. Как известно, кроме сохранения модуля вектора скорости имеется еще
один закон сохранения – интеграл Клеро. Также для данного примера найдена гауссова кривизна. Рассмотрена поверхность вращения, образованная псевдоевклидовым вращением кривой.
Ключевые слова:
гауссова кривизна, геодезические, интеграл клеро, поверхности вращения, псевдоевклидово пространство
Текст статьи
Кузменкова Наталья Андреевнаучитель математики МБОУ СОШ № 34», г.Кемеровоkuzmenkova1989@mail.ru
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ НА ПОВЕРХНОСТЯХ ВРАЩЕНИЯ ВТРЕХМЕРНОМ ПСЕВДОЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Аннотация.В работе найдены законы сохранения геодезического потокаповерхности вращения.В качестве примера рассматривается параболоид вращенияx² y² zв псевдоевклидовом пространстве .Как известно, кроме сохранения модуля вектора скорости имеется еще один закон сохранения –интеграл Клеро. Также для данного примера найдена гауссова кривизна. Рассмотрена поверхность вращения, образованная псевдоевклидовым вращением кривой.Ключевые слова:Гауссова Кривизна, геодезические, интеграл Клеро, поверхностивращения, псевдоевклидово пространство.
Поверхность вращения получается действием на некоторую линию однопараметрической группы движений объемлющего пространства. В случае евклидова пространства
хорошо изучены. Если в качестве объемлющего пространства рассматривается псевдоевклидово пространство , то наряду с обычными вращениями (вокруг некоторой оси) можно рассматривать и гиперболические движения. Кроме того, поверхность в может иметьримановы и псевдоримановы части.[2]. Рассмотрим для примера параболоид вращения в псевдоевклидовом пространстве со скалярным произведением (dl)²=(dx)²+(dy)²–(dz)².
Введем псевдоевклидовы координаты(z,φ) на параболоиде, полагая:, .Метрика в этихкоординатах имеет вид . Геодезическая на поверхности –это кривая γ(t), координатные функции которой удовлетворяют системе уравнений , где–символы Кристоффеля , i, j=1,2и
элементы обратной матрицыметрического тензора. Вычисляя символы Кристоффеля, получаем уравнениягеодезических:.Система имеет первый интеграл , где –вектор скорости геодезической. В дальнейшем будем считать, что вектор скорости геодезической имеет единичнуюдлину.Второе уравнение системы имеет первый интеграл Клеро: . В локальных координатах (z,φ)поле скоростейвращения
имеет координаты
(0,1). Тогда скалярное произведение векторов Vи имеет вид:, аэто и есть закон сохранения. Тогда геометрический смысл закона сохранения в том, что скалярное произведение векторов и сохраняется во время движения[1].При вложении в псевдоевклидово пространство на параболоиде индуцируется метрика . При этом она является римановой на части параболоида, где 0 < z, а на остальной части –псевдориманова. Рассмотрим геодезические на обеих частях параболоида.
Рис. 1. Параболоид вращенияв пространстве .Риманова часть параболоида. Рассмотрим область поверхности, где с2z. Это пространственноподобная часть поверхности и на ней индуцируется риманова метрика. Тогда, учитывая, что , где ψ–угол между
и , |V| длина вектора
в метрике g: |V|=, а ,интеграл Клеро принимает вид:, где определяет расстояние от точки поверхности до оси вращения, ψ –угол, под которым геодезическая линия на поверхности пересекает меридиан, проходящий через эту точку.Рассмотримобазаконасохранения в виде системыуравнений:, , где с const, с2z.Отсюда получаем:
и . Компоненты вектора скорости геодезической легко выражаютсячерез координаты точки поверхности(напомним, что z
� 0): ,
Мы видим, чтопри приближении к границе раздела вертикальная составляющая вектора скорости геодезической неограниченно растет. 0,25Физически это соответствует тому, чтоточка геодезической падает» на параллель .Кривизна поверхности. Для вычисления кривизны используем следующую классическую формулу []:
Кривизна римановой части параболоида: . Мы видим, что при кривизна стремится к –∞.
Псевдориманова часть параболоида. Рассмотрим область поверхности, где .На ней индуцируется псевдориманова метрика .Уравнения геодезических имеют вид:,.Второе уравнение имеет первый интеграл:.Поскольку длина вектора скорости
геодезической сохраняется во время движения, то можно считать, что , где . Скалярное произведение векторов и имеет вид .Таким образом, геометрический смысл интеграла Клеро в том, что псевдориманово скалярное произведение векторов Vи сохраняется во время движения Компоненты вектора скорости геодезической легко выражаютсячерез координаты точки поверхности: , где .Мы видим, что при приближении к границе раздела вертикальная составляющая вектора скорости геодезической неограниченно растет. Физически это соответствует тому, что точка геодезической падает» на параллель .Гауссова кривизна псевдоримановой части параболоида, вычисленная по указанной выше формуле, . При кривизна стремится к +∞.
Поверхность вращения, образованная псевдоевклидовым вращением кривой.Рассмотрим чисто псевдоевклидовы вращения в плоскости Oz, вокруг оси Ox. Они задаются матрицей вида . Рассмотрим кривую x= x(t), y= y(t) = f(x). Вращая ее вокруг оси Oxполучим следующую поверхность вращения:x= x, y= f(x) chψ, z= f(x) shψ. Находим псевдоевклидову метрику или полагая, , как . Отсюда уравнения геодезических имеют вид: . Последнее имеет первый интеграл: или , где с const. Из симплектическойтеории[3]нам известно, чтосистема дифференциальных уравнений на симплектическоммногообразии , имеющая вид
называется гамильтоновой. –гамильтониан этой системы,
элементы обратной матрицы метрического тензора , –дифференциальная форма, которая задает симплектическую структуру на . Гамильтонову систему на можно записать в следующем виде, (1). Отсюда функция H на определяет векторное поле следующим образом: . Для любой функции fвыражение антисимметрично по fи H. Получившаяся функция является скобкой Пуассона функций fи H.Определение. Пусть дана система обыкновенных дифференциальных уравнений . Первым интегралом (или просто интегралом) этой системы называют такую функцию
аргументов , которая остается постоянной во время движения, то есть, если –решение системы, то.Если последнее тождество продифференцировать по t, то получается следующее равенство (2).Легко видеть, что для гамильтоновой системы (1) правая часть равенства () представляет собой скобку Пуассона f, H функций fи H. Таким образом, непостоянная функция f
является первым интегралом (1), если f, H 0. В частности, Hесть интеграл системы (1).Отсюда мы можем убедиться в правильности найденного интегралаК для поверхностивращения, образованная псевдоевклидовым вращением кривой. Для этого достаточно вычислить скобку Пуассона К, H и проверить, что она равно 0. Напомним, что скобка Пуассона и функция определены в координатах (p, x). Переписав интеграл Kв этих координатах, получим в итоге . Отсюда, легко видеть, что .
Ссылки на источники1.Розендорн Э.Р., Соколов Д.Д. О восстановлении двумерной псевдоримановой метрики по заданной кривизне, Фундаментальная и прикладная математика, 11, №1, 005 г., 8592.2.Фавар Ж.. Курс локальной дифференциальной геометрии, М.: ИЛ, 1960 г.3.Фоменко А.Т. Симплектическаягеометрия. Методы и приложения. МГУ, 1988 г.
Kuzmenkova Natalyamath teacher MBOU "School № 34", Kemerovokuzmenkova1989@mail.ru
Geodesic arc on revolution surface in threedimensional pseudoEuclidean space
Abstract.There is a conservation law of geodesic flow of revolution surface in this work. As an example the paraboloid ofrevolution x² ² z is consiere in pseudoEuclidean space. As is wellknown, exept the conservation of velocity vector modulus, there is one more conservation law. This is Clairaut integral. Also for this example Gaussian curvature was found, revolution surface cost by pseudoEuclidean rotation of curve is considered.
Key words:Gaussian curvature, geodesic, Clairaut integral, surfaces of revolution, pseudoEuclidean space.
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ НА ПОВЕРХНОСТЯХ ВРАЩЕНИЯ ВТРЕХМЕРНОМ ПСЕВДОЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Аннотация.В работе найдены законы сохранения геодезического потокаповерхности вращения.В качестве примера рассматривается параболоид вращенияx² y² zв псевдоевклидовом пространстве .Как известно, кроме сохранения модуля вектора скорости имеется еще один закон сохранения –интеграл Клеро. Также для данного примера найдена гауссова кривизна. Рассмотрена поверхность вращения, образованная псевдоевклидовым вращением кривой.Ключевые слова:Гауссова Кривизна, геодезические, интеграл Клеро, поверхностивращения, псевдоевклидово пространство.
Поверхность вращения получается действием на некоторую линию однопараметрической группы движений объемлющего пространства. В случае евклидова пространства
хорошо изучены. Если в качестве объемлющего пространства рассматривается псевдоевклидово пространство , то наряду с обычными вращениями (вокруг некоторой оси) можно рассматривать и гиперболические движения. Кроме того, поверхность в может иметьримановы и псевдоримановы части.[2]. Рассмотрим для примера параболоид вращения в псевдоевклидовом пространстве со скалярным произведением (dl)²=(dx)²+(dy)²–(dz)².
Введем псевдоевклидовы координаты(z,φ) на параболоиде, полагая:, .Метрика в этихкоординатах имеет вид . Геодезическая на поверхности –это кривая γ(t), координатные функции которой удовлетворяют системе уравнений , где–символы Кристоффеля , i, j=1,2и
элементы обратной матрицыметрического тензора. Вычисляя символы Кристоффеля, получаем уравнениягеодезических:.Система имеет первый интеграл , где –вектор скорости геодезической. В дальнейшем будем считать, что вектор скорости геодезической имеет единичнуюдлину.Второе уравнение системы имеет первый интеграл Клеро: . В локальных координатах (z,φ)поле скоростейвращения
имеет координаты
(0,1). Тогда скалярное произведение векторов Vи имеет вид:, аэто и есть закон сохранения. Тогда геометрический смысл закона сохранения в том, что скалярное произведение векторов и сохраняется во время движения[1].При вложении в псевдоевклидово пространство на параболоиде индуцируется метрика . При этом она является римановой на части параболоида, где 0 < z, а на остальной части –псевдориманова. Рассмотрим геодезические на обеих частях параболоида.
Рис. 1. Параболоид вращенияв пространстве .Риманова часть параболоида. Рассмотрим область поверхности, где с2z. Это пространственноподобная часть поверхности и на ней индуцируется риманова метрика. Тогда, учитывая, что , где ψ–угол между
и , |V| длина вектора
в метрике g: |V|=, а ,интеграл Клеро принимает вид:, где определяет расстояние от точки поверхности до оси вращения, ψ –угол, под которым геодезическая линия на поверхности пересекает меридиан, проходящий через эту точку.Рассмотримобазаконасохранения в виде системыуравнений:, , где с const, с2z.Отсюда получаем:
и . Компоненты вектора скорости геодезической легко выражаютсячерез координаты точки поверхности(напомним, что z
� 0): ,
Мы видим, чтопри приближении к границе раздела вертикальная составляющая вектора скорости геодезической неограниченно растет. 0,25Физически это соответствует тому, чтоточка геодезической падает» на параллель .Кривизна поверхности. Для вычисления кривизны используем следующую классическую формулу []:
Кривизна римановой части параболоида: . Мы видим, что при кривизна стремится к –∞.
Псевдориманова часть параболоида. Рассмотрим область поверхности, где .На ней индуцируется псевдориманова метрика .Уравнения геодезических имеют вид:,.Второе уравнение имеет первый интеграл:.Поскольку длина вектора скорости
геодезической сохраняется во время движения, то можно считать, что , где . Скалярное произведение векторов и имеет вид .Таким образом, геометрический смысл интеграла Клеро в том, что псевдориманово скалярное произведение векторов Vи сохраняется во время движения Компоненты вектора скорости геодезической легко выражаютсячерез координаты точки поверхности: , где .Мы видим, что при приближении к границе раздела вертикальная составляющая вектора скорости геодезической неограниченно растет. Физически это соответствует тому, что точка геодезической падает» на параллель .Гауссова кривизна псевдоримановой части параболоида, вычисленная по указанной выше формуле, . При кривизна стремится к +∞.
Поверхность вращения, образованная псевдоевклидовым вращением кривой.Рассмотрим чисто псевдоевклидовы вращения в плоскости Oz, вокруг оси Ox. Они задаются матрицей вида . Рассмотрим кривую x= x(t), y= y(t) = f(x). Вращая ее вокруг оси Oxполучим следующую поверхность вращения:x= x, y= f(x) chψ, z= f(x) shψ. Находим псевдоевклидову метрику или полагая, , как . Отсюда уравнения геодезических имеют вид: . Последнее имеет первый интеграл: или , где с const. Из симплектическойтеории[3]нам известно, чтосистема дифференциальных уравнений на симплектическоммногообразии , имеющая вид
называется гамильтоновой. –гамильтониан этой системы,
элементы обратной матрицы метрического тензора , –дифференциальная форма, которая задает симплектическую структуру на . Гамильтонову систему на можно записать в следующем виде, (1). Отсюда функция H на определяет векторное поле следующим образом: . Для любой функции fвыражение антисимметрично по fи H. Получившаяся функция является скобкой Пуассона функций fи H.Определение. Пусть дана система обыкновенных дифференциальных уравнений . Первым интегралом (или просто интегралом) этой системы называют такую функцию
аргументов , которая остается постоянной во время движения, то есть, если –решение системы, то.Если последнее тождество продифференцировать по t, то получается следующее равенство (2).Легко видеть, что для гамильтоновой системы (1) правая часть равенства () представляет собой скобку Пуассона f, H функций fи H. Таким образом, непостоянная функция f
является первым интегралом (1), если f, H 0. В частности, Hесть интеграл системы (1).Отсюда мы можем убедиться в правильности найденного интегралаК для поверхностивращения, образованная псевдоевклидовым вращением кривой. Для этого достаточно вычислить скобку Пуассона К, H и проверить, что она равно 0. Напомним, что скобка Пуассона и функция определены в координатах (p, x). Переписав интеграл Kв этих координатах, получим в итоге . Отсюда, легко видеть, что .
Ссылки на источники1.Розендорн Э.Р., Соколов Д.Д. О восстановлении двумерной псевдоримановой метрики по заданной кривизне, Фундаментальная и прикладная математика, 11, №1, 005 г., 8592.2.Фавар Ж.. Курс локальной дифференциальной геометрии, М.: ИЛ, 1960 г.3.Фоменко А.Т. Симплектическаягеометрия. Методы и приложения. МГУ, 1988 г.
Kuzmenkova Natalyamath teacher MBOU "School № 34", Kemerovokuzmenkova1989@mail.ru
Geodesic arc on revolution surface in threedimensional pseudoEuclidean space
Abstract.There is a conservation law of geodesic flow of revolution surface in this work. As an example the paraboloid ofrevolution x² ² z is consiere in pseudoEuclidean space. As is wellknown, exept the conservation of velocity vector modulus, there is one more conservation law. This is Clairaut integral. Also for this example Gaussian curvature was found, revolution surface cost by pseudoEuclidean rotation of curve is considered.
Key words:Gaussian curvature, geodesic, Clairaut integral, surfaces of revolution, pseudoEuclidean space.
