Новое дифференциальное исчисление на основе интервальной производной
В.
И. ЛевинБиблиографическое описание статьи для цитирования:
Левин
В.
И. Новое дифференциальное исчисление на основе интервальной производной // Научно-методический электронный журнал «Концепт». –
2014. – Т. 20. – С.
2656–2660. – URL:
http://e-koncept.ru/2014/54795.htm.
Аннотация. Показана возможность обобщения классического дифференциального исчисления на функции с интервальной неопределенностью переменных. Дано понятие производной от такой функции. Получены формулы, представляющие в явном виде интервальные производные любого порядка.
Ключевые слова:
интервальная функция, интервальная производная, недетерминистское дифференциальное исчисление
Текст статьи
Левин Виталий Ильич,доктор технических наук, профессор,Пензенский государственный технологический университет, Пензаvilevin@mail.ru
Новое дифференциальное исчислениена основеинтервальной производной
Аннотация. Показана возможность обобщения классического дифференциального исчисления на функции с интервальной неопределенностью переменных. Дано понятие производной от такой функции. Получены формулы, представляющие в явном виде интервальные производные любого порядка.Ключевые слова:интервальная функция, интервальнаяпроизводная, недетерминистское дифференциальное исчисление.
1. ВведениеПроектирование и исследование свойств разнообразных систем обычно опирается на тот или иной подходящий математический аппарат. К настоящему времени имеетсябольшое числоразличных видов математического аппарата. Однако при всем их различии почти все они обладаютодним общим свойством –применимостью только к полностью определенным (детерминированным) системам. В то же время встречающиеся на практике системы обычно характеризуются той или иной степенью неопределенности(недетерминированы). С целью построения и исследования таких системчаще всего применяютматематический аппарат теории вероятностей [1], теории нечетких множеств[2], интервальной математики [3]. В настоящей работевпервые предлагается новый математический аппарат для исследования недетерминированныхсистем –недетерминистское дифференциальное исчисление. Данныйаппарат, в отличие от трех названных выше, нацеленных, в основном, на исследование статических систем, применимтакже к изучению динамических систем.
2. Вспомогательные математические сведенияБудем использовать в качестве вспомогательных сведений прежде всего основные математическиесведения из алгебры интервальных чисел [3, 4]. В этой алгебре в качестве операндов берутся замкнутые вещественные интервалы, определяемые как множества всех вещественныхчиселмежду нижней и верхней границами интервала, включая сами эти границы. (1)Эти операнды естественно называть интервальными числами. Операции над интервальнымичислами вводятся как прямые теоретикомножественные обобщения соответствующих операций над вещественными числами , т.е.. (2)Основные алгебраические операции над интервальными числами определяются следующими формулами (3)На основе определений (3) операций над интервальными числами можно вывести следующиеформулы для вычисления результатов этих операций [3] (4)Такжев качестве вспомогательного возьмемпонятие интервальной функции [5], которая вводится как однозначное отображение множества замкнутых вещественныхинтервалов вида (1) на множество замкнутых вещественных интервалов этого же вида. Символически интервальная функция записывается, (5)где, аналогично числовым функциям, называется интервальной независимой переменной (интервальным аргументом), –интервальной зависимой переменной, –интервальной функциейаргумента .Введем теперь понятие предела интервальной функции (5). Рассмотрим независимую переменную этой функции. Будем говорить, что переменная в процессе своего изменения неограниченно приближается к некоторому предельному интервалу , если в указанном процессе неограниченно приближается к , а неограниченно приближаетсяк . Символически это неограниченное приближение к показывается как. (6)Совершенно аналогично независимой переменной зависимая переменная интервальной функции (5) в процессе своего изменения может неограниченно приближается к некоторому предельному интервалу , т.е.. (7)При этом если неограниченное приближение зависимой переменной интервальной функции (5) к вызвано неограниченным приближением независимой переменной этой функции к , будем говорить, что предел интервальной функции (5) при , стремящемся к , равен интервалу . Символически это записывается в виде. (8)Если интервальная функция (5) непрерывная, т.е. как нижняя, так и верхняя границы интервала (зависимой переменной) являются непрерывными функциями нижней и верхней границ интервала (независимой переменной), то предел функции (5) равен значению функцииот предельного значения аргумента, т.е.. (9)
3. Интервальная производная функцияРассмотрим теперь произвольную интервальную функцию (5). Будем считать ее непрерывной. Зафиксируем некоторое значение независимой переменной. Этому значению, в силу непрерывности нашей функции, будет соответствовать некоторое фиксированное значение функции.Вычислим теперь приращения независимой и зависимой переменных функции относительно их указанных фиксированных значений (10)и составим отношение второго приращения к первому. (11)Найдем предел отношения (11) при неограниченном приближении независимой переменной к еефиксированному значению :. (12)Предел (12), если он существует, назовемпроизводной интервальной функциейотисходной интервальной функции (5) в точке или интервальной производной от функции (5) и обозначать или . Такимобразом,. (13)Условие существования интервальной производной от интервальной функции определяется следующей теоремой.Теорема 1.Для того чтобы в точке существовала интервальная производная от интервальной функции вида (5), определяемая формулами (10)–(13), необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрестности этой точки, включая ее саму, все значения независимой переменной функции были невырожденными интервалами (интервалами с несовпадающими верхней и нижнейграницами).Доказательство.Из выражения (11) интервальной функции, предел которой естьинтервальная производная в точке , видно, что эта производная существует только тогда, когда в некоторой окрестности указанной точки, включая ее саму, все возможныезначения знаменателявыражения (11) не равны нулю. Но знаменатель выражения (11), согласно формуле (4) разности интервалов, равен интервалу.Правый интервал равен нулю (нулевому интервалу ) только при условии,равносильном следующему
или,что означает вырожденность интервалов .Ввиду произвольности точки , последнее означает, что для существования интервальной производной в необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрестностиэтойточки, включая ее саму, все возможные значения независимой переменнойфункции были невырождены. Что и требовалось доказать.Интервальная производная от интервальной функции вида (5), определяемая дляпроизвольной точки формулами (10)–(12) в виде предела, может быть также выражена в конечном виде через значения независимой и зависимой переменных этой функции в указанной точке. Именно, справедлива следующая теорема.Теорема 2.Интервальная производная непрерывной интервальной функции (5), определяемая для произвольной точки формулами (10)–(13) в виде предела, может быть выражена в конечном виде через значения независимой и зависимой переменных этой функции в указанной точке следующим образом. (14)Примечание 1.Припервомвзглядевыражение (14) может показаться неопределенностью вида .Но это впечатление неверно, поскольку, потеореме 1, у любой существующей в точке интервальной производной интервал невырожден и потому, в соответствии с выражением(4) для разности интервалов, разность не равнанулю (нулевому интервалу ). Также не равна нулю разность .Доказательство.Согласно определению (10)–(13) интервальной производной в точке она может быть записана в виде предела. (15)В процессе предельного перехода в правой части равенства (15) неограниченно приближается к , а , в силу непрерывности функции –к . Таким образом, предел в правой части (15) равен. (16)Подставив полученное значение предела из равенства(16) в выражение (15), будем иметьформулу (14). Что и требовалось доказать.Итак, выражение интервальнойпроизводной функции (14) представляет еечерез исходную (первообразную) интервальную функцию (5). При этом, поскольку в (14) точка, в которой определяется производная, произвольна, выражение (14)можно записать в общем виде так:, (17)где –произвольное значение независимой переменной непрерывной интервальнойфункции (5) из ее области определения, прикотором существует интервальная производная этой функции. Как видно из(17), интервальная производная выражается непосредственночерез исходную (первообразную) интервальную функцию простой алгебраической формой, что упрощает процесс вычисления производной. Этот эффект отсутствует при нахождении обычных производных, фигурирующих в традиционном дифференциальном исчислении детерминированных функций [6].
4. Интервальные производные высших порядковПроизводная от интервальной функции , введенная вышев п. 3, такжеявляется интервальной функцией, притом зависящей от того же самогоинтервального аргумента . Это позволяет продолжить процесс взятия интервальных производных, получив вторую производную (производную от первой производной ), (18)затем третью производную (производную от второй производной ) (19)и т.д., вплоть до интервальной производной го порядка, определяемой как производнаяот производной порядка. (20)Условие существования интервальной производной любого го порядка определяется нижеследующей теоремой.Теорема 3.Для того чтобы в некоторой точке существовала интервальная производнаяпорядка
от интервальной функции (5), определяемая по(18)–(20), необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрестности этой точки, включая ее саму, все значения независимой переменной функции были невырожденными.Доказательство.Согласнотеореме 1, для существования в точке производной 1гопорядка отфункции (5)необходимо и достаточноневырожденности всех интервалов, служащих значениями независимой переменной этой функции в некоторой окрестности точки . Но производная 1го порядка от функции (5) имеет ту же независимую переменную , что и сама функция. Поэтому, согласно теореме 1, для существованияв производной от производной1го порядка функции (5) (т.е. производной 2го порядка от интервальной функции (5)) необходимо и достаточно выполнения того же условия, что и для существования в точке производной 1го порядка от функции (5), т.е. невырожденности всех интервалов, являющихся значениями функции (5) в некоторой окрестности точки . Продолжая рассуждения, придем к необходимым и достаточным условиям существования в точке производной го порядка от функции (5) в форме, в которой они даныв теореме 3. Что и требовалось доказать.Интервальная производная любого го порядка от функции (5), определяемая формулами (18)–(20)итеративно, может быть выражена в конечном виде, аналогично выражению (17) производной 1го порядка. Это основанона следующей теореме.Теорема 4.Интервальная производная го порядка от интервальной функции (5)может быть выражена в окончательномвиде через интервальную производную го порядка от этой функции (если она непрерывная) и независимую переменную
в следующем виде (21)Доказательствотеоремы можно получитьна основанииформулы (17), если подставить в нее в качестве функции производную го порядка и учесть еще, что производная 1го порядка от согласно определению (20) есть производная го порядка .Можно с помощью приведенных теорем 2 и 4 последовательно получитьконечные выражения для интервальной производной 2го и 3го порядка; (22)
(23)и т.д. Отметим, что все эти выражения аналогичны конечному выражению (17) для интервальнойпроизводной 1го порядка.Примечание 2.Построенные выше выражения (22), (23),... интервальных производных высших порядков кажутся с первого взгляда суперпозициями неопределенностей вида , однако, по причине, указанной в примечании 1, не являются таковыми. Заметим также, что эти выражения не могут быть преобразованы к более простому виду с помощью эквивалентных преобразований, поскольку в интервальной алгебре [3]не выполняются эквивалентности типа. (24)
5. Вычисление интервальных производныхДоказанные выше выражения интервальных производных (17)–(23) являются аналитическимивыражениями, имеющими вид суперпозиций операций над интервальными переменными. Ониудобны для теоретического изучения интервальных производных. Что касаетсявычисления таких производных, то использование здесь выражений (17)–(23) оказывается неудобным, поскольку оно предполагает объемную работу с весьма громоздкими формулами интервальной математики (4), которые и позволяют выразить интервальную производную в виде интервального числа с явновыраженнымив числовой форме нижней и верхней границами. Однако гораздо удобнее вычислять интервальные производные по формуле, выражающей сразу в явном виде нижнюю и верхнюю границы интервального числа, являющегосязначением интервальной производной. Эта формула выводится ниже.Теорема 5.Интервальная производная непрерывной интервальной функции (5), выражаемая для произвольной точки формулой (17) в виде суперпозиции операцийнад интервальными переменными, может быть также записанаявно в формеинтервала, нижняя и верхняя границы которого выражены через аналогичныеграницы аргумента
и зависимой переменной
даннойфункции в таким образом. (25)Доказательство. Будем исходить из выражения интервальной производной от функции (5) формулой (17). Представим указанную функцию в явном виде интервала. (26)Здесь (27)есть соответственно нижняя и верхняя границы интервальной зависимой переменной,аналогично представим интервальную независимую переменную :. (28)Послепроведения необходимых подстановок выражение (17) интервальной производной от интервальной функции (5) примет вид. (29)Разности интервалов в числителе и знаменателе (29) по формуле (4) можно представитьв виде интервального числа. (30)Подставив выражения (30) в (29), получим представление интервальной производнойв видечастного двух интервалов. (31)Далее, выражение (31) можно, согласно формуле (4), представить в виде следующегопроизведения двух интервалов. (32)Перемножая интервалы, стоящие в правой части формулы(32) по соответствующему правилу (4), мы получим
(33)Заметим, что одинаково подчеркнутые члены в выражении (33) равны. Оставив из каждых двух равныхчленов по одному, представим (33) в более простом виде. (34)Два члена в круглых скобках (34) различаются лишьзнаком, причем (с учетом того, что ) левый член положителен, а правый –отрицателен. Так,из (34) получается простоевыражение интервальной производной от интервальной функции (5). (35)С учетом того, что , выражение (35) окончательно принимает вид, (36)что и требовалось доказать.Аналогичное (25) явное выражение интервальной производной функции, дающеесразу в явномвиде нижнюю и верхнюю границы интервального числа –значения этой функции –справедливои для производных высших порядков. Оноприведено ниже.Теорема 6.Интервальная производная любого го порядка непрерывной интервальнойфункции (5), выражаемая для произвольной точки формулой (21) каксуперпозицияопераций над интервальными переменными, может быть представлена в этой точке в явном виде интервала, нижняя и верхняя границы которого выражаютсячерез нижнюю и верхнюю границы независимой переменной и промежуточной переменной –производной го порядка от интервальной функции (5) следующим образом. (37)Доказательство теоремы 6 является аналогичнымдоказательству теоремы5, с той лишь разницей, что в качестве исходного выражения искомой интервальной производной го порядка от интервальной функции (5) берется формула (21), тогдакак в случаетеоремы 5 выражением искомой интервальной производной 1го порядка служитаналогичнаяпо форме формула (17).Используя (37), нетрудно получить простые явные выражения (25) для интервальныхпроизводных 2го, 3го и т.д. порядка от (5). Для случая 2го порядка имеем. (38)Подставляявполученнойформуле(38) значения нижней и верхней границ интервальной производной 1го порядка из (25) в виде, (39)с учетомнеобходимых эквивалентныхпреобразований,найдем. (40)Аналогично, для интервальной производной 3го порядка из (37) имеем. (41)Как и в предыдущем случае, подставляя в полученное выше выражение(41) значения границ интервальной производной 2го порядка из (40) в виде, (42)будем, после необходимых эквивалентных преобразований, иметь. (43)Продолжаяэтотпроцесс для интервальных производных 4го, 5го и последующихпорядков, приходимк следующему общемурезультату.Теорема 7.Интервальная производнаялюбого го порядка непрерывной интервальной функции (5), выражаемая для произвольной точки формулой (21)каксуперпозицияопераций над интервальными переменными, может быть представлена в указаннойточке также в явнойформеинтервала с явно выраженными нижней и верхней границами вида (25), (40), (43). (44)Здесь –это нижняя и верхняя границы интервального аргумента
в точке взятия производной от , –нижняя и верхняя границы интервальнойзависимой переменной этой функции в той же точке.Сводка полученных явных выражений интервальных производных функций различныхпорядков приведена в табл. 1.Таблица 1ФункцияОбозначение функцииЯвное выражениефункцииИсходная интервальная функция
Интервальная производная функция 1го порядка
Интервальная производная функция 2го порядка
Интервальная производная функция 3го порядка
Интервальная производная функция го порядка
6. Возможные примененияМатематический аппарат недетерминистского дифференциального исчисления,описываемыйв настоящей работе,может быть весьма успешно применен к построениюи количественному изучению свойств различных недетерминированных систем динамического типа, т.е. систем, количественныехарактеристики которых известны с той или иной степенью неопределенности и вдобавок изменяются во времени. Системыэтого типа широко распространены в экономике, социологии,экологии. Они встречаютсятакже в технике и технологиях. Методика применения указанного математического аппарата к названным системам основана на предположениио том, что все параметры изучаемой системы определяются с точностью до интервалов возможныхзначений. Статические звенья системы характеризуются постоянными интервалами возможныхзначений параметров,а динамические звенья –переменными интервалами этих значений. В соответствиис этим для построения действующей математической модели недетерминированной системыи последующего математического моделирования этой системы нужно: 1)взять(построить) математическую модель идеального (детерминированного)прообразасистемы, которая получается в предположении, что все параметры системы заданы точно, соответственно чему статические звенья системы имеют постоянные точечные значения параметров, а динамические –переменные точечные значения параметров;таким образом,в этой модели изучаемые характеристики системы принимают точечные постоянные и переменные значения и могут быть представленыв виде суперпозиции обычных алгебраических операций над точно известными постояннымии переменными значениями параметров звеньев системы; 2) заменить в полученнойна шаге 1 математической модели точечные значения параметровсоответствующими интервалами возможных значений данных параметров;обычныепроизводные в исходной детерминированной системе заменяются соответствующими интервальными производными,в результате получаем математическую модель собственно изучаемойсистемы, все параметры которой определяютсяс точностью до интервалов возможных значений; в этой модели изучаемые характеристики системы принимают интервальные значенияи могут быть представлены в виде суперпозиции интервальных операций (3) над интервалами –значениями параметров звеньев; 3) используя соотношения(4), выражающие результаты элементарных преобразованийинтервалов, представляем интервальнозначные характеристики недетерминированной системы в явнойформе интервала, нижняя и верхняя границы которого являются детерминированными функциями от нижних и верхних границ интервалов–параметров звеньев системы. После этого математическоемоделирование изучаемой недетерминированной системы по любой ее интервальной характеристике сводитсяк анализу двух обычных детерминированных функций .Пример.Рассмотрим простейшее применение предложенного математического аппарата в экономике. Пусть –некоторая детерминированная функция, показывающая зависимость одного экономического показателя от другого [7]. Эластичностью
функции называется предел относительного приращения функции к относительному приращению аргумента (независимой переменной) при , т.е.. (45)Здесь –производная от функции по переменной . Эластичность функциипоказывает приближенно, на сколько процентов изменится значение при изменении значения аргумента на 1%. Например, если функция показывает зависимость спроса на товар от его цены , то эластичность функции есть коэффициент, приближенно показывающий, на сколько процентов изменится спрос на товар при изменении цены на 1%. Аналогично, если функция показывает зависимостьиздержек производства
от объема выпускаемой продукции , то эластичность этой функции показывает приближенно, на сколько процентов изменятся эти издержки при изменении объема производимойпродукции на 1%. Наконец, если изучаемая функция есть зависимостьсебестоимости единицы продукции от общей стоимости всей выпускаемой продукции , то эластичность функции показывает приближенно, какизменится себестоимость единицы продукции при изменении стоимости всей продукции на 1% и т.д.Положим теперь, что (как это часто бывает на практике) независимая и зависимая
переменные рассматриваемой экономической функции определяются не точно, а с точностью до интервалов возможных значений. Тогда этафункция из детерминированной превращаетсяв недетерминированную (в частности, интервальную)функцию вида (5), где –независимая интервальная переменная (интервальный аргумент), а –зависимая интервальнаяпеременная. Построим математическую модель получившейся в результате экономической системы, используяописанный выше трехшаговый алгоритм.1) Исходная математическая модель детерминированной системыуже есть, она описывается функцией эластичности (45) с точными значениями переменных и .2) Заменим в математической модели, установленной на шаге 1, точные значения параметров
и соответствующими интервалами их возможных значений и , а детерминированную производную 1го порядка –соответствующей интервальной производной , явное выражение которой в форме интервала дается формулой (25). Получаем математическую модель искомой недетерминированной экономическойсистемы –ее интервальную функцию эластичности –в виде следующей суперпозиции интервальных операцийнад интервалами –параметрами системы:. (46)3) После вычисления выражения (46) по формулам (4) элементарных преобразований интервалов, с учетом положительности значений в экономических системах,получимокончательно следующую математическую модель искомой недетерминированной (интервальной) системы. (47)
7. ЗаключениеВ настоящей статье показана возможность обобщения классического дифференциального исчисления на случай недетерминированных функций, в которых переменные задаются с точностью до интервалов возможных значений. Новое дифференциальное исчисление идейно близкок классическому аналогу, в частности, производная функция показываетскорость изменения первообразной функции относительно ее аргумента. Ноформа нового исчисления существенно иная. Главные отличия состоят в том, что 1) производная любогопорядка является интервальной функцией, в которой все переменные имеют вид интервалов и 2) производная любого порядка выражается явночерез значения независимой и зависимой переменных первообразной.
Ссылки на источники1.Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. –М.: Наука, 2004.2.Заде Л.А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений.–М.: Мир, 1976.3.Алефельд Г.,Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. –М.: Мир, 1987.4.Левин В.И. Интервальные методы оптимизации систем в условиях неопределенности. –Пенза: ИздвоПензенского технологического инта, 1999.5.Левин В.И. Оптимизация в условиях интервальной неопределенности. Метод детерминизации // Автоматикаи вычислительная техника. –2012. –№ 4.6.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. –М.: Наука,2005.7.Кремер Н.Ш. и др. Высшая математика для экономистов. –М.: ЮНИТИ, 2001.
Vitaly Levin,Professor, Doctor of Technical Sciences, Mathematic Department of Penza State Technological University, PenzaNew Differential Calculus on the Base of IntervalDerivativeAbstract. The possibility of generalization of the classical differential calculus to functions which variables have interval uncertainty is shown. The concept of the derivative of function is introduced. The formulas representing explicitly interval derivatives of any order are given.Keywords:interval, interval function, interval derivative, interval computing, nondeterministic differential calculus.
Новое дифференциальное исчислениена основеинтервальной производной
Аннотация. Показана возможность обобщения классического дифференциального исчисления на функции с интервальной неопределенностью переменных. Дано понятие производной от такой функции. Получены формулы, представляющие в явном виде интервальные производные любого порядка.Ключевые слова:интервальная функция, интервальнаяпроизводная, недетерминистское дифференциальное исчисление.
1. ВведениеПроектирование и исследование свойств разнообразных систем обычно опирается на тот или иной подходящий математический аппарат. К настоящему времени имеетсябольшое числоразличных видов математического аппарата. Однако при всем их различии почти все они обладаютодним общим свойством –применимостью только к полностью определенным (детерминированным) системам. В то же время встречающиеся на практике системы обычно характеризуются той или иной степенью неопределенности(недетерминированы). С целью построения и исследования таких системчаще всего применяютматематический аппарат теории вероятностей [1], теории нечетких множеств[2], интервальной математики [3]. В настоящей работевпервые предлагается новый математический аппарат для исследования недетерминированныхсистем –недетерминистское дифференциальное исчисление. Данныйаппарат, в отличие от трех названных выше, нацеленных, в основном, на исследование статических систем, применимтакже к изучению динамических систем.
2. Вспомогательные математические сведенияБудем использовать в качестве вспомогательных сведений прежде всего основные математическиесведения из алгебры интервальных чисел [3, 4]. В этой алгебре в качестве операндов берутся замкнутые вещественные интервалы, определяемые как множества всех вещественныхчиселмежду нижней и верхней границами интервала, включая сами эти границы. (1)Эти операнды естественно называть интервальными числами. Операции над интервальнымичислами вводятся как прямые теоретикомножественные обобщения соответствующих операций над вещественными числами , т.е.. (2)Основные алгебраические операции над интервальными числами определяются следующими формулами (3)На основе определений (3) операций над интервальными числами можно вывести следующиеформулы для вычисления результатов этих операций [3] (4)Такжев качестве вспомогательного возьмемпонятие интервальной функции [5], которая вводится как однозначное отображение множества замкнутых вещественныхинтервалов вида (1) на множество замкнутых вещественных интервалов этого же вида. Символически интервальная функция записывается, (5)где, аналогично числовым функциям, называется интервальной независимой переменной (интервальным аргументом), –интервальной зависимой переменной, –интервальной функциейаргумента .Введем теперь понятие предела интервальной функции (5). Рассмотрим независимую переменную этой функции. Будем говорить, что переменная в процессе своего изменения неограниченно приближается к некоторому предельному интервалу , если в указанном процессе неограниченно приближается к , а неограниченно приближаетсяк . Символически это неограниченное приближение к показывается как. (6)Совершенно аналогично независимой переменной зависимая переменная интервальной функции (5) в процессе своего изменения может неограниченно приближается к некоторому предельному интервалу , т.е.. (7)При этом если неограниченное приближение зависимой переменной интервальной функции (5) к вызвано неограниченным приближением независимой переменной этой функции к , будем говорить, что предел интервальной функции (5) при , стремящемся к , равен интервалу . Символически это записывается в виде. (8)Если интервальная функция (5) непрерывная, т.е. как нижняя, так и верхняя границы интервала (зависимой переменной) являются непрерывными функциями нижней и верхней границ интервала (независимой переменной), то предел функции (5) равен значению функцииот предельного значения аргумента, т.е.. (9)
3. Интервальная производная функцияРассмотрим теперь произвольную интервальную функцию (5). Будем считать ее непрерывной. Зафиксируем некоторое значение независимой переменной. Этому значению, в силу непрерывности нашей функции, будет соответствовать некоторое фиксированное значение функции.Вычислим теперь приращения независимой и зависимой переменных функции относительно их указанных фиксированных значений (10)и составим отношение второго приращения к первому. (11)Найдем предел отношения (11) при неограниченном приближении независимой переменной к еефиксированному значению :. (12)Предел (12), если он существует, назовемпроизводной интервальной функциейотисходной интервальной функции (5) в точке или интервальной производной от функции (5) и обозначать или . Такимобразом,. (13)Условие существования интервальной производной от интервальной функции определяется следующей теоремой.Теорема 1.Для того чтобы в точке существовала интервальная производная от интервальной функции вида (5), определяемая формулами (10)–(13), необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрестности этой точки, включая ее саму, все значения независимой переменной функции были невырожденными интервалами (интервалами с несовпадающими верхней и нижнейграницами).Доказательство.Из выражения (11) интервальной функции, предел которой естьинтервальная производная в точке , видно, что эта производная существует только тогда, когда в некоторой окрестности указанной точки, включая ее саму, все возможныезначения знаменателявыражения (11) не равны нулю. Но знаменатель выражения (11), согласно формуле (4) разности интервалов, равен интервалу.Правый интервал равен нулю (нулевому интервалу ) только при условии,равносильном следующему
или,что означает вырожденность интервалов .Ввиду произвольности точки , последнее означает, что для существования интервальной производной в необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрестностиэтойточки, включая ее саму, все возможные значения независимой переменнойфункции были невырождены. Что и требовалось доказать.Интервальная производная от интервальной функции вида (5), определяемая дляпроизвольной точки формулами (10)–(12) в виде предела, может быть также выражена в конечном виде через значения независимой и зависимой переменных этой функции в указанной точке. Именно, справедлива следующая теорема.Теорема 2.Интервальная производная непрерывной интервальной функции (5), определяемая для произвольной точки формулами (10)–(13) в виде предела, может быть выражена в конечном виде через значения независимой и зависимой переменных этой функции в указанной точке следующим образом. (14)Примечание 1.Припервомвзглядевыражение (14) может показаться неопределенностью вида .Но это впечатление неверно, поскольку, потеореме 1, у любой существующей в точке интервальной производной интервал невырожден и потому, в соответствии с выражением(4) для разности интервалов, разность не равнанулю (нулевому интервалу ). Также не равна нулю разность .Доказательство.Согласно определению (10)–(13) интервальной производной в точке она может быть записана в виде предела. (15)В процессе предельного перехода в правой части равенства (15) неограниченно приближается к , а , в силу непрерывности функции –к . Таким образом, предел в правой части (15) равен. (16)Подставив полученное значение предела из равенства(16) в выражение (15), будем иметьформулу (14). Что и требовалось доказать.Итак, выражение интервальнойпроизводной функции (14) представляет еечерез исходную (первообразную) интервальную функцию (5). При этом, поскольку в (14) точка, в которой определяется производная, произвольна, выражение (14)можно записать в общем виде так:, (17)где –произвольное значение независимой переменной непрерывной интервальнойфункции (5) из ее области определения, прикотором существует интервальная производная этой функции. Как видно из(17), интервальная производная выражается непосредственночерез исходную (первообразную) интервальную функцию простой алгебраической формой, что упрощает процесс вычисления производной. Этот эффект отсутствует при нахождении обычных производных, фигурирующих в традиционном дифференциальном исчислении детерминированных функций [6].
4. Интервальные производные высших порядковПроизводная от интервальной функции , введенная вышев п. 3, такжеявляется интервальной функцией, притом зависящей от того же самогоинтервального аргумента . Это позволяет продолжить процесс взятия интервальных производных, получив вторую производную (производную от первой производной ), (18)затем третью производную (производную от второй производной ) (19)и т.д., вплоть до интервальной производной го порядка, определяемой как производнаяот производной порядка. (20)Условие существования интервальной производной любого го порядка определяется нижеследующей теоремой.Теорема 3.Для того чтобы в некоторой точке существовала интервальная производнаяпорядка
от интервальной функции (5), определяемая по(18)–(20), необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрестности этой точки, включая ее саму, все значения независимой переменной функции были невырожденными.Доказательство.Согласнотеореме 1, для существования в точке производной 1гопорядка отфункции (5)необходимо и достаточноневырожденности всех интервалов, служащих значениями независимой переменной этой функции в некоторой окрестности точки . Но производная 1го порядка от функции (5) имеет ту же независимую переменную , что и сама функция. Поэтому, согласно теореме 1, для существованияв производной от производной1го порядка функции (5) (т.е. производной 2го порядка от интервальной функции (5)) необходимо и достаточно выполнения того же условия, что и для существования в точке производной 1го порядка от функции (5), т.е. невырожденности всех интервалов, являющихся значениями функции (5) в некоторой окрестности точки . Продолжая рассуждения, придем к необходимым и достаточным условиям существования в точке производной го порядка от функции (5) в форме, в которой они даныв теореме 3. Что и требовалось доказать.Интервальная производная любого го порядка от функции (5), определяемая формулами (18)–(20)итеративно, может быть выражена в конечном виде, аналогично выражению (17) производной 1го порядка. Это основанона следующей теореме.Теорема 4.Интервальная производная го порядка от интервальной функции (5)может быть выражена в окончательномвиде через интервальную производную го порядка от этой функции (если она непрерывная) и независимую переменную
в следующем виде (21)Доказательствотеоремы можно получитьна основанииформулы (17), если подставить в нее в качестве функции производную го порядка и учесть еще, что производная 1го порядка от согласно определению (20) есть производная го порядка .Можно с помощью приведенных теорем 2 и 4 последовательно получитьконечные выражения для интервальной производной 2го и 3го порядка; (22)
(23)и т.д. Отметим, что все эти выражения аналогичны конечному выражению (17) для интервальнойпроизводной 1го порядка.Примечание 2.Построенные выше выражения (22), (23),... интервальных производных высших порядков кажутся с первого взгляда суперпозициями неопределенностей вида , однако, по причине, указанной в примечании 1, не являются таковыми. Заметим также, что эти выражения не могут быть преобразованы к более простому виду с помощью эквивалентных преобразований, поскольку в интервальной алгебре [3]не выполняются эквивалентности типа. (24)
5. Вычисление интервальных производныхДоказанные выше выражения интервальных производных (17)–(23) являются аналитическимивыражениями, имеющими вид суперпозиций операций над интервальными переменными. Ониудобны для теоретического изучения интервальных производных. Что касаетсявычисления таких производных, то использование здесь выражений (17)–(23) оказывается неудобным, поскольку оно предполагает объемную работу с весьма громоздкими формулами интервальной математики (4), которые и позволяют выразить интервальную производную в виде интервального числа с явновыраженнымив числовой форме нижней и верхней границами. Однако гораздо удобнее вычислять интервальные производные по формуле, выражающей сразу в явном виде нижнюю и верхнюю границы интервального числа, являющегосязначением интервальной производной. Эта формула выводится ниже.Теорема 5.Интервальная производная непрерывной интервальной функции (5), выражаемая для произвольной точки формулой (17) в виде суперпозиции операцийнад интервальными переменными, может быть также записанаявно в формеинтервала, нижняя и верхняя границы которого выражены через аналогичныеграницы аргумента
и зависимой переменной
даннойфункции в таким образом. (25)Доказательство. Будем исходить из выражения интервальной производной от функции (5) формулой (17). Представим указанную функцию в явном виде интервала. (26)Здесь (27)есть соответственно нижняя и верхняя границы интервальной зависимой переменной,аналогично представим интервальную независимую переменную :. (28)Послепроведения необходимых подстановок выражение (17) интервальной производной от интервальной функции (5) примет вид. (29)Разности интервалов в числителе и знаменателе (29) по формуле (4) можно представитьв виде интервального числа. (30)Подставив выражения (30) в (29), получим представление интервальной производнойв видечастного двух интервалов. (31)Далее, выражение (31) можно, согласно формуле (4), представить в виде следующегопроизведения двух интервалов. (32)Перемножая интервалы, стоящие в правой части формулы(32) по соответствующему правилу (4), мы получим
(33)Заметим, что одинаково подчеркнутые члены в выражении (33) равны. Оставив из каждых двух равныхчленов по одному, представим (33) в более простом виде. (34)Два члена в круглых скобках (34) различаются лишьзнаком, причем (с учетом того, что ) левый член положителен, а правый –отрицателен. Так,из (34) получается простоевыражение интервальной производной от интервальной функции (5). (35)С учетом того, что , выражение (35) окончательно принимает вид, (36)что и требовалось доказать.Аналогичное (25) явное выражение интервальной производной функции, дающеесразу в явномвиде нижнюю и верхнюю границы интервального числа –значения этой функции –справедливои для производных высших порядков. Оноприведено ниже.Теорема 6.Интервальная производная любого го порядка непрерывной интервальнойфункции (5), выражаемая для произвольной точки формулой (21) каксуперпозицияопераций над интервальными переменными, может быть представлена в этой точке в явном виде интервала, нижняя и верхняя границы которого выражаютсячерез нижнюю и верхнюю границы независимой переменной и промежуточной переменной –производной го порядка от интервальной функции (5) следующим образом. (37)Доказательство теоремы 6 является аналогичнымдоказательству теоремы5, с той лишь разницей, что в качестве исходного выражения искомой интервальной производной го порядка от интервальной функции (5) берется формула (21), тогдакак в случаетеоремы 5 выражением искомой интервальной производной 1го порядка служитаналогичнаяпо форме формула (17).Используя (37), нетрудно получить простые явные выражения (25) для интервальныхпроизводных 2го, 3го и т.д. порядка от (5). Для случая 2го порядка имеем. (38)Подставляявполученнойформуле(38) значения нижней и верхней границ интервальной производной 1го порядка из (25) в виде, (39)с учетомнеобходимых эквивалентныхпреобразований,найдем. (40)Аналогично, для интервальной производной 3го порядка из (37) имеем. (41)Как и в предыдущем случае, подставляя в полученное выше выражение(41) значения границ интервальной производной 2го порядка из (40) в виде, (42)будем, после необходимых эквивалентных преобразований, иметь. (43)Продолжаяэтотпроцесс для интервальных производных 4го, 5го и последующихпорядков, приходимк следующему общемурезультату.Теорема 7.Интервальная производнаялюбого го порядка непрерывной интервальной функции (5), выражаемая для произвольной точки формулой (21)каксуперпозицияопераций над интервальными переменными, может быть представлена в указаннойточке также в явнойформеинтервала с явно выраженными нижней и верхней границами вида (25), (40), (43). (44)Здесь –это нижняя и верхняя границы интервального аргумента
в точке взятия производной от , –нижняя и верхняя границы интервальнойзависимой переменной этой функции в той же точке.Сводка полученных явных выражений интервальных производных функций различныхпорядков приведена в табл. 1.Таблица 1ФункцияОбозначение функцииЯвное выражениефункцииИсходная интервальная функция
Интервальная производная функция 1го порядка
Интервальная производная функция 2го порядка
Интервальная производная функция 3го порядка
Интервальная производная функция го порядка
6. Возможные примененияМатематический аппарат недетерминистского дифференциального исчисления,описываемыйв настоящей работе,может быть весьма успешно применен к построениюи количественному изучению свойств различных недетерминированных систем динамического типа, т.е. систем, количественныехарактеристики которых известны с той или иной степенью неопределенности и вдобавок изменяются во времени. Системыэтого типа широко распространены в экономике, социологии,экологии. Они встречаютсятакже в технике и технологиях. Методика применения указанного математического аппарата к названным системам основана на предположениио том, что все параметры изучаемой системы определяются с точностью до интервалов возможныхзначений. Статические звенья системы характеризуются постоянными интервалами возможныхзначений параметров,а динамические звенья –переменными интервалами этих значений. В соответствиис этим для построения действующей математической модели недетерминированной системыи последующего математического моделирования этой системы нужно: 1)взять(построить) математическую модель идеального (детерминированного)прообразасистемы, которая получается в предположении, что все параметры системы заданы точно, соответственно чему статические звенья системы имеют постоянные точечные значения параметров, а динамические –переменные точечные значения параметров;таким образом,в этой модели изучаемые характеристики системы принимают точечные постоянные и переменные значения и могут быть представленыв виде суперпозиции обычных алгебраических операций над точно известными постояннымии переменными значениями параметров звеньев системы; 2) заменить в полученнойна шаге 1 математической модели точечные значения параметровсоответствующими интервалами возможных значений данных параметров;обычныепроизводные в исходной детерминированной системе заменяются соответствующими интервальными производными,в результате получаем математическую модель собственно изучаемойсистемы, все параметры которой определяютсяс точностью до интервалов возможных значений; в этой модели изучаемые характеристики системы принимают интервальные значенияи могут быть представлены в виде суперпозиции интервальных операций (3) над интервалами –значениями параметров звеньев; 3) используя соотношения(4), выражающие результаты элементарных преобразованийинтервалов, представляем интервальнозначные характеристики недетерминированной системы в явнойформе интервала, нижняя и верхняя границы которого являются детерминированными функциями от нижних и верхних границ интервалов–параметров звеньев системы. После этого математическоемоделирование изучаемой недетерминированной системы по любой ее интервальной характеристике сводитсяк анализу двух обычных детерминированных функций .Пример.Рассмотрим простейшее применение предложенного математического аппарата в экономике. Пусть –некоторая детерминированная функция, показывающая зависимость одного экономического показателя от другого [7]. Эластичностью
функции называется предел относительного приращения функции к относительному приращению аргумента (независимой переменной) при , т.е.. (45)Здесь –производная от функции по переменной . Эластичность функциипоказывает приближенно, на сколько процентов изменится значение при изменении значения аргумента на 1%. Например, если функция показывает зависимость спроса на товар от его цены , то эластичность функции есть коэффициент, приближенно показывающий, на сколько процентов изменится спрос на товар при изменении цены на 1%. Аналогично, если функция показывает зависимостьиздержек производства
от объема выпускаемой продукции , то эластичность этой функции показывает приближенно, на сколько процентов изменятся эти издержки при изменении объема производимойпродукции на 1%. Наконец, если изучаемая функция есть зависимостьсебестоимости единицы продукции от общей стоимости всей выпускаемой продукции , то эластичность функции показывает приближенно, какизменится себестоимость единицы продукции при изменении стоимости всей продукции на 1% и т.д.Положим теперь, что (как это часто бывает на практике) независимая и зависимая
переменные рассматриваемой экономической функции определяются не точно, а с точностью до интервалов возможных значений. Тогда этафункция из детерминированной превращаетсяв недетерминированную (в частности, интервальную)функцию вида (5), где –независимая интервальная переменная (интервальный аргумент), а –зависимая интервальнаяпеременная. Построим математическую модель получившейся в результате экономической системы, используяописанный выше трехшаговый алгоритм.1) Исходная математическая модель детерминированной системыуже есть, она описывается функцией эластичности (45) с точными значениями переменных и .2) Заменим в математической модели, установленной на шаге 1, точные значения параметров
и соответствующими интервалами их возможных значений и , а детерминированную производную 1го порядка –соответствующей интервальной производной , явное выражение которой в форме интервала дается формулой (25). Получаем математическую модель искомой недетерминированной экономическойсистемы –ее интервальную функцию эластичности –в виде следующей суперпозиции интервальных операцийнад интервалами –параметрами системы:. (46)3) После вычисления выражения (46) по формулам (4) элементарных преобразований интервалов, с учетом положительности значений в экономических системах,получимокончательно следующую математическую модель искомой недетерминированной (интервальной) системы. (47)
7. ЗаключениеВ настоящей статье показана возможность обобщения классического дифференциального исчисления на случай недетерминированных функций, в которых переменные задаются с точностью до интервалов возможных значений. Новое дифференциальное исчисление идейно близкок классическому аналогу, в частности, производная функция показываетскорость изменения первообразной функции относительно ее аргумента. Ноформа нового исчисления существенно иная. Главные отличия состоят в том, что 1) производная любогопорядка является интервальной функцией, в которой все переменные имеют вид интервалов и 2) производная любого порядка выражается явночерез значения независимой и зависимой переменных первообразной.
Ссылки на источники1.Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. –М.: Наука, 2004.2.Заде Л.А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений.–М.: Мир, 1976.3.Алефельд Г.,Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. –М.: Мир, 1987.4.Левин В.И. Интервальные методы оптимизации систем в условиях неопределенности. –Пенза: ИздвоПензенского технологического инта, 1999.5.Левин В.И. Оптимизация в условиях интервальной неопределенности. Метод детерминизации // Автоматикаи вычислительная техника. –2012. –№ 4.6.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. –М.: Наука,2005.7.Кремер Н.Ш. и др. Высшая математика для экономистов. –М.: ЮНИТИ, 2001.
Vitaly Levin,Professor, Doctor of Technical Sciences, Mathematic Department of Penza State Technological University, PenzaNew Differential Calculus on the Base of IntervalDerivativeAbstract. The possibility of generalization of the classical differential calculus to functions which variables have interval uncertainty is shown. The concept of the derivative of function is introduced. The formulas representing explicitly interval derivatives of any order are given.Keywords:interval, interval function, interval derivative, interval computing, nondeterministic differential calculus.
