Новая модель производной, адекватная понятию скорости изменения функции
В.
И. ЛевинБиблиографическое описание статьи для цитирования:
Левин
В.
И. Новая модель производной, адекватная понятию скорости изменения функции // Научно-методический электронный журнал «Концепт». –
2015. – Т. 13. – С.
4611–4615. – URL:
http://e-koncept.ru/2015/85923.htm.
Аннотация. Показана возможность обобщения классического дифференциального исчисления на недетерминированные функции, в частности функции с интервальной неопределенностью переменных. Введена новая модель производной от такой функции, адекватная понятию скорости изменения функции. Получены формулы, представляющие в явном виде интервальные производные любого порядка.
Ключевые слова:
интервальная функция, интервальная производная, недетерминистское дифференциальное исчисление, интервал, интервальные вычисления
Текст статьи
Виталий Ильич Левин,Д.т.н., профессор, Пензенский государственный технологический университет, г. Пензаvilevin@mail.ru
Новая модельпроизводной,адекватная понятию скорости изменения функции
Аннотация.Показана возможность обобщения классического дифференциального исчисления на недетерминированные функции, в частности,функции с интервальной неопределенностью переменных. Введена новая модель производной от такой функции, адекватная понятию скорости изменения функции. Полученыформулы, представляющие в явном виде интервальные производные любого порядка.Ключевые слова:интервал, интервальная функция, интервальная производная, интервальныевычисления, недетерминистское дифференциальное исчисление.
ВведениеПроектирование и исследование свойств разнообразных систем обычно опирается на тот или иной подходящий математический аппарат. К настоящему времени создано большое числоразличных видов математического аппарата. Однако при всем их различии почти все они обладаютодним общим свойством –применимостью только к полностью определенным (т.н. детерминированным) системам. В то же время встречающиеся на практике системы обычно характеризуются той или иной степенью неопределенности (недетерминированы). С целью построения и исследования таких систем чаще всего применяют тот или иной специализированный математический аппарат –теориювероятностей [1], теориюнечетких множеств [2], интервальнуюматематику[3]. В настоящейработевпервые предлагается новый математический аппарат для исследования недетерминированныхсистем –недетерминистское дифференциальное исчисление. Этот аппарат, в отличие от трех названных выше, нацеленных, в основном, на исследование поведения статических систем, применимтакже к изучению динамических систем.
1. Постановка проблемыРазвиваемый в настоящей статье аппарат недетерминистского дифференциального исчисления является аналогом классического дифференциального исчисления Ньютона–Лейбница для неполностью определенных функций. В качестве таких функций мы выбираем здесь функции, задаваемые с точностью до интервалов возможных значений. Целесообразность разработкинедетерминистского дифференциального исчисления связана со следующими причинами.1. Как известно, понятие производной в классическом дифференциальном исчислении базируетсяна понятии предельного перехода, т.е. неограниченного приближения переменной величины к некоторой постоянной величине –пределу, при котором разность между этими величинаминеограниченно приближается к 0. Нотакое предельное поведение возможнотолькодля полностью определенных функций и величин. В том случае, если они определены неполностью (например, задаются с точностью до интервалов возможных значений), никакого предельного перехода функции в традиционном смысле не существует. Соответственно этому здесь не существует понятий производной и классического дифференциального исчисления Ньютона–Лейбница. Так что эти понятия должны быть сформулированы поновому.2. Производная в классическом дифференциальном исчислении имеет смысл скорости, с которой функция изменяется относительно аргумента. При этом производныевысших порядков получают смысл скоростей высших порядков, с которыми указаннаяфункция изменяется относительно своего аргумента. Так, например, производная второго порядка означает скорость изменения скорости изменения нашей функции, т.е. скорость изменения функции второго порядка. Аналогично интерпретируются производные третьего и последующих порядков. Единообразие интерпретации производных различного порядка должнобыло бы вести к единообразию этих производных с точки зрения их функциональной принадлежности. Однако на деле это не всегда так, например, для функции,которая является суперпозицией степенной, логарифмической и обратной тригонометрической функций, 1я производная является обратной тригонометрической функцией,а вторая производная –и вовсе алгебраической функцией.Такой разнобой заставляет предполагать, что понятие производной в классическом дифференциальном исчислении не является вполне адекватной моделью скоростей изменения реальных природных процессов. Потому понятие производной должно бытьпереформулировано так,чтобы стать более адекватной моделью скоростей изменения реальных процессов.3. Очевидно, что скорость изменения –это реальная характеристика всякого реального процесса движения. Поэтому для всякого реально существующего процесса движения должна обязательно существовать указанная характеристика –скорость его изменения. Другими словами, всякая функция, моделирующая реальный процесс движения, обязательно должнавсюду иметьпроизводную. Однако на деле это требование не всегда выполняется. Например, для функции
моделирующей некийпроцесс движения путь –время , скорость движения (производная) в точке не существует.Это факт снова побуждает думать, что понятие производнойв классическом дифференциальном исчислении является не вполне адекватноймодельюскорости изменения реальных природных процессов, которая требует усовершенствования.4. Единообразие возможной интерпретации классических производных различных порядков от любой заданной функции как скоростей различных порядков, с которыми функция изменяется относительно своего аргумента, должно было бы вести не только к единообразию этих производныхпо их функциональнойпринадлежности (о чем уже говорилось в п. 2), но и к существованию единой формулы для производных различных порядков от любой заданной функции. Однако такой формулы в классическом дифференциальном исчислении, как известно, нет. Это еще раз показывает неадекватность классического дифференциального исчисления, основанного на классическом понятии производной, в качестве модели скорости изменения реальных природных процессов. Эта неадекватность должна быть по возможности исправлена.
2. Вспомогательные математические сведенияБудем использовать в качестве вспомогательных сведений прежде всего основные математическиесведения из алгебры интервальных чисел [3, 4]. В этой алгебре в качестве операндов берутся замкнутые вещественные интервалы, определяемые как множества всех вещественныхчиселмежду нижней и верхней границами интервала, включая сами эти границы. (1)Эти операнды естественно называть интервальными числами. Операции над интервальными числами будем вводитькак прямые теоретикомножественные обобщения операций над вещественными числами , т.е.. (2)Основные алгебраические операции над интервальными числами определяются следующими формулами (3)На основе определений (3) операций над интервальными числами можно вывести следующиеформулы для вычисления результатов этих операций [3] (4)Такжев качестве вспомогательного нам потребуется понятие интервальной функции [5], которая вводится как однозначное отображение множества замкнутых вещественных интервалов вида (1) на множество замкнутых вещественных интервалов этого же вида. Символически интервальная функция записывается в следующем виде, (5)где, аналогично числовым функциям, называется интервальной независимой переменной (интервальным аргументом), –интервальной зависимой переменной, –интервальной функцией.Введем теперь понятие предела интервальной функции (5). Это понятие отличается от понятия предела обычной (полностью определенной) функции. Рассмотрим независимую переменную этой функции. Будем считать, что переменная впроцессе своего изменения неограниченно приближается к некоторому предельному интервалу , если в данномпроцессе неограниченно приближается к , а –к . Символически неограниченное приближение к показывается как. (6)Совершенно аналогично независимой переменной зависимая переменная интервальной функции (5) в процессе своего изменения может неограниченно приближается к некоторому предельному интервалу , т.е.. (7)При этом, если неограниченное приближение зависимой переменной интервальной функции (5) к вызвано неограниченным приближением независимой переменной этой функции к , говорим, что предел интервальной функции (5) при , стремящемся к , равен интервалу . Символически это записывается в виде. (8)Если интервальная функция (5) непрерывная, т.е. как нижняя, так и верхняя границы интервала (зависимой переменной) являются непрерывными функциями нижней и верхней границ интервала (независимой переменной), то предел функции (5) равен значению функцииот предельного значения аргумента, или, в символической записи,. (9)Введенное предельное поведение интервальных функций отличается от известногопредельного поведения полностью определенных функций тем, что разность между переменным значением функции и ее пределом неограниченно приближается не к нулю, а к некоторому постоянному симметричному относительно нуля интервалу .
3. Интервальная производная функцияРассмотрим теперь произвольную интервальную функцию (5). Будем считать ее непрерывной. Зафиксируем некоторое значение независимой переменной. Этому значению, в силу непрерывности нашей функции, будет соответствовать фиксированное значение функции. Определим теперь приращения независимой и зависимой переменных нашей функции относительно их указанных фиксированных значенийв виде
(10)и составим отношение второго приращения к первому. (11)Возьмем предел отношения (11) при неограниченном приближении независимой переменной к еефиксированному значению :. (12)Предел (12), если он существует, будем называть производнойинтервальнойфункцией отисходной интервальной функции (5) в точке или, коротко, интервальной производной от функции (5) и обозначать или . Таким образом,. (13)Условие существования интервальной производной интервальной функции определяется следующей теоремой.Теорема 1.Для того чтобы в точке существовала интервальная производная от интервальной функции вида (5), определяемая формулами (10)–(13), необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрестности этой точки, включая ее саму, все значения независимой переменной функции являлисьневырожденными интервалами (т.е. интервалами с несовпадающими верхней и нижнейграницами).Доказательство.Из выражения (11) для интервальной функции, предел которой есть интервальная производная в точке , видно, что эта производная существует только тогда, когдав некоторой окрестности указанной точки, включая ее саму, все возможныезначения знаменателявыражения (11) не равны 0. Но знаменатель выражения (11), согласно формуле (4) разности интервалов, равен интервалу.Правый интервал равен нулю (нулевому интервалу ) только при условии,равносильном следующему
или,что означает вырожденность интервалов .Ввиду произвольности выбранной точки , последнее равенство означает, что для существованияинтервальной производной в точке необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрестности этой точки, включая ее саму, все возможные значения независимой переменной функции были невырождены. Что и требовалось доказать.Интервальная производная от интервальной функции вида (5), определяемая дляпроизвольной точки формулами (10)–(12) в виде предела, может быть выражена также в конечном виде через значения независимой и зависимой переменных этой функции в указанной точке. Именно, справедлива следующая теорема.Теорема 2.Интервальная производная от непрерывной интервальной функции (5),определяемая для произвольной точки формулами (10)–(13) в виде предела, может быть выражена в конечном виде через значения независимой и зависимой переменных этой функции в указанной точке следующим образом. (14)Замечание 1.Напервыйвзгляд выражение (14) может показаться неопределенностью вида .Но это впечатление неверно, поскольку, согласно теореме 1, у любой существующей в точке интервальной производной интервал невырожден и потому, в соответствии с формулой (4) для разности интервалов, эта разность не равнанулю (нулевому интервалу ). Также не равна нулю разность .Доказательство.Согласно определению (10)–(13) интервальной производной в точке ,она может быть записана в виде предела. (15)В процессе предельного перехода в правой части равенства (15) неограниченно приближается к , а , в силу непрерывности интервальной функции –к , следовательно, предел в правой части (15) равен. (16)Если подставитьполученное значение предела из равенства(16) в (15), то будем иметьформулу (14). Что и требовалось доказать.Итак, выражение интервальной производной функции (14) представляет ее через исходную (первообразную) интервальную функцию (5). При этом, поскольку в указанном выражении точка, в которой определяется производная, произвольна, выражение это можно переписать в общем виде следующим образом:, (17)где –произвольное значение независимой переменной непрерывной интервальной функции (5) из ее области определения, прикотором интервальная производная этой функции существует. Как видно из формулы (17), интервальная производная выражается непосредственночерез исходную (первообразную) интервальную функцию простой алгебраической формой, что, конечно, упрощает процесс вычисления производной. Этот эффект отсутствует при нахождении обычных производных, фигурирующихв традиционном (классическом) дифференциальном исчислении детерминированных функций [6].4. Интервальные производные высших порядковПроизводная от интервальной функции , введенная вышев п. 2, также является интервальной функцией, притом зависящей от того же самогоинтервального аргумента . Это позволяет продолжить процесс взятия интервальных производных, получив 2ю производную (производную от 1йпроизводной ), (18)затем третью производную (производную от второй производной ) (19)и т.д., вплоть до интервальной производной любого го порядка, определяемой как производная от производной порядка. (20)Условие существования интервальной производной любого го порядка определяется следующей теоремой.Теорема 3.Для того чтобы в некоторой точке существовала интервальная производная го порядка от интервальной функции (5), определяемая формулами (18)–(20), необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрестности этой точки, включая ее саму, все значения независимой переменной функции были невырожденными интервалами.Доказательство.Согласнотеореме 1, для существования в точке производной 1гопорядка отфункции (5)необходимо и достаточноневырожденности всех интервалов, служащих значениями независимой переменной этой функции в некоторой окрестности точки . Но производная 1го порядка от функции (5) имеет ту же независимую переменную , что и сама функция. Поэтому, согласно теореме 1, для существования в точке производной от производной 1го порядка функции (5) (производной2го порядка от интервальной функции (5)) необходимо и достаточно выполнения того же условия, что и для существования в точке производной 1го порядка от функции (5), т.е. невырожденности всех интервалов, являющихся значениями независимой переменной функции (5) в некоторой окрестности точки . Продолжая по цепочке наши рассуждения, придем к необходимым и достаточным условиям существования в точке производной го порядка от функции (5) в той форме, в которой они сформулированы в теореме 3. Что и требовалось доказать.Интервальная производная любого го порядка от интервальной функции (5), определяемая формулами (18)–(20)итеративно, может быть выражена также в конечном виде, аналогично выражению в конечном виде (17) интервальной производной 1го порядка. Такие выражения основываются на следующей теореме.Теорема 4.Интервальная производная го порядка от интервальной функции вида (5)может быть выражена в конечном виде через интервальную производную го порядка от этой функции (если она непрерывная) и независимую переменную в следующем виде (21)Доказательстводанной теоремы получается с помощью(17), если подставить в неев качестве функции производную го порядка и учесть еще, что производная первогопорядка от согласно определению (20) являетсяпроизводнойго порядка .С помощью доказанных теорем 2 и 4 можно последовательно получитьконечныевыражения для интервальной производной 2го порядка; (22)для интервальной производной 3го порядка
(23)и т.д. Отметим, что все эти выражения аналогичны конечному выражению (17) для интервальнойпроизводной 1го порядка.Замечание 2.Приведенные выражения (22), (23),... для интервальных производных высших порядков кажутсяс первого взгляда суперпозициями неопределенностей вида , но, по причине, указанной в замечании 1, не являются таковыми. Отметим также, что эти выражения не могут быть преобразованы к более простому виду с помощью эквивалентных преобразований, так какв алгебре интервальных чисел [3] не имеют местаэквивалентности типа. (24)
5. Вычисление интервальных производныхДоказанные выше выражения интервальных производных (17)–(23) являются аналитическими выражениями, имеющими вид суперпозиций операций над интервальными переменными. Ониудобны для теоретического изучения интервальных производных. Что касаетсявычисления таких производных, то использование здесь выражений (17)–(23) оказывается неудобным, поскольку оно предполагает объемную работу с весьма громоздкими формулами интервальнойматематики (4), которые позволяют выразить в конце концов интервальную производную функцию в виде интервального числа с явно выраженными в числовой форме нижней и верхней границами. Однако гораздо удобнее вычислять интервальные производные по формуле, выражающей сразу в явном виде нижнюю и верхнюю границы интервального числа, служащегозначением интервальной производной. Эта формула выводится ниже.Теорема 5.Интервальная производная от непрерывной интервальной функции (5), которая выражаетсядля произвольной точки формулой (17) в виде суперпозиции операций над интервальными переменными, может быть также представлена явно в виде интервала, нижняя и верхняя границы которого выражены через нижнюю и верхнюю границы интервальных независимой и зависимой переменных этой функции в точке следующим образом. (25)Доказательство. Будем исходить из выражения интервальной производной от интервальной функции (5) формулой (17). Представим функцию в интервальном виде. (26)Здесь (27)есть соответственно нижняя и верхняя границы интервальной зависимой переменной функции (5). Аналогично представим интервальную независимую переменную :. (28)Послепроведения необходимых подстановок выражение (17) интервальной производной от интервальной функции (5) примет вид. (29)Разности интервалов в числителе и знаменателе (29) по формуле (4) представим в виде интервального числа. (30)Подставив (30) в (29), получим представление интервальной производной в видечастного двух интервалов. (31)В свою очередь, выражение (31) можно, согласно формуле (4), представить в виде следующегопроизведения двух интервалов. (32)Перемножая интервалы в правой части (32) по соответствующему правилу (4), имеем следующее выражение
(33)Одинаково подчеркнутые члены в выражении (33) равны. Далее, оставив из каждых двух равныхчленов по одному, представим (33) в более простом виде. (34)Членыв круглых скобках формулы(34) различаются лишьзнаком, причем (с учетом того, что ) левый член положителен, правый –отрицателен. Изформулы (34) получается простейшее выражение интервальной производной от функции (5). (35)С учетом того, что , выражение (35) можно окончательно переписатьв следующем виде, (36)что и требовалось доказать.Аналогичное (25) явное выражение интервальной производной функции, дающее сразу в явномвиде нижнюю и верхнюю границы интервального числа –значения этой функции –справедливои для производных высших порядков. Это выражение будет приведено ниже.Теорема 6.Интервальная производная любого го порядка от непрерывнойинтервальной функции вида (5), выражаемая для произвольной точки формулой(21) в виде суперпозиции операций над интервальными переменными, может быть представлена в этойточке также в явном виде интервала, нижняя и верхняя границы которого выраженычерез нижнюю и верхнюю границы интервальных независимой переменной , а такжепромежуточной переменной –производнойго порядка от интервальной функции (5) такимобразом. (37)Доказательство теоремы 6 аналогично теореме5, с той разницей, что в качестве исходного выражения искомой интервальной производной го порядка от интервальной функции (5) берется формула (21), тогдакак в случаетеоремы 5 исходным выражением искомой интервальной производной первогопорядка от функции (5) служиттакая же по форме формула (17).Используя (37), нетрудно получить простые явные выражения типа (25) для интервальных производных 2, 3 и т.д. порядка от функции (5). Действительно, для интервальнойпроизводной 2го порядка из (37) имеем. (38)Далее, подставляя в формулу (38) значения нижней и верхней границ интервальной производной 1го порядка из (25) в виде, (39)посленеобходимых эквивалентныхпреобразованийполучим. (40)Аналогично, для интервальной производной 3го порядка из (37) имеем. (41)Как и в предыдущем случае, подставляя в формулу (41) значения границ интервальной производной 2го порядка из (40) в виде, (42)будем, после необходимых эквивалентных преобразований, иметь. (43)Продолжаяэтотпроцесс для интервальных производных 4го, 5го и последующихпорядков, приходимк следующему общемурезультату.Теорема 7.Интервальная производнаялюбого го порядка от непрерывной интервальной функции (5), выражаемая для любойточки формулой (21) в виде суперпозиции операций над интервальными переменными, может быть представлена в указаннойточке также в явном виде интервала с явно выраженными нижней и верхней границами вида (25), (40), (43). (44)Здесь –нижняя и верхняя границы интервального аргумента
в точке взятия производной от функции , а –нижняя и верхняя границы интервальной зависимой переменной этой функции в той же точке.Сводка полученных явных выражений интервальных производных приведена в табл. 1.
6. Обсуждение результатовПостроенное в данной статье недетерминистское дифференциальное исчисление для функций, определяемых с точностью до интервалов, существенно отличается от классического дифференциального исчисления полностью определенных функций. Это отличие связано с тем, что используемое в классическом дифференциальном исчислении предельное поведение, при котором разность между переменной величиной (функцией) и постоянной величиной –ее пределом–неограниченно приближается к нулю, возможно только для полностью определенных величин (функций). В то же время для неполностьюопределенных величин (функций), в частности, определяемых с точностью до интервалов, такого предельного поведенияне существует.Основное отличие построенного недетерминистского (интервального) дифференциального исчисления от классического заключается в том, что интервальные производные любого порядка принадлежат к одному и тому же классу функций, который, согласно общей формуле производной (44), можно назвать классом дробных функциональнорациональных функций. В то же время, как говорилось в п. 1, в классическом дифференциальном исчислении производная может принадлежать различным классам функций.Другое отличие недетерминистского (интервального) дифференциального исчисления от классического состоит в том, что в нем, по теоремам 1, 3, любая невырожденная интервальная функция (5) имеет интервальные производные всех порядков в каждой точке ее области определения. Тогда как в классическом дифференциальном исчислении уже производная 1го порядка существует не у всех функций и не во всех точках (пример п. 1).Еще одно важное отличие построенного недетерминистского (интервального) дифференциального исчисления от классическогозаключается в существовании в недетерминистском дифференциальном исчислении единой формулы (формула (44)), выражающей интервальную производную любого порядка от любой интервальной функции . Такой формулы в классическом дифференциальном исчислении нет.
Таблица 1ФункцияОбозначение функцииЯвное выражение функцииИсходная интервальная функция
Интервальная производная функция 1го порядка
Интервальная производная функция 2го порядка
Интервальная производная функция 3го порядка
Интервальная производная функция го порядка
ЗаключениеВ настоящей статье показана возможность обобщения классического дифференциального исчисления на случай недетерминированных функций, в которых переменные задаются с точностью до интервалов возможных значений. Новое дифференциальное исчисление идейно близкок классическому дифференциальному исчислению, в частности, производная показываетскорость изменения первообразной функции относительно ее аргумента. Однако форма нового исчисления существенно иная. Главные отличия состоят в том, что 1) производная любогопорядка являетсяинтервальной функцией, в которой все переменные, как независимые, так и зависимые, имеют вид интервалов возможных значений и 2) производная любого порядка выражается в явном виде через значения независимой и зависимой переменных первообразной, причем указанное выражение является единым по форме для производных всех порядков.Ссылки на источники1. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. –М.: Наука, 2004.2. Заде Л.А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. –М.: Мир, 1976.3. Алефельд Г. , Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. –М.: Мир, 1987.4. Левин В.И. Интервальные методы оптимизации систем в условиях неопределенности. –Пенза: Издво Пензенского технологического инта, 1999.5. Левин В.И. Оптимизация в условиях интервальной неопределенности. Метод детерминизации // Автоматика и вычислительная техника. –2012. –№ 4.6. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. –М.: Наука, 2005.7. Кремер Н.Ш. и др. Высшая математика для экономистов. –М.: ЮНИТИ, 2001.
Новая модельпроизводной,адекватная понятию скорости изменения функции
Аннотация.Показана возможность обобщения классического дифференциального исчисления на недетерминированные функции, в частности,функции с интервальной неопределенностью переменных. Введена новая модель производной от такой функции, адекватная понятию скорости изменения функции. Полученыформулы, представляющие в явном виде интервальные производные любого порядка.Ключевые слова:интервал, интервальная функция, интервальная производная, интервальныевычисления, недетерминистское дифференциальное исчисление.
ВведениеПроектирование и исследование свойств разнообразных систем обычно опирается на тот или иной подходящий математический аппарат. К настоящему времени создано большое числоразличных видов математического аппарата. Однако при всем их различии почти все они обладаютодним общим свойством –применимостью только к полностью определенным (т.н. детерминированным) системам. В то же время встречающиеся на практике системы обычно характеризуются той или иной степенью неопределенности (недетерминированы). С целью построения и исследования таких систем чаще всего применяют тот или иной специализированный математический аппарат –теориювероятностей [1], теориюнечетких множеств [2], интервальнуюматематику[3]. В настоящейработевпервые предлагается новый математический аппарат для исследования недетерминированныхсистем –недетерминистское дифференциальное исчисление. Этот аппарат, в отличие от трех названных выше, нацеленных, в основном, на исследование поведения статических систем, применимтакже к изучению динамических систем.
1. Постановка проблемыРазвиваемый в настоящей статье аппарат недетерминистского дифференциального исчисления является аналогом классического дифференциального исчисления Ньютона–Лейбница для неполностью определенных функций. В качестве таких функций мы выбираем здесь функции, задаваемые с точностью до интервалов возможных значений. Целесообразность разработкинедетерминистского дифференциального исчисления связана со следующими причинами.1. Как известно, понятие производной в классическом дифференциальном исчислении базируетсяна понятии предельного перехода, т.е. неограниченного приближения переменной величины к некоторой постоянной величине –пределу, при котором разность между этими величинаминеограниченно приближается к 0. Нотакое предельное поведение возможнотолькодля полностью определенных функций и величин. В том случае, если они определены неполностью (например, задаются с точностью до интервалов возможных значений), никакого предельного перехода функции в традиционном смысле не существует. Соответственно этому здесь не существует понятий производной и классического дифференциального исчисления Ньютона–Лейбница. Так что эти понятия должны быть сформулированы поновому.2. Производная в классическом дифференциальном исчислении имеет смысл скорости, с которой функция изменяется относительно аргумента. При этом производныевысших порядков получают смысл скоростей высших порядков, с которыми указаннаяфункция изменяется относительно своего аргумента. Так, например, производная второго порядка означает скорость изменения скорости изменения нашей функции, т.е. скорость изменения функции второго порядка. Аналогично интерпретируются производные третьего и последующих порядков. Единообразие интерпретации производных различного порядка должнобыло бы вести к единообразию этих производных с точки зрения их функциональной принадлежности. Однако на деле это не всегда так, например, для функции,которая является суперпозицией степенной, логарифмической и обратной тригонометрической функций, 1я производная является обратной тригонометрической функцией,а вторая производная –и вовсе алгебраической функцией.Такой разнобой заставляет предполагать, что понятие производной в классическом дифференциальном исчислении не является вполне адекватной моделью скоростей изменения реальных природных процессов. Потому понятие производной должно бытьпереформулировано так,чтобы стать более адекватной моделью скоростей изменения реальных процессов.3. Очевидно, что скорость изменения –это реальная характеристика всякого реального процесса движения. Поэтому для всякого реально существующего процесса движения должна обязательно существовать указанная характеристика –скорость его изменения. Другими словами, всякая функция, моделирующая реальный процесс движения, обязательно должнавсюду иметьпроизводную. Однако на деле это требование не всегда выполняется. Например, для функции
моделирующей некийпроцесс движения путь –время , скорость движения (производная) в точке не существует.Это факт снова побуждает думать, что понятие производнойв классическом дифференциальном исчислении является не вполне адекватноймодельюскорости изменения реальных природных процессов, которая требует усовершенствования.4. Единообразие возможной интерпретации классических производных различных порядков от любой заданной функции как скоростей различных порядков, с которыми функция изменяется относительно своего аргумента, должно было бы вести не только к единообразию этих производныхпо их функциональнойпринадлежности (о чем уже говорилось в п. 2), но и к существованию единой формулы для производных различных порядков от любой заданной функции. Однако такой формулы в классическом дифференциальном исчислении, как известно, нет. Это еще раз показывает неадекватность классического дифференциального исчисления, основанного на классическом понятии производной, в качестве модели скорости изменения реальных природных процессов. Эта неадекватность должна быть по возможности исправлена.
2. Вспомогательные математические сведенияБудем использовать в качестве вспомогательных сведений прежде всего основные математическиесведения из алгебры интервальных чисел [3, 4]. В этой алгебре в качестве операндов берутся замкнутые вещественные интервалы, определяемые как множества всех вещественныхчиселмежду нижней и верхней границами интервала, включая сами эти границы. (1)Эти операнды естественно называть интервальными числами. Операции над интервальными числами будем вводитькак прямые теоретикомножественные обобщения операций над вещественными числами , т.е.. (2)Основные алгебраические операции над интервальными числами определяются следующими формулами (3)На основе определений (3) операций над интервальными числами можно вывести следующиеформулы для вычисления результатов этих операций [3] (4)Такжев качестве вспомогательного нам потребуется понятие интервальной функции [5], которая вводится как однозначное отображение множества замкнутых вещественных интервалов вида (1) на множество замкнутых вещественных интервалов этого же вида. Символически интервальная функция записывается в следующем виде, (5)где, аналогично числовым функциям, называется интервальной независимой переменной (интервальным аргументом), –интервальной зависимой переменной, –интервальной функцией.Введем теперь понятие предела интервальной функции (5). Это понятие отличается от понятия предела обычной (полностью определенной) функции. Рассмотрим независимую переменную этой функции. Будем считать, что переменная впроцессе своего изменения неограниченно приближается к некоторому предельному интервалу , если в данномпроцессе неограниченно приближается к , а –к . Символически неограниченное приближение к показывается как. (6)Совершенно аналогично независимой переменной зависимая переменная интервальной функции (5) в процессе своего изменения может неограниченно приближается к некоторому предельному интервалу , т.е.. (7)При этом, если неограниченное приближение зависимой переменной интервальной функции (5) к вызвано неограниченным приближением независимой переменной этой функции к , говорим, что предел интервальной функции (5) при , стремящемся к , равен интервалу . Символически это записывается в виде. (8)Если интервальная функция (5) непрерывная, т.е. как нижняя, так и верхняя границы интервала (зависимой переменной) являются непрерывными функциями нижней и верхней границ интервала (независимой переменной), то предел функции (5) равен значению функцииот предельного значения аргумента, или, в символической записи,. (9)Введенное предельное поведение интервальных функций отличается от известногопредельного поведения полностью определенных функций тем, что разность между переменным значением функции и ее пределом неограниченно приближается не к нулю, а к некоторому постоянному симметричному относительно нуля интервалу .
3. Интервальная производная функцияРассмотрим теперь произвольную интервальную функцию (5). Будем считать ее непрерывной. Зафиксируем некоторое значение независимой переменной. Этому значению, в силу непрерывности нашей функции, будет соответствовать фиксированное значение функции. Определим теперь приращения независимой и зависимой переменных нашей функции относительно их указанных фиксированных значенийв виде
(10)и составим отношение второго приращения к первому. (11)Возьмем предел отношения (11) при неограниченном приближении независимой переменной к еефиксированному значению :. (12)Предел (12), если он существует, будем называть производнойинтервальнойфункцией отисходной интервальной функции (5) в точке или, коротко, интервальной производной от функции (5) и обозначать или . Таким образом,. (13)Условие существования интервальной производной интервальной функции определяется следующей теоремой.Теорема 1.Для того чтобы в точке существовала интервальная производная от интервальной функции вида (5), определяемая формулами (10)–(13), необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрестности этой точки, включая ее саму, все значения независимой переменной функции являлисьневырожденными интервалами (т.е. интервалами с несовпадающими верхней и нижнейграницами).Доказательство.Из выражения (11) для интервальной функции, предел которой есть интервальная производная в точке , видно, что эта производная существует только тогда, когдав некоторой окрестности указанной точки, включая ее саму, все возможныезначения знаменателявыражения (11) не равны 0. Но знаменатель выражения (11), согласно формуле (4) разности интервалов, равен интервалу.Правый интервал равен нулю (нулевому интервалу ) только при условии,равносильном следующему
или,что означает вырожденность интервалов .Ввиду произвольности выбранной точки , последнее равенство означает, что для существованияинтервальной производной в точке необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрестности этой точки, включая ее саму, все возможные значения независимой переменной функции были невырождены. Что и требовалось доказать.Интервальная производная от интервальной функции вида (5), определяемая дляпроизвольной точки формулами (10)–(12) в виде предела, может быть выражена также в конечном виде через значения независимой и зависимой переменных этой функции в указанной точке. Именно, справедлива следующая теорема.Теорема 2.Интервальная производная от непрерывной интервальной функции (5),определяемая для произвольной точки формулами (10)–(13) в виде предела, может быть выражена в конечном виде через значения независимой и зависимой переменных этой функции в указанной точке следующим образом. (14)Замечание 1.Напервыйвзгляд выражение (14) может показаться неопределенностью вида .Но это впечатление неверно, поскольку, согласно теореме 1, у любой существующей в точке интервальной производной интервал невырожден и потому, в соответствии с формулой (4) для разности интервалов, эта разность не равнанулю (нулевому интервалу ). Также не равна нулю разность .Доказательство.Согласно определению (10)–(13) интервальной производной в точке ,она может быть записана в виде предела. (15)В процессе предельного перехода в правой части равенства (15) неограниченно приближается к , а , в силу непрерывности интервальной функции –к , следовательно, предел в правой части (15) равен. (16)Если подставитьполученное значение предела из равенства(16) в (15), то будем иметьформулу (14). Что и требовалось доказать.Итак, выражение интервальной производной функции (14) представляет ее через исходную (первообразную) интервальную функцию (5). При этом, поскольку в указанном выражении точка, в которой определяется производная, произвольна, выражение это можно переписать в общем виде следующим образом:, (17)где –произвольное значение независимой переменной непрерывной интервальной функции (5) из ее области определения, прикотором интервальная производная этой функции существует. Как видно из формулы (17), интервальная производная выражается непосредственночерез исходную (первообразную) интервальную функцию простой алгебраической формой, что, конечно, упрощает процесс вычисления производной. Этот эффект отсутствует при нахождении обычных производных, фигурирующихв традиционном (классическом) дифференциальном исчислении детерминированных функций [6].4. Интервальные производные высших порядковПроизводная от интервальной функции , введенная вышев п. 2, также является интервальной функцией, притом зависящей от того же самогоинтервального аргумента . Это позволяет продолжить процесс взятия интервальных производных, получив 2ю производную (производную от 1йпроизводной ), (18)затем третью производную (производную от второй производной ) (19)и т.д., вплоть до интервальной производной любого го порядка, определяемой как производная от производной порядка. (20)Условие существования интервальной производной любого го порядка определяется следующей теоремой.Теорема 3.Для того чтобы в некоторой точке существовала интервальная производная го порядка от интервальной функции (5), определяемая формулами (18)–(20), необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрестности этой точки, включая ее саму, все значения независимой переменной функции были невырожденными интервалами.Доказательство.Согласнотеореме 1, для существования в точке производной 1гопорядка отфункции (5)необходимо и достаточноневырожденности всех интервалов, служащих значениями независимой переменной этой функции в некоторой окрестности точки . Но производная 1го порядка от функции (5) имеет ту же независимую переменную , что и сама функция. Поэтому, согласно теореме 1, для существования в точке производной от производной 1го порядка функции (5) (производной2го порядка от интервальной функции (5)) необходимо и достаточно выполнения того же условия, что и для существования в точке производной 1го порядка от функции (5), т.е. невырожденности всех интервалов, являющихся значениями независимой переменной функции (5) в некоторой окрестности точки . Продолжая по цепочке наши рассуждения, придем к необходимым и достаточным условиям существования в точке производной го порядка от функции (5) в той форме, в которой они сформулированы в теореме 3. Что и требовалось доказать.Интервальная производная любого го порядка от интервальной функции (5), определяемая формулами (18)–(20)итеративно, может быть выражена также в конечном виде, аналогично выражению в конечном виде (17) интервальной производной 1го порядка. Такие выражения основываются на следующей теореме.Теорема 4.Интервальная производная го порядка от интервальной функции вида (5)может быть выражена в конечном виде через интервальную производную го порядка от этой функции (если она непрерывная) и независимую переменную в следующем виде (21)Доказательстводанной теоремы получается с помощью(17), если подставить в неев качестве функции производную го порядка и учесть еще, что производная первогопорядка от согласно определению (20) являетсяпроизводнойго порядка .С помощью доказанных теорем 2 и 4 можно последовательно получитьконечныевыражения для интервальной производной 2го порядка; (22)для интервальной производной 3го порядка
(23)и т.д. Отметим, что все эти выражения аналогичны конечному выражению (17) для интервальнойпроизводной 1го порядка.Замечание 2.Приведенные выражения (22), (23),... для интервальных производных высших порядков кажутсяс первого взгляда суперпозициями неопределенностей вида , но, по причине, указанной в замечании 1, не являются таковыми. Отметим также, что эти выражения не могут быть преобразованы к более простому виду с помощью эквивалентных преобразований, так какв алгебре интервальных чисел [3] не имеют местаэквивалентности типа. (24)
5. Вычисление интервальных производныхДоказанные выше выражения интервальных производных (17)–(23) являются аналитическими выражениями, имеющими вид суперпозиций операций над интервальными переменными. Ониудобны для теоретического изучения интервальных производных. Что касаетсявычисления таких производных, то использование здесь выражений (17)–(23) оказывается неудобным, поскольку оно предполагает объемную работу с весьма громоздкими формулами интервальнойматематики (4), которые позволяют выразить в конце концов интервальную производную функцию в виде интервального числа с явно выраженными в числовой форме нижней и верхней границами. Однако гораздо удобнее вычислять интервальные производные по формуле, выражающей сразу в явном виде нижнюю и верхнюю границы интервального числа, служащегозначением интервальной производной. Эта формула выводится ниже.Теорема 5.Интервальная производная от непрерывной интервальной функции (5), которая выражаетсядля произвольной точки формулой (17) в виде суперпозиции операций над интервальными переменными, может быть также представлена явно в виде интервала, нижняя и верхняя границы которого выражены через нижнюю и верхнюю границы интервальных независимой и зависимой переменных этой функции в точке следующим образом. (25)Доказательство. Будем исходить из выражения интервальной производной от интервальной функции (5) формулой (17). Представим функцию в интервальном виде. (26)Здесь (27)есть соответственно нижняя и верхняя границы интервальной зависимой переменной функции (5). Аналогично представим интервальную независимую переменную :. (28)Послепроведения необходимых подстановок выражение (17) интервальной производной от интервальной функции (5) примет вид. (29)Разности интервалов в числителе и знаменателе (29) по формуле (4) представим в виде интервального числа. (30)Подставив (30) в (29), получим представление интервальной производной в видечастного двух интервалов. (31)В свою очередь, выражение (31) можно, согласно формуле (4), представить в виде следующегопроизведения двух интервалов. (32)Перемножая интервалы в правой части (32) по соответствующему правилу (4), имеем следующее выражение
(33)Одинаково подчеркнутые члены в выражении (33) равны. Далее, оставив из каждых двух равныхчленов по одному, представим (33) в более простом виде. (34)Членыв круглых скобках формулы(34) различаются лишьзнаком, причем (с учетом того, что ) левый член положителен, правый –отрицателен. Изформулы (34) получается простейшее выражение интервальной производной от функции (5). (35)С учетом того, что , выражение (35) можно окончательно переписатьв следующем виде, (36)что и требовалось доказать.Аналогичное (25) явное выражение интервальной производной функции, дающее сразу в явномвиде нижнюю и верхнюю границы интервального числа –значения этой функции –справедливои для производных высших порядков. Это выражение будет приведено ниже.Теорема 6.Интервальная производная любого го порядка от непрерывнойинтервальной функции вида (5), выражаемая для произвольной точки формулой(21) в виде суперпозиции операций над интервальными переменными, может быть представлена в этойточке также в явном виде интервала, нижняя и верхняя границы которого выраженычерез нижнюю и верхнюю границы интервальных независимой переменной , а такжепромежуточной переменной –производнойго порядка от интервальной функции (5) такимобразом. (37)Доказательство теоремы 6 аналогично теореме5, с той разницей, что в качестве исходного выражения искомой интервальной производной го порядка от интервальной функции (5) берется формула (21), тогдакак в случаетеоремы 5 исходным выражением искомой интервальной производной первогопорядка от функции (5) служиттакая же по форме формула (17).Используя (37), нетрудно получить простые явные выражения типа (25) для интервальных производных 2, 3 и т.д. порядка от функции (5). Действительно, для интервальнойпроизводной 2го порядка из (37) имеем. (38)Далее, подставляя в формулу (38) значения нижней и верхней границ интервальной производной 1го порядка из (25) в виде, (39)посленеобходимых эквивалентныхпреобразованийполучим. (40)Аналогично, для интервальной производной 3го порядка из (37) имеем. (41)Как и в предыдущем случае, подставляя в формулу (41) значения границ интервальной производной 2го порядка из (40) в виде, (42)будем, после необходимых эквивалентных преобразований, иметь. (43)Продолжаяэтотпроцесс для интервальных производных 4го, 5го и последующихпорядков, приходимк следующему общемурезультату.Теорема 7.Интервальная производнаялюбого го порядка от непрерывной интервальной функции (5), выражаемая для любойточки формулой (21) в виде суперпозиции операций над интервальными переменными, может быть представлена в указаннойточке также в явном виде интервала с явно выраженными нижней и верхней границами вида (25), (40), (43). (44)Здесь –нижняя и верхняя границы интервального аргумента
в точке взятия производной от функции , а –нижняя и верхняя границы интервальной зависимой переменной этой функции в той же точке.Сводка полученных явных выражений интервальных производных приведена в табл. 1.
6. Обсуждение результатовПостроенное в данной статье недетерминистское дифференциальное исчисление для функций, определяемых с точностью до интервалов, существенно отличается от классического дифференциального исчисления полностью определенных функций. Это отличие связано с тем, что используемое в классическом дифференциальном исчислении предельное поведение, при котором разность между переменной величиной (функцией) и постоянной величиной –ее пределом–неограниченно приближается к нулю, возможно только для полностью определенных величин (функций). В то же время для неполностьюопределенных величин (функций), в частности, определяемых с точностью до интервалов, такого предельного поведенияне существует.Основное отличие построенного недетерминистского (интервального) дифференциального исчисления от классического заключается в том, что интервальные производные любого порядка принадлежат к одному и тому же классу функций, который, согласно общей формуле производной (44), можно назвать классом дробных функциональнорациональных функций. В то же время, как говорилось в п. 1, в классическом дифференциальном исчислении производная может принадлежать различным классам функций.Другое отличие недетерминистского (интервального) дифференциального исчисления от классического состоит в том, что в нем, по теоремам 1, 3, любая невырожденная интервальная функция (5) имеет интервальные производные всех порядков в каждой точке ее области определения. Тогда как в классическом дифференциальном исчислении уже производная 1го порядка существует не у всех функций и не во всех точках (пример п. 1).Еще одно важное отличие построенного недетерминистского (интервального) дифференциального исчисления от классическогозаключается в существовании в недетерминистском дифференциальном исчислении единой формулы (формула (44)), выражающей интервальную производную любого порядка от любой интервальной функции . Такой формулы в классическом дифференциальном исчислении нет.
Таблица 1ФункцияОбозначение функцииЯвное выражение функцииИсходная интервальная функция
Интервальная производная функция 1го порядка
Интервальная производная функция 2го порядка
Интервальная производная функция 3го порядка
Интервальная производная функция го порядка
ЗаключениеВ настоящей статье показана возможность обобщения классического дифференциального исчисления на случай недетерминированных функций, в которых переменные задаются с точностью до интервалов возможных значений. Новое дифференциальное исчисление идейно близкок классическому дифференциальному исчислению, в частности, производная показываетскорость изменения первообразной функции относительно ее аргумента. Однако форма нового исчисления существенно иная. Главные отличия состоят в том, что 1) производная любогопорядка являетсяинтервальной функцией, в которой все переменные, как независимые, так и зависимые, имеют вид интервалов возможных значений и 2) производная любого порядка выражается в явном виде через значения независимой и зависимой переменных первообразной, причем указанное выражение является единым по форме для производных всех порядков.Ссылки на источники1. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. –М.: Наука, 2004.2. Заде Л.А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. –М.: Мир, 1976.3. Алефельд Г. , Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. –М.: Мир, 1987.4. Левин В.И. Интервальные методы оптимизации систем в условиях неопределенности. –Пенза: Издво Пензенского технологического инта, 1999.5. Левин В.И. Оптимизация в условиях интервальной неопределенности. Метод детерминизации // Автоматика и вычислительная техника. –2012. –№ 4.6. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. –М.: Наука, 2005.7. Кремер Н.Ш. и др. Высшая математика для экономистов. –М.: ЮНИТИ, 2001.
