Позиционные задачи в начертательной геометрии
С.
И. ПавловБиблиографическое описание статьи для цитирования:
Павлов
С.
И.,
Семагина
Ю.
В. Позиционные задачи в начертательной геометрии // Научно-методический электронный журнал «Концепт». –
2014. – Т. 20. – С.
2726–2730. – URL:
http://e-koncept.ru/2014/54809.htm.
Аннотация. Статья посвящена универсальному подходу к изложению материала по одной из самых сложных тем начертательной геометрии – «Позиционные задачи». Авторы предлагают на базе синтетической начертательной геометрии единый подход к решению всех позиционных задач. По сравнению с традиционным изложением материала значительно экономится аудиторное время на изучение раздела «Позиционные задачи». Появляется возможность параллельного аналитического описания процесса решения, что может быть использовано в дальнейшем в курсах аналитической геометрии и компьютерной графики.
Ключевые слова:
начертательная геометрия, позиционные задачи, пересечение, размерность, точка, отрезок прямой, отсек плоскости
Текст статьи
Павлов Станислав Иванович,кандидат техническихнаук, заведующий кафедройначертательной геометрии, инженерной и компьютерной графики ФГБОУ ВПО «Оренбургский государственный университет», г.Оренбургngiikg@mail.osu.ruСемагина Юлия Владимировна,кандидат техническихнаук, доцент кафедры начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графики ФГБОУ ВПО «Оренбургский государственный университет», г.Оренбургsemagina@mail.ru
Позиционные задачи вначертательнойгеометрии
Аннотация.Статья посвящена универсальномуподходу к изложению материалапо одной из самых сложных тем начертательной геометрии –«позиционные задачи». Авторы предлагают, на базе синтетической начертательнойгеометрии, единый подход к решению всех позиционных задач.По сравнению с традиционным изложением материала значительно экономится аудиторное время на изучение раздела «позиционные задачи».Появляется возможность параллельного аналитического описания процесса решения, что может быть использовано, в дальнейшем, в курсах аналитической геометрии и компьютерной графики.Ключевые слова: начертательнаягеометрия, позиционные задачи,пересечение, размерность, точка, отрезок прямой, отсек плоскости.
Анализ учебной литературы, рабочих программ кафедр графических дисциплин различных вузов, да и, собственный опыт работы (более тридцати лет) показывает, что наиболее трудно воспринимаемым разделом курса Начертательная геометрия является решение позиционных задач. К ним относят задачи на определение взаимного расположения геометрических объектов в пространстве. И это все, на фоне громадного числа методических разработок, предлагающих массу алгоритмов. Не смотря ни на что, у студента не складывается к концу обучения общего представления о подходах и методах решения подобных задач.Во многом это объяснимо сложившимся стереотипом.Решение задачи предлагается разделять на два этапа: решение задачи «в пространстве», а затем на «плоскости». Такая ситуация порождается тем, что очень большое число преподавателей кафедр «графики» не имеют специального геометрического образования и просто формально копируют то, что написано в учебной литературе, зачастую устаревшей. При этом,совершенно забывается главное –комплексный чертеж (эпюр Монжа) есть,не что иное, как плоский эквивалент трехмерного пространства, а стало быть, решение задачи одно единственноеи в пространстве и на плоскости[1]. Просто на плоскости визуализируются пространственное решение. При таком подходе, визуализации решения на плоском чертеже, появляется возможность все позиционные задачи решать единообразно. Взаимное расположение геометрических объектов в пространстве, с точки зрения линейной алгебры (многомерной геометрии)[2], можно описать уравнением:N=M1+M2P,где N –размерность рассматриваемого пространства, М1–размерность одного из объектовпространства, М2–размерность второго объекта, Р –размерность объекта получающегося в пересечении M1и M2.В точечной синтетической геометрии, в качестве объектов расширенного трехмерного евклидова пространства, рассматриваются: точки, имеющие нулевую размерность; линии с размерностью равной единице и двумерные поверхности. Размерность же, пересечения этих объектов Р, исходя из приведенного выше уравнения, может быть найдена, как Р M1+M23.Итогда, решение любой позиционной задачи будет определяться численным значением этого параметра Р.
Две плоскости всегда пересекаются по объекту размерности равной 1, т.е. по прямой линии. Линия пересечения может быть собственной прямой, либо несобственной, когда плоскости параллельны.Прямая и плоскость пересекаются по объекту размерности 0–по точке. Эта точка может быть действительной (собственной), или несобственной, если прямая параллельна плоскости. Для двух прямых параметр Р равен 1, что говорит о том, что две прямые в трехмерном пространстве не пересекаются (скрещиваются). В тоже время, на плоскости, где значение параметра определится из Р M1+M22, прямые пересекаются по точке(Р0). Это позволяет утверждать, что любые две пересекающиеся прямые (в собственной или несобственной точке) образуют плоскость.Простейшимиэлементами(симплексами) евклидовапространстваявляютсяследующие геометрические объекты: –точка; –отрезок прямой (две не совпадающие точки); –отсек плоскости (три точки,не лежащие на одной прямой), –тетраэдр (четыре точки, не лежащие в одной плоскости).
Решениями всех позиционных задач трехмерного пространства будут только объекты с размерностью равной нулю или единице. Для их моделирования на комплексном чертеже требуется задание одной или двух точек, соответственно. Другими словами решение таких задач можно свести к построению на чертеже одной или двух точек.При традиционном подходестудент постоянно сталкивается с ситуацией, когда на чертеже одни объекты (точки и линии) задаются своими проекциями, а другие (плоскости) родственными соответствиями. Приходится учитывать и то, что часть чертежа строится на основе модели метода двух изображений, а часть метода двух следов (рис. 1, задание плоскости следами). Следствием этого является применениеразличных подходов к работе с объектамипространства: точками, линиями и плоскостями. Предельно простое решение усложняется, обрастая массой частных «алгоритмов».
Рис.1Проекции точки, отрезка прямой и следы плоскостиОпределяя начертательную геометрию, как науку ее основоположник Г.Монж утверждал, что она преследует две цели: точное представление пространственных объектов на плоском чертеже, что позволяет ее называть языком техники; и,реконструкцию трехмерных объектов по их плоским изображениям. При этом он отмечает, тесную связь ее с «алгеброй», проводя аналогию между графическими построениями и аналитическими операциями. Он высказывал пожелание о том, чтобы обе науки изучались вместе, дополняя одна другую. Предлагается для изучения раздела «позиционные задачи» реализовать идею Г.Монжа по привлечению к методам начертательной методов аналитической геометрии. По крайней мере, дать аналитическую иллюстрацию решения подобных задач[3].Вматематике, одним из разделов которой и является начертательная геометрия, положение точки в трехмерном пространстве однозначно определяется тройкой чиселА(ХА,YА,ZA),которые принято называть декартовыми координатами. Эти числа могут интерпретироваться, как параметры уравнений плоскостей, параллельных координатным плоскостям yOz, xOzи xOy, соответственно (рис.2).Сами же эти уравнения будут иметь вид , и .Тогда геометрический объект трехмерного пространства будет задаваться пересечением выше упомянутых плоскостей или, с точки зрения аналитической геометрии, системой их трех этих уравнений.На комплексном чертеже точка будет задаваться парой своих проекций (А1и А2, рис.2), а линия связи следами плоскости Х ХA.
Рис.2 Положение точки в пространстве и декартовы координатыВ предлагаемом подходе, точка теряет свой традиционный статус «неопределяемого» объекта, ее положение в пространстве определяется тремя параметрами ХА,YАи ZA–параметрами положения(рис. 2). На двукартинном комплексном чертеже для каждой точки пространственного объекта фиксируются три ее параметра положения, что и позволяет считать такой чертеж «плоскими эквивалентами трехмерного пространства». Задание отрезка прямой на комплексном чертеже, в синтетической начертательной геометрии равносильно заданию двух его концевых точек. А это, в сою очередь, ничто иное, как задание двух проецирующих плоскостей (Р1и Р2рис.3), пересекающихся с плоскостями параллельными координатной плоскости zOy.Проекции же отрезка на комплексном чертеже определяются соответствующими следами проецирующих плоскостей, образующих прямую.
Рис.3 Прямаяна чертежеАналитическое описание этой прямой может быть представлено системой двух уравнений проецирующих плоскостей z= kxx+bx–плоскость Р1и z= kyy+by–плоскость Р2.Или же,если задаются координаты концов отрезков, то ,гдеt=0,…,1(рис. 3).Вопрос о принадлежности точки прямой линии однозначно решается на основаниисвойств проецирования (сохраняется простое отношение трех точек). Точка на прямой получается в результате пересечения прямой плоскость, параллельной одной из плоскостей проекции (рис.4).
Рисунок 4–Принадлежность точки прямойДве проецирующие плоскости, определяющие прямую, совместно с плоскостью уровня выделяют на прямой точку(точка это три пересекающиеся плоскости. Применительно к чертежу, приведенному на рисунке 4они определятся уравнениями , или же в параметрической форме .Задание точки в плоскости требует фиксации еще двух плоскостей. Например, плоскостей параллельных координатным плоскостям (рис.5). Аналитическое представление решения будет иметь вид
.
Рисунок 5 –Точка в плоскостиДля того, чтобы прямая лежала в плоскости,достаточно потребовать, чтобы две ее точки оказались бы в этой плоскости (рис.6). В этом случае задача сводится к предыдущей, на принадлежность точки плоскости. Каждая из точек прямой задается пересечением трех плоскостей –заданной и двух уровня. Аналитическое представление решения будет иметь вид
и .
Рисунок6–Прямая в плоскостиЛиния пересечения двух плоскостей это линия, одновременно принадлежащая этим плоскостям. Точки,лежащие на ней,будут определяться пересечением заданных плоскостей и однойиз дополнительных, например,плоскостипроекции. При задании плоскостей следами решение очевидно. Точки линии пересечения определятся пересечение заданных плоскостей с координатными плоскостями (плоскостями проекции рис.6).На комплексном чертеже это точки пересечения соответствующих следов.
Рисунок 7–Пересечение плоскостейПри задании плоскостей на чертеже тремя парами соответственных точек задача решается аналогично.Роль плоскостей проекции, в этом случае, выполняют плоскости уровня (Qи G, рисунок 7). Линия пересечения в этих случаях определится системойуравнений, определяющих плоскости .
Рисунок 8–Пересечение треугольниковНахождение точки пересечения прямой с плоскостью (рис.8) не выходит за рамки решений предыдущих задач. Искомая точка это результат пересечения заданной плоскости с проецирующими плоскостями, образующими прямую.Как уже отмечалось выше, проекции прямой по своей сути являются отрезками следов проецирующих плоскостей.И, тогда,точка определится решением системы уравнений .Подводя итогмодно сказать, что все позиционные задачи на комплексном чертеже могут быть сведены к заданию точки (точек), как результата пересечения трех плоскостей (уровня, проецирующих или общего положения). При иллюстрации решения аналитическим представлением потребуется параметрам уравнений приписать численные значения. Построение уравнения прямой(рис.9), если известны координаты концов отрезка, не представляет большой трудности. В параметрической форме это ,где t0,…,1. Или в более привычном виде: фронтальная и горизонтальная проекции соответственно
и .
Рисунок 9 –Пересечение прямой с плоскостью
Уравнение плоскости может быть получено, как уравнение поверхности плоскость параллельного переноса. Полагая, что след Р1перемещаясь, параллельно самому себе, по следу Р2заметает в пространстве плоскость Р(рис. 10), уравнение этой плоскостиможно записать в виде .В этом уравнении x0 –координата точки пересечения следов на оси Ох.
Рисунок 10 –Уравнение прямой и плоскостиИ так, можно утверждать, что предлагаемый авторами подход к решению позиционных задач на чертеже позволяет решать их, используя единый алгоритм определения точки в результате пересечения трех плоскостей[3]. Одновременно с этим, появляется возможность иллюстрации решения задач аналитическими методами, т.е. реализуется пожелание Г.Монжа о тесном взаимодействии «геометрии с алгеброй» при изучении курса начертательной геометрии.
Ссылки на источники1.Монж Г. Начертательная геометрия / Под ред. проф. Д. И. Каргина. –М.: Изд. АН СССР, 1947. –292 с.2.Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия:–М.: Изд. ФИЗМАТЛИТ, 2004. –526 с.
3.Павлов С.И., Горельская Л.В. Начертательная геометрия, как система визуализации: Материалы всероссийской научнопрактической конференции «Интеграция науки и практики в профессиональном развитии педагога» Оренбург: ОГУ, 2010. –2963 с.
Stanislav Pavlov,Cand.Tech.Sci., managing stand of a descriptive geometry, engineering and the computergenerated image of Orenburg state university, OrenburgJulia Semagina,Cand.Tech.Sci., the senior lecturer of stand of a descriptive geometry, engineering and the computergenerated image of Orenburg state university, OrenburgPosition problems in descriptive geometryAbstract.Paper is devoted the universal approach to a material statement on one of the most difficult themes of descriptive geometry «position problems». Authors offer, on the basis of synthetic descriptive geometry, the uniform approach to the solution of all position problems. In comparison with a traditional statement of a material the school hours on section studying «position problems» are considerably saved. There is a possibility of the parallel analytical description of process of the solution that can be used, in further, in analytic geometry and computer graphics headings.Keywords:descriptive geometry, position problems, intersection, dimensions of a quantity, a point, an intercept, a plane compartment.
Позиционные задачи вначертательнойгеометрии
Аннотация.Статья посвящена универсальномуподходу к изложению материалапо одной из самых сложных тем начертательной геометрии –«позиционные задачи». Авторы предлагают, на базе синтетической начертательнойгеометрии, единый подход к решению всех позиционных задач.По сравнению с традиционным изложением материала значительно экономится аудиторное время на изучение раздела «позиционные задачи».Появляется возможность параллельного аналитического описания процесса решения, что может быть использовано, в дальнейшем, в курсах аналитической геометрии и компьютерной графики.Ключевые слова: начертательнаягеометрия, позиционные задачи,пересечение, размерность, точка, отрезок прямой, отсек плоскости.
Анализ учебной литературы, рабочих программ кафедр графических дисциплин различных вузов, да и, собственный опыт работы (более тридцати лет) показывает, что наиболее трудно воспринимаемым разделом курса Начертательная геометрия является решение позиционных задач. К ним относят задачи на определение взаимного расположения геометрических объектов в пространстве. И это все, на фоне громадного числа методических разработок, предлагающих массу алгоритмов. Не смотря ни на что, у студента не складывается к концу обучения общего представления о подходах и методах решения подобных задач.Во многом это объяснимо сложившимся стереотипом.Решение задачи предлагается разделять на два этапа: решение задачи «в пространстве», а затем на «плоскости». Такая ситуация порождается тем, что очень большое число преподавателей кафедр «графики» не имеют специального геометрического образования и просто формально копируют то, что написано в учебной литературе, зачастую устаревшей. При этом,совершенно забывается главное –комплексный чертеж (эпюр Монжа) есть,не что иное, как плоский эквивалент трехмерного пространства, а стало быть, решение задачи одно единственноеи в пространстве и на плоскости[1]. Просто на плоскости визуализируются пространственное решение. При таком подходе, визуализации решения на плоском чертеже, появляется возможность все позиционные задачи решать единообразно. Взаимное расположение геометрических объектов в пространстве, с точки зрения линейной алгебры (многомерной геометрии)[2], можно описать уравнением:N=M1+M2P,где N –размерность рассматриваемого пространства, М1–размерность одного из объектовпространства, М2–размерность второго объекта, Р –размерность объекта получающегося в пересечении M1и M2.В точечной синтетической геометрии, в качестве объектов расширенного трехмерного евклидова пространства, рассматриваются: точки, имеющие нулевую размерность; линии с размерностью равной единице и двумерные поверхности. Размерность же, пересечения этих объектов Р, исходя из приведенного выше уравнения, может быть найдена, как Р M1+M23.Итогда, решение любой позиционной задачи будет определяться численным значением этого параметра Р.
Две плоскости всегда пересекаются по объекту размерности равной 1, т.е. по прямой линии. Линия пересечения может быть собственной прямой, либо несобственной, когда плоскости параллельны.Прямая и плоскость пересекаются по объекту размерности 0–по точке. Эта точка может быть действительной (собственной), или несобственной, если прямая параллельна плоскости. Для двух прямых параметр Р равен 1, что говорит о том, что две прямые в трехмерном пространстве не пересекаются (скрещиваются). В тоже время, на плоскости, где значение параметра определится из Р M1+M22, прямые пересекаются по точке(Р0). Это позволяет утверждать, что любые две пересекающиеся прямые (в собственной или несобственной точке) образуют плоскость.Простейшимиэлементами(симплексами) евклидовапространстваявляютсяследующие геометрические объекты: –точка; –отрезок прямой (две не совпадающие точки); –отсек плоскости (три точки,не лежащие на одной прямой), –тетраэдр (четыре точки, не лежащие в одной плоскости).
Решениями всех позиционных задач трехмерного пространства будут только объекты с размерностью равной нулю или единице. Для их моделирования на комплексном чертеже требуется задание одной или двух точек, соответственно. Другими словами решение таких задач можно свести к построению на чертеже одной или двух точек.При традиционном подходестудент постоянно сталкивается с ситуацией, когда на чертеже одни объекты (точки и линии) задаются своими проекциями, а другие (плоскости) родственными соответствиями. Приходится учитывать и то, что часть чертежа строится на основе модели метода двух изображений, а часть метода двух следов (рис. 1, задание плоскости следами). Следствием этого является применениеразличных подходов к работе с объектамипространства: точками, линиями и плоскостями. Предельно простое решение усложняется, обрастая массой частных «алгоритмов».
Рис.1Проекции точки, отрезка прямой и следы плоскостиОпределяя начертательную геометрию, как науку ее основоположник Г.Монж утверждал, что она преследует две цели: точное представление пространственных объектов на плоском чертеже, что позволяет ее называть языком техники; и,реконструкцию трехмерных объектов по их плоским изображениям. При этом он отмечает, тесную связь ее с «алгеброй», проводя аналогию между графическими построениями и аналитическими операциями. Он высказывал пожелание о том, чтобы обе науки изучались вместе, дополняя одна другую. Предлагается для изучения раздела «позиционные задачи» реализовать идею Г.Монжа по привлечению к методам начертательной методов аналитической геометрии. По крайней мере, дать аналитическую иллюстрацию решения подобных задач[3].Вматематике, одним из разделов которой и является начертательная геометрия, положение точки в трехмерном пространстве однозначно определяется тройкой чиселА(ХА,YА,ZA),которые принято называть декартовыми координатами. Эти числа могут интерпретироваться, как параметры уравнений плоскостей, параллельных координатным плоскостям yOz, xOzи xOy, соответственно (рис.2).Сами же эти уравнения будут иметь вид , и .Тогда геометрический объект трехмерного пространства будет задаваться пересечением выше упомянутых плоскостей или, с точки зрения аналитической геометрии, системой их трех этих уравнений.На комплексном чертеже точка будет задаваться парой своих проекций (А1и А2, рис.2), а линия связи следами плоскости Х ХA.
Рис.2 Положение точки в пространстве и декартовы координатыВ предлагаемом подходе, точка теряет свой традиционный статус «неопределяемого» объекта, ее положение в пространстве определяется тремя параметрами ХА,YАи ZA–параметрами положения(рис. 2). На двукартинном комплексном чертеже для каждой точки пространственного объекта фиксируются три ее параметра положения, что и позволяет считать такой чертеж «плоскими эквивалентами трехмерного пространства». Задание отрезка прямой на комплексном чертеже, в синтетической начертательной геометрии равносильно заданию двух его концевых точек. А это, в сою очередь, ничто иное, как задание двух проецирующих плоскостей (Р1и Р2рис.3), пересекающихся с плоскостями параллельными координатной плоскости zOy.Проекции же отрезка на комплексном чертеже определяются соответствующими следами проецирующих плоскостей, образующих прямую.
Рис.3 Прямаяна чертежеАналитическое описание этой прямой может быть представлено системой двух уравнений проецирующих плоскостей z= kxx+bx–плоскость Р1и z= kyy+by–плоскость Р2.Или же,если задаются координаты концов отрезков, то ,гдеt=0,…,1(рис. 3).Вопрос о принадлежности точки прямой линии однозначно решается на основаниисвойств проецирования (сохраняется простое отношение трех точек). Точка на прямой получается в результате пересечения прямой плоскость, параллельной одной из плоскостей проекции (рис.4).
Рисунок 4–Принадлежность точки прямойДве проецирующие плоскости, определяющие прямую, совместно с плоскостью уровня выделяют на прямой точку(точка это три пересекающиеся плоскости. Применительно к чертежу, приведенному на рисунке 4они определятся уравнениями , или же в параметрической форме .Задание точки в плоскости требует фиксации еще двух плоскостей. Например, плоскостей параллельных координатным плоскостям (рис.5). Аналитическое представление решения будет иметь вид
.
Рисунок 5 –Точка в плоскостиДля того, чтобы прямая лежала в плоскости,достаточно потребовать, чтобы две ее точки оказались бы в этой плоскости (рис.6). В этом случае задача сводится к предыдущей, на принадлежность точки плоскости. Каждая из точек прямой задается пересечением трех плоскостей –заданной и двух уровня. Аналитическое представление решения будет иметь вид
и .
Рисунок6–Прямая в плоскостиЛиния пересечения двух плоскостей это линия, одновременно принадлежащая этим плоскостям. Точки,лежащие на ней,будут определяться пересечением заданных плоскостей и однойиз дополнительных, например,плоскостипроекции. При задании плоскостей следами решение очевидно. Точки линии пересечения определятся пересечение заданных плоскостей с координатными плоскостями (плоскостями проекции рис.6).На комплексном чертеже это точки пересечения соответствующих следов.
Рисунок 7–Пересечение плоскостейПри задании плоскостей на чертеже тремя парами соответственных точек задача решается аналогично.Роль плоскостей проекции, в этом случае, выполняют плоскости уровня (Qи G, рисунок 7). Линия пересечения в этих случаях определится системойуравнений, определяющих плоскости .
Рисунок 8–Пересечение треугольниковНахождение точки пересечения прямой с плоскостью (рис.8) не выходит за рамки решений предыдущих задач. Искомая точка это результат пересечения заданной плоскости с проецирующими плоскостями, образующими прямую.Как уже отмечалось выше, проекции прямой по своей сути являются отрезками следов проецирующих плоскостей.И, тогда,точка определится решением системы уравнений .Подводя итогмодно сказать, что все позиционные задачи на комплексном чертеже могут быть сведены к заданию точки (точек), как результата пересечения трех плоскостей (уровня, проецирующих или общего положения). При иллюстрации решения аналитическим представлением потребуется параметрам уравнений приписать численные значения. Построение уравнения прямой(рис.9), если известны координаты концов отрезка, не представляет большой трудности. В параметрической форме это ,где t0,…,1. Или в более привычном виде: фронтальная и горизонтальная проекции соответственно
и .
Рисунок 9 –Пересечение прямой с плоскостью
Уравнение плоскости может быть получено, как уравнение поверхности плоскость параллельного переноса. Полагая, что след Р1перемещаясь, параллельно самому себе, по следу Р2заметает в пространстве плоскость Р(рис. 10), уравнение этой плоскостиможно записать в виде .В этом уравнении x0 –координата точки пересечения следов на оси Ох.
Рисунок 10 –Уравнение прямой и плоскостиИ так, можно утверждать, что предлагаемый авторами подход к решению позиционных задач на чертеже позволяет решать их, используя единый алгоритм определения точки в результате пересечения трех плоскостей[3]. Одновременно с этим, появляется возможность иллюстрации решения задач аналитическими методами, т.е. реализуется пожелание Г.Монжа о тесном взаимодействии «геометрии с алгеброй» при изучении курса начертательной геометрии.
Ссылки на источники1.Монж Г. Начертательная геометрия / Под ред. проф. Д. И. Каргина. –М.: Изд. АН СССР, 1947. –292 с.2.Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия:–М.: Изд. ФИЗМАТЛИТ, 2004. –526 с.
3.Павлов С.И., Горельская Л.В. Начертательная геометрия, как система визуализации: Материалы всероссийской научнопрактической конференции «Интеграция науки и практики в профессиональном развитии педагога» Оренбург: ОГУ, 2010. –2963 с.
Stanislav Pavlov,Cand.Tech.Sci., managing stand of a descriptive geometry, engineering and the computergenerated image of Orenburg state university, OrenburgJulia Semagina,Cand.Tech.Sci., the senior lecturer of stand of a descriptive geometry, engineering and the computergenerated image of Orenburg state university, OrenburgPosition problems in descriptive geometryAbstract.Paper is devoted the universal approach to a material statement on one of the most difficult themes of descriptive geometry «position problems». Authors offer, on the basis of synthetic descriptive geometry, the uniform approach to the solution of all position problems. In comparison with a traditional statement of a material the school hours on section studying «position problems» are considerably saved. There is a possibility of the parallel analytical description of process of the solution that can be used, in further, in analytic geometry and computer graphics headings.Keywords:descriptive geometry, position problems, intersection, dimensions of a quantity, a point, an intercept, a plane compartment.
