Картезианский ключ к задачам с «аномальными» условиями: корректность, неопределённость и переопределённость
ART 45099
Автор:
В.
В. Лутковский
В.
В. Лутковский Библиографическое описание статьи для цитирования:
Лутковский
В.
В. Картезианский ключ к задачам с «аномальными» условиями: корректность, неопределённость и переопределённость // Научно-методический электронный журнал «Концепт». –
2015. – Т. 21. – С.
66–70. – URL:
http://e-koncept.ru/2015/45099.htm.
Аннотация. В статье рассмотрены задачи с неопределёнными или переопределёнными условиями. Показано, что такие задачи требуют умения анализировать условия данные задачи – на основе достаточно обширных знаний об объекте задачи, о связях его с другими математическими объектами, которые могут оказаться достаточными для получения ответа.
Ключевые слова:
обобщение, неопределённые задачи, переопределённые задачи, метод декарта, алгебраические уравнения
Текст статьи
Лутковский Владимир Владимирович,учитель математики МБОУ СОШ № 10,г. Интаvlut@list.ru
Картезианский ключ к задачамс «аномальными»условиями: корректность, неопределѐнность и переопределѐнность
Аннотация.В статьерассмотрены задачиснеопределѐнными или переопределѐнными условиями. Показано, что такие задачи требуютумения анализировать условияданные задачина основедостаточно обширных знаний об объекте задачи, освязях его сдругими математическими объектами, которые могут оказаться достаточными для полученияответа.
Ключевые слова: неопределѐнные задачи, переопределѐнные задачи, метод Декарта, алгебраические уравнения, обобщение..Жизнь это искусство делать верные выводы из неверных посылок.Сэмюэл Батлер
Для развитияпознавательных, аналитических способностей школьников совершенно необходимо решение достаточного количества разнообразных по содержанию иматематической фабуле задач[37].Наилучшим образом этой цели служат желательно применять на практике неопределѐнные ипереопределѐнные задачи, аименно задачи с «аномальным» условием. Речь идѐт озадачах снеполным, избыточным ипротиворечивым условием[1].Нестандартные задачи задачи с «аномальным» условием:1.Неопределѐнные задачи задачи с неполным условием, в котором дляполучения конкретного ответа не хватает одной или нескольких величин или какихтоуказаний на свойства объекта или его связи с другими объектами.2.Задачи переопределѐнные задачи с избыточным составом условия, слишними данными, без которых ответ может быть получен, но которые в той или иноймеремаскируют путь решения.Вообщето говоря, задачи такого рода называются некорректными.Естественно считать корректной или правильно поставленной такую задачу, решение которой определяется однозначно. И если мы серьѐзно заинтересованы задачей, то желательно как можно раньше установить (или догадаться), корректна она или нет[810]. Таким образом, уже с самого начала мы можем ставить перед собой следующие вопросы: Возможно ли удовлетворить условию? Достаточно ли условий имеем мы для нахождения неизвестного? Или мы имеем слишкоммало условий? А может быть, наоборот, условий у нас так много, что возникает вопрос о том, могут ли они быть удовлетворены?Эти вопросы очень важны. Мы отложим на дальнейшее широкое обсуждение роли этих вопросов в процессе решения задачи; здесь же будет уместно рассмотреть несколько примеров.Рассмотрим показательнуюзадачу([2] как и далее все задачи).Некто гулял 5 часов сначала он шѐл по горизонтальной дороге, затем поднялся в гору и, наконец, по старому маршруту возвратился назад в исходный пункт. Скорость гуляющего была равна 4 км в час на горизонтальном участкепути, 3 км в час при подъѐме в гору и 6 км/час при спуске с горы. Найти пройдѐнное этим лицом расстояние. Корректна ли эта задача? Достаточно ли данных для определения неизвестного? Или их слишком много?Кажется, что данных недостаточно: как будто нехватает сведений о протяженности наклонного участка пути. Если бы мы знали, сколько времени было потрачено на подъѐм или на спуск, то затруднений не возникло бы. А без этих сведений задача кажется неопределѐнной.Все же попробуем приступить к решению.ПустьХ пройденное в оба конца расстояние,Удлина наклонного участка.Пройденное расстояние можно разбить на 4 этапа:Горизонтальный участок Подъѐм Спуск Горизонтальный участокТеперь нетрудно выразить время, затраченное на ходьбу в оба конца:
Мы имеем только одно уравнение, связывающее два неизвестных, этого недостаточно. Попробуем, однако, сгруппировать члены; Тогда коэффициент при У окажется равным 0 и останется равенство:
То естьX=20
Таким образом, данных для определения Хбыло достаточно: постановка задачи требует введения только одного неизвестного.Итак, в конце концов выясняется, что задача не была неопределѐнной, мы ошиблись. Этого нельзя отрицать. Но есть основания подозревать, что автор нарочно хотел ввести нас в заблуждение специальным подбором чисел 3, 6и 4. Чтобы добраться до сути его уловки, подставим вместо чисел буквы: 3=u, 6=v, 4=w,обозначающие, соответственно скорости ходьбы при подъеме и при спуске на горизонтальном участке.Прочтѐм ещѐраз условие задачи, подставив вместо первоначальных чисел только что введѐнные нами буквы, и выразим время, затраченное на прямой и обратный путь в новых обозначениях:
Или
Из этого уравнения можно найти Х только в том случае, когда коэффициент при У обращается в 0.Поэтому, если не выполняется соотношение
То задача действительно оказывается неопределѐнной.Нас ввели в заблуждение при помощи коварной уловки! Мы можем выразить это критическое соотношение в виде
Или сказать, что скорость движения по горизонтальнойдороге есть среднее гармоническое скоростей движения вверх и вниз.А теперь задачас избыточнымиданными(переопределѐнная).Две окружности расположены одна вне другой, заключены внутри третьей окружности, большей их обеих. Каждая из трех окружностей касается двух остальных и центры их принадлежат одной прямой. Даны радиус R большей окружности и заключенный внутри нее отрезок l касательной, проведенный к двум меньшим окружностям в их общей точке. Найти площадь, заключенную внутри большей окружности и вне двух меньших.
Рис.Корректна ли эта задача? Достаточно ли данных для нахождения неизвестного? Или их не хватает? Или же их слишком много?Повидимому, наша задача вполне корректна. Для того, чтобы определить искомую фигуру, составленную тремя окружностями,необходимо и достаточно знать, например, радиусы двух меньших окружностей; вообще же, для этого подходят два независимых данных. Наши данные Rи lочевидно независимы; каждое из них можно менять, оставляя второе неизменным (с тем лишь ограничением, что должно выполняться очевидное неравенствоl≤ 2r). Да, этих данных Rи lкак будто бы как раз достаточно: ни чересчурмало, ни чересчур много.Поэтому, приступим к решению. ПустьSобозначает искомую площадь, Хи Урадиусы двух меньших окружностей. Очевидно,
Мы имеем здесь два уравнения с тремя неизвестными S, Хи У. Чтобы найти третье уравнение, рассмотрим прямоугольный треугольник, вписанный в большую окружность, основание которого содержит три центра, а противоположная основанию вершина совпадает с одним из концов отрезка длины l. Высота этого треугольника, опущенная из вершины прямого угла равнаl/2. Она является средним пропорциональным между диаметрами меньших окружностей:
Теперь у нас имеются все триуравнения. Перепишем последние два в виде
Находя с помощью вычитания значение
И подставляя его в первое уравнение, получаем:
Итак, оказывается, что данных было слишком много; из двух величин Rи l, на самом деле необходима только вторая величина, но не первая. Мы снова ошиблись. Это любопытное соотношение, лежащее в основе только что рассмотренного примера, было замечено ещѐАрхимедом.Очевидно, мы можем заключить, что приведѐнные выше решениянетривиальных задачмогут быть прекрасной иллюстрацией метода Декарта, к которому сводится методика решения любых математических задач.Универсальный метод Декарта.1.Задача любого типа сводится к математической задаче.2.Математическая задача любого типа сводится к алгебраической задаче.3.Любая алгебраическая задача сводится к решению одного единственного уравнения.Хотя эта схема Декарта неприменима во всех без исключения случаях, она пригодна для огромного множества их. И прежде всего для решения школьных словесных задач. Например,У фермера имеются куры и кролики. Всего у этих кур и кроликов 50 голов и 140 ног. Сколько кур и сколько кроликов имеет фермер?Первый метод: Подбор решения.Курами они все быть не могут, потому что у них было бы 100 ног. Кроликами они все тоже быть не могут, потому что в данном случае ног было бы 200. А их должно быть 140. Если бы ровно половина животных была бы курами, другая кроликами,то они имели бы.Исследуем все эти случаи, пользуясь таблицей:
Если бы мы взяли меньшее число кур, то нам пришлось бы брать большее число кроликов, что привело бы к увеличению числа ног. И наоборот, если бы мы взяли большее число кур, то…Да, кур должно быть больше, возьмѐм 30.
Вот оно нужное число! Задача решена.Да, действительно, мы нашли нужное решение, но хорошо, что заданные числа 50и 140сравнительно невелики и достаточно удачно подобраны. А если бы задача, сформулированная в тех же словах, содержала большие или не специально подобранные числа, то нам потребовалось бы гораздо больше попыток и гораздо большая удача, чтобы нашим путѐм, ошибаясь и путая, довести дело до успешного конца.Второй способ: Блестящая дедуктивная мысль.Фермер застал своих животных в весьма странной позе каждая курица стояла на одной ноге, а каждый кролик на задних лапах. В этом удивительном представлении участвовала ровно половина всех ног, то есть 70. Число 70можно рассматривать и как такое, которое получается если считать лишь головы, причѐм голова курицы учитывается один раз, тогда как голова кролика считается дважды. Итак, отнимите от 70 число голов всех животных, которое равно 50; останется число кроличьихголов. То есть искомое число кроликов 7050=20И. конечно, 30 кур. Этот способ решения остается удобным и при замене специально подобранных чисел 50и 140, участвовавших в нашей задаче произвольными числами.Третий способ: Алгебраическое решение.Нашузадачу можно решить, не полагаясь на случай, и не рассчитывая на какуюто особую блестящую догадку, а более регулярным путѐм алгебраическим. Переведѐм нашу задачу на язык алгебраических символов.
Мы преобразовали предложенную задачу в систему уравнений с двумя неизвестными Х и У.Для решения этой системы перепишем нашу систему в виде
Вычитая второе из первого, находим у=20Используя значение у, получаем из второго уравнения, чтох=30Этот способ решения применим как в случае больших чисел, так ив случае малых. Применим к неисчерпаемому множеству задач, он не нуждается в редкостных блестящих идеях, для него требуется только элементарное владение языком алгебры.Обобщенное решение.Заменим все числа задачи буквами. Итак, напишем в нашей задаче Нвместо 50и Fвместо 140. Иными словами, пусть Н обозначает число голов, а Fчисло ног животных, принадлежащих нашему фермеру.После такой замены задача приобретает новый вид. Рассмотрим перевод ее на язык алгебры.У фермера имеется некоторое количество кур Хи некоторое количество кроликов У; все эти животные вместе имеют НголовиFног.
Полученную нами систему двух уравнений можно переписать так:
Вычитая второе уравнение из первого,получим:
Переведѐм последнюю формулу на обычный язык:Число кроликов равно половине числа ног без числа голов; это и было результатом интуитивного решения с помощью блестящей мысли.Однако, в нашем случае не требуется какогото особо удачного приѐма или изощренного воображения; мы добились результата с помощью прямолинейной рутинной процедуры, следующей за весьма простым первым шагом, который состоит в замене чисел буквами, то есть в обобщении.Итак, мы убедились, что, хотя метод проб и ошибок (метод подбора), вполне имеет право на существование, но даже в таких простых задачах, как задача о курах и кроликах, а также во многих других более важных вопросах применение алгебры более
Можно утверждать, что самая важная, хотя и частная задача математического образования в средней школе это научить составлять уравнения для решения словесных задач. В пользу этого мнения говорит то, что при решении словесных задач с помощью уравнений учащийся осуществляет перевод реальной обстановки на математический язык и при этом убеждается на опыте, что математические понятия можно связать с действительностью, хотя эти связи нужно тщательно разрабатывать. Именно здесь программа обучения позволяет приобрести ценнейший опыт. Хотя для учащегося, которому не придѐтся в своей будущей профессии пользоваться математикой, этот первый школьный опыт может вполне оказаться последним. Но экономисты, экологи, социологи, финансисты, программисты, а также инженеры и учѐные используют еѐглавным образом для перевода реальной задачи на язык математических понятий.Вжизни денежные доходы финансиста превышают денежные доходы математика, таким образом,он может нанять математика себе на службу с тем, чтобы последний решал нужные финансисту математические задачи, потому будущий финансист, вообще говоря, не должен изучатьматематику с целью решения задач. Однако и здесь есть определѐнное обстоятельство, изза которого финансист не может целиком положиться на математика:Этот финансист должен настолько хорошо знать математику, чтобы уметь ставить свои задачи в математической форме.Таким образом, будущий финансист (эколог, социолог, программист), когда он учится в средней школе составлению уравнений, необходимых для решения словесных задач, впервые сталкивается здесь со своим будущим основным профессиональным использованием математики и впервые имеет возможность приобрести для этого важнейшие навыки.
Ссылки на источники1.Буркина В. А. Методика работы с аномальными задачами [Текст] / В. А. Буркина, Е. И. Титова // Молодой ученый. 2014. №2. С. 740741.2.Пойа, Д. Математическое открытие. Решение задач: основные понятия, изучениеи преподавание / Д. Пойа. М.: Наука, 1970. 452 с.3.Горев П. М. Приобщение к математическому творчеству: Дополнительное математическое образование: Монография. Saarbrucken: Lambert Academic Publishing, 2012. 156 с. 4.Горев П. М. Совершенствование системы дополнительного математического образования в средней школе // Концепт. 2014. № 11 (ноябрь). ART 14298. URL: http://ekoncept.ru/2014/14298.htm.5.Горев П. М. Основные формы организации дополнительного математического образования в средней школе // Концепт. 2013. № 05 (май). ART 13116. URL: http://ekoncept.ru/2013/13116.htm.6.Горев П. М. Уроки развивающей математики в 56х классах средней школы // Концепт. 2012. № 10 (октябрь). ART 12132. URL: http://ekoncept.ru/2012/12132.htm. 7.Горев П. М. Виды учебной деятельности школьников и приобщение к творчеству во внеклассной работе по математике // Концепт. 2011. 1 квартал 2011. ART 11102. URL: http://ekoncept.ru/2011/11102.htm.8.Тестов В.А. Некоторые методологические проблемы определения качества образования // Педагогика. 2008. № 4. С. 2228.9.Тестов В.А. О проблеме обновления содержания обучения математикев школе // В сборнике: Преподавание математики в вузах и школах: проблемы содержания, технологии и методики Материалы Всероссийской научнопрактической конференции. ФГБОУ ВПО Глазовский государственный педагогический институт им. В.Г. Короленко. Глазов, 2009. С. 106111.10.Тестов В. Математика и болонский процесс // Высшее образование в России. 2005. № 12. С. 4042.
Картезианский ключ к задачамс «аномальными»условиями: корректность, неопределѐнность и переопределѐнность
Аннотация.В статьерассмотрены задачиснеопределѐнными или переопределѐнными условиями. Показано, что такие задачи требуютумения анализировать условияданные задачина основедостаточно обширных знаний об объекте задачи, освязях его сдругими математическими объектами, которые могут оказаться достаточными для полученияответа.
Ключевые слова: неопределѐнные задачи, переопределѐнные задачи, метод Декарта, алгебраические уравнения, обобщение..Жизнь это искусство делать верные выводы из неверных посылок.Сэмюэл Батлер
Для развитияпознавательных, аналитических способностей школьников совершенно необходимо решение достаточного количества разнообразных по содержанию иматематической фабуле задач[37].Наилучшим образом этой цели служат желательно применять на практике неопределѐнные ипереопределѐнные задачи, аименно задачи с «аномальным» условием. Речь идѐт озадачах снеполным, избыточным ипротиворечивым условием[1].Нестандартные задачи задачи с «аномальным» условием:1.Неопределѐнные задачи задачи с неполным условием, в котором дляполучения конкретного ответа не хватает одной или нескольких величин или какихтоуказаний на свойства объекта или его связи с другими объектами.2.Задачи переопределѐнные задачи с избыточным составом условия, слишними данными, без которых ответ может быть получен, но которые в той или иноймеремаскируют путь решения.Вообщето говоря, задачи такого рода называются некорректными.Естественно считать корректной или правильно поставленной такую задачу, решение которой определяется однозначно. И если мы серьѐзно заинтересованы задачей, то желательно как можно раньше установить (или догадаться), корректна она или нет[810]. Таким образом, уже с самого начала мы можем ставить перед собой следующие вопросы: Возможно ли удовлетворить условию? Достаточно ли условий имеем мы для нахождения неизвестного? Или мы имеем слишкоммало условий? А может быть, наоборот, условий у нас так много, что возникает вопрос о том, могут ли они быть удовлетворены?Эти вопросы очень важны. Мы отложим на дальнейшее широкое обсуждение роли этих вопросов в процессе решения задачи; здесь же будет уместно рассмотреть несколько примеров.Рассмотрим показательнуюзадачу([2] как и далее все задачи).Некто гулял 5 часов сначала он шѐл по горизонтальной дороге, затем поднялся в гору и, наконец, по старому маршруту возвратился назад в исходный пункт. Скорость гуляющего была равна 4 км в час на горизонтальном участкепути, 3 км в час при подъѐме в гору и 6 км/час при спуске с горы. Найти пройдѐнное этим лицом расстояние. Корректна ли эта задача? Достаточно ли данных для определения неизвестного? Или их слишком много?Кажется, что данных недостаточно: как будто нехватает сведений о протяженности наклонного участка пути. Если бы мы знали, сколько времени было потрачено на подъѐм или на спуск, то затруднений не возникло бы. А без этих сведений задача кажется неопределѐнной.Все же попробуем приступить к решению.ПустьХ пройденное в оба конца расстояние,Удлина наклонного участка.Пройденное расстояние можно разбить на 4 этапа:Горизонтальный участок Подъѐм Спуск Горизонтальный участокТеперь нетрудно выразить время, затраченное на ходьбу в оба конца:
Мы имеем только одно уравнение, связывающее два неизвестных, этого недостаточно. Попробуем, однако, сгруппировать члены; Тогда коэффициент при У окажется равным 0 и останется равенство:
То естьX=20
Таким образом, данных для определения Хбыло достаточно: постановка задачи требует введения только одного неизвестного.Итак, в конце концов выясняется, что задача не была неопределѐнной, мы ошиблись. Этого нельзя отрицать. Но есть основания подозревать, что автор нарочно хотел ввести нас в заблуждение специальным подбором чисел 3, 6и 4. Чтобы добраться до сути его уловки, подставим вместо чисел буквы: 3=u, 6=v, 4=w,обозначающие, соответственно скорости ходьбы при подъеме и при спуске на горизонтальном участке.Прочтѐм ещѐраз условие задачи, подставив вместо первоначальных чисел только что введѐнные нами буквы, и выразим время, затраченное на прямой и обратный путь в новых обозначениях:
Или
Из этого уравнения можно найти Х только в том случае, когда коэффициент при У обращается в 0.Поэтому, если не выполняется соотношение
То задача действительно оказывается неопределѐнной.Нас ввели в заблуждение при помощи коварной уловки! Мы можем выразить это критическое соотношение в виде
Или сказать, что скорость движения по горизонтальнойдороге есть среднее гармоническое скоростей движения вверх и вниз.А теперь задачас избыточнымиданными(переопределѐнная).Две окружности расположены одна вне другой, заключены внутри третьей окружности, большей их обеих. Каждая из трех окружностей касается двух остальных и центры их принадлежат одной прямой. Даны радиус R большей окружности и заключенный внутри нее отрезок l касательной, проведенный к двум меньшим окружностям в их общей точке. Найти площадь, заключенную внутри большей окружности и вне двух меньших.
Рис.Корректна ли эта задача? Достаточно ли данных для нахождения неизвестного? Или их не хватает? Или же их слишком много?Повидимому, наша задача вполне корректна. Для того, чтобы определить искомую фигуру, составленную тремя окружностями,необходимо и достаточно знать, например, радиусы двух меньших окружностей; вообще же, для этого подходят два независимых данных. Наши данные Rи lочевидно независимы; каждое из них можно менять, оставляя второе неизменным (с тем лишь ограничением, что должно выполняться очевидное неравенствоl≤ 2r). Да, этих данных Rи lкак будто бы как раз достаточно: ни чересчурмало, ни чересчур много.Поэтому, приступим к решению. ПустьSобозначает искомую площадь, Хи Урадиусы двух меньших окружностей. Очевидно,
Мы имеем здесь два уравнения с тремя неизвестными S, Хи У. Чтобы найти третье уравнение, рассмотрим прямоугольный треугольник, вписанный в большую окружность, основание которого содержит три центра, а противоположная основанию вершина совпадает с одним из концов отрезка длины l. Высота этого треугольника, опущенная из вершины прямого угла равнаl/2. Она является средним пропорциональным между диаметрами меньших окружностей:
Теперь у нас имеются все триуравнения. Перепишем последние два в виде
Находя с помощью вычитания значение
И подставляя его в первое уравнение, получаем:
Итак, оказывается, что данных было слишком много; из двух величин Rи l, на самом деле необходима только вторая величина, но не первая. Мы снова ошиблись. Это любопытное соотношение, лежащее в основе только что рассмотренного примера, было замечено ещѐАрхимедом.Очевидно, мы можем заключить, что приведѐнные выше решениянетривиальных задачмогут быть прекрасной иллюстрацией метода Декарта, к которому сводится методика решения любых математических задач.Универсальный метод Декарта.1.Задача любого типа сводится к математической задаче.2.Математическая задача любого типа сводится к алгебраической задаче.3.Любая алгебраическая задача сводится к решению одного единственного уравнения.Хотя эта схема Декарта неприменима во всех без исключения случаях, она пригодна для огромного множества их. И прежде всего для решения школьных словесных задач. Например,У фермера имеются куры и кролики. Всего у этих кур и кроликов 50 голов и 140 ног. Сколько кур и сколько кроликов имеет фермер?Первый метод: Подбор решения.Курами они все быть не могут, потому что у них было бы 100 ног. Кроликами они все тоже быть не могут, потому что в данном случае ног было бы 200. А их должно быть 140. Если бы ровно половина животных была бы курами, другая кроликами,то они имели бы.Исследуем все эти случаи, пользуясь таблицей:
Если бы мы взяли меньшее число кур, то нам пришлось бы брать большее число кроликов, что привело бы к увеличению числа ног. И наоборот, если бы мы взяли большее число кур, то…Да, кур должно быть больше, возьмѐм 30.
Вот оно нужное число! Задача решена.Да, действительно, мы нашли нужное решение, но хорошо, что заданные числа 50и 140сравнительно невелики и достаточно удачно подобраны. А если бы задача, сформулированная в тех же словах, содержала большие или не специально подобранные числа, то нам потребовалось бы гораздо больше попыток и гораздо большая удача, чтобы нашим путѐм, ошибаясь и путая, довести дело до успешного конца.Второй способ: Блестящая дедуктивная мысль.Фермер застал своих животных в весьма странной позе каждая курица стояла на одной ноге, а каждый кролик на задних лапах. В этом удивительном представлении участвовала ровно половина всех ног, то есть 70. Число 70можно рассматривать и как такое, которое получается если считать лишь головы, причѐм голова курицы учитывается один раз, тогда как голова кролика считается дважды. Итак, отнимите от 70 число голов всех животных, которое равно 50; останется число кроличьихголов. То есть искомое число кроликов 7050=20И. конечно, 30 кур. Этот способ решения остается удобным и при замене специально подобранных чисел 50и 140, участвовавших в нашей задаче произвольными числами.Третий способ: Алгебраическое решение.Нашузадачу можно решить, не полагаясь на случай, и не рассчитывая на какуюто особую блестящую догадку, а более регулярным путѐм алгебраическим. Переведѐм нашу задачу на язык алгебраических символов.
Мы преобразовали предложенную задачу в систему уравнений с двумя неизвестными Х и У.Для решения этой системы перепишем нашу систему в виде
Вычитая второе из первого, находим у=20Используя значение у, получаем из второго уравнения, чтох=30Этот способ решения применим как в случае больших чисел, так ив случае малых. Применим к неисчерпаемому множеству задач, он не нуждается в редкостных блестящих идеях, для него требуется только элементарное владение языком алгебры.Обобщенное решение.Заменим все числа задачи буквами. Итак, напишем в нашей задаче Нвместо 50и Fвместо 140. Иными словами, пусть Н обозначает число голов, а Fчисло ног животных, принадлежащих нашему фермеру.После такой замены задача приобретает новый вид. Рассмотрим перевод ее на язык алгебры.У фермера имеется некоторое количество кур Хи некоторое количество кроликов У; все эти животные вместе имеют НголовиFног.
Полученную нами систему двух уравнений можно переписать так:
Вычитая второе уравнение из первого,получим:
Переведѐм последнюю формулу на обычный язык:Число кроликов равно половине числа ног без числа голов; это и было результатом интуитивного решения с помощью блестящей мысли.Однако, в нашем случае не требуется какогото особо удачного приѐма или изощренного воображения; мы добились результата с помощью прямолинейной рутинной процедуры, следующей за весьма простым первым шагом, который состоит в замене чисел буквами, то есть в обобщении.Итак, мы убедились, что, хотя метод проб и ошибок (метод подбора), вполне имеет право на существование, но даже в таких простых задачах, как задача о курах и кроликах, а также во многих других более важных вопросах применение алгебры более
Можно утверждать, что самая важная, хотя и частная задача математического образования в средней школе это научить составлять уравнения для решения словесных задач. В пользу этого мнения говорит то, что при решении словесных задач с помощью уравнений учащийся осуществляет перевод реальной обстановки на математический язык и при этом убеждается на опыте, что математические понятия можно связать с действительностью, хотя эти связи нужно тщательно разрабатывать. Именно здесь программа обучения позволяет приобрести ценнейший опыт. Хотя для учащегося, которому не придѐтся в своей будущей профессии пользоваться математикой, этот первый школьный опыт может вполне оказаться последним. Но экономисты, экологи, социологи, финансисты, программисты, а также инженеры и учѐные используют еѐглавным образом для перевода реальной задачи на язык математических понятий.Вжизни денежные доходы финансиста превышают денежные доходы математика, таким образом,он может нанять математика себе на службу с тем, чтобы последний решал нужные финансисту математические задачи, потому будущий финансист, вообще говоря, не должен изучатьматематику с целью решения задач. Однако и здесь есть определѐнное обстоятельство, изза которого финансист не может целиком положиться на математика:Этот финансист должен настолько хорошо знать математику, чтобы уметь ставить свои задачи в математической форме.Таким образом, будущий финансист (эколог, социолог, программист), когда он учится в средней школе составлению уравнений, необходимых для решения словесных задач, впервые сталкивается здесь со своим будущим основным профессиональным использованием математики и впервые имеет возможность приобрести для этого важнейшие навыки.
Ссылки на источники1.Буркина В. А. Методика работы с аномальными задачами [Текст] / В. А. Буркина, Е. И. Титова // Молодой ученый. 2014. №2. С. 740741.2.Пойа, Д. Математическое открытие. Решение задач: основные понятия, изучениеи преподавание / Д. Пойа. М.: Наука, 1970. 452 с.3.Горев П. М. Приобщение к математическому творчеству: Дополнительное математическое образование: Монография. Saarbrucken: Lambert Academic Publishing, 2012. 156 с. 4.Горев П. М. Совершенствование системы дополнительного математического образования в средней школе // Концепт. 2014. № 11 (ноябрь). ART 14298. URL: http://ekoncept.ru/2014/14298.htm.5.Горев П. М. Основные формы организации дополнительного математического образования в средней школе // Концепт. 2013. № 05 (май). ART 13116. URL: http://ekoncept.ru/2013/13116.htm.6.Горев П. М. Уроки развивающей математики в 56х классах средней школы // Концепт. 2012. № 10 (октябрь). ART 12132. URL: http://ekoncept.ru/2012/12132.htm. 7.Горев П. М. Виды учебной деятельности школьников и приобщение к творчеству во внеклассной работе по математике // Концепт. 2011. 1 квартал 2011. ART 11102. URL: http://ekoncept.ru/2011/11102.htm.8.Тестов В.А. Некоторые методологические проблемы определения качества образования // Педагогика. 2008. № 4. С. 2228.9.Тестов В.А. О проблеме обновления содержания обучения математикев школе // В сборнике: Преподавание математики в вузах и школах: проблемы содержания, технологии и методики Материалы Всероссийской научнопрактической конференции. ФГБОУ ВПО Глазовский государственный педагогический институт им. В.Г. Короленко. Глазов, 2009. С. 106111.10.Тестов В. Математика и болонский процесс // Высшее образование в России. 2005. № 12. С. 4042.
