Степенная функция как МНК-аппроксимация модели электромагнитного импульса
ART 86302
Авторы:
А.
А. Михалев, Л.
К. Орлик
А.
А. Михалев, Л.
К. Орлик Библиографическое описание статьи для цитирования:
Михалев
А.
А.,
Орлик
Л.
К. Степенная функция как МНК-аппроксимация модели электромагнитного импульса // Научно-методический электронный журнал «Концепт». –
2016. – Т. 11. – С.
1411–1415. – URL:
http://e-koncept.ru/2016/86302.htm.
Аннотация. В данной статье рассмотрено приложение метода наименьших квадратов и аппроксимации (формула) в диапазоне расстояний от R1 до R2 в рамках модельной задачи о поле светового излучения ядерного взрыва. Для нахождения параметров модели и зависимости аппроксимирующей функции от заданных параметров используются инструменты математического пакета Maple.
Ключевые слова:
аппроксимация, метод наименьших квадратов, поле светового излучения, ядерный взрыв, напряженность электромагнитного поля
Текст статьи
Михалев Алексей Андреевич,студент 2 курса магистратуры по направлению Прикладная математика и информатика Российского государственного социального университета, г. Москва.redderlexa@mail.ru.Орлик Любовь Константиновна,Кандидат физикоматематических наук, профессор кафедры прикладной математики Российского государственного социального университета, г. Москва.lubov.orlik@gmail.com
Степенная функция как МНКаппроксимация
модели электромагнитного импульса
Аннотация.В данной статье рассмотрено приложение метода наименьших квадратов и аппроксимации
в диапазоне расстояний от R1до R2 в рамкахмодельной задачи о поле светового излучения ядерного взрыва. Для нахождения параметров моделии зависимости аппроксимирующей функции от заданных параметровиспользуются инструменты математического пакета Maple. Ключевые слова:Метод наименьших квадратов,аппроксимация, поле светового излучения, ядерный взрыв, напряженность электромагнитного поля.
Метод наименьших квадратов является эффективным и универсальным инструментом решения задач в любой области, еслипри его применении решение удовлетворяетнекоторому критерию минимизации суммы квадратов некоторыхфункций от искомых переменных. Метод наименьших квадратов может быть применимдля аппроксимации искомойфункции, функцией более простой, при нахождении совокупности величин,которыеудовлетворяют уравнениям или ограничениям, количество которых превышает количество этих величин. Этот метод, разработанный Гауссом ещё в 1828 году в монографии "Исследования о кривых поверхностях", остаётся актуальным и востребованным. Аппроксимация (приближение) —научный метод, суть которого заключаетсяв замене одних объектов на другие,которые в том или ином смысле близкиек исходным, ноявляютсяболее простыми.Поле светового излучения ядерного взрыва описывается следующим уравнением:
световой импульс R–удаление от центра (эпицентра) ядерного взрыва С2 –коэффициент формы светящейся областиk–коэффициент линейного ослабления излучения атмосферой[1]Напряженность электромагнитного поля ядерного взрыва описывается следующим уравнением:
g –мощность ядерного взрыва,глубина ядерного взрыва,R
удаление от центра(эпицентра) ядерного взрыва,µ линейный коэффициент ослабления напряженности электромагнитного поля ядерного взрыва, �⃗–напряженность электромагнитного поля ядерного взрыва. Заменим в диапазоне расстояний от R1до R2. Неизвестные параметры Аи α могут быть найдём методом наименьших квадратов ( параметры Аи α должны быть таковыми, чтобы сумма квадратов отклонений одной функции от другой была бы минимальной). Если приближение с помощью метода наименьших квадратов окажется достаточно точным, то мы могли бы заменить довольно сложную исследуемую функцию f(х) более простой степенной функцией.
Рис.1 Графики функций у1и у2В результате логарифмирования данных функций получим:
Пусть Так как функции y1и y2непрерывны, то сумма квадратов
отклонений может быть заменена следующим образом:
Частные производные первого порядка приравняем к нулю.
Объединяя (1) и (2) ,получим систему уравнений:
Решим эту систему методом Крамера :
Преобразуем,числитель дроби:
Переходя к R1, R2 ,получим:
Так как,
, то переходя к R1, R2 , получим:
Таким образом, решая задачу методом наименьших квадратов,. получили следующие значения коэффициентов А и α:
Найдём коэффициенты Аи α с помощью встроенных функции пакета Maple:
�with(linalg):�y := mu*exp(z)n*zA+alpha*z;
�dA:=collect(diff(int(y^2,z=z1..z2),A)*1/2,{mu,alpha,n,A})=0;
�dl:=collect(diff(int(y^2,z=z1..z2),alpha)*1/2,{mu,alpha,n,A})=0;
�k:=solve({(dA),(dl)},{A,alpha});
�assign(k);�z1:=ln(R1):z2:=ln(R2):R1:=1:R2:=20:mu:=0.4:n:=10:�A:=A;alpha:=alpha;
��mu:=0.4:n:=10:R1:=1:R2:=20:y1:=(R)�exp(mu*R)/R^n;
�y2:=(R)�A*R^(alpha);
�plot([y2(R),y1(R)],R=1..3,color=[blue,red]);
Рис. 2 Аппроксимация данной функции у1степенной функцией у2.
Метод наименьших квадратов (сумма квадратов отклонений одной функции от другой) в среде Maple:
�restart;with(linalg):with(plots):�digits:=10:N:=100:k:=6:mu:=0.4:n:=10:A:=(22*ln(20)^2+57*ln(20))/ln(20)^3:alpha:=(91.250.4*ln(20)10*ln(20)^3)/ln(20)^3:�y1:=exp(mu*R)/R^n;
�y11:=R�A*R^(alpha);
�for i from 1 to N do R[i]:=evalf(i/N): od:�for i from 1 to N do x[i]:=evalf(y11(R[i]));od:�for i from 1 to 6 do phi[i]:=unapply(A*R^(alpha*(i1)),R);od;
�b:=array(1..6,1..6);for j from 1 to 6 do for f from 1 to 6 do b[f,j]:=evalf(sum(phi[f](x[q])*phi[j](x[q]),q=0..N)); od;od;
�for j from 1 to 6 do for o from 1 to 6 do od;od;B:=evalm(b);cond(B);
�for j from 1 to 6 do d1[j]:=evalf(sum(x[l]*phi[j](R[l]),l=1..N));od;d1:=convert(d1,list);
�d:=matrix(6,1,d1);
�sol:=linsolve(B,d);
�plot([y1,y11(R)],R=1..4,color=[blue,red]);
Рис. 3 Cумма квадратов отклонений функции у1от у2стремится к минимуму
Замечание.Если брать параметр μ> 1, то аппроксимирующая функция заметно приближается к оси R:
Рис. 4 . Положение аппроксимирующей функции при μ=1,5
Рис. 5. Положение аппроксимирующей функции при μ=3Если брать параметр μ< 0, то аппроксимирующая функция удаляется от оси R:
Рис. 6. Положение аппроксимирующей функции при μ=0,5
Рис. 7. Положение аппроксимирующей функции при μ=3Ссылки на источники1.Терроризм: проблемы, модели, сценарии: монография / Московский пограничный инт Федеральной службы безопасности Российской Федерации; под ред. Орлик Л. К. Москва, 2009.
[Дата обращения: 10.02.2016].
Степенная функция как МНКаппроксимация
модели электромагнитного импульса
Аннотация.В данной статье рассмотрено приложение метода наименьших квадратов и аппроксимации
в диапазоне расстояний от R1до R2 в рамкахмодельной задачи о поле светового излучения ядерного взрыва. Для нахождения параметров моделии зависимости аппроксимирующей функции от заданных параметровиспользуются инструменты математического пакета Maple. Ключевые слова:Метод наименьших квадратов,аппроксимация, поле светового излучения, ядерный взрыв, напряженность электромагнитного поля.
Метод наименьших квадратов является эффективным и универсальным инструментом решения задач в любой области, еслипри его применении решение удовлетворяетнекоторому критерию минимизации суммы квадратов некоторыхфункций от искомых переменных. Метод наименьших квадратов может быть применимдля аппроксимации искомойфункции, функцией более простой, при нахождении совокупности величин,которыеудовлетворяют уравнениям или ограничениям, количество которых превышает количество этих величин. Этот метод, разработанный Гауссом ещё в 1828 году в монографии "Исследования о кривых поверхностях", остаётся актуальным и востребованным. Аппроксимация (приближение) —научный метод, суть которого заключаетсяв замене одних объектов на другие,которые в том или ином смысле близкиек исходным, ноявляютсяболее простыми.Поле светового излучения ядерного взрыва описывается следующим уравнением:
световой импульс R–удаление от центра (эпицентра) ядерного взрыва С2 –коэффициент формы светящейся областиk–коэффициент линейного ослабления излучения атмосферой[1]Напряженность электромагнитного поля ядерного взрыва описывается следующим уравнением:
g –мощность ядерного взрыва,глубина ядерного взрыва,R
удаление от центра(эпицентра) ядерного взрыва,µ линейный коэффициент ослабления напряженности электромагнитного поля ядерного взрыва, �⃗–напряженность электромагнитного поля ядерного взрыва. Заменим в диапазоне расстояний от R1до R2. Неизвестные параметры Аи α могут быть найдём методом наименьших квадратов ( параметры Аи α должны быть таковыми, чтобы сумма квадратов отклонений одной функции от другой была бы минимальной). Если приближение с помощью метода наименьших квадратов окажется достаточно точным, то мы могли бы заменить довольно сложную исследуемую функцию f(х) более простой степенной функцией.
Рис.1 Графики функций у1и у2В результате логарифмирования данных функций получим:
Пусть Так как функции y1и y2непрерывны, то сумма квадратов
отклонений может быть заменена следующим образом:
Частные производные первого порядка приравняем к нулю.
Объединяя (1) и (2) ,получим систему уравнений:
Решим эту систему методом Крамера :
Преобразуем,числитель дроби:
Переходя к R1, R2 ,получим:
Так как,
, то переходя к R1, R2 , получим:
Таким образом, решая задачу методом наименьших квадратов,. получили следующие значения коэффициентов А и α:
Найдём коэффициенты Аи α с помощью встроенных функции пакета Maple:
�with(linalg):�y := mu*exp(z)n*zA+alpha*z;
�dA:=collect(diff(int(y^2,z=z1..z2),A)*1/2,{mu,alpha,n,A})=0;
�dl:=collect(diff(int(y^2,z=z1..z2),alpha)*1/2,{mu,alpha,n,A})=0;
�k:=solve({(dA),(dl)},{A,alpha});
�assign(k);�z1:=ln(R1):z2:=ln(R2):R1:=1:R2:=20:mu:=0.4:n:=10:�A:=A;alpha:=alpha;
��mu:=0.4:n:=10:R1:=1:R2:=20:y1:=(R)�exp(mu*R)/R^n;
�y2:=(R)�A*R^(alpha);
�plot([y2(R),y1(R)],R=1..3,color=[blue,red]);
Рис. 2 Аппроксимация данной функции у1степенной функцией у2.
Метод наименьших квадратов (сумма квадратов отклонений одной функции от другой) в среде Maple:
�restart;with(linalg):with(plots):�digits:=10:N:=100:k:=6:mu:=0.4:n:=10:A:=(22*ln(20)^2+57*ln(20))/ln(20)^3:alpha:=(91.250.4*ln(20)10*ln(20)^3)/ln(20)^3:�y1:=exp(mu*R)/R^n;
�y11:=R�A*R^(alpha);
�for i from 1 to N do R[i]:=evalf(i/N): od:�for i from 1 to N do x[i]:=evalf(y11(R[i]));od:�for i from 1 to 6 do phi[i]:=unapply(A*R^(alpha*(i1)),R);od;
�b:=array(1..6,1..6);for j from 1 to 6 do for f from 1 to 6 do b[f,j]:=evalf(sum(phi[f](x[q])*phi[j](x[q]),q=0..N)); od;od;
�for j from 1 to 6 do for o from 1 to 6 do od;od;B:=evalm(b);cond(B);
�for j from 1 to 6 do d1[j]:=evalf(sum(x[l]*phi[j](R[l]),l=1..N));od;d1:=convert(d1,list);
�d:=matrix(6,1,d1);
�sol:=linsolve(B,d);
�plot([y1,y11(R)],R=1..4,color=[blue,red]);
Рис. 3 Cумма квадратов отклонений функции у1от у2стремится к минимуму
Замечание.Если брать параметр μ> 1, то аппроксимирующая функция заметно приближается к оси R:
Рис. 4 . Положение аппроксимирующей функции при μ=1,5
Рис. 5. Положение аппроксимирующей функции при μ=3Если брать параметр μ< 0, то аппроксимирующая функция удаляется от оси R:
Рис. 6. Положение аппроксимирующей функции при μ=0,5
Рис. 7. Положение аппроксимирующей функции при μ=3Ссылки на источники1.Терроризм: проблемы, модели, сценарии: монография / Московский пограничный инт Федеральной службы безопасности Российской Федерации; под ред. Орлик Л. К. Москва, 2009.
[Дата обращения: 10.02.2016].
